按比例交易成本下的普遍交易

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英文标题：
《Universal trading under proportional transaction costs》
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作者：
Richard J Martin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The theory of optimal trading under proportional transaction costs has been considered from a variety of perspectives. In this paper, we show that all the results can be interpreted using a universal law, illustrating the results in trading algorithm design.
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中文摘要：
比例交易成本下的最优交易理论已被从多个角度考虑。在本文中，我们证明了所有的结果都可以用一个普遍规律来解释，并在交易算法设计中给出了结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Universal_trading_under_proportional_transaction_costs.pdf (187.58 KB)

2022-5-11 02:12:27 上传

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关键词：交易成本 proportional Illustrating Quantitative Perspectives

按比例交易成本的通用交易公司Richard J.Martin*2016年3月22日摘要比例交易成本下的最优交易理论已被从多种角度考虑。在本文中，我们证明了所有的结果都可以用一个普遍规律来解释，并在交易算法设计中给出了结果。首次发表于风险27（8）：54–5 9，2014.1简介在本文中，我们考虑在交易遵循任意差异过程的单一资产时，如何“最佳”处理成比例的交易成本。不同研究领域之间的许多超官方差异并不重要，我们在这里正式发布了一条普遍规律（方程式1）。尽管有关该主题的文献数量相当多，但在系统交易算法设计中的应用却很少，因此本文的目的是对其进行演示，特别强调夏普比率目标及其变体，因为这些是实践中使用最多但文献中未考虑的目标。系统交易算法是一个函数，根据之前的价格历史和/或其他工具的价格，给出待交易工具的“目标位置”。从这些价格的动态来看*伦敦帝国理工学院数学系，SW7 2AZ，英国；阿波罗全球管理国际公司，英国伦敦W1S 1FS街25号。术语“线性”成本通常指固定的每张票成本，以及独立于交易规模的投标商产生的比例部分。由于我们不考虑固定部分，我们使用“比例”一词，而在[8]中，“线性”一词用于同一事物。假设差异继承了^θt的动态。因此，战略对交易成本的怀疑程度主要取决于其波动性σ^θt。

随着目标头寸在一段时间内发生O（dt1/2）的变化，资金将以固定的速度流失。众所周知（见初始[5]）最佳策略是在目标仓位周围画一个“缓冲区”，定义一个仓位保持不变的非交易（NT）区，并在每个区域上画一个离散交易（DT）区，在该区域中，一个人立即交易到NT区的边缘：见图1。这就防止了策略不断地前后交易：通常情况下，操作是将交易限制为一个方向上的一系列小交易，然后反转。我们要解决的问题是，最佳宽度是多少？过于狭窄，过度交易会造成太多成本损失；太宽，即所谓的“位移损失”，由于存在非最佳头寸，是过度的（在期权delta对冲问题中，delta离零太远）-150-100-50 0 50 100 150 0 50 100 150 200 250位置/lotstime/daystargetbuffered图1：后面使用的示例中的缓冲效果。优化我们应该首先定义优化的含义。本质上，有两种类型的问题，我们称之为I/II型：I有无消费的终端财富的传统预期效用最大化，如重新平衡股票和无风险债券组合的所谓“默顿问题”，或期权的增量混合；II局部效用最大化[2]，应用于系统交易算法[8,6]。

这意味着增量而非终端损益变动正在受到惩罚。有两种不同的解决方法：最大限度地提高与宽度有关的预期效用，并了解效用如何在前导顺序上依赖ε；或者得到精确的边界，然后考虑它如何依赖于ε。最佳缓冲公式和依赖性在一份关于第二类的工作文件[6]中，我们指出，在小成本的限制下，最佳半宽度仅取决于四个数量：目标头寸的波动率θ和标的资产X的（绝对，$）波动率，它们的比率用^Γ表示；成本的比例系数ε；以及一个与绝对风险厌恶度有关的参数，表示为G，并以货币单位表示。半宽度Δθ的公式是Δθ~3εG^Γ！1/3，^Γ=σ^θσX.（1）在Kallsen&Muh le Karbe[3]的一篇工作论文（关于该主题及其文献的优秀讨论）中获得了相同的结果，使用了g类型I。最佳缓冲区也从无成本位置被取代，反映出如果需要购买更多资产以达到目标位置，但目标位置预计会减少，那你就应该买lessnow。这个结果并不普遍，由于位移通常很小，我们在本文中忽略了它。这一结果的应用很简单，因为参数容易受交易策略明显特征的影响；我们马上给出一组计算结果。在期权delta对冲问题中，比率^Γ只是期权伽马的平方，它被理解为一种尝试的交易速度：它越高，阻力越大。对ε的立方根依赖性很重要。

