随机流动性下的最优清算

因为^F是wwe getE（h）=ZR中的一个函数^Fwww（r，w+ξrh）h+^fww（r，w+ξrh）hhdr=：zrahdr注意，通过[0，R]的紧性，我们有一致收敛supr∈[0，R]supξ∈[0,1]A.h（r），h（r），w（r），w（r），ξ，r→ 0作为KKW1，∞→ 0.现在选择ε>0，使其足够小A.h（r），h（r），w（r），w（r），ξ，r< κ/2对于所有受体∈ [0，R]，ξ∈ [0,1]和h与khkW1，∞< ε. 因此，对于h 6≡ 0^J（w+h）-^J（w）=ZR（Q+A）hdr<-κZRhdr<0。请注意，定义w（r）：=y（r-1（r））不依赖于区间边界。因此引理5.4中的优化器over[0，R]对于allR>0是最优的。我们可以显式地计算优化器的值J（w）。引理5.5。对于引理5.4中的最优w，我们有j（w）=（ΦM）（y（Θ））=（ΦM）（w（R））。证据通过直接计算，我们得到fm/（ΦM）=（fΦ）-fΦ）/（fΦ-fΦ）。此外，（5.2）giveser=f（y）/（ΦM）（w（r））。用r=r（`）和（5.7），我们从（4.9）得到j（w）=e-r（Θ）ZΘf（y（`））er（`）d`=（ΦM）（y（Θ））ZΘfΦM（y（`）d`=（ΦM）（y（Θ））Zy（Θ）yfMΦM（x） dx=（ΦM）（y（Θ））fΦ- fΦfΦ- fΦy（Θ）y=（ΦM）（y（Θ））。现在我们可以将迄今为止获得的结果转换回碰撞状态空间和资产位置。以下定理对于我们在第6节的验证论证中的分析至关重要。定理5.6。函数：[0，∞)→ 由等式（5.7）确定的Rde为（单侧）EL∞（是fly，）θ>ε>0，因此对于任何减小的y∈ C（[0，∞)) withy（·）≤ ~y（·）≤ y、 y=~yon[θ，∞) 和0<ky- ■ykW1，∞< ε、 就这样L∞是fl（y，θ）> EL∞是fl（~y，θ）.证据为了清楚起见，我们写ej=JRandK=kr来强调函数sj，KonR的依赖性。调用y的参数化，并将y.Fixθ>0的参数化，然后选择，使y（θ）=w（r），y（θ）=w（r）和w（r）=y（θ）=y（r）。SoR:=ry（θ），^R:=R＠y（θ）=RθΦ（＠y（x））dx+R＠y（0）~y（θ）Φ（u）段d^θ：=R-1y（^R）。

再见≡ ~y，y（·）≤ 在（0，θ）外相等且Φ/Φ单调的情况下，y（·），我们有^R>R，因此^θ>θ。K^Rw^θK^RwθJrwMwrSo如果kw- ~wkW1，∞足够小，通过引理5.4我们得到JR（w）=ΦMw（R）-ΦMw（^R）+ J^R（w）=ΦMw（R）-ΦMw（^R）+E-^Rf（y）^θ+J^R-E-^Rf（y）K^R（w） >ΦMw（R）-ΦMw（^R）+E-^Rf（y）^θ+J^R-E-^Rf（y）K^R（~w）=ΦMy（^θ）- η)-ΦMy（^θ）+ E-^Rf（y）η+J^R（~w）=：ψ（η）+J^R（~w）。式中η：=^θ- θ > 0. 到（5.4）我们得到e-^Rf（y）=（ΦM）（y（^θ））。其中（5.5）跟在ψ（η）之后-（ΦM）MMy（^θ）- η)+ΦMy（^θ）= -ΦMMM+ΦMy（^θ）- η)+ΦMy（^θ）.因此ψ（0）=-（ΦMM/M）（y（^θ））。SinceM>0开(-∞, y） ，在（y）上M>0∞, y] 通过引理5.2和Φ>0，M<0，它遵循ψ（0）>0。所以ψ（η）>0表示η>0足够小。