嵌套网络的非线性度量数学

序列{x（n）i}和{y（n）i}在极限n内收敛→ ∞.证据为了证明收敛性，我们首先证明序列{x（n）i}和{y（n）i}在n中递减。从等式（18）中，我们得到x（1）=δy（1）δy（1）+δ<1=x（0）；（23）将不等式（23）与等式（17）相结合，得到x（1）<x（0）；我们可以对所有i和getx（1）i<x（0）i重复相同的操作i、 （24）类似地，通过将不等式（24）与等式（20）相结合，我们得到y（1）m-1<y（0）m-1，从中我们可以迭代地显示y（1）i<y（0）ii、 （25）现在，我们用数学归纳法证明x（n+1）i<x（n）i和y（n+1）i<y（n）i，对于所有i=1，M- 1.假设x（n）i<x（n）-1） 土地y（n）i<y（n）-1） i.从式（18）中，前一个不等式直接表示x（n+1）=δy（n）δy（n）+δ<δy（n）-1） δy（n）-1） +δ=x（n）。（26）为了证明所有i的不等式x（n+1）i<x（n），我们对i使用数学归纳法。为此，我们证明x（n+1）i-1<x（n）i-我们得到了x（n+1）i=δiy（n）iδiy（n）i+δi+1（1）- x（n+1）i-1） <δiy（n）-1） iδiy（n）-1） i+δi+1（1- x（n+1）i-1） <δiy（n）-1） iδiy（n）-1） i+δi+1（1- x（n）i-1） =xi，（27），其中我们在第一个不等式中使用了n的归纳假设，在最后一个不等式中使用了i的归纳假设。可以进行类似的证明来得到y（n+1）i<y（n）i。由于x（n）i和y（n）i是在nand x（n）i>0中的递减序列，y（n）i>0n、 当n时，x（n）和y（n）i收敛→ ∞.1.分数比率当对角线未穿过M的空区域时，引理确保了由等式（13）定义的非线性映射的收敛性。我们现在用引理来证明定理，该定理保证分数比收敛到一个唯一的固定点。当矩阵的对角线不穿过矩阵M的空区域，即元素为零的区域时，该定理成立。根据公式，该条件为SDI>eidmemi=1，M- 1.

（28）然后我们还将讨论当条件（28）为假时计算能力比的程序。我们强调这一点。[24]通过对理论矩阵的分析计算发现了这一特性，其中存在两个值Fan和Fof fitness score，推测其对任何嵌套矩阵的有效性，并通过对多个数据集的数值模拟验证了这一假设。这里，我们证明了它对任何完全嵌套矩阵的有效性。图2。公式（36）-（37）的图解，用于计算5×8矩阵中的分数比，其中对角线永远不会穿过矩阵的空白区域。我们用δij表示：=Dj- Pix矩阵对角线与线y=i相交的点Pi与线x=Dj之间的距离。我们得到F/F=δ/δ。类似地，我们用ij:=Riy- Ej——矩阵对角线与直线x=i相交的点Ri与直线y=Ej=N之间的距离- UjWehave然后Q/Q=/.图3。在5×8矩阵中，对角线与矩阵的空白区域相交，计算得分率的过程的图示。在这种情况下，我们必须找到条件（38）适用的最适合的国家。在这个例子中，jmax6=5和jmax6=4，因为从（0，0）到（dj，j）的对角线穿过了j=4，5（leftpanel）矩阵的空白区域。我们发现jmax=3。然后，我们可以计算出我所提到的所有国家的得分率≤ 3和所有产品≤ d=6。为此，我们使用了与图2相同的几何结构，但仅限于子矩阵，该子矩阵只包含三个最少的国家和最常见的产品，对应于右面板中由红色边框分隔的块。然后，我们可以从矩阵中删除≤ 3，产物α<d=6。

