嵌套网络的非线性度量数学

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英文标题：
《The mathematics of non-linear metrics for nested networks》
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作者：
Rui-Jie Wu, Gui-Yuan Shi, Yi-Cheng Zhang, Manuel Sebastian Mariani
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Numerical analysis of data from international trade and ecological networks has shown that the non-linear fitness-complexity metric is the best candidate to rank nodes by importance in bipartite networks that exhibit a nested structure. Despite its relevance for real networks, the mathematical properties of the metric and its variants remain largely unexplored. Here, we perform an analytic and numeric study of the fitness-complexity metric and a new variant, called minimal extremal metric. We rigorously derive exact expressions for node scores for perfectly nested networks and show that these expressions explain the non-trivial convergence properties of the metrics. A comparison between the fitness-complexity metric and the minimal extremal metric on real data reveals that the latter can produce improved rankings if the input data are reliable.
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中文摘要：
对来自国际贸易和生态网络的数据进行的数值分析表明，非线性适应度复杂度度量是在具有嵌套结构的二部网络中按重要性对节点进行排序的最佳候选。尽管它与真实网络相关，但度量及其变体的数学性质在很大程度上尚未探索。在这里，我们对适应度复杂性度量和一种新的变量，即极小极值度量进行了分析和数值研究。我们严格推导了完美嵌套网络节点分数的精确表达式，并证明这些表达式解释了度量的非平凡收敛性质。通过对真实数据的适应度复杂度度量和最小极值度量的比较，发现如果输入数据可靠，后者可以提高排名。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Discrete Mathematics        离散数学
分类描述：Covers combinatorics, graph theory, applications of probability. Roughly includes material in ACM Subject Classes G.2 and G.3.
涵盖组合学，图论，概率论的应用。大致包括ACM学科课程G.2和G.3中的材料。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Social and Information Networks        社会和信息网络
分类描述：Covers the design, analysis, and modeling of social and information networks, including their applications for on-line information access, communication, and interaction, and their roles as datasets in the exploration of questions in these and other domains, including connections to the social and biological sciences. Analysis and modeling of such networks includes topics in ACM Subject classes F.2, G.2, G.3, H.2, and I.2; applications in computing include topics in H.3, H.4, and H.5; and applications at the interface of computing and other disciplines include topics in J.1--J.7. Papers on computer communication systems and network protocols (e.g. TCP/IP) are generally a closer fit to the Networking and Internet Architecture (cs.NI) category.
涵盖社会和信息网络的设计、分析和建模，包括它们在联机信息访问、通信和交互方面的应用，以及它们作为数据集在这些领域和其他领域的问题探索中的作用，包括与社会和生物科学的联系。这类网络的分析和建模包括ACM学科类F.2、G.2、G.3、H.2和I.2的主题；计算应用包括H.3、H.4和H.5中的主题；计算和其他学科接口的应用程序包括J.1-J.7中的主题。关于计算机通信系统和网络协议（例如TCP/IP）的论文通常更适合网络和因特网体系结构（CS.NI）类别。
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PDF下载：
--> The_mathematics_of_non-linear_metrics_for_nested_networks.pdf (1.09 MB)

2022-5-11 02:07:30 上传

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关键词：非线性 Applications Mathematical Architecture Quantitative

嵌套网络的非线性度量数学吴瑞杰，石桂元，张一诚和曼努埃尔·塞巴斯蒂安·马里亚尼弗里堡大学物理系，弗里堡1700，Switzerland对国际贸易和生态网络数据的数字分析表明，在呈现嵌套结构的两部分工作中，非线性能力复杂性度量是按重要性对节点进行排序的最佳候选。尽管它与真实网络相关，但度量及其变体的数学性质在很大程度上尚未探索。在这里，我们对能力复杂性度量和一种新的变量，即最小极值度量进行了分析和数值研究。我们严格推导了完美嵌套网络节点分数的精确表达式，并证明这些表达式解释了度量的非平凡收敛性质。通过对真实数据的适应性复杂性度量和最小极值度量进行比较，发现如果输入数据可靠，后者可以提高排名。I.简介基于网络的迭代算法正被应用于广泛的问题，例如在WWW上对搜索结果进行排名[1]，预测城市道路交通[2]，推荐在线用户可能喜欢的项目[3]，衡量各国在世界贸易中的竞争力[4，5]，根据其在植物传粉者互惠网络中的重要性对物种进行排序[6,7]，评估科学影响[8,9]，确定有效的传播者[10]，以及许多其他因素。虽然线性算法适用于广泛的实际系统[11,12]，但最近的研究表明，参考文献[5]中引入的非线性复杂度指标在节点排序方面明显优于线性指标，因为它们在呈现嵌套结构的二部网络中的重要性[7,13]。

