二维保险风险过程的最优红利支付

E：第一家分行立即付款x=cδ作为股息，因此受控盈余变成（（n- 1)x、 m十）∈ Gδ。控制动作ECA仅适用于n>0.2的情况。E:第二家分行立即付款x=cδ作为股息，因此受控盈余变成（nx、 （m）- 1)十）∈ Gδ。控制动作仅适用于m>0.3的情况。E:到目前为止不派息∧τ. 在δ<τ的情况下，时间δ处的非受控盈余为（（n+1）x、 （m+1）十）∈ Gδ；如果δ≥ τ、 非受控s曲线的时间τ为（nx+cτ- bU，mx+cτ- bU）。如果该向量位于第一象限，分支机构立即支付最低金额的股息，以使受控盈余位于网格的某一点；这个末端盈余可以写为（hnx+cτ-日分xix、 嗯x+cτ-日分xi十）∈ Gδ；在时间τ时，作为第一和第二分支机构股息支付的金额等于L（τ）=（n）x+cτ-日分-嗯x+cτ-日分xix、 mx+cτ-bU）-陛下x+cτ-日分xix） 。如果终端剩余（nx+cτ- bU，mx+cτ- bU）不在Firstquadrant中，τ是破产时间。出于技术原因，需要考虑额外的控制措施，在此控制措施下，不会支付更多股息。控制动作的set用e={e，e，e，Es}表示。定义∏δnx、 m十、 πnx、 mXa是初始盈余为（n）的所有可容许红利策略的集合x、 m十）∈ Gδ，可通过网格每个点E中的控制动作序列（有限或有限）获得。

在每个点（n）定义δ-最优函数Vδx、 m十）∈ Gδ是E中控制作用组合的容许策略的值函数的上确界，即（5.1）Vδ（nx、 mx） =supπ∈Δnx、 mxVπ（n）x、 mx） 。请注意，在[11]中描述的数值方案中，额外的控制动作Escorres Ponts会立即切换到相同于0（始终小于V）的sw瘙痒值函数，因此使用此控制永远不是最佳的；然而，正如我们稍后将看到的那样，它用于在∏n中找到一个简单的可接受红利策略x、 mxto在∏Δn中开始递归构造x、 mx将转化为Vδ。定义vδ（n，m）：=vδ（nx、 mx） 。文献[11]证明，函数vδ是以下HJB等式（5.2）max{T（W）的离散形式的解- W、 T（W）- W、 T（W）- W}=0at（n，m）∈ N.这里，运算符T、T和皮重定义为（5.3）T（W）（N，m）：=W（N- 1，m）+x、 T（W）（n，m）：=W（n，m）- 1) + x、 和（5.4）T（W）（n，m）：=W（n+1，m+1）e-（q+λ）δ+Iδ（W）（n，m）；式中（5.5）Iδ（W）（n，m）=δR（n）x+ctb∧Mx+ctbRe-qtW（hn）x+ct-bαxi，hmx+ct-bαxi）dG（α））λe-λtdt+δR（nx+ctb∧Mx+ctbRe-qt（c+c）t- α+n十、-嗯x+ct-bαxi十、dG（α））λe-λtdt+δR（nx+ctb∧Mx+ctbRe-qtM十、-陛下x+ct-bαxi十、dG（α））λe-λtdt。备注5.1。与HJ B方程（3.6）的注释3.6类似，离散HJ B方程有很多解；实际上所有的函数u（n，m）=nx+m对于足够大的K，x+K是（5.2）的解。的确，（T（W）- W）（n，m）≤ （c+c）（δe）-（q+λ）δ+λ（λ+q）1.- E-（λ+q）δ- K（1）- E-（λ+q）δ）qλ+q。考虑定义为（5.6）T:=max{T，T，T}的算子T。利用[11]中的结果，我们得出：ovδ可以表示为离散HJB方程（5.2）的最小解。