并计算残差矩阵中国家和产品的得分率，该矩阵对应于右面板中由橙色边框分隔的块。定理2。如果条件（28）成立，则→∞f（n）如果（n）i+1=ai，（29）limn→∞q（n）iq（n）i+1=bi，（30）i=di-德梅梅迪+1-dmemei，（31）bi=emdmdi- 艾姆迪- 工程安装-1.（32）关于证明的细节，我们参考附录B。极限向量（a，b）的分量具有简单的计量解释。为了看到这一点，我们重写了等式。（29）-（30）关于原始变量F，Q，D，U:limn→+∞F（n）如果（n）i+1=Di-MNiDi+1-MNi，（33）limn→+∞Q（n）iQ（n）i+1=NMi- Ei+1NMi- Ei，（34）我们定义的Ei=N- 用户界面。根据原始变量，条件（28）读取SDI>MNi（35）。当考虑矩阵M在欧氏平面中的表示时，解（33）-（34）具有简单的几何解释。如果我们用Pix表示点Pix的x坐标，其中矩阵的对角线（即从（0，0）到（M，N）的对角线）与水平线y=i相交，我们就得到了Pix=i M/N（见图2）。因此，假设Di>im/N相当于假设矩阵的对角线从未穿过矩阵的空区域。因此，等式（36）可以改写为fifi+1=Di- PixDi+1- 皮克斯。（36）如图2所示，分子和分母可分别解释为点Pi与垂直线x=dian和x=Di+1之间的距离。我们还可以证明，条件（35）意味着mei+1<in（i=1，…，M）- 1） ，如果我们用Riyth表示点Ri的y坐标，从（0，0）到（M，N）的对角线与线x=i相交，我们得到Riy=i N/M。等式（37）可以改写为：QiQi+1=Riy- Ei+1Riy- Ei，（37）也有一个简单的几何解释（见图2）。

分数比率当对角线穿过MIf的空白区域时，矩阵的对角线穿过矩阵的空白区域——即，如果存在一些i，则di≤eidm/em–我们不能直接使用EQ。(29), (30). 在这种情况下，计算精细度和复杂度的程序如下：1。我们找到了最适合这样的国家-ijmaxDjmax>0 我≤ 杰马克斯。（38）当考虑欧几里德平面中的矩阵M时，国家jmax对应于最多的国家，因此从（0，0）到（djmax，jmax）的对角线永远不会穿过仅包含国家j<jmax的约化矩阵的空区域，如图3.20 40 60 80 100 120 0 100 200 300 400 500 600 700排名国家排名产品SFCM20 40 60 80 100 120 0 100 200 300 400 500 700排名国家排名产品SMFIG。4.FCM和MEM得出的国家产品矩阵（1996年）。这两个矩阵都是嵌套的，但与FCM相比，MEM矩阵的填充区域和空白区域之间的边界更清晰。2.一旦确定了JMax的值，我们就可以计算国家i<JMaxasfififi+1=Di的所有能力比率- iDjmax/jmaxDi+1- iDjmax/jmax，（39）QiQi+1=ijmax/Djmax- Ei+1ijmax/Djmax- 工程安装。（40）对于所有i<jmax，且Fjmax/Fjmax+1=0，Qjmax/Qjmax+1=0。请注意，该公式具有与等式相同的几何解释。（29）-（30），但几何构造是在矩阵X的子矩阵中进行的（见图3）。我们从矩阵中删除了我所看到的所有国家≤ JMAX和所有产品≤ djmax，然后从点1重新启动，直到计算出所有比率。这个过程的解释很简单：如果对角线穿过矩阵的空白区域，则至少有一对国家的得分率收敛到零。

在这种情况下，矩阵应按块分割，以便每个块内的得分率都不为零；然后，可以根据等式在每个区块内计算得分率。(39)-(40). 图3显示了该程序的图示。四、 结果是真正的网络。揭示了国家产品矩阵的嵌套结构。第二节将MEM作为一个最小指标引入，基于与FitnessComplexity指标相同的假设。在本节中，我们将探讨其在真实数据上的行为，并将其排名与FCM生成的排名进行比较。在实际数据中，可用性复杂性度量来揭示给定网络的嵌套结构。这是通过根据矩阵M的行和列按度量[5,7]排序来实现的。特别是，在封装嵌套矩阵中，fifitness complexity metric优于其他现有的网络中心度指标和标准嵌套度计算器[7]。在这里，我们使用NBER-UN国际贸易数据来比较FCM和MEM生成的矩阵；有关数据集的详细说明，请参阅附录C。我们在这里展示1996年的结果；不同年份的结果在质量上是一致的。我们首先观察到，两个指标对国家的排名高度相关（ρ=0.994），两个国家的得分与国家差异高度相关[FCM的ρ=0.963，MEM的ρ=0.955]。关于FCM产生的矩阵，MEM产生的矩阵在矩阵的空部分和空部分之间显示出更清晰的边界（见图4）。这一结果表明，MEM可用于为呈现嵌套结构的网络生成最佳的packedMatrix[7]。与第III B节引入的收敛准则一致，以获得图中所示的结果。