对于单周期问题，法律实际上是成比例的；但这忽略了一个事实，即当许多交易在很短的时间间隔内完成时，必须考虑交易的频率，更多的交易会造成更多的损失。通过错误地使用比例定律，一个人最终会过度交易廉价市场，通过交易成本导致过度损失，并低估昂贵的市场，导致过度的置换损失。只有G需要进一步解释，它有美元单位，并且依赖于应用程序。在I型问题中，G是效用函数中的标度常数，具体说明终端财富的可变性是可接受的。在第二类问题中，目标头寸与资产的瞬时回报率成正比，与其波动率的平方成反比：实际上，它是G策略每单位夏普的预期美元损益波动率[6，等式6]，其思想是，一个人分配的“风险预算”与自己的财务手段和预期夏普比率成比例，改变G的效果是重新调整仓位：^θ=GuX/σX。例如，以远期国库券期货合约TY1的交易为例，我们假设如下：现货价格127，出价0。02，1pt=1000美元，Black Scholes ATM第5卷。因此，σX=400美元（一份合同的典型每日价格变动为美元），ε=10美元（一份合同的投标价格的一半，单位为美元）。现在，让策略调整为G=1000000美元，并假设其每日头寸变化通常为35个合约。

那么Δθ=× $10 × $10×($400)1/3=49份合同。请注意，需要将所有内容转换为一致的单位：X表示印度群岛，θ表示许多合同，时间单位为工作日（必要时将f从年度转换为每日体积）。作为第二个例子，以CDS指数合约的交易为例，展期80个基点，成交量35%，持续时间5年，出价0.75个基点。一批（θ=1）意味着100万美元。然后σX=875美元（每日），ε=190美元。将该策略设定为G=500000美元，并假设其每日位置变化通常为4000000美元。那么Δθ=× $190 × $500 · 10×($875)1/3=14（名义价值百万美元）。普遍性最重要的是什么导致目标位置的瞬时变化，这就是为什么^Γ进入：这就是直接导致交易损失的原因。设置中的许多成分并不重要，因为它们传递的信息不超过^Γ的信息，例如：o目标函数是基于效用的还是基于夏普的（我们现在对此进行更详细的解释）；o效用函数或风险度量目标函数是否属于有限或有限的范围资产是“类现金”（如股票遵循几何布朗运动）还是“合成”（如掉期的PV，因此被记为可能非常数波动的算术布朗运动）问题的根源，例如。

期权对冲，系统交易用于描述资产动态的因素数量。因此（1）是通用的，但有一个条件，即符号可能需要根据具体情况重新解释：例如，在股票交易中，决定θ是指股票的名义价值，还是指股票的数量。这只是一个确保一致性的问题。为了将这些放在上下文中，并强调普遍性，这里简要概述了所有已发表和未发表的结果：长期期权套期保值：[11,12]（类型I）通常，目标函数是终端财富的效用，而水平是期权经验。由于期末损益可能为负，因此使用了CARA，即负指数效用。如果我们将ε=ε′S、σ^θ/σX=σSΓ/σS（因此，用σΓ=Γ来解释我们对符号的选择）替换为股票价格、σBlackScholes波动率、σ期权伽马和ε′交易成本作为股票价格的影响，他们的公式[12，等式12]如（1）所述。我们还通过G=e将G写成风险规避系数γ-r（T）-t） /γ，折扣来自于g与时间t（今天）和1/γ与时间t（到期）相关的事实。结果公式Δθ是以delta单位表示的NT区域宽度，而不是美元的名义库存。“零因子”模型的系统转换：[8]（II型）（另见[9]）我们通过将交易资产的动态表示为“因素”的函数来建立系统的交易模型，~Z:dXt=uX（~Zt）dt+σX（~Zt）dWX，t；这些因素可能是外生的（例如来自分析师的观点，或其他工具的市场价格），也可能是内生的（例如动量）。所谓零因子，我们指的是一个单因子模型，其中因子Z1实际上是正在交易的资产：Z≡ 十、

