嵌套网络的非线性度量数学

然后利用变换后的方程证明解y=~b不能是原方程的解，这证明了本文的观点。1.第一步：导出一组变换方程首先，我们将方程（B1）-（B4）合并成两个方程Xxi=yiyi+δi+1δi（1）- xi-1） ，（i=1- 1） （B8）yi=xixi+我i+1（1）- yi+1，（i=1- 1） （B9）x=0，ym=0。考虑等式的一般解（\'x，\'y）。（B8）-（B9）。而不是变量{x，…，xm-1} 和{y，…，ym-1} ，我们考虑由转换xi=xi定义的转换变量{x，…，xm}和{y，…，ym}-1对于i=2，Myi=yi-1对于i=2，m、 （B10）我们考虑变换后的方程xi=yiyi+δi+1δi（1- xi-1） ，（i=1+我i+1（1）- yi+1，（i=1，…m），（B12）x=0=ym+1=0，δi=δi-1和我=我-1对于i=2，m+1。在变换方程中，X和Y是新的变量；对于等式（B8）-（B9）的解（\'x，\'y），只有当解（\'x，\'y）的\'x=\'y=0时，变换向量对（\'x，\'y）才满足以下变换方程组。δ和仅影响x和y的值，对于原始方程的解（\'x，\'y）的变换（\'x，\'y），x和y的值必须等于零。这让我们可以让δ和可以是等式中的任意参数。（B11）-（B12）。Eqs。（B11）-（B12）具有相同形式的OFEQ。（B8）-（B9）。通过代换可以证明，等式的一个可能解。（B11）-（B12）是“xi=em+1di”- eidm+1em+1di+1- eidm+1，（B13）yi=em+1di- eidm+1em+1di- 工程安装-1dm+1，（B14），其中di=δ+Pij=2δjand ei=+Pij=2j、 该解决方案的第m个组成部分为“ym=em+1dm”- emdm+1em+1dm- 相对长度单位-1dm+1=(+ em）（δ+dm-1) - (+ 相对长度单位-1） （δ+dm）(+ em）（δ+dm-1) - (+ 相对长度单位-2） （δ+dm）。（B15）我们对等式的解（\'x，\'y）感兴趣。（B11）-（B12）使得（\'x，\'y）是等式的解。

（B8）-（B9），其中转换（\'x，\'y）→ （\'x，\'y）由等式（B10）给出。然后我们可以摆出“ym=”ym的姿势-1和= 1，得到δ=（1+em）δm（1- “嗯-1)M- (m+M-1） “嗯-1.- 马克。（B16）2。第二步：还原荒谬到目前为止，我们已经证明了方程的解（\'x，\'y）。（B11）-（B12）采用等式给出的形式。（B13）-（B14），通过变换（B10）得到的向量（\'x，\'y）的空气是等式的解。（B8）-（B9）当且仅当‘x=’y=0，δ满足等式（B16）和= 1.现在我们将展示，如果我们考虑变换方程的解，例如\'ym=~bm=~bm=~bm-1> bm-1并假设（~a，~b）是原始方程的解，那么解的第一个分量~ao不同于零，这是荒谬的。因此，（\'x，\'y）=（a，b）是等式的唯一解。（B8）-（B9）。证据我们假设存在一个解决方案“ym”-1=~bm-1> bm-1.根据属性4，其所有组件（~a，~b）都由~bm唯一确定-1.使用变换后方程的解（B13）-（B14），从bm开始-1> bm-1和等式（B16）得出δ>dm/em。为了证明本文，我们首先证明em+1di>eidm+1。因为i=2，3。。。m、 我们有em+1di- eidm+1=（1+em）（di）-1+ δ) - （1+ei）-1） （δ+dm）=（1+em）di-1+（em）- 工程安装-1)δ- （1+ei）-1） dm>（1+em）ei-1emdm+（em）- 工程安装-1） dmem- （1+ei）-1） dm=0。对于i=1，em+1d=δ+emδ>δ+dm=dm+1=edm+1，这意味着对于所有i=1，2。。。，M因此，a>0，这是荒谬的。附录C：数据网络使用了NBER-UN数据集，该数据集已被清理，并在[31]中作了进一步描述。我们考虑了[32]中描述的N=132个国家的相同列表。对于产品，我们使用了参考文献[16]中相同的清洁程序：我们移除了给定年份总出口量为零的总产品类别和产品，以及前一年和后一年总出口量为非零的产品。

