关于以外币支付的最优股利的注记

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英文标题：
《A Note on the Optimal Dividends Paid in a Foreign Currency》
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作者：
Julia Eisenberg, Paul Kr\\\"uhner
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider an insurance entity endowed with an initial capital and a surplus process modelled as a Brownian motion with drift. It is assumed that the company seeks to maximise the cumulated value of expected discounted dividends, which are declared or paid in a foreign currency. The currency fluctuation is modelled as a L\\\'evy process. We consider both cases: restricted and unrestricted dividend payments. It turns out that the value function and the optimal strategy can be calculated explicitly.
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中文摘要：
我们考虑一个被赋予初始资本和盈余过程的保险实体，其模型为带漂移的布朗运动。假设公司寻求最大化以外币宣布或支付的预期贴现股息的累计价值。货币波动被模拟为一个利维过程。我们考虑两种情况：限制性和非限制性股息支付。结果表明，价值函数和最优策略可以显式计算。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> A_Note_on_the_Optimal_Dividends_Paid_in_a_Foreign_Currency.pdf (226.67 KB)

2022-5-11 02:52:10 上传

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关键词：Mathematical unrestricted Quantitative Optimization mathematica

关于外币支付最优红利的一个注记Julia Eisenberg*维也纳理工大学保罗·克鲁内尔经济数学方法研究所。摘要我们考虑一个具有初始资本和盈余过程的保险实体被模拟为一个带漂移的布朗运动。假设公司寻求最大化以外币宣布或支付的预期贴现股息的累计价值。货币波动被建模为一个L’evy过程。我们考虑两种情况：限制性和非限制性股息支付。结果表明，价值函数和最优策略可以显式计算。关键词：最优控制，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，列维过程，股息，外国货币2010年数学科目分类：主要93B05次要49L201简介在低利率时期，投资者寻求其他收入来源，例如股息支付。事实上，股息是一家公司可以向股东支付的款项。由于股息通常反映公司的收益，因此投资回报率可能大大超过市场上的无风险收益率。通常，投资者寻求分散风险，投资海外公司。另一方面，大公司向其他国家扩张，让股东有可能以当地货币支付股息。这使投资者面临货币波动的额外风险。为了说明投资者如何受到汇率变动的影响，让我们考虑以下例子。英国石油公司是世界上最大的石油和天然气公司之一，因此也是最受欢迎的投资公司之一。在该公司的网站（www.bp.com）上找到以下信息：“英国石油公司以美元申报股息。

英国石油公司普通股股东将收到斯特林的股息，他们每个季度收到的金额可能会因外国投资者的变化而有所不同*电子邮件：jeisenbe@fam.tuwien.ac.atexchange利率。”自2014年12月以来，BP向普通股股东支付的季度股息为每股0.10美元。然而，以英镑结算的实际付款额在2015年12月18日为0.066342英镑，在2014年12月19日为0.063769英镑（conference www.bp.com/content/dam/bp/pdf/investors/bp cash dividendsordinary holders.pdf）。增长超过4%是由于美元的紧缩。反之亦然，如果公司的收益/股息正在增加或至少没有减少，但其本国货币（在我们的例子中是英镑）相对于美元增加，那么股息支付的价值就会低于美国。例如，2009年，英国石油公司向普通股股东支付的季度股息为0.14美元/股（www.nasdaq.com/symbol/BP/divident history），相当于2008年的0.09584英镑。2009年9月6日降至0.08503英镑，仅在三个月内就下降了11%以上。举一个保险/再保险行业的例子：瑞士再保险宣布其定期股息，每年以瑞士法郎支付。也就是说，投资者从欧盟获得的股息收入将取决于上述瑞士法郎/欧盟的汇率。不同约束条件下的分头最大化问题由来已久。Shreve、Lehoczky和Gaver[12]将预期贴现股息最大化至toruin，减去一般贴现过程的一些罚金，作为被考虑保险实体的盈余过程。Asmussen和Taksar[2]发现了一个以漂移为盈余的aBrownian运动的显式解。Hubalek和Schachermayer[8]研究了应用于股息率的效用函数下的问题，Grandits等人。

[7] 使股息现值的预期效用最大化。由于本文不应是关于该主题的调查，因此我们参考了Albrecher和Thonhauser[1]或Schmidli[11]以及其中的参考文献。现在，考虑一家保险公司寻求最大化预期贴现率，而股息是以外币宣布或支付的。假设所考虑公司的盈余遵循带漂移的布朗运动，描述货币波动的因子由几何L’evy过程给出，这是实际应用的基本设置，例如[4，第452页]。我们考虑了股息支付受到限制或不受限制的情况，也考虑了盈余过程和货币变动之间的依赖性。据我们所知，如果股息以外币支付，股息最大化的问题以前从未被考虑过。通常，我们假设贴现率是一个正确定常数。在[6]中，在假设几何布朗运动是一个搜索因子的情况下，分区被最大化。由于布朗运动是一个L’evy过程，因此本手册中考虑的模型是[6]中考虑的模型的推广。与[6]类似，我们可以明确地计算价值函数和最优策略。通过实例说明了结果。2价值函数和最优策略考虑一家保险公司，其盈余由一个布朗运动给出，其中{Wt}是一个标准的布朗运动u，σ>0。

