二维保险风险过程的最优红利支付

V是粘度超解的证明类似于[10]中命题3.1中的证明。我们只强调应该在未来做出的关键调整。V是粘性上解的证明遵循与推导（3.5）相同的参数。证明V是粘性次解这一事实是自相矛盾的。我们将使用以下约定。对于任何向量a=（a，a）和b=（b，b），我们用[-∞, b] ：=[-∞, b] ×[-∞, b] 对于任何h>0，我们将写出a±h:=（a±h，a±h）。我们假设对于某些固定的x=（x，x）存在>0和h∈ （0，x）∧ x） 测试函数ψ，如t:1- ψxi（x）≤ 0，i=1，对于x∈ [0，x+h]，L（ψ）（x）≤ -2q代表x∈ [x]- h、 x+h]，V（x）≤ ψ（x）- 2代表x∈ [-∞, 十、- h/2]∪ {x+h}。现在，证明将遵循ta king（x）在[10]中提出的命题3.1- x） （十）- x） 而不是（x）- x） 和x。1还需要将定义τ和τ修改为以下定义：τ=inf{t≥ 0:X（t）≥ x+h或x（t）≥ x+h}和τ=inf{t≥ 0:X（t）≤ 十、- h或X（t）≤ 十、- h} 。在最后一步（见[10]中的不等式（3.21）），我们使用以下零经验鞅（3.7）fMψ（t）=PX（s-)6=X（s）s≤Tψ（X（s））- ψ（X（s）-)E-qs-λtRe-qsX（s）-)B∧X（s）-)bRψ（X（s）-) - α（b，b））- ψ（X（s）-))dG（α）ds，可由Dynkin公式对粘度亚解ψ的任何测试函数进行适当定义；另见[10，Pro第2.13页]。最后，经过一些操作，我们得到了v（x）≤ ψ（x）- 这与V（x）=ψ（x）的假设相矛盾。这就完成了证明。备注3.6。

函数U（x，x）=x+x+K是HJB方程（3.6）的粘度解，用于K>（c+c）/q beca useL（U）（x）=c+c- （q+λ）（x+x+K）+λR（x/b）∧（x/b）（x+x）- α+K）dG（α）≤ c+c- （q+λ）（x+x+K）+λ（x+x+K）G（（x/b）∧ （x/b）≤ c+c- qK。所以HJB方程（3.6）有很多粘度解。我们现在看到，最优值函数V可以被刻画为（3.6）的s-最小相对余弦上解，并具有适当的增长条件。我们说函数u:R+→ 如果存在K>0，则说明生长条件（G）u（x）≤ K+x+x对于所有x∈ R+。我们得到以下结果。提议3。7.勒特尔∈ πxbe是一个新的容许策略，假设是（3.6）满足增长条件（G）的任何粘性上解，我们得到了VL（x）≤ u（x）。该命题的证明是对[10]中命题4.4的相应证明的二维情况的直接扩展，再次采用（3.7）中定义的零期望鞅，并使用Le mmas 3.1和3.2。根据最后一个命题和定理3.5，我们得出以下推论。推论3.8。最优值函数V是（3.6）满足生长条件（G）的最小粘度上解。备注3.9。从命题N3.7中，我们可以推断出通常的粘度验证结果：如果某些策略π的值函数Vπ或值函数的极限limn→∞如果Vπ是（3.6）的粘性上解，那么它就是最优值函数（2.4）。请注意，定义V是一个极限值函数。然而，我们期望V是一系列具有特定结构的可容许策略的值函数。这个问题将在下一节中进行分析。4.

最优策略在这一部分中，我们首先介绍了一些特殊的可容许策略族，它们仅依赖于当前的盈余水平。假设V在R+中是可微分的，则方程式（3.6）s表示股息的支付方式取决于当前的s urplusx=（x，x）∈ R+：o如果当前盈余在setC中*=十、∈ R+：L（V）（x）=0,1- Vx（x）<0,1- Vx（x）<0没有支付股息如果当前的盈余处于衰退状态*=十、∈ R+：L（V）（x）<0,1- Vx（x）=0，1- Vx（x）=0两人都一次性支付股息如果当前的盈余处于衰退状态*=十、∈ R+：L（V）（x）<0,1- Vx（x）=0，1- Vx（x）<0第一家分行一次性支付股息如果当前的盈余处于衰退状态*=十、∈ R+：L（V）（x）<0,1- Vx（x）<0,1- Vx（x）=0第二家分行一次性支付股息如果当前盈余在setA中*=十、∈ R+：L（V）（x）=0,1- Vx（x）=0，1- Vx（x）=0两个br ANCHE都以股息的形式支付即将到来的保费如果我们定义一个*作为B和B之间的边界*C*, 我们会有一个*=十、∈ R+：L（V）（x）=0,1- Vx（x）=0，1- Vx（x）<0.如果当前盈余在设定值A内*, 第一家公司可以支付部分收入溢价作为股息类似地，如果我们定义*作为B和B之间的边界*C*, 我们会有一个*=十、∈ R+：L（V）（x）=0,1- Vx（x）<0,1- Vx（x）=0.如果当前盈余在设定值A内*, 第二家bra nch公司可以将部分保费作为股息支付。如果V在某些点上是不可区分的，那么这些S仍然可以从粘度的角度来定义。让我们将M定义为R+中包含带s坡度b/b的or igin的半行。