因此我们得到了（4.10）EL∞是fl（y，θ）= JR（w）>J^R（~w）=EL∞是fl（~y，θ）.η和kw的界- ~wkW1，∞满足足够小的ε>0，因为（y，`）7→y（`）和（y，`）7→R-1y（`）在w1中是连续的，∞×R，sokw- ~wkW1，∞→0，^R→ R和^θ→ θasε→ 0.6构造值函数并验证在本节中，我们构造了一个候选值函数，并根据前面章节的结果验证引理6.6和6.7中的变量不等式（3.3）。这将足以证明我们的主要结果定理3.1。通过ODE（5.7）定义了一个候选边界来分离销售和等待区域，我们现在将构造一个变分不等式（3.3）的解，该解将给出最优清算问题的值函数。作为引理5.5的直接结果，我们得到了它沿边界vbdry（θ）：=V的值y（θ），θ= Φy（θ）My（θ）. （6.1）WVVW^σVyyσρσ- βyVyδVVWinyasΦ。因为V也应该是单调递增的，所以对于某些递增函数C:[0，∞)→[0, ∞).

利用边界条件VW（y（θ），θ）=Vbdry（θ），根据方程（6.1），我们得到VW（y，θ）：=Φ（y）C（θ）（6.2）fory≤y（θ）和θ≥0，式中c（θ）：=M（y（θ））。另一方面，在销售区域，我们要求V=VS满足f=VSy+VSθ。我们把S分成两部分：S:={（y，θ）∈ R×（0，∞):y（θ）<y<y+θ}，S:={（y，θ）∈ R×（0，∞):y+θ<y}。允许:= （y，θ）≥0表示k·k∞-点的距离（y，θ）∈ 越过边界这是方向(-1.-1). 这意味着在S中（但不是在S中）thay（θ- ) = Y-  . （6.3）在S中，我们需要有vs（y，θ）：=VW（y）- , θ - ) +败走恶犬-f（x）dx，（6.4）因为S中的VSy+VSθ=f和VS（y（θ），θ）=VW（y（θ），θ）。类似地，在S中，VS（y，θ）：=Zyy-θf（x）dx。（6.5）最后，候选值函数定义为：V=VWon W，V=VSon S，V=VSon S。（6.6）本节的其余部分致力于验证HJB变分不等式（3.3）的经典解，并通过应用鞅最优性原理来总结定理3.1的证明。我们首先根据第3.6.1节“鞅最优性原则”将启发式验证形式化，即v是最优清算问题的值函数（参见（2.5））。命题6.1（鞅最优性原理）。考虑aC2,1函数v:R×[0，∞)→[0, ∞)具有以下特性：1。每100-≥ 存在常数C，Cso，v（y，θ）≤ Cexp（Cy）∨ 1表示所有（y，θ）∈ R×[0，Θ0-];2-≥A.∈ A0-G（3.1）大风，其中y=Yy，Ais在（2.3）中定义，以及额外的yg（y；A）≤ G0-（y；A）。然后我们有‘S·V（y，θ）≥ v（y，θ）。此外，如果存在*∈ A（Θ0）-) 这样的*) 是鞅和g（y；a）*) =G0-（y；A）*) 保持不变，那么我们就有了SV（y，θ）=v（y，θ）和v（y，θ）=E[L∞（y；A）*)]为了9200-=θ ≥在这种情况下，任何（y；A）不是鞅的策略都是次优的。证据

