随机流动性下的最优清算

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英文标题：
《Optimal Liquidation under Stochastic Liquidity》
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作者：
Dirk Becherer, Todor Bilarev, Peter Frentrup
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We solve explicitly a two-dimensional singular control problem of finite fuel type for infinite time horizon. The problem stems from the optimal liquidation of an asset position in a financial market with multiplicative and transient price impact. Liquidity is stochastic in that the volume effect process, which determines the inter-temporal resilience of the market in spirit of Predoiu, Shaikhet and Shreve (2011), is taken to be stochastic, being driven by own random noise. The optimal control is obtained as the local time of a diffusion process reflected at a non-constant free boundary. To solve the HJB variational inequality and prove optimality, we need a combination of probabilistic arguments and calculus of variations methods, involving Laplace transforms of inverse local times for diffusions reflected at elastic boundaries.
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中文摘要：
我们显式地解决了无限时间范围内有限燃料类型的二维奇异控制问题。这个问题源于金融市场中资产头寸的最优清算，该资产头寸具有乘性和暂时性的价格影响。流动性是随机的，因为根据Predoiu、Shaikhet和Shreve（2011）的精神，决定市场跨期弹性的量效应过程被认为是随机的，由自身的随机噪声驱动。最优控制是扩散过程在非恒定自由边界上的局部时间。为了求解HJB变分不等式并证明其最优性，我们需要结合概率参数和变分法，包括弹性边界上反射扩散的逆局部时间拉普拉斯变换。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
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关键词：流动性 Quantitative Mathematical Optimization Applications

最优变现欠仓促变现Dirk Becher*, Todor Bilarev+，Peter Frentrup洪堡大学数学研究所于2017年12月3日在zu BerlinNovember 3举办的《有限时间范围内的燃料类型》。这个问题源于金融市场中资产头寸的最优清算，具有乘数性和暂时性的价格影响。流动性是随机的，因为决定[PSS11]市场激励的跨期弹性的量效应过程被认为是随机的，由自身的随机噪声驱动。最优控制是指扩散过程在非恒定自由边界上的局部时间。为了解决HJB变量不等式并证明最优性，我们需要结合概率论和变分法，包括弹性边界上反映的微分的逆局部时间拉普拉斯变换。关键词：随机流动性、瞬时价格影响、最优清算、随机容积效应、奇异控制、有限燃料问题、自由边界、逆当地时间、弹性反射MSC2010主题分类：35R35、49J40、49L20、60H30、60J50、60J55、93E20、91G80JEL分类：C02、C61、D99、G12、，G331简介在非流动市场模型中，一个典型的随机最优控制问题是一个大商人（控制器），她优化自己的交易策略，比如平衡一些交易目标和不利的价格影响，这会导致（非比例）*所有作者感谢Wolfgang Runggaldier（联合编辑）和匿名两位审稿人和副编辑提供的非常有用的评论。+T.Bilarev感谢德国科学基金会DFG通过柏林数学学校BMS和研究培训小组RTG1845 StoA提供的支持电子邮件地址：Becher，bilarev，frentrup@math.hu-柏林。dearXiv:1603.06498v4[math.PR]2017年11月2日流动性不足成本。

在大多数关于价格影响模型的文献中，跨期影响通常是（单个）大型交易者策略的确定函数。实际上，我们更希望市场流动性的某些方面（Kyl85具有出色的弹性、深度和紧密性）随着时间的推移随机变化，而成熟的交易者会相应地调整其最佳策略。即使对于被广泛研究的最优清算问题，在连续时间模型中，最优清算策略适应流动性随机变化的容器也相对较少，参见[Alm12、LS13、FSU17、GHS16、GH16]。我们考虑一个模型，其中暂时的市场失衡涉及自身的随机性。价格影响是短暂的，也就是说，它可能是持续的，但最终会随着时间的推移而消失。此外，它是非线性的，对应于limitorder book密度的一般形状（见备注2.3），并且是乘法的，以确保风险资产价格为正。更准确地说，我们的价格过程是≥0=（f（Yt）St）t≥0在市场中观察到的价格偏离基本价格的因子F（Yt），在大交易者缺席的情况下，基本价格将占主导地位。影响函数为正且不断增加，因此乘数结构确保价格保持正，与加法模型相比，加法模型的一个概念缺陷是负资产价格可能以（小）正概率出现。我们的随机影响过程是受控的OrnsteinUhlenbeck（OU）类型，即它由布朗运动和大交易者在风险资产中的支撑所驱动（见下面的等式（2.3））。YMODEL的平均回复是影响的暂时性。与[AFS10，PSS11]类似，与限额订单簿（LOB）形状相关的影响函数F可以理解为描述LOB中（时间）不平衡的量效应过程，见备注2.3。

