二维保险风险过程的最优红利支付

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Optimal dividend payments for a two-dimensional insurance risk process》
---
作者：
Pablo Azcue, Nora Muler, Zbigniew Palmowski
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  We consider a two-dimensional optimal dividend problem in the context of two branches of an insurance company with compound Poisson surplus processes dividing claims and premia in some specified proportions. We solve the stochastic control problem of maximizing expected cumulative discounted dividend payments (among all admissible dividend strategies) until ruin of at least one company. We prove that the value function is the smallest viscosity supersolution of the respective Hamilton-Jacobi-Bellman equation and we describe the optimal strategy. We analize some numerical examples.
---
中文摘要：
我们考虑了一个二维最优分红问题，在保险公司的两个分支中，复合泊松剩余过程按一定比例分割索赔和保费。我们解决了最大化预期累计贴现股息支付（在所有可接受的股息策略中）直到至少一家公司破产的随机控制问题。我们证明了值函数是相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程的最小粘性上解，并描述了最优策略。我们分析了一些数值例子。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Optimal_dividend_payments_for_a_two-dimensional_insurance_risk_process.pdf (524.47 KB)

2022-5-11 02:22:02 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Optimization Quantitative Dimensional performance Programming

二维保险风险过程的最优红利支付Pablo Azcue*, 诺拉·穆勒*Zbigniew Palmowski+2021年11月1日摘要我们在保险公司的两个分支中考虑一个二维最优股息问题，该分支具有复合泊松盈余过程，按特定比例划分索赔和保费。我们解决了最大化预期累计贴现股息支付（在所有可接受的股息策略中）直到至少一家公司破产的随机控制问题。我们证明了值函数是相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程的最小粘性上解，并描述了最优策略。我们分析了一些数值例子。1.引言在集体风险理论中，保险公司的盈余过程X被建模为（1.1）X（t）=u+ct- S（t），其中u>0表示初始盈余，（1.2）S（t）=NtXi=1表示复合泊松。我们假设Ui（i=1，2，…）是i.i.d.分布式索赔（带有分布函数G）。到达过程是强度为λ的齐次泊松过程。保费收入由恒定的保费密度c建模，通常假设净利润条件c>λE[U]给出了过程X（t）收敛到单位的不切实际性质。为了回应这一反对意见，德·费内蒂[21]引入了一维模型（1.1）的股息壁垒模型，在该模型中，高于给定水平的所有盈余都转移到了一个特定的账户中。此外，通常股息的支付方式应使破产前支付的股息的预期贴现金额最大化。1969年，格伯[23]*泰拉托尔库托大学马蒂马蒂斯分校。Av。

阿根廷布宜诺斯艾利斯市菲格罗亚阿尔科塔7350（C1428BIJ）Wyb Wroc法律科技大学纯数学和应用数学系。Wyspia’nskiego 27号，波兰Wroc law 50-370号。研究表明，如果保险组合的自由盈余由复合泊松风险模型建模，则根据所谓的带策略支付股息总是最优的，对于指数分布的索赔金额，该策略崩溃为一个障碍策略。后来，数学金融和精算文献中的大量工作涉及股息壁垒模型和寻找最优股息支付政策的问题。Ger-ber和Shiu[22]、Grandits等人[26]和Jeanblanc a和Shiryaev[30]考虑了布朗分布中的最优红利问题。Irb–ack[28]和Zhou[41]、Zajic[40]、Avram等人[4]、Kyprianou和Palmowski[31]、Loefen[32]研究了一个经典的、光谱负的L’evy风险过程的恒定势垒模型。Azcue和Muler[8]采用粘性方法，研究了Cram’er-Lundbe rg模型中的最优再保险和分红政策。Loefen a和Renaud[33]中给出了目前最通用的屏障策略优化标准。Azcue和Muler[10]、Schmidli[36]、Albrecher和Thonhauser[2]以及Avanzi[5]分别从不同角度对这一主题进行了详细综述。所有这些控制问题都是在一维框架下制定和研究的。然而，近年来，风险理论对考虑多维盈余模型越来越感兴趣，其中X（t）、X、c和S（t）是向量，分量之间可能存在相关性。根据经验，风险独立性的假设可能很容易失败，例如在再保险的情况下，当收到的索赔同时对两家保险公司产生影响时。

