随机流动性下的最优清算

当（Y，Θ）达到{（Y，0）：Y（0）时，在内部等待并在边界出售所有股票≤ y} 。对于这种反映出的差异，存在性和唯一性遵循经典结果，见备注4.2，定理4.3提供了对最优控制的后续构造至关重要的重要特征。最优清算问题的解实际上是由微分方程明确给出的边界上的局部时间过程描述的。这一主要结果如下文第3.1条所述。在接下来的章节中，我们将通过构造变分不等式（3.3）的经典解来找到随机控制问题的值函数。如果（候选）解的关键变分不等式满足，则最优性可以通过典型的鞅参数进行验证，见命题6.1。基于结果的问题作为（非标准）变分法问题。其解由导出边界的（单侧）局部最优性性质导出（参见定理5.6）。这个（3.3）值函数，构建于此，以便最终在第27页得出定理3.1的证明。让假设2.2得到满足。

然后是普通微分方程（θ）=((Φ)- Φ（fΦ）- fΦ）/Φ（ΦΦ）- （Φ）f+（Φ）- ΦΦ）f+（ΦΦ）- （Φ）fy（θ）（3.4）初始条件为（0）=Y的唯一解为：[0，∞)→ R、 这是严格的递减和映射[0，∞) 对（y）双射∞, y] ，福扬迪∞从假设C6开始。边界函数表征问题（2.5）的解*= (+K） [0，τ]]，其中:= Θ0-{Y0-≥y+0-}+~1{Y0-<y+0-,~≥0}带√ ≤Θ0-令人满意的--~=y（Θ0）--~), 其中（Y，K）是[[0，τ]]上唯一的连续适应过程，K不递减，解出它们反映的SDEYt≤y（Θ0）--  - Kt），dYt=-βYtdt+^σdBt- dKt，dKt=1{Yt=y（9200）---Kt）}dKt，从（Y0）开始-- , 0），对于清算时间τ：=inf{t≥ 0:Kt=Θ0-- }.此外，τ具有有限的矩。备注3.2。最优控制*行为如下：1）如果0-≥ y+0-, 立即在时间0卖出所有商品并停止交易；2） 否则，如果（Θ0-, Y0-) 就是这样（9200）-)< Y0-< y+0-, 进行sizeA的初始大宗交易*:= >所以y=Y0-- 在边界上y=y（Θ）。现在处于等待区W，在时间τ清算所有资产之前，尽可能多地出售以保持最低的收益（Y，Θ）（参见图1：等待，例如在时间t∈[25,34]从那时起，影响小于y（Θt）。逆本地时间τ`:=inf{t>:Kt>`}就是资产变现所需的时间（在首次大宗出售后）。对于τ>0（备注3.2中的情况2），其拉普拉斯变换E-ατ`=Φα（Y）Φα（Y（Θ））expZ`y（Θ）- x） +1Φα（y（Θ）- x） ）Φα（y（Θ）- x） ）dx(3.5)α >≤ ` ≤0--利用Φαw.r.t.参数α的解析性，我们很容易得到τ`有元素。此外，拉普拉斯变换（3.5）可以通过高效的数值反演获得清算时间τ的分布，例如：。

[AW95]。tYtΘt图1：最佳清算Θt=50资产（初始大宗交易后）的影响路径（蓝色）、资产位置Θt（红色，减少）和反射边界（Θt）（橙色，增加）的样本路径), δ=0.1，β=1，ρ=0，^σ=1，f（·）=exp（·）。备注3.3。优化器取决于基本价格的波动性。如果相关性ρ不为零，则最优策略和自由边界的形状取决于基本价格过程的波动率σ。这与许多加性影响模型有显著区别，其中最优清算策略不依赖于基本价格过程的鞅部分，参见[LS13，第2.2节]。为了强调对ρ的依赖性，我们在（2.6）中写出Φρ，用fρ表示（3.4）的右侧，用yρ表示根/f-(Φρ)/Φρ. 所以常微分方程的解ρ（yρ）（θ）=Fρyρ（θ）其中yρ（0）=yρ是最佳边界λfyeλyFρ（y）=F（y-因为Φρ（y）=Φ（y-和thusyρ（θ）=y（θ）+σρσ/β。对于将军，调查∞根据假设，C6仍然揭示了边界的类似位移。因此，当影响和基本价格为正ρ>时，等待区域增加。备注3.4。（^σ=0）在[BBF17a，Thm.3.4]中求解，并以最优边界函数为特征。假设2.2暗示了该定理的模型假设[BBF17a，假设3.2]。使用Hermiteky^σ的渐近展开[Leb72，等式（10.6.6）]-yk∞→边界为^σ&0，fory^σ求解常微分方程（3.4）。4重新表述为变分演算问题在本节中，我们将变分不等式（3.3）的自由边界问题重新表述为（非标准，首先）变分演算问题。为了勾勒出他们的想法，假设大交易者必须清算Θ≥0股，并且（Y，Θ）已经在卖出和等待区域之间的自由边界上（在初始跳跃或等待之后）。