额外的噪音会产生随机LOB，或者可以被视为其他非战略性大型交易商的累积影响，见备注2.4。对于具有瞬时影响的乘法模型，我们将基本价格视为指数布朗运动，并允许与库存量效应过程的非零相关性。在这个设置中，我们将有限时间范围内的最优清算问题作为一个有限燃料类型的奇异随机控制问题进行研究，并构造其显式解。我们的主要结果，即定理3.1，给出了最优策略，即在无曲线边界inR处倾斜反射的扩散的局部时间过程，状态空间是影响水平和对therisky资产的持有量。我们的最优策略的随机性源于它对价格动态的瞬态成分的适应性，并且是局部时间型的。与风险中性交易者不相关的是，此处的“Sis”波动性相关，参见备注3.3。我们通过从更常见的方法（见备注6.4）显式构造值函数来解决奇异控制问题，因为我们无法更直接地验证最优性，这是由于（见备注6.8）所引起的技术复杂性。相比之下，我们首先将优化策略集限制为设置可能的边界。为了能够应用变分法中的方法，弹性边界上反射的（4.6）次差异，即随着反射过程在边界上花费的局部时间而变化的边界，并采用坐标变化。通过求解变分法问题，我们构造了candidateTheorem 5.6。后者对于我们验证最优性至关重要。论文的结构如下。

第3节陈述了第2节中提出的奇异随机控制问题的解决方案，并概述了接下来的一般讨论过程。在第4节中，提出了一个变分法问题，因此在第5节中构造了byboundary。通过求解HJB变分不等式（3.3），我们证明了最优性，并推导了6.2中的值函数和最优控制问题。我们考虑了一个过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）与两个相关布朗运动W和B相关系数ρ∈ [-[W，B]t=ρt，t≥ 0.0表示Wandb的二次共变。过滤（Ft）t≥假设0满足完备性和右连续性的一般条件，所以我们可以取半鞅的c`adl`ag版本。关于随机分析的概念，我们参考[JS03]。其（折扣）价格不变为1。大投资者持有Θt≥在timet拥有0股therisky资产。她可能会清算她最初的9200头寸-按Θt:=Θ0交易的股份-- 目前，Aof资产出售至时间t。我们定义了一套可接受的策略asA（9200）-):= {A:A非递减，c`adl`ag，可预测，0=：A0-≤ 在≤ Θ0-}.未受影响的基本价格S=（\'St）t≥风险资产的0%根据tod“St=u”Stdt+σ”StdWt演变∈ (0, ∞), σ>0，u∈ R、 （2.1）作为一个几何布朗运动，在没有大投资者的干扰下。然而，通过交易，大投资者通过某种影响过程对风险资产的实际价格St:=f（Yt）St，（2.2）产生市场影响，通过增加正平滑函数f>0，f（0）=1。

该过程可被解释为一个交易量影响过程，代表限额订单（LOB）中大额交易的瞬时交易量位移，其形状对应于价格影响函数F，见备注2.3。对于^σ>0，扰动^σdBt的影响- 进程上的数据DYT=-βYtdt+^σdBt- dAt，Y0-= y、 （2.3）Yrateβ>0。（2.3）强解的存在性和唯一性由[PTW07，Thm.4.1]等保证。有时我们会写，强调它们是σB-AOU流程的财务解释是，在大交易者没有活动的情况下，影响会减少，因为它会回到中性状态零，从而“减少影响”（以绝对值计算）。γ ≥γtALt（y；A）：=Zte-γuf（Yu）~SudAcu+X0≤U≤TAu6=0e-γuèSuZAuf（Yu）-- x） dx，（2.4）福特≥0，其中t=Act+Pu≤TAu是将A分解为其yyy的（路径）分解，A（2.3）（2.4）[BBF17b，第5.3节]以获取详细信息。尤其是伊凡→ A位于斯科罗霍德马纳，则上述定义确保L（y；An）→ L（y；A）以最小概率表示。陆上通信线∞:极限→∞L目标是在有限的时间范围内最大化预期（贴现）收益，maxA∈A（Θ0）-)E[L∞（y；A）]带v（y，θ）：=supA∈A（θ）E[L∞（y；A）]，（2.5），其中v（y，θ）表示y的值函数∈ R和θ∈ [0, ∞).备注2.1。该值函数随y和θ的增大而增大。实际上，θ中的单调性来自a（θ） A（θ）表示θ≤ θ. 对于单调性iny，请注意fory≤ 扬丹战略∈ A（θ）1 hasYy，At≤ Yy，Atfor allt，暗示（y；A）≤ Lt（y；A）。对于本文的其余部分，函数f和标量β，u，γ，σ，ρ，^σ满足假设2.2。C1。我们有δ：=γ- u>0，这意味着漂移系数-δs表示γ折扣基础价格e-γt’STI为阴性。C2。冲击函数f∈ C（R）满足f，f>0和（f/f）<（Φ/Φ），其中Φ（x）：=Φδ（x）：=H-δ/β(σρ^σ - βx）/pβ^σ, （2.6）具有Hermite函数hν（参见[Leb72，第10.2节]）和σ、^σ、β>0和ρ∈[-,1].C3。