根据我们对每一个T≥ 0’SV（Y0-, Θ0-) ≥ E[G（y；A）]≥ E[LT（y；A）+E-γT’STV（YT，ΘT）=E[LT（y；A）]+E-γTE[\'STV（YT，ΘT）]=E[LT（y；A）]+E-δT′SE[E（σW）TV（YT，ΘT）]。（6.7）通过单调收敛，（6.7）中的第一个和趋于∞（y；A）堡垒→ ∞.为了确保第二个和收敛到0，考虑Ornstein-Uhlenbeck过程dXt=-βXtdt+^σdBt，X=y。应用It^o公式得出βt（Yt- Xt）=Z[0，t]eβudΘuT≥ 0.（6.8）由于Θ是非递增的，我们得出结论≤ Xtfor allt≥0.Letp，q>1是共轭的，即1=1/q+1/p。使用H¨older不等式和V，e上的界E（σW）TV（YT，ΘT）≤ EE（σW）pT1/pEV（YT，ΘT）q1/q=E经验pσWT-pσT1/pE[V（YT，ΘT）q]1/q=E[E（pσW）T]1/pexpPpσT-pσTEV（YT，ΘT）q1/q=expP- 1σTE[V（YT，ΘT）q]1/q≤ 经验P- 1σTE[Cqexp（qCYT）∨ 1] 1/q≤ 经验P- 1σTE[Cqexp（qCXT）∨ 1] 1/q.XEXTye-βTVar（XT）=σ2β（1- E-2βT），我们得到K:=E[Cqexp（qCXT）∨ 1] 撒克≤ 1+CqexpqCE[XT]+qCVar（XT）≤ 1+CqexpqCy+^σ4βqC.这个绑定的onKis是独立的。现在选择P>1这样的P-1σ<δ(-δT）exp（p-1σT）是指数递减的inT，因此（6.7）中的二次和收敛到0→ ∞. 这意味着SV（y，θ）≥ E[L∞（y；A）]代表阿拉∈ A（θ），并得出索赔的第一部分。第二部分同样指出，ifA*∈ A（θ）等于g（y；A）*) 是鞅，且g（y；a）=G0-（y；A），那么我们在估计（6.7）T中有等式而不是不等式→ ∞\'SVy，θEL∞对*\'SV（y，θ）≥ v（y，θ）通过索赔的第一部分，我们推导出A的最优性*.为了稍后证明（3.2）中的随机积分为什么是真鞅，我们需要以下技术步骤6.2。让9200-≥0被赋予andF∈ C2,1（R×[0，∞);R） 因此存在康斯坦茨，C≥0与| F（y，θ）|≤ Cexp（Cy）∨1表示所有（y，θ）∈ R×[0，Θ0-].A.∈ A0-YA:Yby（2.3）代表y∈ R

然后，随机积分过程z·’SuF（Yu，Θu）dBuandZ·’SuF（Yu，Θu）是真鞅。证据它需要检查[Rt拞Suexp（2CYu）du]<∞为了每个人≥按指数增长0。以DXT给出的Ornstein-Uhlenbeck过程为例=-βXtdt+^σdBt，x=y。在命题6.1的证明中（见（6.8）），我们有Yt≤ XTT≥ 0.特别是，EhZtèSuexp（2CYu）dui≤ EhZt“Suexp（2CXu）dui=中兴通讯[“Suexp（2CXu）]du≤ZtqE[Su]E[exp（4CXu）]du<∞,利用柯西-施瓦兹不等式和X是高斯过程的事实。6.2定理3.1V（3.3）的验证和证明∈ R.v（y，0）=0是清楚的，因为em（y）=0。剩下的将被分成几个引理。引理6.3（平滑粘贴）。Let（yb，θb）∈ W∩ 然后Φ（yb）C（θb）+Φ（yb）C（θb）=f（yb），（6.9）Φ（yb）C（θb）+Φ（yb）C（θb）=f（yb）。（6.10）证据。这很容易从c（θb）=M（yb）和c（θb）=M（yb）中得出，参见定义fcand（5.7），以及mandm的定义，参见（5.6）。注意，当（yb，θb）=（y，0）时，我们取0的右导数，等式仍然成立。备注6.4。（6.9）（6.10）导出卖出和等待区域之间的边界。事实上，解（6.9）-（6.10）关于toC（θb）和c（θb），很容易看出c（θb）=M（yb）和c（θb）=M（yb）。另一方面，根据链式规则，我们得到θ（yb）C（θb）=M（yb）θ·y-1·范围θ（yb）=MM（yb），这给出了（5.7）中边界的常微分方程。要获取初始条件，请注意边界条件v（·，0）≡0给定sc（0）=0，即M（y）=0，与引理5.3完全相同。因此，假设边界上的函数具有足够的光滑性，就可以导出候选边界函数y（·）。这与奇异随机控制文献中的经典方法相似，参见。