莱蒂：[0，Θ]→ Rbe aCfunction，y（Θ）=Yandy<0（我们期望最佳边界是这样的）。为了找到最佳的边界曲线，我们将在定义4.1中的一组反映策略上优化预期收益。Y、 Anon减少A，使Yt≤y（Θ）- At）和dyt=-βYtdt+^σdBt- dAt，Y=Y（Θ），dAt=1{Yt=Y（Θ）-At）}dAt，A=0，在[0，τ]]上表示τ：=inf{t≥:At=Θ}。我们称之为反应策略。备注4.2。强解（Y，a）的存在性和唯一性源于经典结果的（Acaruel扩展），参见[DI93]，将强解对（Y，a）视为具有斜反射方向的（退化）扩散(-,+1） 以平滑的边界。这一过程被认为是一种一维差异，它反映了大量随当地时间变化的现象。在这个意义上，我们称反射为弹性。将a视为一个带有反射的差异，我们可以重写a的预期收益，a是Y的一个确定性函数，见下文（4.8），其最大化者应描述最优策略。对于这一步，我们主要依赖于（4.8）的拉普拉斯被积函数的表示取决于整个过程，需要重新参数化才能得到一个可处理的变分法问题（4.10）-（4.11）。设τΘ为na=Θ时的停止时间。对于proceedsL的持续反映策略A：=L（y（Θ）；A） ，我们通过[DM82，定理57]得到了anyT∈[0, ∞),E[LT]=EhZτΘ∧Tf（Yt）e-δtE（σW）tdAti=EhE（σW）TZτΘ∧Tf（Yt）e-δtdAti。对于固定的T，设Q为dQ/dP=E（σW）吨英尺给出的测量值。ThenE[LT]=EQhZτΘ∧Tf（Yt）e-δtdAti。（4.1）Girsanov定理给出了过程Bt:=Bt-[B，σW]t=Bt-σρ是Q下的布朗运动。因此，我们在QdYt=（σρ^σ）下- βYt）dt+^σ债务- dAt，即。

冲击过程是一个（反映的）Ornstein-Uhlenbeck过程，其位移直接传递到极限→ ∞在（4.1）中，因为测量值发生了变化。然而，请注意，（4.1）的右侧仅取决于量度Q下的反射扩散（Y，A）定律。这就是为什么我们在P下考虑具有以下动力学的反射扩散（X，AX）：对于g（A）：=Y（Θ- a） letdXt=（σρ^σ）- βXt）dt+^σdBt- dAXt，X=g（0），（4.2）dAXt=1{Xt=g（AXt）}dAXt，AX=0，（4.3）τX`:=inf{t>0:AXt>`或AXt=Θ}，（4.4）Xt≤ gAXt[τXΘ]溶液（X，AX），直到τXΘ如下，如备注4.2所示。现在，通过（4.1）我们得到E[LT]=E[RτXΘ∧Tf（Xt）e-δtdAXt]，它给出了→ ∞通过两边的单调收敛∞] = EhZτXΘf（Xt）e-δtdAXti=EhZτXΘfg（AXt）E-δtdAXti=EhZΘfg（`）E-ΔτX`d`i=ZΘfg（`）EE-ΔτX`d`，（4.5）使用（4.3）。为了将后者仅表示为自由边界的泛函，我们需要定理4.3。Θ=θisE的τX′从（4.2）-（4.4）的拉普拉斯变换E-ΔτX`= 经验Zθ-`y（x）- 1.Φδ（y（x））Φδ（y（x））dx对于`<θ。（4.6）证据。我们将通过计算（4.5）中的项来确定拉普拉斯变换，首先用任意测试函数代替，然后使用变异计算的思想。识别q（y，θ）：=E[RTe-连续函数的δt~n（Xt）dAXt]→[0, ∞) x=y时≤y（θ）、Θ=θ和t:=τXθ，这有助于构造mt:=Zte这样的结构-δu k（Xu）dAXu+e-δtqXt，θ- AXt是[0，T]]上带e的鞅-δtq（Xt，θ）- AXt）→0镶嵌→ T.考虑状态空间i:={（y，θ）：y<y（θ）}。检查鞅性质，假设我们有q∈ C2,1（I）∩ C1,1（I），It^o的公式得出（类似于（3.2））thatqy+qθ=φonIandLq（y，θ）=0 inI。此外，对于qin，我们有q（y，θ）=Φ（y）C（θ），其中Φ=Φδ来自（2.6）和一些函数C∈ C.LetH（θ）：=q（y（θ），θ）。条件qy+qθ=φ导致h（θ）=Φ（y（θ））C（θ）y（θ）+ν（y（θ））- Φ（y（θ））C（θ）= A（θ）H（θ）+B（θ），其中（θ）：=y（θ）-Φ（y（θ））/Φ（y（θ））和b（θ）：=ν（y（θ））。