一般来说，一个人也可以考虑在一个伞式保单中，每个索赔事件可能导致多个类型的索赔的情况（见Sundt[39]）。关于考虑依赖风险的一些最新论文，请参见Dhaene和Goovaerts[19,20]、Goovaerts和Dhaene[25]、M¨uller[34,35]、Denuit等人[17]、Ambagaspitiya[3]、Dhaene和Denuit[18]、Hu和Wu[27]以及Chan等人[14]。Avram等人[6,7]也研究了二维风险过程的破产概率表达式，用于同时索赔到达和比例索赔规模，最近Badila等人[13]和Ivanovs和Boxma[29]在更一般的框架中进行了研究。在本文中，我们分析了二维风险模型中的股息问题，在二维风险模型中，一家公司的两个分支机构按照固定比例b（b+b=1）从每个索赔中分割支付的金额，并分别以c和c的费率收取保费。此外，这两个分支机构拥有相同的股东，其目标是最大化这些股东获得的总股息。也就是说，本文的主要目标是确定价值函数，使预期贴现股息支付的加权和最大化，直到至少一个分支破产。这将导致一个完全二维的随机控制问题，并回答最优单变量障碍策略在二维中的类似物是什么的问题。在Azcue和Muler[9]中，考虑了在存在交易成本的情况下，两个投资组合之间最优转移资本的问题，另见Badescu等人[12]。

Albrecher等人[1]考虑了两个合作保险公司的红利优化问题，这两家公司的盈余是用独立的复合泊松过程建模的。Czarna和Palmowski[16]研究了与本文相同的股息问题，但采用了一种非常特殊的股息策略，从线条上反映二维风险过程。通过求解某些偏微分方程，他们成功地确定了指数索赔规模的价值函数。我们将在本文中说明，这种策略不是最优的。本文证明了值函数是相应的Hamilton-Jaco-bi-Bellman方程（最近简称HJB）的粘性解，并且可以刻画为最小粘性上解。利用这一结果，我们成功地描述了对称情况下c/c=b/b的最佳策略。在剩余情况下，我们描述了满足x/b>x/b的初始盈余（x，x）的最佳策略是第一分支支付（x- （b/b）x）立即作为股息。我们使用收敛的数值格式来寻找满足x/b的初始盈余（x，x）的最优策略≤ x/b；这种数值格式是Azcue和Muler[11]中提出的一种特殊情况。我们相信，本文所采用的技术可以适用于其他风险机制。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了我们处理的模型，并正式陈述了我们想要解决的问题。在第三节中，我们证明了价值函数是HJB的粘性解。利用这个结果，我们在第4节中描述了一些情况下的最优策略，在第5节中我们描述了一个数值格式来逼近最优值函数和最优策略，在第6节中我们给出了一些数值示例。2.

模型在本文中，我们考虑了一家公司的两个分支机构，它们以不同的费率收取保费，然后按照固定的比例对每项索赔支付的金额进行分割。该模型对应于比例再保险依赖。截至时间t的索赔总额建模为复合泊松过程。我们可以把这个二维风险模型写成（2.1）X（t）=（X（t），X（t））=（X+ct-NtXi=1UI，x+ct-NtXi=1UI）。高于X和X的是相应的初始盈余水平，高于X的是相应的保费率。索赔的大小为非负i.i.d.随机变量，具有绝对连续分布G。索赔到达过程为泊松过程，强度为λ。最后，这些常数显示了每个分支的声明比例，因此b+b=1，b>0和b>0。这里我们假设过程n和随机变量u相互独立。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设第二家分行收到的每支付金额的保费较少，即（2.2）c/b≥ 我们用{Ft}{t表示≥0}满足通常条件的x（t）的右连续自然过滤。在本文中，所有的停止时间和鞅都是关于这个过滤的。两家分行都将部分盈余用于支付股息。股息支付策略L（t）=（L（t），L（t））是截至t时两个分支机构支付的股息总额。我们确定相关的受控流程，初始盈余（x，x）为（2.3）XL（t）=x（t）- L（t）。股息支付策略L=（L（t），L（t））t≤如果τ不递减，c`agl`ad（左连续，右极限），可预测二元过程X（t）和满足度L（t）产生的过滤，则称为容许τ≤ X（t），L（t）≤ X（t）。

