按比例交易成本下的普遍交易

（1） ，选择夏普比率作为绩效衡量标准。原则上，我们必须对照所有其他的缓冲方案进行测试；另一个困难是，缓冲区宽度通常是时变的，因此我们不能简单地将批次S harpe比率与缓冲区宽度进行比较（没有唯一的缓冲区宽度可以绘制在水平轴上）。然而，我们能做的是乘以Δθineq。（1） 通过一定量λ，在水平轴上绘制缓冲宽度的时间平均值，在垂直轴上绘制夏普比。重复不同的λ值会导致描述一条曲线，我们突出显示对应于λ=1的点。最后，我们重复不同的tr和sactioncost参数，给出一系列曲线。考虑这条曲线应该是什么样子，作为λ的函数。如果缓冲宽度太小（λ→ 0）那么就会失去太多的价值，不连续的时间就会下降到-∞: 如果ε较高，则下降将非常严重。如果缓冲区太宽，位移损失将接管，性能将下降。实际上，在极限λ内→ ∞ NT区域将变得如此之大，以至于根本不进行交易，夏普比率将被确定。在某个中间点，应该有一个最大值，并且我们在图中标记的λ=1的结果将准确地出现在那里，这表明通过（1）按固定的量放大或缩小，无法取得任何改善；不过，它并不排除这种可能性，即由于某些时候过于宽大，而另一些时候又过于狭窄，所以缓冲区不太理想。

然而，如果成本足够高，价值函数将始终为负值，不会出现波峰：那么，无论buff的“优化”程度如何，策略都是毫无价值的。对于这些模型，杠杆率p没有起到任何有用的作用，因为它只是按比例缩放位置、缓冲宽度、预期损益和风险，因此对夏普比率没有影响。因此，我们将G设定为100万美元。我们将在夏普比率计算中使用VaR和短缺（ESF）以及s标准偏差。我们确定尾部概率asp=0.01，为了方便起见，我们将VaR除以Φ-1(1 - p） 和th eESF乘以φ（Φ-1（p））/p，所以对于零均值的正态分布，所有这些测度都是相同的。如图所示，厚尾收益分布因此产生较低的夏普和ESF夏普，尽管影响很小。顺便指出，确定最佳缓冲宽度的替代方法是动态规划。除非因子的数量很小，否则这是不切实际的：在实际的交易算法中，一个很可能有十个或多个因子，需要在十个维度上进行优化。使用综合数据合成模型的示例允许生成任意多的数据，所有参数都已知。我们考虑单因素线性模型，dXt=βσXZ1，tdt+σXdW0，t（3）dZ1，t=-κZ1，tdt+√2κdW1，2次II型优化。因子Z遵循一个标准化的OU过程，被理解为一种牛市或熊市指标：当为正时，X向上漂移，当为负时，X向下漂移。^θt=βZ1，tGσX，^Γ=2βκGσX，并且t期交易回报的夏普比率是|β| T1/2，模拟应该与之一致（并且确实如此）。

因此Δθ~3εκσX |β|1/3G |β|σX=3^εκ|β|1/3θ1/2式中，ε=ε/σXis为可交易单位波动率的成本，（θ）1/2=Gβ/σXis为均方根位置（与位置变化相关的σθ不同）。注意，在这个简单的例子中，^Γ和hen ceΔθ是常数，但如果耦合是非线性的，则它们不是常数，即在漂移Φ中，φ通常表示标准的正常cdf和pdf。用函数ψ（Z）代替zb，而wx，和dWZ，tdo之间的相关性不起作用。还请注意，如果一个fix es^ε，则缓冲宽度和位置都与σ成反比。（如果标的资产的波动性随ε固定值的增加而增加，那么该资产的交易成本实际上已经降低，并且随着典型头寸的细分，其宽度也会下降。）因此，将缓冲区与r.m.s.目标位置联系起来的唯一f因素是^ε1/3和一个额外的量κ/|β|，它具有时间维度-1/2; 这对于维度一致性是必要的（因为ε的维度为1/2），并且可以被认为是交易速度，因为κ越高，因子改变方向的速度越快。最后，如果β→ 0则阻力宽度随着r.m.s.头寸的变化而变大（不是绝对值，因为r.m.s.头寸也会减少）：对此的解释是，资产价格的影响变得不那么可预测，或者交易信号的质量较低：正如预期的那样，NTZ区域变得相对较宽，减少了交易量。图2（a）显示了κ=0.02、β=0.04、σ=0.5、ρ=0、交易成本ε=0.02、0.05、0.1、0.2、0.5的结果。图形的出现与预期一致，假设的ru le（1）似乎是最优的。对于低成本而言，获得优势的影响很小，但对于高成本而言，影响要大得多：以2倍的优势脱颖而出会导致巨大的绩效差异。