Fitness Complexity metric最初用于根据各国竞争力水平和产品质量对世界贸易中的国家和产品进行排名[5]。该指标的基本思想是，虽然一个国家的竞争力主要取决于其出口的多样化，但产品质量主要取决于竞争力最低的出口国的得分。事实证明，该指标在经济上有良好的基础[5,14]，在根据国家和产品在网络中的重要性对其进行排名[13]时非常有效，能够提供有关一国未来经济发展[15]和未来出口的信息[16]。最近，该指标的应用超出了其最初的范围，并被证明是几种基于网络的方法中，根据物种在互惠生态网络中的重要性对其进行排序的最有效方法[7]。特别是，该指标比标准嵌套度计算器使用的方法更好地揭示了系统的嵌套结构。几个实际系统展示了嵌套结构[5,17–21]，这表明度量具有潜在的广泛应用。尽管嵌套网络的复杂度度量具有相关性，但其数学特性及其变体在很大程度上仍有待探索。与谷歌的PageRank[11,12,22]和反射法[23]等线性算法相比，无法通过线性代数技术研究度量的收敛特性。这篇文章为度量背后的数学提供了新的见解。我们在这里研究了能力复杂度度量（FCM）和一种新的变量，称为最小极值度量（MEM），它更容易进行分析处理。

度量的唯一输入是底层二部工作的二进制邻接矩阵M；我们在这里对完全嵌套的矩阵进行精确计算，即二进制矩阵，这样一个唯一的边界将所有等于1的元素与等于0的元素分开。对于MEM和FCM，我们找到了精确的分析公式，将节点得分的比率与基础嵌套矩阵的形状联系起来。虽然实嵌套矩阵不是完全嵌套的，但这里为完全嵌套矩阵推导的表达式解释了实矩阵中度量的非平凡收敛特性[24]。特别是，我们通过分析确定了所有节点得分收敛到非零值的条件，这对于度量的区分能力至关重要。参考文献[24]中也发现了这种情况（之前唯一研究FCM收敛性的工作）；与文献[24]的分析研究不同，在文献[24]中，我们推导出了两个节点得分值的矩阵的精确公式，在这项工作中，我们通过数学归纳法推导出了适用于任何完美矩阵的表达式。最后，我们在实际数据中对比了这两个指标，并表明MEM在填充邻接矩阵方面的性能优于FCM，也就是说，对其行和列进行排序的方式是，一条尖锐的曲线将矩阵的占用区域和空白区域分开[7]。

另一方面，MEM对噪声数据更敏感，因此，在原始数据中存在大量错误的情况下，其排名可能不可靠[25]。本文组织如下：在第二节中，我们定义了适应度复杂性度量（FCM）和最小极值度量（MEM）；在第三节中，我们解析地计算了完全嵌套矩阵的MEM和FCM节点得分之间的比率，并讨论了度量的收敛性与嵌套矩阵形状的依赖关系；在第四节中，我们比较了FCM和MEM在世界贸易真实数据中的排名。二、二部网络的非线性度量在本节中，我们定义了二部网络的能力复杂性度量（FCM）和最小极值度量（MEM）。虽然本文得到的结果适用于任何嵌套矩阵，但我们使用了经济复杂性术语：N×M邻接矩阵M的行和列分别称为国家和产品；因此，矩阵M被称为国家产品矩阵[4]。我们用拉丁字母（i=1，…，N）给国家贴标签，用希腊字母（α=1，…，M）给产品贴标签；国家和产品的数量分别用N和M表示。i国出口的产品数量和出口产品α的国家数量分别被称为i国的多元化和产品α的普遍性[4]。在能力复杂度度量（FCM）中，国家的能力得分F={Fi}和产品的复杂度得分Q={Qα}被定义为以下非线性映射[5]~F（n）i=XαMiαQ（n）的固定点的组成部分-1） α，~Q（n）α=PiMiαF（n）-1） i，（1）其中，在初始条件为F（0）i=1和Q（0）α=1的情况下，在每一步之后，根据toF（n）i=~F（n）i/F（n），Q（n）α=~Q（n）α/Q（n）对分数进行归一化。等式。