冲击函数f进一步满足（f/f）<（Φ/Φ）。补体第四成份。函数λ（y）：=f（y）/f（y），y∈ R、 是有界的，即存在λmax∈(0, ∞)使得0<λ（y）≤ λmaxy∈ R.C5。函数k（y）：=σf（y）f（y）- (β + δ) + (σρ^σ - βy）f（y）f（y）是严格递减的。C6。安迪来了∞∈ 例如（f/f）（y）=（Φ/Φ）（y）和（f/f）（y）∞) = （Φ/Φ）（y）∞)持有。假设2.2通过例如f（y）=exp（λy）和λ满足∈(0, ∞), 参见下面的引理5.1。有关乘法LOB的形状，请参见[BBF17a，第2.1节]。注意Φ是（直到一个常数因子）唯一的正且递增的theODE^σΦ（y）+（σρσ）解- βy）Φ（y）- ΔΦ（y）=0。假设C1中的总体负漂移确保了有限时间范围内的优化问题具有有限值。假设C2和C3意味着（边界）点Y的唯一性∞引理5.3中所需的假设C6。而C3是y的唯一性∞, 这并不重要，需要在（6.14）中进行验证。假设C4中λ的界被用来表示引理6.5中的值函数的一些增长条件，这是应用鞅最优性原理（命题6.1）所必需的。验证引理6.7需要假设C5。现在让我们来评论一下该模型及其财务解释。备注2.3。我们解释了如何从（静态）乘法限额订单簿（LOB）的角度来解释价格影响函数F，并将其视为[PSS11]精神中的avolume effect过程，在我们的上下文中，它将相对价格影响与暂时的交易量不平衡联系起来。为此，让我们回顾一下价格影响函数和LOB（一般）密度之间的联系，更多细节和示例请参见[BBF17a，第2.1节]。对于相对价格扰动Srt:=St/\'St，letq（r）dr表示在pricer\'St可获得的产品密度。我们将由qt产生的（签名）测量称为乘法极限订单簿。

其累积分布函数为q（r）：=Rrq（x）dx。在某些（区间）内以价格出售的资产总量{r}St:r∈ R} R, ∞RRqxxAt>0 At time从RT处移动价格-“stcort”使音量发生变化--吃了-γt’StRrt-RTXQKYL85QRT- Qrt-按rt/rt系数变化-. 变量的变化，y:=Q（rt）和f:=Q-1产生（2.4）中的跳跃项。从这个意义上讲，YDE注意到过去和现在的交易对LOB交易量的影响。通过（2.3）中的漂移，[Kyl85]称之为弹性的这种效应属性。注意，在我们的模型中，弹性是随机的（2.3），β是恒定的（不同的是，例如到[GH16]）。备注2.4。随机性可以解释暂时性影响的变化，这些变化不能完全由单个代理自身的交易活动来解释，因此不能用确定性功能建模来单独描述。（a） 大多数关于暂时性影响的文献都认为影响是单个大型交易者行为的决定函数。这里我们考虑[Fre98]中提到的一个应用问题。额外的随机噪声项^σdBtin（2.3）可以理解为对其他大型“噪声”交易者（非战略性行动）影响的总体影响。关于多个交易者之间的战略行为（如[SZ17]）的问题很有趣，但超出了本文的范围。（b） 请注意，（边际）价格过程的波动性和漂移S=f（Yt）Stfrom（2.2），在这一点上（额外的具体的）少量的。此外，我们还强调了相对价格影响函数的形式7.→ f（Yt）-+ )/f（Yt）-) 一般情况下可能会有所不同。从备注2.3的意义上讲，这是从大交易者的角度来看的。价格波动，如调节价格动态漂移的奥恩斯坦-乌伦贝克过程。人们可以将这种信号的随机性解释如下。