[KS86，第6节]。我们选择通过变量演算进行看似更长的推导的原因，对于验证sell区域中候选值函数的不等式至关重要，见引理6.7。即使在λ（·）为常数的特殊情况下，我们所知的厄米函数的商的性质也可能是独立的，参见备注6.8。平滑粘贴特性转化为V的平滑度。此外，指数Vylemma为6.5。函数visc2,1（R×[0，∞)). 此外，每-存在依赖于Θ0的康斯坦茨C，C-, 使得hv（y，θ）和vy（y，θ）都是非负的，并且从上面以Cexp（Cy）为界∨ 1表示所有（y，θ）∈ R×[0，Θ0-].证据在W中，函数2，1通过构造和C（θ）=M（y（θ））是连续可微分的，因为y（·）和M（·）是可微分的。对于（y，θ）∈ S、 集合（yb，θb）：=（y-（y，θ），θ-（y，θ）和:= （y，θ）（回忆（6.3））。对于第一个等式，我们用（6.4）表示；对于第二个等式，我们用（6.9）表示vsy=Φ（yb）C（θb）（1）- y） +Φ（yb）C（θb）(-y） +f（y）- f（yb）（1）- y） =Φ（y）- )C（θ）- ) + f（y）- f（y）- ). （6.11）Sincef，,C和Φ是连续可分的，Vy也是如此。因此，通过（6.10），VSyy=Φ（yb）C（θb）（1- y） +Φ（yb）C（θb）(-y） +f（y）- f（yb）（1）- y） =VWyy（yb，θb）+f（y）- f（yb），（6.12）是连续的。另一方面，通过（6.4）和（6.10）我们得到vsθ（y，θ）=Φ（yb）C（θb）(-θ） +Φ（yb）C（θb）（1）- θ) - f（yb）(-θ） =Φ（yb）C（θb），（6.13），这是连续的。对于（y，θ）∈ W∩ 在边界上，左导数w.r.t.yislimx&0xV（y，θ）- V（y）- x、 θ）= Φ（y）C（θ），而右导数再次由（6.11）给出，等于左导数在这种情况下，（y，θ）=0。因此，Vis在导数为y（y，θ）=Φ（y）C（θ）的边界上连续可微w.r.t。

类似地，v在边界上的左导数是Φ（y）C（θ），等于（6.12）的右导数，y=yb。大众汽车的左导数。r、 边界上的tθ等于右导数（由（6.13）给出）。因此，V是C2，1在W内∪ 对于（y，θ）∈ S、 我们有vsy=f（y）- f（y）- θ） ，VSyy=f（y）- f（y）- θ） andVSθfy- θ（6.5）SS，vw的左导数。r、 t.yi由（6.11）给出，而右导数为f（y）- f（y）。自θ- = 在这种情况下，C（0）=0，它们相等，且为Hencevyvyvw。r、 t.θ由（6.13）给出，其中（yb，θb）=（y，0）。右导数w.r.t.θ是f（y- θ） =f（y）。它们等于（6.10）和C（0）=0。因此，Vis2,1∪ 它仍然需要检查{（y，0）：y上的平滑度∈ R} 。这里的导数是0。Vis在这种情况下连续可微分的w.r.t.θ，因为（·）、C和在θ=0时，连续可微分的w.r.t.θ（在这种情况下，我们考虑正确的导数）。为了总结证据，Vandvyc的界限可以如下论证。