当二维风险过程第一次离开正四分之一时，我们的破产时间为：bτ=inf{t:X（t）<0或X（t）<0}。也就是说，破产时间是至少一个分支第一次破产。我们用R+=0表示，∞) 通过R+=（0，∞)第一流。Le t∏x，xbe初始盈余x=（x，x）的可容许股息策略集∈ R+。给出了一个可接受的分割策略∈ πx，x，两个分支机构支付的预期贴现股息，直到bτisVL（x）=ExZbτe-qsdL（s）+Zbτe-qsdL（s）！，其中q>0是一个恒定的贴现系数。本文的主要目标是确定由以下公式定义的最优值函数：（2.4）V（x）=supL∈πxVL（x）forx∈ R+。在下一节中，我们将看到V的定义很好。本文提出的另一个关键问题是最优策略的存在性，定义如下。给定一系列可容许策略π=九、∈ 每一个的∏xF∈ R+我们定义了值函数Vπ：R+→ R+as Vπ（x）=VLx（x）。我们说π*如果Vπ*= 五、备注2.1。我们还可以考虑公司的两个分支机构合并的可能性，合并成本为m（参见Gerber and Shiu[24]）。被合并的公司有x+x盈余- m、 收到保险费率c+c，并支付全部索赔。新公司使用部分盈余向股东支付股息，直至合并盈余变为负值。在这种情况下，非受控剩余过程由xm（t）=x+x给出- m+（c+c）t-NtXi=1Ui，受控剩余过程由XLM（t）=XM（t）给出- L（t），其中股息支付策略L（t）是非递减的，c`agl`ad（左连续右限），根据过程XM（t）和满意度L（t）产生的过滤可预测≤ XM（t）。

我们考虑合并公司的破产时间τLM=inft:XLM（t）<0我们定义了合并最优值函数为vm（x+x）- m） =supLExZτLMe-qsdL（s）！。对于x+x≥ m、 函数vm是对应于复合泊松过程XM的一维DeFinetti问题的最优值函数。假设m=0，然后给定任意x∈ R+和任何可容许策略L（t）=（L（t），L（t））∈ πx，x，我们考虑合并公司的一维支付策略L（t）=L（t）+L（t）。自τLM≥ bτ我们得出以下结论：VM（x+x）≥ V（x）。请注意，当m>0.3时，情况不再如此。最优值函数的性质在本节中，我们首先陈述了（2.4）中定义的最优值函数的正则性和增长性的一些基本结果。然后，我们导出与这个优化问题相关的Hamilton-Jacobi-B Ellman方程，并看到V是HJB方程的粘性解。此外，在适当的生长条件下，我们可以将V刻画为该方程的最小粘度上解。最后，我们得到了一个验证结果：作为一系列可容许策略的值函数的任何粘性上解都是最优值函数。以下两个引理是[8]中引理2.1和2.2的二维对应。引理3.1。为所有人（x，x）∈ R+最优值函数定义良好，满足esx+x+c+cq+λ≤ V（x，x）≤ x+x+c+cq。证据采用在开始时支付全部附加费加上x+x的策略，然后在第一次索赔到达之前支付作为股息的传入保费τ给出下限V（x，x）≥ x+x+（c+c）EZτe-qtdt=x+x+c+cq+λ。同样，观察到李（s）≤ xi+cis（i=1，2）产生s上界。引理3.2。