求解H的这个方程得到（因为H（0）=0）H（θ）=Zθy（z）经验ZθZy（x）- 1.Φδ（y（x））Φδ（y（x））dxdz，它产生候选值q（y，θ）=Φ（y）H（θ）/Φ（y（θ））。检查Q很简单∈ C2,1（I）∩ C1,1（I）和qy+qθ=φon一、 给它一个鞅，使用qy（X，θ）的有界性-AX）在[[0，T]]上。通过qny的单调性，henceq（y，θ）≤ H（θ），我们得到-δtq（Xt，θ）- AXt）→0镶嵌→ Tvia主导了收敛，因此在（4.5）中，我们发现θ~n（y（z））E[E]-ΔτXθ-z]- 经验ZθZy（x）- 1.Φδ（y（x））Φδ（y（x））dx| {z}=：（z）dz=0。（4.7）注意Z 7→ E[exp(-ΔτXθ-z） ]是连续的。因此，如果（z） 某个地方>0∈, θz<z>z，zythaty<0），我们可以找到一个连续函数oy> 0内（z，z）和o在（z，z）外y=0，这意味着srθа（y（z））（z） dz>0，矛盾（4.7）。同样地，（z） <0也会导致矛盾。因此 = （0，θ）上的0。备注4.4。让我们注意到，定理4.3通过将Φδ作为微分发生器的增量非负δ-本征函数，推广到在增量边界处反映的一般（规则）微分。事实上，证据不会改变。利用定理4.3和（4.5），我们推导出了关于边界的反应策略的过程的以下表示：E[L]∞] =ZΘfg（`）经验-Z`g（a）+1Φδ（g（a））Φδ（g（a））dad`。（4.8）由于（4.8）中的d`-被积函数依赖于G的整个路径，经典的变分法无法直接使用。因为定义（a）=y（Θ）- a） 我们使用R（`）：=R`（1）-y（x））Φ（y（x））Φ（y（x））dx thatE[L∞] = E-r（Θ）ZΘfy（`）呃（`d`）。（4.9）由于Φ，Φ>0和<0，函数严格增加，因此有一个反比-1.

固定R:=R（Θ）和设置w（R）：=y（R-1（r）），我们确认-1（r）=Zrw（z）+Φ（w（z））Φ（w（z））dz。因此，通过重新参数化（θ）=w（r（θ）），为（4.9）找到一个最大化函数将问题归结为找到一个最大化j（w）：=ZRf的函数ww（r）E-（R）-r）w（r）+Φ（w（r））Φ（w（r））博士∞]) （4.10）根据条件K（w）：=ZRw（r）+Φ（w（r））Φ（w（r））dr=Θ。（4.11）5求解变分法问题在本节中，我们通过在第一个和函数（θ）上使用必要和有效的条件（见等式（5.6）和（5.7））来（局部地）求解最大化（4.10）服从（4.11）的变分法问题，并在引理5.4中显示其局部最优性。定理5.6中的执行问题。这将在后面的第6节中至关重要，以验证在引理6.7中提出的sell区域的预期不平等性。等周问题（4.10）-（4.11）的最大化也最大化了J+mKform:mrgf00考虑扰动sw（r）+h（r）of whith（0）=h（r）=0，函数lj+mK极值的一个必要条件是其第一个变量D（J+mK）消失wgf000=Fw-ddrFw+吉瓦-ddrGwm，（5.1）带g（r，w，w）：=w+Φ（w）/Φ（w）和f（r，w，w）：=f（w）e-（R）-r） G（r，w，w），分别是K和J的内积。由于我们假设从（未知的）边界开始，所以一侧是固定的，w（R）=y（Θ）。但另一端（0）是免费的。因此，由D（J+mK）的部分与扰动sw（r）+h（r）的积分，其中的扰动sw（0）=0施加为D（J+mK）消失的附加条件=Fw+mGwr=0。这种自然边界条件（参见[GF00，第1.6节]）产生了拉格朗日乘数M（R）=-f（y）e-Rfory:=y（0）=w（0）。乘法威瑟Φ（w）后，方程式（5.1）简化为威瑟Φ（w）f（w）Φ（w）- f（w）Φ（w）= f（y）Φ（w）- Φ（w）Φ（w）. （5.2）插入r=0给出了y的一个条件，即f（y）Φ（y）=f（y）Φ（y）。假设C6保证Y的存在性和C2唯一性。