在等待区域，包含在(-∞, y] ×[0，∞), 我们有v（y，θ）=C（θ）Φ（y）和vy（y，θ）=C（θ）Φ（y）。由于Φ，Φ严格地增加iny（参见（2.6）和[Leb72，第10章]了解Hermite函数的性质），Vandvy将被一个常数所限制。现在，在我们的销售区域- Vy- Vθ=0。然而，Vθ>0，因为inS（6.13）保持and c（θb）=M（y（θb））>0，而inS保持Vθ（y，θ）=f（y）- θ)>0. 同样，在销售区域，Vy>0。因此，<Vy（y，θ）<f（y）≤ exp（λ）∞y）∨1根据假设C4。因此，积分inygivesV（y，θ）≤ V（0，θ）+exp（λ）∞y） /λ∞弗利≥0，表示v（y，θ）≤ Cexp（Cy）∨对于适当的常数C，C。接下来我们证明V解变分不等式（3.3）。引理6.6。

函数VW:W→ [0, ∞) 从（6.2）满足度Lvw（y，θ）=0和f（y）<VWy（y，θ）+VWθ（y，θ）表示y<y（θ）。证据通过（5.5），我们得到vwθ=Φ（y）M（y（θ））y（θ）=Φ（y）M（y（θ））和vwy=Φ（y）M（y（θ））。回想一下aty=y（θ），我们通过（6.9）等式vwy+VWθ=f（y（θ））。现在考虑y<y（θ）。通过引理5.2，我们得到了M（y）>M（y（θ））的结果fΦ（y） >ΦΦ（y） My（θ）=ddyMy（θ）Φ（y）Φ（y）+My（θ）.因此，y 7→ （f）- VWy（y，θ）+VWθ（y，θ））/Φ（y）在y内增加。因为aty=y（θ）等于0，我们得到了所声称的不等式。这就是定理5.6发挥关键作用的地方。回想假设2.2并注意到∞引理5.3在条件C3下是唯一的。引理6.7。沙上的函数VS和VS分别满足VS和VS≤ 0，LVS<0。此外，除了waitregion和sell region（W∩ S） 在那里我们有平等。证据首先考虑地区。从引理6.5（见（6.11）-（6.12））中回想一下，在这种情况下vsy（y，θ）=VWy（y- , θ - ) + f（y）- f（y）- ),VSyy（y，θ）=VWyy（yb，θb）+f（y）- f（yb），其中y=yb+（y，θ）和θ=θb+（y，θ）。Fix（yb，θb）∈ W∩ 考虑扰动 7.→ （y，θ）=（yb+, θb+). 赛斯():= LVS（yb+, θb+)=σVWyy（yb，θb）-σf（yb）+σρσVWy（yb，θb）- σρ^σf（yb）- δVW（yb，θb）+σf（y）- βyVWy（yb，θb）+βyf（yb）+（σρ^σ- βy）f（y）- δZyybf（x）dx。注意引理6.6给出的h（0）=0，并展示()<0代表>0，这需要证明() < 全部为0 > 0.我们都有 ≥ y=yb+时为0 那() = βf（yb）- VWy（yb，θb）+ f（y）^σf（y）f（y）- (β + δ) + (σρ^σ - βy）f（y）f（y）|{z}=k（y）,在哪里 = 我们考虑正确的导数。现在我们证明k（y）<0≥ Y∞. 为此，回想一下Φ是ODEΔΦ（x）=^σΦ（x）+（σρ^σ）的解-βx）Φ（x）。不同的水资源税。