最优值函数V是递增的，局部为Lipschitz和Satifiesh≤ V（x+h，x）- V（x，x）≤ （e（q+λ）h/c- 1） V（x，x）和h≤ V（x，x+h）- V（x，x）≤ （e（q+λ）h/c- 1） V（x，x）表示任意（x，x）∈ R+和任何h>0。证据为了证明第一系列不等式中的较低不等式，必须考虑从第一个分支的盈余中支付h作为红利的策略，然后遵循π策略，使得Vπ（x，x）≥ V（x，x）-一般>0。为了证明上不等式，必须考虑不支付除法的策略，用第一个剩余过程x（t）和下面的策略π计算x+h的第一次通过时间，使得Vπ（x+h，x）≥ V（x+h，x）-一般>0。第二条不等式可以用类似的方法证明。证明V是增加的，并且局部Lipschitz遵循了现在的经典论点。为了获得与优化问题（2.4）相关的Hamilton-Jaco-bi-Bellman（HJB）方程，我们需要说明所谓的动态规划原理（DPP）。由于X（t）是一个马尔可夫过程，证明遵循Azcue和Muler[10]引理1.2中给出的相同参数。他们只使用V在R+中增加且连续的事实。显然，我们还需要扩展V的定义，将V定义为第一个变量之外的零。引理3.3。对于R+中的任何初始盈余x和任何停止时间τ，我们有v（x）=supL∈πxExτ∧bτRe-qsdL（s）+τ∧bτRe-qsdL（s）+e-q（τ）∧bτ）V（XL（τ）∧ bτ），XL（τ）∧ bτ）！。现在我们根据V上的一些规律推导HJB方程。对于R+中定义的任何连续可微分函数，我们定义了受控过程XL（t∧ ^τ）由（3.1）eGu（x）：=limt→0Ex（e）-qtu（XL（t∧^τ ))-u（x））t；见[10，第。

1.4]了解详细信息。我们现在将考虑两个分支机构以固定利率支付股息的可接受策略≥ 0和l≥ 分别为0，直到破产时间^τ。然后使用[10，Rem.1.8]我们有（3.2）eGu（x）=（c- l） ux（x）+（c）- l） ux（x）- （q+λ）u（x）+I（u）（x），其中（3.3）I（u）（x）=λZ（x/b）∧（x/b）u（x）- bα，x- bα）dG（α）和τ表示第一次索赔到达。现在假设V是连续可微的。注意引理3.3中我们有：V（x）≥ （l+l）ExZτe-qtdt+Exe-q（t）∧ τ） 五XL（t）∧ τ).因此，通过（3.2）将上述不等式除以t，取t↓ 0G ive:L（V）（x）+L（1）- Vx（x））+l（1）- Vx（x））≤ 0，其中（3.4）L（V）（x）：=cVx（x）+cVx（x）- （q+λ）V（x）+I（V）（x）。取l=l=0，l→ ∞ l=0时；我呢→ ∞ 当l=0时，我们得到（3.5）max{l（V）（x），1- Vx（x），1- Vx（x）}≤ 我们现在把以下HJB方程与我们的问题联系起来：（3.6）max{L（V），1- Vx，1- Vx}=0。由于最优值函数是不可微的，我们必须使用粘性解的概念，并看到tV是相关HJB方程的粘性解。让我们来定义这个概念（例如，参见Cranda ll a and Lions[15]和Soner[37]）。定义3.4。一个局部Lipschitz函数u:R+→ R是x上（3.6）的粘度上解∈ R+如果有连续可微分函数：R+→ R加上φ（x）=u（x），使得u- 在x满足最大值{L（~n）（x）时，达到最小值，1- ~nx（x），1- ~nx（x）}≤ 0.函数u:R+→ R是x处（3.6）的粘度亚溶液∈ R+如果有连续可微函数ψ：R+→ R随ψ（x）=u（x），使得u- ψr表示满足smax{1（ψ）（x），1的最大值- ψx（x），1- ψx（x）}≥ 0.函数u:R+→ R是x的上解和下解∈ R+被称为（3.6）atx的aviscosity解决方案∈ R+。定理3.5。V是HJB方程（3.6）在任意点的粘度解∈ R+。证据