另一方面，将（5.2）的两边与r区分开来，就得到了w0的颂歌=er（fΦ- fΦ）Φ+er（fΦ）- fΦ）Φ- f（y）（b）- ΦΦ)w+er（fΦ）- fΦ）Φ，（5.3），其中f=f（w（r）），f=f（w（r）），Φ=Φ（w（r））等。根据表5.1，上述等式（5.2）中的两边在边界w（r）上均为负值。对应于Ornstein-Uhlenbeck过程发生器的IgenValueδ>0的正的、递增的本征函数Φ=Φδ满足Φ（n）（x）< Φ（n）-1） （x）Φ（n+1）（x）适用于所有x∈ R和n∈ N.尤其是，（Φ）<Φ。此外，对于n∈ Nlimx→-∞Φ（n）（x）/Φ（n）-1） （x）=0和limx→+∞Φ（n）（x）/Φ（n）-1） （x）=+∞.证据SinceHν（x）=2νHν-1（x）对于复数ν（参见[Leb72，等式（10.4.4）]），等式（2.6）表示Φ（n）ΔΦ（n+2）δ-Φ（n+1）δ=Φδ+nβΦδ+nβ- （φδ+nβ）2n^σ2nβnnYk=0（δ+kβ），因此对于每个δ、β、σ、^σ>0和ρ，必须证明（Φ）<ΦΦ∈[-,1] 在（2.6）中。这相当于为每一个ν<0显示（Hν）<HνHν。自从Γ(-ν） >与hν（x）=Γ(-ν)-1R∞E-T-2xtt-ν-1dtf对于ν<0（参见[Leb72，等式（10.5.2）]，函数νx（t）：=e-T-2xtt-ν-1是[0]上绝对连续的有限测量单位u的密度，∞). 对于概率测度P[A]：=u（[0，∞))-1u（A）考虑两个独立的随机变量x，Y~P.通过[Kle08，Thm.6.28]，我们可以交换微分和积分（在上面的积分表示中）来看到Hν（x）Hν（x）- Hν（x）=4~E[x- XY]。对称性给出了E[X- XY]=~E[（X- Y） ]≥0.由于X和Y独立于绝对连续分布，Fubini定理得出P[X=Y]=0，所以E[（X- Y）>0。Φ（n）/Φ（n）的渐近行为-1） 遵循案例x中的[Leb72，等式（10.6.4）]→ -∞ 从[Leb72，eq。