被保险公司可以在任何时候以当前盈余的任何金额支付股息，其中截至t的累计股息由Dt给出，产生f或x股息盈余XD:XDt=x+ut+σWt- Dt。考虑将在XD的破产时间停止，即时间τD:=inf{t≥0:XD（t）=0}。我们只假设下卧过滤{Ft}是完全的，右连续的，W是F-布朗运动。在本文中，我们考虑了一组可容许的红利策略。首先，我们允许股息策略的ju st t=RTUSD，u逐渐可测量，0≤ 美国犹他州≤ ξ对于某些边界ξ>0。此外，我们用Arand表示这些股息策略的类别，我们有时写={ut}来表示Dt=RTUSD。后来，我们允许在任何时候无限制地支付股息，也就是说，D可以是任何正确的持续增长和调整过程 Dt≤ Xt- Dt-我们通过Au定义了这些过程的类别。作为一种风险度量，我们考虑了预期贴现股息的价值，其中股息按恒定的偏好率δ贴现∈ R、 即e给出的贴现因子-δt≥ 0.由于我们假设，被考虑的保险公司以外币产生收入，但以本国货币支付股息，因此我们也需要对汇率进行建模。一单位外币的价格由几何L’evy过程建模，即L’evy过程的指数在某个水平L开始∈ R、 参考[10]。通常，我们假设L是一个F-L’evy过程。此外，目前我们假设L’evy过程L独立于Br ownianmotion W dr iving the surplu s过程X；对于依赖关系，请参阅进一步的备注2.5。我们定义了对应于某种容许策略D={ut}tobeVD（l，x）：=EhZτde的返回函数-δt-Ltutdti，用于（l，x）∈ R×R+。

由于投资者寻求最大化回报，他试图找到一个可接受的策略*就这样*（l，x）=supD∈ArVD（左，x）。（1） 注意，对于任意策略D，我们有Vd（l，x）=EhZτDe-δt-Ltutdti=e-lEhZτDe-δt-（Lt-l） utdti=e-lVD（0，x）（2），大大简化了对当前水平l的依赖∈ 日志交换率的R。让我们介绍一些更进一步的表示法，即（A，ν，γ）是与L’evy过程L相关的L’evy-Khintchine三元组，参见[10，定义8.2]。我们还定义了一种特殊偏好率β：=δ-A.-ZR（e）-H- 1+h1{|h|≤1} v（dh）+γ-1.-∞E-xν（dx）<∞ 和β：=-∞ 否则注意，控制问题（1）是适定的当且仅当β>0。事实上，假设-∞ < β ≤ 0，选择D={u}，并用τdt表示红利策略-D下盈余过程Xdt的破产时间。然后，例如Borodin和Salminen[3，p.295]，一个有pτ~D=∞=1.- E-ux，表示x>0V（x）≥ VD（x）=uEhZτDe-βtdti=∞,这表明如果β≤ 0、情况β=-∞可以用同样的方法对待。因此，在下文中，我们假设β>0。对应于该问题的HJ B方程由AVLL（l，x）+Z给出V（l+h，x）- V（l，x）- h1{|h|≤1} Vl（l，x）ν（dh）- γVl（l，x）+uVx（l，x）+σVxx（l，x）-δV（l，x）+supu∈[0，ξ]uE-L- Vx（l，x）= 0通过方程式（2）简化为uVx（0，x）+σVxx（0，x）-βV（0，x）+supu∈[0，ξ]u1.- Vx（0，x）= 0.（3）几位作者研究了方程式（3），并在[11，pp.97–104]中详细讨论了解决方案。我们在下面的提案2.1中总结了这些影响。在无限制股息支付的情况下，决策者寻求最大化VDD∈ Au，即我们想要找到一个可接受的策略D*∈ 奥苏克·萨维德*（l，x）=supD∈AuVD（左，x）。如方程（2）所示，我们得到VD（l，x）=e-对于任何策略D，lVD（0，x）∈ 欧。