1993年之后没有进入的产品和国家也被删除。清洗程序完成后，数据集由M=723个产品组成。为了确定我国是否认为我国是产品α的出口国，我们使用了显示的比较优势（RCA）[33]，定义为RCAIα=eiαPβejβ，PjejαPjβejβ，（C1），其中eiα是我国出口的产品α的数量，单位为千美元。RCA描述了一个国家某一特定产品出口量与所有其他国家该产品出口量的相对重要性。我们使用[4]中介绍的二部网络表示法，其中两种节点分别表示国家和产品。RCA值高于阈值的所有国家/地区产品对（此处设置为1）因此通过双边网络中相应节点之间的链接连接。附录D：斯皮尔曼的相关系数ρ给定两个变量X={X，…，Xn}和Y={Y，…，Yn}，我们按降序对它们进行排序，并用byx={X，…，Xn}和Y={Y，…，Yn}表示它们相应的排名分数。等分指的是根据其平均排名给出的等分排名：例如，如果排名中的第四和第五名得分相等，则他们的排名得分均等于（4+5）/2=4.5。然后将斯皮尔曼的相关系数ρ（X，Y）定义为排名分数之间的线性相关系数，即[34]ρ（X，Y）=Pni=1（xi- x） （易）- y） ）pPni=1（xi- x） Pni=1（易）- y） ，（D1）式中x=n-1Pni=1xidenotes x的平均值。附录E：真实数据中指标的收敛在完全嵌套的矩阵中，MEM（等式（11））和OFFCM（等式（39））的得分率收敛到一个确定的值。

虽然实矩阵不是完全嵌套的，但可以推测，如果矩阵不是太稀疏，实矩阵的收敛行为将类似。基于这一假设，我们根据得分率定义了一个收敛标准，并决定在满足以下标准时停止迭代（n）=NXi=1F（n）如果（n）i+1-F（n+1）如果（n+1）i+1<  = 10-5.（E1）1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Distance迭代编号CMMEMFig。6.d（n）是图4所示国家产品矩阵迭代次数的函数。对于图4所示的国家产品矩阵，FCM和MEM分别经过107次和6700次迭代后，条件（E1）满足（见图6）。对于FCM，我们发现没有任何能力比率收敛到零。这与我们的分析结果（见条件（28））和参考文献[24]的结果不一致，因为矩阵的对角线从未穿过矩阵的空白区域，如图4的左面板所示。对于MEM，我们发现三种能力比收敛为零[？]，这会减慢度量的收敛速度。附录F：指标收敛迭代对网络规模的依赖性10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 100 1000 N*Nα=0.4FCMMEM20 40 60 100 120 160 180 200 10 100 1000 N*Nα=0.6FCMMEM0 100 300 400 600 800 900 1000 100 1000 N*Nα=0.8FCMMEMFIG。7.收敛迭代n*作为根据F.图8中所述模型a生成的艺术矩阵的大小N的函数。F中描述的模型B的一个例子。在本节中，我们构建了人工嵌套矩阵，以研究主题计量收敛迭代对网络规模的依赖性。收敛迭代n*定义为条件（E1）保持的最小迭代。

我们关注完美嵌套矩阵，其中对角线永远不会穿过矩阵的空区域，如0 100 200 300 500 600 10 100 1000 N*Nx=3，k1=2，k2=1，α=0.2FCMMEM0 100 300 400 500 600 10 100 1000 N*Nx=3，k1=2，k2=1，α=0.5fcmmemm0 100 200 300 500 700 900 10 100 1000 N*Nx=3，k1=2，k2=1，α=0.8fcmmemm20 40 60 80 100*140 10 100 100 Nx=0.1，k1=1，α=0.5FCMMEMFIG。9.收敛迭代n*作为根据模型B生成的艺术矩阵的大小N的函数，如图7所示。面板显示，对于MEM，收敛速度对系统大小的依赖性很大程度上取决于构造矩阵所选择的参数。实数矩阵的情况如图4所示。我们按增加多样性的顺序给国家贴标签，按减少普遍性的顺序给产品贴标签。为了生成矩阵，我们使用两个模型：o模型A：该模型有一个确定矩阵形状的单参数α。为了获得与正文中分析的世界贸易实际数据相同的M/N比率，我们设定M=5.48 N。对于国家i，我们填入与产品α对应的元素∈ [1，1+bM iα/Nαc]，其中α是矩阵的一个参数，它决定了分隔矩阵的空区域和填充区域的边界形状，bxc表示小于或等于x的最大整数。我们将分析限制为α<1，它对应于对角线不穿过空区域的矩阵。o模型B：这个模型有四个参数x，α，k，k，它们决定了矩阵的形状。图8显示了使用模型B生成的矩阵的插图。国家1的差异等于x+k。对于国家i∈ [2，bα（N- 1） c]，di+1=di+kholds；对于其余国家，di+1=di+kholds。