（10.6.7）]→ +∞.现在（5.2）给出了给定的r的表示，w asr=logf（y）Φ（w）+logΦ（w）- Φ（w）Φ（w）f（w）Φ（w）- f（w）Φ（w），（5.4），我们可以用它来简化ODE（5.3）（假设w6=0）tow=-ΦΦ+fΦ- fΦfΦ- fΦ+Φ- ΦΦ(Φ)- ΦΦ，wryθwrθr:rθwe gety（θ）=w（r）r（θ）=w（r）（1）-y（θ）Φ（y（θ））/Φ（y（θ）），它简化了玩具（θ）=Φ（y）Φ（y）+Φ（y）/w（r）=Φ（（Φ）- Φ（fΦ）- fΦ）（Φ）- （Φ）f+（Φ）- ΦΦ）f+（ΦΦ）- （Φ）f=M（y（θ））M（y（θ）），（5.5），其中M:=fΦ- fΦ（Φ）- ΦΦ和M:=fΦ- fΦ（Φ）- ΦΦ. （5.6）通过（5.2）和引理5.1，对于任何θ，我们都有M（y（θ））>0。我们得到M（y（θ））<0。在假设C2下，所有y的M（y）<0∈ R.证明。LetG：=Φ/Φ，H：=Φ/Φ。我们有G，G，H，H>0和G<HbyLemma 5.1。当λ（y）=f（y）/f（y）>0，因此f/f=λ+λ，我们得到（G）ΦM/f=λG+（λ）- λH）G+（G- λG）H.SoM（y）<0当且仅当λ（y）G（y）<q（λ（y）），其中右侧为q（λ）：=（H- λ） λG+（λ- G） GH。函数在λ中为二次函数，在λ中取最小值*:=HG+GH2G，q值（λ）*) =（HG+GH）4G- GH。还要注意，G=（H- G） G.我们发现4g（λG- q（λ））≤ 4G（λG）- q（λ）*)) < 4G（G）- q（λ）*)= 4（G）- （GH+GH）+4GGH=G4G（小时）- G）-H+（H- G） H+ 4（H）- G） 生长激素= -GH+H+2G- 3GH≤ 0，使用λ（y）<G（y），y∈ R、 假设是C2。所以M（y）<0表示所有y∈ R.引理5.3。让我们满足假设C2、C3和C6。存在唯一解θ7→y（θ），θ∈ [0, ∞), 在ODEy=M（y）/M（y）中，y（0）=y，（5.7）和y严格地减小tolimθ→∞y（θ）=y∞（与杨迪一起）∞根据假设C6）。证据SinceM/Mis本地Lipschitz byf∈ C（R），存在唯一的极大解：[0，θmax）→ Rof（5.7）。通过引理5.2，我们得到m（y（θ））>0和m<0，y<θmax<∞limθ→θmaxyθ-∞{（θ，y（θ））：≤ θ<θmax}和[0，∞)×{y∞}是二维θ，y7的轨迹→ （我的）自主动力系统的轨迹不能交叉，安迪∞< yby引理5.1，我们必须有y∞<y（θ）表示所有θ∈ [0，θmax），这与θmax<∞.此外，y-1（y）=Ryy（M/M）（x）dx是每年的固定值∈（y）∞, y] 。

因为θmax=∞, 它跟随着y（θ）→ Y∞asθ→ ∞.通过考虑第一个变量D（J+mK），我们发现了一个候选边界函数，它是一个可能的极值w:[0，R]→ RofJ+mK。计算w处的第二个变量D（J+mK），我们发现w确实是一个局部最大化子。引理5.4。函数^J:=J+mK:C（[0，R]）→ Rde由（4.10）-（4.11）和M定义=-f（y）e-Rhas是严格的局部极大值rW（r）=y（r-1（r）），y（5.7）ε>6≡ H∈ C、 RhhRkhkW1，∞khk∞∨ khk∞< ε它容纳^J（w+h）<^J（w）。证据对于交流扰动H:[0，R]→ rofwwith（0）=h（R）=0我们通过[GF00，第5.25节，（10）和（11）]D（J+mK）[w；h]=ZR得到ph（r）+Qh（r）drp=P（r，w（r），w（r））和Q=Q（r，w（r），w（r））由P给出=Fww+mGww= 0，Q=Fww+mGww-解甲还乡Fww+mGww=E-（R）-r）Φf+2ΦΦf+ΦΦF- F+ΦΦm、 f，Φ和它们的导数在w（r）处被计算，当没有参数被提及时。关于r yields0=ddre的差异（5.1）-（R）-r）Φf+ΦΦF- F+ mddrΦΦ= E-（R）-r）Φf+ΦΦF- F+ E-（R）-r）Φf+2ΦΦf+ΦΦF- Fw+ΦΦm w=e-（R）-r）Φf+ΦΦF- F+ 2Qw=e-（R）-r） Φ（Φ）fΦ- fΦ+ 2Qw。（5.8）根据等式（5.2）和引理5.1，（5.8）中的第一个和沿w（r）为负。乌里尔-1rr-1w<SoQ（r，w（r），w（r））<-[0，R]上的κ<0乘以（5.8）对于某些常数κ=κR，给出了第二个变量在w处为负定义，即对于h 6≡ 0，D（J+mK）[w；h]=ZRQ（r，w（r），w（r））h（r）dr<-κZRh（r）dr<0。（5.9）为了缩短符号，让^F:=F+mG，所以^J:=J+mK=RR^Fdr。除非论点是明确写出来的，否则取^F=^F（r，w（r），w（r））。泰勒定理给出了^J（w+h）-^J（w）=D^J[w；h]+D^J[w；h]+E（h），第一个变量D^J[w；h]=0by（5.1），第二个变量D^J[w；h]=RRQhdr<0 by（5.9），剩余（h）=ZRX |α|=3α^Fr、 w+ξ-rhhα！drr∈[0,1]，其中w=（w（r），w（r））>，h=（h（r），h（r））>和多指数α∈ N、 将^F（r，·）看作r上的函数。