注意，当当前盈余在M之外时，存在剩余一个正盈余的可能性；如果当前盈余在s etD中：=十、∈ R+：（b/b）x>x,那么，第一个分支将是破产时具有最终正盈余的分支，反之，如果当前盈余在setD中：=十、∈ R+：（b/b）x<x,第二个分支也可能出现同样的情况。4.1. 给定初始盈余（x，x）时的最优策略∈ R+，我们定义了挫折∏x，x πx，xin按如下方式：If（x，x）∈ D∪ M thenb∏x，xis是所有可容许策略的集合，其中受控过程保持在集合D中∪ 直到毁灭的时刻；if（x，x）∈ D、 然后b∏x，xis是所有可接受策略的集合，其中第一个分支立即支付至少x- （b/b）xasdividends，然后受控过程保持在集合D中∪ 从（2.3）中，我们得到（4.1）b∏x，x=n（L（t），L（t））∈ πx，x:L（t）≥ 十、-bbx+（c）-英国广播公司t+bbL（t）代表t≥ 0o。提议4。1.我们有V（x，x）=supL∈b∏x，xVL（x，x）。证据给定一个可容许的L=（L，L）∈ πx，x，让我们定义（4.2）L（t）=max{x-bbx+（c）-英国广播公司t+bbL（t），L（t）}，L（t）.我们有∈b∏x，xbecause L（t）和L（t）是可预测的、正的和递增的≥ 十、-bbx+（c）-英国广播公司t+bbL（t）。现在让我们证明，破产时间bτL与可容许策略的相关性小于或等于bτL。通过定义，我们得到了x+ct-NtXi=1UI- L（t）≥ 0和X+ct-NtXi=1UI- L（t）≥ 任何t都是0≤ bτL.因此XL（t）=XL（t）≥ 0和XL（t）=x+ct-NtXi=1UI- L（t）=（XL（t）如果x-bbx+（c-英国广播公司t+bbL（t）≤ L（t）bbXL（t）如果x-bbx+（c）-英国广播公司t+bbL（t）>L（t）≥ 任何t都是0≤ 从（4.2）我们得到了L（t）+L（t）≥ L（t）+L（t）代表0≤ t<bτL，所以我们得到了vl（x）≤ 结果如下。推论4.2。If（x，x）∈ D、 那么V（x，x）=x- （b/b）x+V（（b/b）x，x）。证据

通过（4.1），我们得到了L=（L（t），L（t））∈b∏x，xif且仅ifL=（L（t）- 十、- （b/b）x，L（t））∈b∏（b/b）x，x，因为我们有VL（x，x）=x- （b/b）x+VL（（b/b）x，x），结果由命题4.1得出。从最后一个推论我们可以推断出ifx∈ 当最优价值函数是第一分支立即支付的策略极限时（x- （b/b）x）作为股息，因此当前盈余在水平方向上立即流向M，然后受控过程保持在D中∪ 直到毁灭的时刻。我们可以问问自己，类似的结果是否适用于X∈ D、 这就是最优值函数是否是第二分支立即支付x的策略的极限- （b/b）xas红利——因此当前盈余在垂直方向上立即流向M——然后受控过程保持在M，直到破产时间。我们将在下一节中看到，一般来说，这只适用于c/c=b/b.4.2的情况。M-策略产生初始盈余（x，x）∈ R+，我们定义了集合∏x，xb∏x，x πx，xa是所有可接受的策略的集合，这些策略以以下方式立即支付股息：FirstBranch立即支付x- （b/b）xas股息，如果（x，x）∈ D∪ M或第二分支立即支付x- （b/b）xas股息，如果（x，x）∈ D之后，受控过程在集合M中继续，直到破产时间。让我们定义（4.3）eV（x，x）：=supL∈e∏x，xVL（x，x）。让我们也将neV定义为具有初始盈余的最佳策略的价值函数（（b/b）x，x）∈其受控过程在破产时间之前保持在集合M中，即（4.4）V（x）：=eV（bbx，x）。从定义上讲，我们得到了EV（x，x）=十、-bbx+V（x）身份证件∪M（x，x）+十、-bbx+V（bbx）ID（x，x）。为了发现问题，我们可以考虑以下辅助一维优化问题。