另外，如果一系列策略eπ=π（n，m）（n，m）∈n带π（n，m）∈ Δnx、 m满足函数u（n，m）：=Vπ（n，m）（nx、 mx） 是所有（n，m）的离散HJB方程（5.2）的解∈ n次u=vδ，因此vδ（nx、 mx） =Vπ（n，m）（n）x、 mx） 对于（n，m）∈ N.o对于问题（5.1），在网格的任何点上都存在一个最优容许策略。这种策略被称为δ-最优策略，在控制仅取决于当前盈余所在电网的哪个点的意义上是静态的。在t（vδ）（n，m）的情况下- vδ（n，m）=0，点（n）处的最优控制作用x、 m十）∈ Gδ是E；如果T（vδ）（n，m）- vδ（n，m）=0，最优控制作用为E；最后，在T（vδ）（n，m）- vδ（n，m）=0，最优控制作用为E.o函数vδ可以粗略地得到。（5.6）中定义的算子T是递增的，vδ是该算子的固定点。然而，根据备注5.1，该操作员有许多固定点。因为T不是收缩算子，所以vδ不能作为固定点在数值上获得；所以我们构造了t值函数vδl（n，m）：=vπl（n，m）（nx、 mx） 论策略πl（n，m）∈ Δnx、 m可以显式计算，使得vδlvδ为l→∞. 为了做到这一点，让我们反复定义策略族eπl=πl（n，m）（n，m）∈每个l≥ 1.以下列方式；1.从策略系列eπ开始=π（n，m）（n，m）∈nπ（n，m）∈ Δnx、 mxcorres ponds向当地控制部门支付股息（不支付更多股息）；该策略y的值函数为vδ（n，m）：=vπ（n，m）（nx、 mx） =0.2。

给定eπl=πl（n，m）（n，m）∈n带πl（n，m）∈ Δnx、 mx、 定义eπl+1=πl+1（n，m）（n，m）∈Nas紧随其后，对于ny（n，m）∈ N、 最佳策略πl+1（N，m）∈ Δnx、 mxis选择了一个s，它最初遵循集合E中的一个控制动作，然后继续使用族Eπ中的策略，直到最佳控制动作的终点。πl+1（n，m）的值函数由Vδl+1（n，m）：=Vπl+1（n，m）（n）给出x、 mx） =T（vδl）（n，m）=T（l）（vδ）（n，m）表示（n，m）∈ 最后，由于T在增加，我们得到vδl+1≥ 任意l的vδl≥ 因此存在sv=liml→∞vδl.函数v是具体的HJB方程（5.2）的解，构造为E中局部控制组合的值函数，则v=vδ让我们将Vδ的定义从Gδ扩展到第一个q值中的所有点，即Vδ（x，x）=Vδ(十、十、十、十、十、x） +x-十、十、x+x-十、十、x、 那么，Vδ（x，x）是∏x，xin中可接受策略的值函数，它由第二分支立即支付x-[x]/x]x和x-[x]/x]x分别为股息，然后跟随π（n，m）∈ πδ[x/x]x、 [x/x]x、 对于任何δ>0的情况，当k趋于完整时，它在第一象限局部均匀地保持Vδ/2kV。取gr idsGδ/2k是为了得到Gδ/2k Gδ/2k+1和sovδ/2k≤ Vδ/2k+1.6。数值例子我们给出了三个数值例子，参数b=b=0.5、c=2、c=1、q=0.05和λ=1以及不同的索赔规模分布G。我们使用第5节中介绍的数值格式，获得了最优值函数V的数值近似Vδ和相应的δ-最优策略。正如我们在第4小节中所证明的那样，我们可以大体上看到这一点。4.第一分支机构支付红利的Dconsist的初始盈余的最佳策略是立即将盈余转移到D∪ M

命题4.10证明，对于M中的一些初始盈余（不同于c/c=b/b的情况），支付股息是不理想的，因此受控过程在破产时间之前保持在集合M中；我们将在图2、图6和图8中看到，对于M的一些初始盈余，最好的本地策略是通过第一分支立即支付股息摆脱M。6.1. 例1。我们在这里展示了一个数值例子，即求一个指数索赔规模分布G（x）=1-E-dxD=0.6。在图2中，我们展示了δ=0.03的δ-最优策略，请注意，存在一个非作用区域C* D.该图表明→ 0，边界A中的最优局部控制*应该是第一个分支支付部分传入溢价作为股息，而第二个分支不支付股息，因此二元控制盈余保持不变*并向右移动到该点（5.4,6.36）∈ A.*. 相比之下，边界的最佳策略是*这两个分支都不分红，所以二元控制在C中*因为边界的斜率*大于c/c=1/2。C*B1*B2*A1*A0*A2*B0*X1X2图2。图3。在图3中，我们显示Vδ减少了（x+x）。如备注2.1所述，不含合并成本的合并最优价值函数大于V，但在考虑合并成本时，这不适用于这种情况：我们将Vδ与图4中不含合并成本的合并最优价值函数的值o进行比较，并与图5中合并成本m=3的合并最优价值函数进行比较；在所有情况下，值函数都减少（x+x）。我们在图5中看到，当两个分支的盈余差异较大时，合并案例的价值函数仅优于Vδ。图4。图5.6.2。