由于回报率在这里是标准分布的，Var和ESF的结果是相同的，因此省略。[6]中给出了非线性耦合、多因素和随机波动的扩展：结果几乎相同，这表明上述模型包含所有重要成分。使用真实数据的示例上一节的模型最容易被解释为驱动可交易资产的外生因素，模型参数化可以通过观察来确定，当然也会受到估计误差的影响。这里的结构是不同的，还有一个额外的问题，即在ce上不知道潜在的模型：但事实证明，这并不重要。在动量模型中，这些因素是隐含的，并使用正在交易的资产的移动平均数进行估计。采用分段积分法，分别计算了κ、β、σ的运动维数-1.时间-1/2，$/time1/2，其中时间单位需要始终保持一致：我们将它们作为业务日。使用了10000个数据点-0.4-0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Sharpe（平均值：stdev）平均缓冲区半宽度0。020.050.10.20.5理论。选择图2：综合模式l的性能与功能尺寸。成本乘数（ε）如图所示。Buff的大小与名义上的大小相同，单位为百万美元。每种情况下，理论上的最佳值都有标记。价格的平均值可以重新表示为收益的加权和，Zt=Ztτ=-∞K（t）- τ）dXτ/σXτ。对于常用的指数加权移动平均交叉，K（τ）=p2（Ts+Tf）|Ts-Tf|E-τ/Ts- E-τ/Tf其中Tf和Ts是“周长”，因此，例如，5:10天的移动平均值为Tf=5，Ts=10。预因子normalisesZ=1。[7]使用“响应函数”ψ变换归一化信号，而不是简单地具有与Z成比例的位置，这也是有利的。

通过组合不同速度的滤波器，可以得到dXt的预测，从而得到目标位置：^θt=βψ（Z1，t）+··+βmψ（Zm，t）σXt。因子权重（βj）通过回归或优化回测性能来确定，或者可以手动设置。为了达到这些目的，我们使用2:4、4:8、8:16、16:32天交叉，并且响应函数为ψ（z）=ze-z/2。现在，从理论上很难得到^Γ，但从自然路径中观察到的^θ和X的二次变化逐项估计非常简单：（^Γ）t≈P∞n=0αn（^θt）-nδt-^θt-（n+1）δt）P∞n=0αn（Xt-nδt- Xt-（n+1）δt），其中α是“遗忘因子”（我们在模拟中使用了32天的有效“周期”，因此α=1-).在这个例子中，我们考虑了交易数据集XT的时间序列，它是通过将单个期货合约的时间序列拼接在一起得到的。时间序列在一定程度上呈现出趋势，这将导致从动量策略生成损益。使用了两种合约：TY1（美国国债期货）和RR1（糙米）。头寸和规模以名义价值百万美元表示；第四十，成本是帕兰和RR的一小部分，它们是当前期货价格的一部分。同样，我们的收益为100万美元。头寸和份额以百万美元的名义金额表示：要将其表示为多个合同，只需除以百万美元的合同规模即可。结果如图3所示。理论上的最佳值在实践中也是合理的最佳值，同样，除了非常低的成本外，将缓冲宽度错误地增加2倍的效果是显著的。在不同的风险度量中也可以看到同样的情况。对于较低的交易成本，Sharperatio在没有缓冲的限制下不会出现负值。这是因为模拟是在离散时间内进行的，这是一个需要进一步研究的问题。