4.我们分别对FCM和THEMM进行了107次和6700次迭代。关于真实数据和人工数据中这两个指标的收敛特性，我们参考了E和F。0.94 0.96 0.98 1 0.005 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1ρ（F，F（η））ηFCMMEM0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.005 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1ρ（Q，Q（η））ηFCMMEMFIG。5.作为矩阵M（1996年）中还原位的分数η的函数，排名对噪声的鲁棒性。稳健性是通过斯皮尔曼倒转前后排名之间的相关性来衡量的。B.对噪声输入数据的敏感性任何数据驱动变量的一个重要问题是其对系统扰动的稳定性[25,29,30]。以下是裁判。[13,25]，为了研究排名对噪声的稳健性，我们随机还原二进制矩阵M中的一部分η，并计算反转前后计算的分数的斯皮尔曼相关性。图5显示，FCM的排名比MEM的排名更稳定；这两种方法在产品排名上的差距尤其大。另一方面，这两种方法的不同主要是由于矩阵M的区域，其元素对应于最复杂的产品和最少的国家。这可以通过只扰动子矩阵M（底部）来证明-（右）根据theMEM的排名，包含M/2最复杂产品和N/2最不发达国家的M，并将结果与仅扰动子矩阵M时获得的结果进行比较（顶部-lef t）包含M/2最复杂的产品和N/2最复杂的国家。

差异是惊人的：对于M（底部）-对），我们发现ρ（Q，Q（0.1））=0.420和ρ（Q，Q（0.1））=-FCM和MEM分别为0.142；对于M（顶部）-lef t），我们发现FCM和MEM的ρ（Q，Q（0.1））=0.994和ρ（Q，Q（0.1））=0.999。这些发现表明，当数据存在错误和噪音时，MEM对产品的排名是不可靠的，世界贸易数据的情况也是如此[25]，排名不稳定的主要原因来自最不发达国家的出口。V.结论了解基于网络的排名算法背后的数学知识对其实际应用至关重要。本文朝着严格理解嵌套网络的复杂性度量的数学特性迈出了第一步。我们精确计算了完美嵌套矩阵的国家和产品分数。我们的分析结果与参考文献[24]中关于度量的收敛性和基础嵌套矩阵形状之间关系的分析和数值结果一致。我们再次强调，虽然我们在这项工作中使用了经济复杂性的术语，但我们的发现适用于任何呈现嵌套架构的网络。对于互惠网络的度量应用，只有变量的含义发生变化：F和Q分别代表主动物种重要性和被动物种脆弱性[7]。在这项工作中，我们还介绍和研究了MEM，它是FCM的一种新变体，更易于分析处理。我们对真实数据的发现表明，MEM可以对嵌套矩阵的行和列进行排序，甚至比FCM更好。

通过FCM和MEM获得的国家分数之间的高度相关性表明，MEM和FCM对一个国家在国际贸易中的竞争力及其未来增长潜力具有类似的信息[15]。另一方面，在国家产品二元矩阵的随机扰动下，MEM对产品的排名变得不太稳定。综上所述，虽然相对于FCM生成的嵌套矩阵，MEMM可以生成更多的嵌套矩阵，但其产品排名仅适用于高质量数据。附录A：公式（11）的证明我们假设公式（11）适用于i=k，并表明该假设意味着它也适用于i=k+1。根据公式，我们假设在极限n→ ∞F（n）kF（n）k+1=1-k+1Hk+1，（A1）其中Hk+1=maxj∈[1，k+1]{j} 我们想证明等式（A1）意味着f（n）k+1F（n）k+2=1-k+2Hk+2。（A2）利用式（4），我们得到F（n+1）k+2F（n+1）k+1=F（n+1）k+1+F（n）k+2k+2F（n+1）k+1=1+F（n）k+2k+2F（n+1）k+1。（A3）我们想用F（n）k+1来表示分母F（n+1）k+1，以便将这个方程转化为F（n）k+2F（n）k+1的递归关系。为了做到这一点，我们使用等式（4）并得到F（n+1）k+1=F（n+1）k+F（n）k+1k+1=F（n）k+1k+11+F（n+1）kk+1F（n）k+1！=F（n）k+1k+11+F（n+1）kF（n+1）k+1- F（n+1）k！。（A4）我们现在使用假设（A1）：F（n+1）k+1=F（n）k+1k+11+F（n+1）k/F（n+1）k+11- F（n+1）k/F（n+1）k+1！=F（n）k+1k+11+1- k+1/Hk+1k+1/Hk+1！=F（n）k+1k+11+Hk+1- k+1k+1！=F（n）k+1Hk+1。（A5）将式（A5）插入式（A3）我们得到f（n+1）k+2F（n+1）k+1=1+k+2Hk+1F（n）k+2F（n）k+1，（A6）式（A6）是f（n+1）k+2F（n+1）k+1的递推方程。我们区分两种情况：o如果k+2Hk+1≥ 1，然后limn→∞F（n）k+2/F（n）k+1=∞ 还有limn→∞F（n）k+1/F（n）k+2=0。在这种情况下，Hk+2=k+2通过定义和等式。