（因此，一般的单因素模型有两个活动部分：因素和交易资产。）目标函数不是终端财富的效用，而是财富变化的效用——所谓的局部效用函数，其中目标是U（θtdXt）和，U是光滑凹函数。在不丧失普遍性的情况下，我们可以将U（0）=0，U′（0）=1，U′（0）=-1/G，对于不同的动力学，它归结为一个二次目标。目标（价值函数）是VT=EtZ∞s=te-r（s）-t） U（θsdXs）= Et“Z∞s=te-r（s）-（t）θsuXs-θsσXs2Gds#，（2）所以目标位置是^θt=uXtG/σXt。有限视界导致估值函数在X中服从普通微分方程，而不是（t，X）中的偏微分方程。虽然这个特殊的模型应用有限，但它有一个显著的结果，即[8]中获得的NT边界的合理显式解，尽管方程很难处理；此外，它还构成了讨论多因素模型的基础，这些模型非常普遍。注意，[8]给出了立方根定律的非启发式推导，因为它从解的泰勒级数展开式中退出：thusone不需要“提前知道”ε1/3的幂展开式是必要的。最简单的情况是X跟随Ornstein Uhlenbeckdynamics dXt=-bXtdt+σdWt：^θ=-bXG/σ，Δθ~ （3εb/2σ）1/3G。Bouchaud及其同事通过不同的技术证实了这一点[4]。多因素模型的系统转换：[6]（类型II）当许多因素导致目标位置变化时，位置仍然是^θt=uX（~Zt）G/σX（~Zt），这是~Z的函数∈ Rm，但尽管有更高的维度，等式（1）仍然成立。这又是因为“地方性”。

在（m）- 1） -垂直于梯度向量的维空间^θ（~Z），目标位置不会因~Z的微小变化而改变，因此没有交易它平衡了两个前导顺序t项，结果是O（Δθ）和O（ε）。成本发生：只需研究^θ的最大变化方向，即θ（~Z），将所有问题简化为一维问题。CRRA效用（I类）恒定相对风险规避适用于可能被描述为现金策略的情况，例如reb alancinga Stock和bond投资组合的学术性“默顿问题”[1,10]。只有当portfoliovalue总是≥ 0（因为效用函数在0处是单数的）。正如Kallsen&Muhle Karbe[3]所指出的那样，我们用W/γ来代替杠杆G，其中eW>0是当前财富，γ是恒定相对风险规避系数。G不再是常数并不重要：这种变化不是局部效应。它只是说，在未来，无论我赚了多少钱，我都会想要更高或更低的杠杆率，但这与如何降低与当前交易相关的交易成本无关。终端财富的效用与本地效用（I/II型）终端财富的效用（带或不带消费术语）在投资问题上有意义，但在系统交易中没有意义，原因有二。首先，没有明确的h orizon时间，投资者通常对损益的短期变化感到担忧，尤其是因为这会导致提款。第二，尽管可以通过运行许多模拟来用模拟数据测试此类策略（期权对冲问题也是如此），但它们不能在真实数据上进行合理的回溯测试，因为只有一条轨迹可以形成预期效用。

另一方面，通过几十年的数据，如果风险被视为损益的变化，或者再次被称为局部效用函数（q.v.），人们可以对夏普比率形成看法：这些在交易世界中是很自然的，因为它们很容易与“日VaR限额”相关联。尽管如此，布弗定律是一样的，这也是一个关于“局部性”的论点：无论目标函数是什么，重要的是目标位置的可变性。夏普比率与当地公用事业；不同的风险度量（第二类）很容易确定（见[6]）最大化风险上限下的预期收益的经典马科维茨优化问题（被解释为损益的二次变化）等同于上述（2）；证明是拉格朗日乘子的一个简单练习，其中G in（2）是拉格朗日乘子的倒数。因此，夏普比率优化，即最大化四次变化的平均值÷平方根，相当于（2）的局部二次效用公式。如果市场存在差异，且我们对波动率的估计^σx是正确的，则使用每日收益的标准偏差（计算当地公用事业）或其他风险度量（如VaR或差额）之间没有区别。在实践中，这些假设是可疑的，但在没有任何关于n个独立市场的理论结果的情况下，我们不妨尝试使用（1）。我们目前展示的数值结果表明，这是合理的。这并不奇怪，因为交易成本造成的损失很大程度上来自市场回报的不同组成部分，而不是偶尔的跳跃。2.数值演示我们演示等式。