设∏xbe为初始盈余为x的一维复合泊松过程的可容许股利支付策略集≥ 0，斜率c，由泊松过程N给出的索赔到达量和索赔规模bUi。给我一个∈ πx，我们定义新的l（x）：=ExZbτe-qs（c）-bbc）ds+（1+bb）Zbτe-qsdLs！，和（4.5）W（x）=supL∈πxWL（x）。注意，由于a nyL=（L，L）∈e∏（b/b）x，xsatis fiesl（t）=bbL（t）+（c）-bbc）t，那么我们有VL（bbx，x）=WL（x）。ThusV和W重合，在下一个命题中正式陈述。提议4。3.对于任何x≥ 我们有v（x）=W（x）。我们现在研究优化问题（4.5）。函数W可以是红利问题的最优值函数（直到一个常数），以避免提前破产；例如，参见Thonhauser和Albrecher[38]。实际上，我们可以写出（x）1+bb=supL∈πxExZτe-qsκds+Zτe-qsdLs,式中κ=c- （b/b）c1+b/b。从[38]中，我们得到了W有以下关联的HJB方程，（4.6）max{1+bb-W′（x），L（W）（x）}=0，其中L（W）（x）：=cW′（x）- （λ+q）W（x）+λx/bRW（x）- bα）dG（α）+c-bbc。对于最优一维报酬问题，我们可以陈述如下命题。这个问题类似于没有报酬的一维优化红利问题（例如Azcue和Muler[10]，命题3.1和4.4）。提议4。4.W是（4.6）的局部Lipschitz粘度溶液。此外，对于满足生长条件W（x）的所有x>0，它是该方程的最小粘度解≤K+（1+b/b）X对于某些K>0。根据前面的命题，我们可以推断出以下验证结果：给定一系列可容许策略π={Lx∈ 任意x的∏xf≥ 0}，我们定义了值函数wπ：R+→ R+as Wπ（x）=WLx（x）。

如果函数Wπ（x）是每个x>0的粘度上解（4.6），那么Wπ与W重合。关于问题（4.5）的红利策略，我们有以下结果，证明类似于无报酬的情况，参见Azcue和Muler[10]，第5节。1和5.2。提议4。5.优化（4.5）的股息策略是一种波段股息策略，取决于setsA、B和C，其中：=nx≥ 0：（c+c）- （λ+q）W（x）+λRx/bW（x）- bα）dG（α）=0ois闭且有界，b:=（x）≥ 0:W′（x）=1+bb，（c+c）- （λ+q）W（x）+λx/bRW（x）- bα）dG（α）<0）保持打开状态，C=R+- A.∪ B是开的，存在这样的ex（例如，∞) B.我们有以下情况：o如果当前盈余处于A状态，则作为股息支付的入息保费CI；o如果当前盈余为inB，则应支付正金额的款项作为股息，以便将盈余过程转回a；o如果盈余为inC，则不支付股息。让我们回到M中的问题（4.3）。使用这个函数，我们可以把半直线M分成三组：AM:=nbbx，x: 十、∈Ao，BM:=nbbx，x: 十、∈Bo和（4.7）厘米：=nbbx，x: 十、∈根据第4.5条，我们得出结论，初始盈余为M的辅助问题（4.3）的最优红利策略如下：o如果（（b/b）x，x）∈ 安博思分公司在下一个目标之前支付即将到来的溢价作为股息，o如果（（b/b）x，x）∈ BM，第二家分行支付一笔金额为m的金额，第一家分行支付（b/b）m的金额，其中m是将剩余流程带回AM的最低金额，最后如果（（b/b）x，x）∈ CM，第二家分行不支付股息，第一家分行支付（c- （b/b）c）作为股息率。备注4.6。

如果最优值函数V与（4.3）中定义的函数V一致，则最优策略由B给出*=十、∈ D:x/∈ BM, B*=十、∈ D:（b/b）x/∈ BM,B*=D- B*∪ BM∪D- B*,A.*= 我是一个*= C和A*= C*= . 此外，在*两种保费均作为股息支付在一个*第一家分行以c利率支付股息- （b/b）c（因此剩余过程仍以M为单位）在D中，第一家分行立即付款（x- （b/b）x），因此，当前盈余在水平方向上立即变为M；o第二家分行立即付款（x- （b/b）x），因此，当前盈余在垂直方向上立即变为M。在c=（b/b）c的特殊情况下，第一家分行不需要支付股息，以保持在M中，因此c*= A.*= 厘米4.3.在c/c=b/b的情况下，eV是最优值函数。我们证明，最优值函数V与（4.3）中定义的函数eV一致。提议4。7.对于任何x≥ 我们有V（（b/b）x，x）=V（x）=W（x）。证据考虑到任何可采性L=（L，L）∈ π（b/b）x，x，让我们定义一下∈ π（b/b）x，xasL（t）=L（t）+L（t）（b，b）注意L（t）+L（t）=L（t）+L（t）和XL（t）∈ M表示t<bτL，so L∈e∏（b/b）x，x。很容易检查破产时间bτL是否小于或等于bτL。因此，VL（bbx，x）≤ VL（bbx，x），结果如下。提议4。8.最佳值函数V=eV。证据通过命题4.7和（4.3）我们得到了M中的V=eV，然后通过命题4.2我们得到了D中的V=eV；结果是对称的。根据前面的建议，最佳策略是Remark 4.6中描述的策略。例如，考虑索赔规模分布gammaG（x）=1- （1+x）e-x、 参数b=b=0.5、c=c=21.4、q=0.1和λ=10。