当λ=f/fb为常数时，对数价格可以写为logs=（logs+λYsig）+λYtrans，Θ，其中Ysig是一个具有失调的均值回复信号=-βysigdt+^σdBtandYtrans，ΘisYtrans，Θt-βYtrans，Θtttp从长远来看，最佳清算策略将适应信号，并取决于信号和对数之间的相关性，见定理3.1和备注3.3。备注2.5。注意到买卖价差没有明确建模，价格影响F（即LOB形状）是静态的，我们认为该模型处于介观频率。在这个水平上，正如[AKS16，Rmk.2.2]所指出的，将价格影响和流动性成本视为各种类型订单的总和是明智的。我们处理单调策略，因此LOB只有一个（bid）方面是相关的。考虑到有限时间范围可以被视为更长时间范围的近似值，具有更高的分析可处理性。关于与瞬时影响的可加性模型进行比较的问题，从理论角度来看，资产价格的正性是可取的，与更长时间范围的应用相关（例如，对于大型机构交易，参见[CL95]，或对于较长期限的套期保值问题），而且似乎比具有（2.1）等乘性价格演化的常见模型更适合。参见[BBF17a，示例5.4]了解更详细的讨论和更多参考资料。3最优策略及其推导方法本节阐述了描述奇异随机控制问题解的主要定理，并概述了随后几节中证明该问题的一般论证过程。为了解释这些想法，首先让我们来说明变分不等式（3.3）是如何通过应用鞅最优性原理来很容易地提出的，它是优化问题的动态规划方程。

为此，考虑一个可接受的策略A，即过程gt（y；A）：=Lt（y；A）+e-γtΘStV（Yt，Θt），（3.1），其中g0-（y；A）=SV（Y0-,Θ0-) 安德夫∈ C2,1（R×[0，∞); [0, ∞)) 是某种功能。假设可以选择V，使得G是一个超鞅。那么一个人应该有“SV（y，9200）”-) = E[G0-（y；A）]≥ 极限→∞E[LT（y；A）]+limT→∞E-γTE[\'STV（YT，ΘT）]=E[L∞（y；A）]假设右侧的第二个和收敛到0。因此，对于每一个可接受的策略，它都是一个超级艺术家*v（2.5）的值函数（系数的模化）。为了描述v，可以将其^o’s公式应用于getdGt=e-γt\'St^σVy（Yt）-, Θt-) dBt+σV（Yt）-, Θt-) dWt+(u - γ） V+（σρ^σ）- βYt-)Vy+σVyy（Yt）-, Θt-) dt+F- Vy- Vθ（Yt）-, Θt-) dAct+Z在F- Vy- Vθ（Yt）-- x、 Θt-- x） dx.（3.2）定义，δ=γ- u，C2,0函数上的微分算子ФbyL~n（y，θ）：=^σ^yy（y，θ）+（σρ^σ- βy）νy（y，θ）- Δψ（y，θ）。通过方程（3.2），求解Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）变分不等式0=max{f- Vy- Vθ，LV}，V（y，0）=0，y∈ R、 （3.3）将成为局部（超）鞅。这表明存在着一种抛售行为- Vy- Vθ表示交易（即卖出），以及等待区域w（不行动区域），其中dt integrandLV为零，且最佳不交易。假设这两个区域={（y，θ）∈ R×（0，∞):y（θ）<y}和w={（y，θ）∈ R×（0，∞):y<y（θ）}被自由边界{（y，θ）：y=y（θ）}隔开。一个最优策略，即一个带有鞅的策略，描述如下：if（Y0-,Θ0-)∈ S、 然后进行批量销售假设（Y，Θ）=（Y0--A、 9200--（A）∈ S.>Y、 是的，这个过程（Y，Θ）应该用反映在边界上的扩散过程来描述W∩ 罪恶方向(-, -1） ，即。