（A2）（即论文）令人满意。o如果k+2Hk+1<1，那么我们可以通过设定x=F（n+1）k+2F（n+1）k+1=F（n）k+2F（n）k+1来求方程（A6）的驻点x。我们注意到，在这种情况下，Hk+2=Hk+1，因此，我们得到等式（A2）。这证明了本文的观点。附录B：定理2的证明我们用（x，y）表示解方程的向量对。（17） -（20）在极限n内→ ∞, 其中readxi=δiyiδiyi+δi+1（1- xi-1） ，（i=2，…，m）- 1） （B1）x=δyδy+δ，（B2）yi=i+1xii+1xi+i（1）- yi+1，（i=1，…，m）- 2） （B3）ym-1=mxm-1.mxm-1+ M-1.（B4）证明（x，y）=（a，b）是等式的解。（B1）-（B4），在Eqs中用AIA和BI替换xiand Yi时，有必要检查是否获得了身份。（B1）-（B4）。如果emdi>eidm，我们可以很容易地使用数学归纳来证明x（n）i>a和y（n）i>b对于所有i=1，M- 1和所有n≥ 这个证明类似于引理1的证明。然后我们只对方程的解感兴趣。（B1）-（B4）这令人满意≤ xi<1（B5）和bi≤ yi<em- 埃姆- 工程安装-1.（B6）不满足条件（B5）和（B6）的解不能通过等式定义的迭代过程得到。（17） -（20），且在下文中不予以考虑。在下文中，始终暗示研究溶液的条件（B5）和（B6）。证明了方程的解。（B1）-（B4）是唯一的，我们使用了一个反证法：假设存在一个不同的解x=~a和y=~b，并证明这个假设导致了一个荒谬的结果。在此之前，我们陈述了方程解的两个有用性质。（B1）-（B4）。财产3。对于等式的解（x，y）。（B1）-（B4），如果存在一个整数j，使得xj>aj或yj>bj，那么对于所有i=1，m、 证据。假设xj>aj代表某个组件j=j+1xjj+1xj+j（1）- yj+1）>j+1ajj+1aj+j（1）- yj+1）≥j+1ajj+1aj+j（1）- bj+1）=bj。

（B7）以类似的方式，人们可以使用公式（B1）来证明所有i>j的论点，使用公式（B3）来证明alli<j的论点。为了得到一个解（~a，~b），使得~a6=a和~b6=b，必须至少存在一个组件j，例如~aj6=ajor ~bj6=bj；根据不等式（B5）-（B6）和性质3，我们也有ai<~ai<1或bi<~bi<（em- ei）/（em- 工程安装-1） 对于i=1，m、 财产4。如果yi>0i=2，3。。。，M- 1，对于等式中的每个溶液（x，y）。（B1）-（B4），ym的值-1唯一确定所有其他组件{xi}m的值-1i=1和{yi}m-2i=1的解决方案。另一方面，嗯-1通常由其他组分{xi}m决定-1i=1和{yi}m-2i=1的解决方案。证据该属性的前一个声明源自这样一个事实：如果yi6=0i=2。。。，M- 1我们知道最后一个成分ym-对于解，我们可以计算解的所有其他分量，它们唯一依赖于ym-1.假设我们确实知道ym的值-1.然后我们可以反转等式（B4）和computexm-1= M-1ym-1/m（1）- 嗯-1） ，然后插入获得的xm-1计算公式（B1）中的值，以计算xm-2，然后插入获得的xm-2根据公式（B3）计算ym-2，等等。后一种说法源自属性3（或等效地，源自等式（B1）-（B4）中所有关系的可逆性）。作为这个性质的结果，证明解（x，y）=（a，b）是唯一的等同于证明对于一个解，唯一可接受的ym值-我是ym-1=bm-1.我们现在将分两步证明这个定理：1。我们转换等式。（B1）-（B4）转化为一组方程，以下称为变换方程。2.我们使用一个反证法，并假设原始方程存在一个解y=~b，例如bN-1> bN-1.