对于历史上趋势不如债券s的r ice来说，注意到交易不会产生高交易成本的价值，这使得该策略有效。这可以在彭博社自动完成（GFUT<Go>）。我们根据差异调整固定收益合同，并根据比率调整其他所有内容。e、 g.如果市场是128-03/128-03+那么ε=×/100≈ 0.0001. 美国国债以+表示。e、 g.如果市场为20.16/20.18，则ε=×0.02/20.17≈ 0.0005.e、 这是10万美元。因此θ=3200万美元意味着320份合同。（a） -0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 5 10 15 20 25Sharpe（平均值：stdev）0.00010.00020.00050.0010.002theor。选择（d） -0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 5 6夏普（平均值：stdev）平均缓冲区半宽度0。00050.0010.0020.0050.01Thero。选择（b） -0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 5 10 15 20 25夏普（平均值：VaR）0.00010.00020.00050.0010.002theor。选择（e） -0.4-0.3-0.2-0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 5 6夏普（平均值：VaR）平均缓冲区半宽度0。00050.0010.0020.0050.01Thero。选择（c） -0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 5 10 15 20 25夏普（平均值：ESF）平均缓冲区半宽度0。00010.00020.00050.0010.002EOR。选择（f） -0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 5 6夏普（平均值：ESF）平均缓冲区半宽度0。00050.0010.0020.0050.01Thero。选择图3：动量策略的绩效与规模，目标函数和市场不同。成本乘数（ε）如图所示。在每种情况下，理论上的最优值均为百万美元。目标函数：（a，d）Stdev，（b，e）VaR，（c，f）短缺。市场：（a、b、c）美国国债注释1、（d、e、f）糙米（RR）。3结论我们已经证明了一条规则（1），即在存在比例交易成本的情况下，适用于差异因素模型的最佳缓冲区或NT宽度，并且似乎效果良好。

对于低成本，在我们展示的“真实”示例中，似乎略微高估了最佳宽度，我们认为这部分是由于模拟中的时间离散（理论是连续时间）。显然，了解一项战略是否能在成本后赚钱很重要，即使它在理论上是可行的。正如我们所看到的，在交易成本较高的情况下，知道如何正确避免误入歧途非常重要。尽管优化了模型参数并加入了缓冲规则，但如果战略的模拟预期回报仍然为负，那么我们知道应该避免它。甚至在模拟成本是否过高之前，我们也可以看到：缓冲器变得如此之大，以至于模型表现出太多的僵硬，可能会在几个月或几年的时间里停留在同一位置，并且实际上无法操作。致谢作者感谢以下所有人：托尔斯滕·肖内伯恩（德意志银行）、克里斯·罗杰斯（剑桥大学）、让-菲利普·布乔德（Jean-Philippe Bouchaud）、杰罗姆·德·拉泰莱德（J\'er^ome de Latailade）和拉法埃尔·贝尼乔（Rapha¨el B¨enichou，巴黎CFM）、梅特·索纳（Mete Soner）和约翰内斯Muhle Karbe（ETH Z¨urich）、鲍里斯·格登科（现代投资技术有限公司），以及一位匿名裁判。参考文献[1]M.H.A.戴维·伊斯和A.R.诺曼。具有交易成本的投资组合选择。数学奥普。《研究》，15（4）：676-713，1990年。[2] J.卡尔森。不完全市场中套期保值的效用最大化方法。数学冰毒。奥普。第50（2）号决议：321-3381999年。[3] J.卡尔森和J.穆勒·卡贝。交易成本小的投资和消费的一般结构。arXiv，1303.3148v1，2013年。[4] J.德拉泰莱德、C.德伦贝尔、M.波特和J.-P.布乔德。以线性成本进行交易。arXiv:1203.59572012。严格来说，这意味着单位波动率交易成本较低[5]M.J.P.Magill和G.M.Constantinides。有交易成本的投资组合选择。J.经济。《理论》，13:245–2631976。[6] R.J。

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