例2。这里我们考虑伽马索赔规模分布nG（x）=1- （1+x）e-x、 我们在图6和图7中显示了δ=0.025时δ最优策略和Vδ分别减少（x+x）。请注意，与前一个示例不同，设置*= {（0,0）、（4.0,4.75）}和B*有两个组件。gr aph表明，Vδ在B和B之间的下二元组是不可区分的*B*但它在上一种情况下是不同的（这反映了一维情况下的平滑拟合特性）；对于e和B之间的边界也可以进行类似的观察*B*.C*B1*B0*B0*B2*A1*A0*A0*A2*B0*X1X2图6。图7。如第一个示例所示，图6表明边界中的最优局部控制*应该是第一家分行支付部分收入溢价作为股息，而第二家分行不支付股息，因此二年控制盈余保持在*然后向右移动到点（4.0,4.75）∈ A.*. 同样，边界A中的最优策略*这两个分支都不派息，所以二元控制盈余在C内部移动*因为边界的斜率*大于c/c=1/2.6.3。例3。最后，我们考虑常数大小α=29/12的索赔。图8a和图9显示了δ=0.02时δ-最优策略和Vδ分别减少（x+x）。与前一个示例一样，这些设置*= {（0,0）、（3.56,3.62）}和B*有两个相连的部件。C*B1*B0*B0*B0*B2*A1*A0*A0*A2*X1X2图8。图9。请注意，形状与形状之间存在关系*还有*, 在无索赔的情况下，索赔的恒定规模=29/12，增长率c/c=1/2的非受控双变量盈余：A*还有*包含坡度为c/c的线段x=bU。

与前面的例子一样，最优控制策略*这两个分支都不派息，这也是边界A中的最优策略*包括第二个分支机构不支付股息，第一个分支机构支付部分传入保费作为股息，以使二元控制sur plus保持不变*并向右移动到该点（3.56,3.62）∈ A.*. 在一部电影的片段中*有了坡度c/c，第一个Branch不需要支付nds，就可以保持在*.确认该研究得到FP7拨款PIRSES-GA-2012-318984的支持。兹比格涅夫·帕尔莫夫斯基获得波兰科学和高等教育部2013/09/B/HS4/01496号拨款的支持。参考文献[1]H.Albrecher、P.Azcue和N.Muler。两个合作保险公司的最优股息策略。《应用概率的进展》，49，515-548，2017年。[2] H.Albrecher和S.Thonhauser。保险红利问题的最优性结果。牧师。R.阿卡德。西恩克。正是Fis.Nat。爵士。数学。RACSAM 103（2），295–320，2009年。[3] R.S.安巴·加斯皮提亚。关于两类相关聚集态的分布。保险数学。经济。24, 301 –308, 1999.[4] F.阿夫拉姆、Z.帕尔莫夫斯基和M.皮斯托留斯。关于负L′evy过程的最优红利问题。安。阿普尔。Probab。17(1), 156–180, 2008.[5] B.阿万齐。股利分配策略综述。上午好。精算师。J.13（2），217-2512009。[6] F.阿夫拉姆，Z。帕尔莫夫斯基和皮斯托留斯。正等式上的二维破产问题。保险数学。经济。42(1), 227–234, 2008.[7] F.阿夫拉姆、Z.帕尔莫夫斯基和M.皮斯托留斯。二维风险过程的退出问题：精确和符号结果。安。阿普尔。Probab。18(6), 2421–2449 ,2008.[8] P.阿兹库和N.穆勒。在Cram’er-Lundberg模型中的最优再保险和分配策略。

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