（1） 这意味着对产品α的复杂度Q贡献最大的是产品α的最小出口商的能力。另一方面，其他出口国的能力得分也对Qα有贡献；从这个意义上说，FCM是一个准极值度量[14]。一个自然的问题出现了：在不改变度量背后的主要思想的情况下，当修改等式（1）时，rankingschange将如何改变？参考文献[24]和参考文献中的研究引入了广义的themetric，其中谐波项1/F被1/Fγ取代，γ>0。[13, 24]. 在这里，我们介绍了该算法的一个更简单的变体，称为最小极值度量（MEM），其中产品的复杂性等于出口产品α的最不发达国家的能力。这个度量是极端的，这意味着只有mini:Miα=1{F（n）i}对Qα有贡献。式中F（n）i=XαMiαQ（n）-1） α，F（n）i=~F（n）i/F（n），Q（n）α=mini:Miα=1{F（n）i}。（3） 注意，参考文献[13]中研究的广义FCM降低到极限γ内的MEM→ ∞.三、 分析结果a。完美嵌套矩阵我们在这里关注完美嵌套矩阵[26]，即二元矩阵，其中每个国家出口的所有产品都是由不太多样化的国家出口的，再加上一组额外的产品。完全嵌套矩阵也被称为逐步矩阵[27]，具有完全嵌套邻接矩阵的网络也被称为reshold网络[28]。图1显示了完全嵌套矩阵的示例。在下文中，我们按照增加多样性（Di+1）的顺序给国家和产品贴上标签≥ Di）和减少普遍性（Uα+1）≤ Uα）。我们用i:=Di- Di-1按国家i出口但不按国家i出口的其他产品数量- 1= D.图1。10×20完全嵌套矩阵中变量D、D、e的几何意义的图示。

在本例中，有m=5组国家，对应于差异值d，d、 m=5组产品，对应于普遍性值N，N- EN- e、 由于矩阵的完美嵌套结构，国家和产品的分组是一一对应的：属于第一组的国家是属于第一组的产品的最少出口国，即普遍性为N的产品的出口国- 工程安装-1.根据等式。（1） （3）具有相同多样性水平的国家具有相同的能力得分，因此可以方便地将它们组合在一起。通过这样做，我们获得了m组国家≤ Nwedenote由属于第一组的国家的多样性决定，该组按照多样性增加的顺序进行标记，i=1，m、 此外，我们还表示其多样性小于或等于国际直接投资的国家数量。这个符号对于FCM的计算是有用的。我们还定义了数字δi:=di- di-1属于第一组但不属于第一组的国家出口的其他产品- 1，号码是多少i:=ei- 工程安装-1属于第一组的国家（i=1，…，m，ande=d=0）。此外，产品还根据其普遍性水平分为m组。由于国家和产品组的数量相同且等于m，我们使用拉丁字母（i=1，…，m）来标记这两个组。产品组按普遍性降低的顺序进行标记；我们用ui=N表示- 工程安装-1属于i组的产品的普遍性。变量d、d、e的几何解释如图1所示。请注意，国家和产品组是一一对应的：属于i组的国家是属于i.B组的产品的最低出口国。

结果对于完全嵌套矩阵，迭代n时国家i+1的能力由国家i迭代n的能力，加上国家i+1而非国家i出口的其他产品的复杂性给出；对于MEM，该属性的读数为＠F（n+1）i+1=F（n+1）i+F（n）i+1×i+1，（4），其中F（n）i+1是附加产品的复杂性。我们的目标是计算能力得分之间的比率。我们首先考虑两个最不发达国家，并计算其得分之间的比率F（n+1）/F（n+1）。由于我们只对fifitness值之间的比率感兴趣，所以在计算中我们不规范变量F，Q；我们有F（n）=nand，从等式（4）~F（n+1）=F（n+1）+×F（n）=F（n+1）+×（F（n）+×F（n）-1） ）=F（n+1+×F（n）+×（F（n）-1)+ ×F（n）-2))= n+1+× n+× N-1+ · · · + n×,（5） 可以重写为F（n+1）F（n+1）=1++ ()+ · · · + ()n、 （6）如果= ,F（n+1）F（n+1）=n+1-→N→∞0：（7）比值以1/n的形式收敛到零。如果> , 但以指数速率：F（n+1）F（n+1）\'!N-→N→∞0.（8）相比之下，使用几何级数，我们可以证明比率是有限的，如果< :F（n+1）F（n+1）-→N→∞1.-.（9） 有趣的是，三种不同的渐近行为（7）、（8）和（9）对应于参考文献[24]中关于FCM能力分数的渐近行为，模型矩阵中只有两个值FAN和Fof能力分数。现在，我们将使用这个结果作为严格推导任意完美嵌套矩阵中fitnessratio解析表达式的起点。首先，我们注意到等式。（9） （8）可以概括为：→∞F（n）F（n）=1-麦克斯{, }. （10） 从等式（4）开始，使用数学归纳法，我们可以证明（见附录A）limn→∞F（n）如果（n）i+1=1-i+1maxj∈[1，i+1]{j} 。（11） 请注意。