对于n的每个值，产品的数量M由模型的参数决定。在这个框架内，我们可以研究矩阵边界形状对网络规模的依赖性。对于模型A，我们发现，与FCM的收敛速度相比，MEM的收敛速度并不强烈依赖于系统的大小，FCM的收敛速度约为对数（N）增长到足够大的N（见图7）。对于模型B，对于足够大的N，我们再次发现FCM收敛迭代的对数增长，而MEM的行为可能与模型a的行为非常不同（见图9）。特别是，对于某些参数设置，MEM的收敛速度比FCM慢，这在实际数据中可以发现。无花果。7和9表明，模因矩阵的收敛行为强烈依赖于矩阵M的边界细节，而FCM总是表现出n的渐近对数依赖性*在N.上，我们没有尝试研究替代矩阵模型上的themetric收敛行为。我们设想，对定义这两个指标的方程进行适当修改，将减轻收敛速度对系统规模的依赖；然而，设计具有改进的收敛特性的新度量超出了本文的范围。附录G：根据能力比将矩阵M划分为子矩阵当一些能力得分率收敛到零时，矩阵M可分为不同的国家组，即同一组内国家之间的得分率始终大于零。对于FCM，一个20 40 60 80 100 120 0 100 200 300 400 500 600 700排名国家的银行产品为M1E-16 1e-14 1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1 100 100 FDFCMMEMFIG。10

左图：MEM得出的国家产品矩阵（1996年）；水平和垂直的蓝线分别将国家和产品分组。右图：FCM和MEM的国家能力得分F与多样性D。当矩阵的对角线穿过矩阵M的空白区域时，一个或多个填充比收敛为零（见第三节C 2和参考文献[24]）。对于MEM和一个完全嵌套的矩阵M，当两个国家i+1和i之间的差异差距等于或大于排名较低国家的最大差异差距时，一个或多个差异率趋近于零，这是由公式（11）直接得出的结果。虽然MEM的标准不直接适用于不完全嵌套的实矩阵，但我们在用于FIG的数据集中进行了经验观察。4.两对国家的就业率趋于零。如参考文献[24]所述，我们可以将这些国家分为三组，以便属于同一组的任何两个国家之间的能力比不为零。这三个群体分别由103个、2个和27个国家组成（见图10，左面板）。图10的右面板显示，国家成员和国家多样性D之间的关系出现了不连续的跳跃，这表明国家被划分为不同的群体，这在D<100时发生。我们强调，虽然在高度多样化的国家中，FCM和MEM的趋势之间的偏差相对较小，但在很少多样化的国家中，偏差变得更大，这可能与发展中国家经济复杂性动态的研究有关[15]。致谢这项工作得到了欧盟FET开放基金611272号（Growthcom项目）和瑞士国家科学基金会（批准号：。

200020-143272），中国学术委员会（CSC）奖学金和国家自然科学基金（批准号61503140）。我们要感谢亚历山大·维德默对手稿的仔细校对和他有用的建议。我们感谢与Mat\'uˇsMedo、Emanuele Pugliese、Andrea Zaccaria进行的有益讨论。[1] S.Brin，L.Page，《大规模超文本网络搜索引擎的剖析，计算机网络和ISDN系统》30（1）（1998）107–117。[2] B.Jiang，S.Zhao，J.Yin.预测流量的自组织自然道路：敏感性研究，统计力学杂志：理论与实验2008（07）（2008）P07008。[3] 刘立宇，M.梅多，杨春晖，张耀强，张志光，周天光，推荐系统，物理报告519（1）（2012）1-49。[4] C.A.Hidalgo，R.Hausmann，《经济复杂性的构成要素》，美国国家科学院院刊106（26）（2009）10570–10575。[5] A.塔切拉、M.克里斯泰利、G.卡尔达雷利、A.加布里埃尔利、L.皮埃特罗内罗，《国家能力和产品复杂性的新指标》，科学报告2。[6] S.Allesina，M.Pascual，《谷歌食物网：特征向量能测量物种对共挤出的重要性吗？》？，普洛斯计算生物学5（9）（2009）e1000494。[7] V.Dominguez Garcia，M.a.Muinoz，在互惠网络中对物种进行排名，科学报告5。[8] D.Walker，H.Xie，K.-K.Yan，S.Maslov，使用网络传输模型对科学出版物进行排名，《统计力学杂志：理论和实验2007》（06）（2007）P06010。[9] F.Radicchi，S.Fortunato，B.Markines，A.Vespignani，《科学学分的差异与科学家排名》，PhysicalReview E 80（5）（2009）056103。[10] 任志明，曾家强，陈德斌，廖海海，刘俊杰，复杂网络中排名散布者的迭代资源分配，EPL（欧洲物理学通讯）106（4）（2014）48005。[11] D.F。

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