x除以Φ（x）yields0=^σΦ（x）Φ（x）+^σΦ（x）Φ（x）- (β + δ) + (σρ^σ - βx）Φ（x）Φ（x）所以在y的左端∞关于我们的边界，我们有∞) =^σff（y）∞) +^σΦ（y）∞)Φ（y）∞)- (β + δ) + (σρ^σ - βy∞)Φ（y）∞)Φ（y）∞)=^σff（y）∞) -^σΦΦ（y）∞) < 假设C3为0（6.14）。假设C5，我们得到每y的k（y）<0≥ Y∞.特别是k（yb+)<全部为0≥0.由于阳性且呈上升趋势，产品7.→（fk）（yb+) 正在减少。因此，提供H（0+）≤0足以显示不平等性。强调h对点yb、θ乘θb、θbhhθbhθθ和 在[0]上，∞) × [0, ∞).假设某个边界点（yb，θb）的θb（0+）>0，θb>0。通过关于θ和 存在一些ε>0，使得lvs>0 onU:=S∩ Bε（yb，θB）。这将导致一个矛盾的事实，即候选边界是随机优化问题的（单侧）严格局部最大化子，其策略由局部反射时间描述，见定理5.6θbεy·∈ 满足定理5.6 andy（θ）<~y（θ）条件的≤ 阴（~y（θ），θ）∈ 而且，这样的话，Yandy就在我们的外面。对于相应的反应策略，A:=Are fl（y，Θ）和A:=Are fl（y，Θ）表示为Θt:=Θ-~AtandΘt:=Θ-在他们的资产定位过程中。λAandAareτ：=inf{t的清算时间≥:~At=Θ}和τ：=inf{t≥:分别是At=Θ}。根据定理4.3（另请参见（3.5）之后的讨论），我们得到：=)τ∨ τ < ∞a、 s.固定初始冲击力A0-=耶-=y（Θ）。为了比较策略A和ΘA，考虑过程G（y）；A） andG（y（Θ）；从（3.1）中选择A）作为我们的候选值函数（由引理6.5确定为2,1）。因为v（·，0）=0，我们有lt（~A）=GT（~A）和lt（A）=GT（A）。

然而，由于（Y)A，ΘA）在{LV>}区域花费正的时间，直到时间，并且总是{LV>}≥}~A（期望值）大于A。事实上，通过（3.2）应用于（~A）和g（A），使用单调收敛（两次）和参数，如命题6.1中第一个等式的证明（通过（4.8）期望收益有界），以及第二行中随机积分的引理6.2（注意引理6.5中的增长条件），我们得到[L]∞（A）- L∞（A） ]=limn→∞E[Gn∧T（~A）- Gn∧T（A）]=limn→∞EhZn∧TdWt+Zn∧TdBt+Zn∧TLV（Y)At，Θt）dti=EhZTLV（Y)At，Θt）dti>0。这与定理5.6，soh（0+）相矛盾≤因此不等式必须成立。还有待考虑情况（y，θ）∈ S、 其中vsy=f（y）- f（y）- θ） andVSyy=f（y）- f（y）- θ). 固定的- θ=：a≥ yand认为Lv是θ的函数。WehaveLVS（y，θ）=σf（a+θ）- f（a）+σρ^σ - β（a+θ）f（a+θ）- f（a）- δZa+θaf（x）dx。区分右边的w.r.t.θ，我们得到f（a+θ）k（a+θ），这也是θa≥ yθLVSy，θ期望不等式。备注6.8。在λ=f/fis常数的特殊情况下，埃尔米特函数的一种更直接的逼近方法。更准确地说，是为了证明（0+）≤0在这种情况下，结果是YB7→ hy∞, yy∞你可以检查H（0+）<0。然后，根据Hermite函数的下列猜想性质，InYb的单调性将随之产生：对于每一个ν<0，函数x7→（Hν-1（x））Hν（x）Hν-2（x）正在减少。数值计算表明了这一性质的有效性，但据我们所知，它尚未得到证实，可能具有独立的意义。请注意，这种特殊函数的商与所谓的图兰型不等式有关，参见[BI13]。现在我们已经具备了完成定理3.1的所有要素。由于引理6.5、6.6和6.7，在（6.6）中构造的函数V是变分不等式（3.3）的经典解。