在[10]的第6.2.1节中，它表明A={0,10.22}，B=（0,1.803]∪ (10.22, ∞) C=（1.803，10.22），图1中描述了最佳策略。B1*B2*A1*=C*A0*A0*B0*B0*B0*X1X2图1。备注4.9。V在CMB中是不可区分的，因为它在某个点（（b/b）x，x）是可区分的∈CM，那么b oth Vx（（b/b）x，x）和Vx（（b/b）x，x）应该是一个；那么w'（x）=1+bb意味着x/∈这是一个矛盾。4.4.在c/c<b/b的情况下，eV不是最优值函数。下一个命题是，除非在非常特殊的情况下，（4.3）中定义的函数eV永远不是优化问题（2.4）的最优值函数。提议4。10.如果（4.7）中定义的CMde不是空的，则函数v不是（3.6）在第一个变量中所有点的一致性解。证据让我们谈一点x、 x∈ cmx=（b/b）x表示W在x处是可微的（因为W是局部Lipschitz，C是右作用域，当W′存在时，C中的点集具有完全度量）。通过定义ofC，W′（x）- 1.-bb>0，andL（W）（x）=cW′（x）- （λ+q）W（x）+λx/bRW（x）- bα）dG（α）+c-bbc=0。这意味着，对于任何x>x（等等x、 x∈ D） 我们有，埃夫x、 x= 十、- x+W（x）=x-bbx+W（bbx），所以在所有这些点上，EVX都是不同的x、 x= -bb+bbW′（x）>1和Vxx、 x= 1.那么，由于bc<bc和x/b>x/b=x/b，L（eV）（x，x）=c(-bb+bbW′（x））+c- （q+λ）（x）- x+W（x））+λRx/b（x- x+W（x- bα）dG（α）=L（W）（x）+（cbb- c）W′（x）- 1.-bb- （十）- x） （q+λ）+λ（x）- x） G（x/b）。因此，取xclose到x>0，我们得到L（eV）（x，x）>0。所以，eV不是（3.6）at（x，x）的粘性解。备注4.11。在cms为空的情况下，AM={（0，0）}和BM=M- {（0，0）}，soW（x）=（bb+1）x+c+cλ+qandeV（x，x）=x+x+c+cλ+q。这种策略被称为“拿钱跑”。

根据参数，该策略可能是最佳策略，也可能不是最佳策略。最优价值函数V与D中盈余的最优策略∪ M、 与c/b=c/b的情况不同，它不能像以前那样通过一维辅助优化问题来获得。关于D中最优策略的存在性和结构，我们没有任何理论结果∪ M.在第5节中，我们将使用二维数值格式来近似最优策略。5.D中的数值格式∪ 在这一节中，我们给出了一个收敛的数值格式来逼近c/b>c/bin R+情况下的最优值函数。事实上，根据推论4.2，我们得到了值函数满足v（x，x）=x- （b/b）x+V（（b/b）x，x），因此不足以逼近D中的最优值函数∪M.对于向下跳跃的联合多变量分布函数由F（x，y）：=G（（x/b）给出的情况，该数值模式可被视为[11]中所述模式的特殊情况∧ （y/b））并且惩罚函数和开关值函数都相同为零。如果δ>0，考虑x=cδ和x=cδ，在R+asGδ中定义网格域Gδ：={（nx、 mx） ：n，m≥ 0} .我们在网格Gδ的每个点上寻找HJB方程（3.6）的算子所建议的最佳局部策略；这些可能的本地策略是：第一家分行一次性支付股息，第二家分行一次性支付股息，或者没有一家分行支付股息。这些局部策略的修改方式使应用这些局部策略后的受控盈余位于电网中。gr id Gδ任意点的可能控制动作定义如下：let（nx、 m十）∈ Gδ是初始盈余，τ和U分别是第一次索赔的时间和规模。1.