（11） 将分数比F（n）i/F（n）i+1与完全嵌套矩阵的形状相关联，该矩阵编码在 价值观公式（11）表明，对于任何完全嵌套的矩阵M，所有记忆分数收敛为非零值的当且仅当我 i>1。如果差距i+1国家间的差异i和i+1是最大的差距jof the countries j≤ i+1，则国家i的得分与国家i+1的得分之间的比率收敛为零。公式（11）的推导是如何完全理解完美嵌套矩阵的非线性度量行为的第一个例子；在下一节中，我们将推导FCM的解析表达式。等式（11）表明，对于与完美嵌套矩阵没有太大区别的矩阵，分数比率可用于评估度量的收敛性。特别是，当满足以下条件时，可以决定停止迭代：NXi=1F（n）如果（n）i+1-F（n+1）如果（n+1）i+1< , （12） 在哪里 是预先确定的精度阈值。对于将该准则应用于realdata的结果，我们参考E，对于收敛迭代对系统大小的依赖性的数值研究，参考F。如参考文献[24]所述，如果一些分数比收敛到零，国家可以自然地分成不同的组，所有的分数比在一个集合内收敛到一个非零值。我们将G作为一个真实的例子，从世界贸易中可以看出，零适配率的存在意味着国家分离。C.FCM的结果某一产品的FCM分数由所有出口国的分数决定，这使得FCM的分析计算比MEM的更困难。对于FCM的计算，可以方便地将具有相同差异水平的国家分组。

根据第III A段中提供的定义，我们用fit表示属于第一组的国家的能力，即那些多元化等于di的国家的能力。类似地，我们用Qi来表示其最少进口国家属于第一组的产品的复杂性。然后我们有能力得分{f（n），…，f（n）m}和m复杂性得分{q（n），…，q（n）m}。用这种表示法，我们将等式（1）改写为≈f（n）i=iXj=1δjq（n-1） j，~q（n）i=Pmj=ij/f（n）j，（13）在第二条线路的r.h.s.中，我们替换了1/f（n）-1） 1/f（n）j，这不会影响有限n中的结果→ ∞. 请注意，在第二行的r.h.s.中jof术语1/f（n）jr表示属于j组的国家的数量。现在我们转换等式。（13） 转化为一组等价的方程，用于计算复杂度比x（n）i:=f（n）i/f（n）i+1和复杂度比y（n）i:=q（n）i/q（n）i+1。将两个连续国家i和i+1的得分联系起来的方程是f（n+1）i+1=f（n+1）i+q（n）i+1×δi+1。（14） 就x变量而言，等式（14）相当于tox（n）i=1+δi+1q（n-1） i+1f（n）i+1，（15），这意味着1/x（n）i- 11/x（n）i-1.- 1=δi+1δix（n）i-1y（n）-1） 我；（16） 根据这个方程的项，我们得到x（n）i=δiy（n-1） iδiy（n）-1） i+δi+1（1- x（n）i-1). （17） 对于最不发达国家（i=1），我们直接从公式（15）中得到x（n）=δy（n）-1） δy（n）-1)+ δ. （18） 从等式（13）的第二行开始，以类似的方式进行，我们得到了它们变量y（n）i的类似方程=i+1x（n）ii+1x（n）i+i（1）- y（n）i+1）（19）安迪（n）m-1=mx（n）m-1.mx（n）m-1+ M-1.（20）由等式组成的集合。（17） ，（18），（19），（20）完全等同于原始的能力复杂度方程（等式（13））。一致初始条件f（0）i=1i表示初始条件x（0）i=1，（21）y（0）i=em- 埃姆- 工程安装-1（22）用于变量x和y。使用等式。（17） -（20），我们证明了以下引理：引理1（收敛性）。