相应的HJB readsmaxnAVll（l，x）+ZV（l+h，x）- V（l，x）- h1{|h|≤1} Vl（l，x）ν（dh）- γVl（l，x）+uVx（l，x）+σVxx（l，x）-δV（l，x），e-L- Vx（l，x）o=0，简化为xnuVx（0，x）+σVxx（0，x）-βV（0，x），1- Vx（0，x）o=0。（4） 同样，这个等式在[11，第102页]中得到了广泛的处理。现在确定以下辅助量θ：=-u+pu+2βσ和ζ：=-u -pu+2βσ；η :=ξ - u -p（ξ）- u)+ 2βσσ.（5） 命题2.1在受限情况下，值函数V解HJB方程（3），由V（l，x）=e给出-lF（x），其中f（x）：=ξβ1.- eηxβ ≥ -ξη，eθx-eζxθeθxr-ζeζxrβ<-ξη和x≤ xr，ξβ+ηeη（x-xr）β<-ξη和x>xr，以及最优策略D*= {u*s} 智能开关单元*s（x）=ξ1I[XD*s> xr]，withxr:=ln1.- ζξδ+η- 自然对数1.- θξδ+ηθ - ζ=lnζ-ηζθ-ηθθ -ζ.在不受限制的情况下，值函数V求解HJB等式（4），并由V（l，x）=e给出-lG（x），其中g（x）：=（eθx-eζxθeθxu-ζeζxux≤ β+x- xux>xu，具有最优策略D*t=max{sup0≤s≤T∧τD*Xt- xu，0}，和xu:=lnζθθ - ζ.证据：见[11，第101103页]。让我们举一个简单的例子，说明即使在存在负偏好率δ的情况下，优化问题也可以很好地解决。图1：具有负偏好率δ的过程{Lt+δt}的实现。示例2.2集δ=-1/4，A=1/2，b:=log（5），b:=log（5/4），N（1），N（2）是独立的标准泊松过程，即它们是跳跃强度为1，跳跃高度为1的泊松过程，且b是独立于W的标准布朗运动，其中b，N（1）和N（2）是F-适应的。定义：=√Bt+bN（1）t- bN（2）t，t≥ 0.那么，β=1/20，因此命题2.1 y ields认为优化问题是适定的。样本路径模拟表明，Lt+δt的路径倾向于∞ 作为t→ ∞正如人们所期望的，这一点很容易验证，参见图1。

另一个例子是对交换率使用正态逆高斯（NIG）过程。例2.3假设L是一个NIG过程，参数（σ，θ，κ）=（0.19,0,1）在[5，表4.5]的意义上，并假设δ=0.5。然后β=δ+κ1.-√1.- σκ + 2θκ= 0.6>0，因此命题2.1得出优化问题是适定的。图2给出了{Lt+δt}的示例路径模拟。备注2.4现在，让（5）中定义的常数以及相应的β的最佳势垒xrand xube函数，其中我们用非负变量y代替β。很容易证明xr（y）和xu（y）在y中严格递减。特别是，这意味着，应根据保险公司对汇率未来发展的预期调整分割端壁垒。备注2.5（包括L和W之间的依赖关系）这似乎是一个自然的扩展，允许L’evy过程和布朗运动W.051015200510150510520051015051015051015051052001050020020051000200510150510002005101505100200515图2：δ=0.5的过程{Lt+δt}的实现和参数为（0.19，0，1）的NIG过程。然而，引入L’evy过程L和aBrownian运动W之间的依赖关系的唯一方法是使L’evy过程L的连续鞅部分L依赖于布朗运动W。余数lr:=L- LCI又是一个L’evy过程，独立于（Lc，W），LCI是一个标度布朗运动。一种自然的方法是将lca和W关联起来，这样（W，Lc）就是二维布朗运动。然后，可以通过像以前一样调整δ，将LR从考虑范围中移除。[12]和[2]中已经解决了遗留问题。

致谢第一作者的研究得到了奥地利科学基金（grantP26487）的支持。参考文献[1]Albrecher，H.和Thonhauser，S.：保险红利问题的最优性结果。RACSAM103（2），295–320，（2009）[2]阿斯穆森，S.和塔克萨，M.：最优股息支付的受控d效用模型。保险：数学。经济。，20,1-15，（1997）[3]Borodin，A.N.和Salminen，P.：布朗运动手册——事实和公式。Birkh–Ausergrag，巴塞尔。（1998）[4]Brigo，D.和Mercurio，F.：利率模型——理论与实践。斯普林格，海德堡。第二版（2006）[5]Cont，R.和Tankov，P.：带跳跃过程的金融建模。华润出版社，伦敦。（2004）[6]艾森伯格J.：随机利率下的最优股息。保险：数学。经济部。65259–266，（2015）[7]格兰迪斯，P.，胡巴莱克，F，。Schachermayer，W.和Zigo，M.：布朗风险模型中股息支付的最优预期指数效用。斯堪的纳维亚精算杂志，2，73–107，（2007）[8]Hubalek，F.和Schachermayer，W.：优化aBrownian风险过程和特殊非线性ODE的股息支付预期效用。保险：数学。经济。，34（2），193–225，（2004）[9]Jacod，J.和Shiryaev，A.：随机过程的极限定理。柏林海德堡斯普林格。第二版（2003）[10]佐藤，K.：列维过程和不完全可分分布。剑桥大学出版社，爱丁堡。（1999）[11]施密德利，H.：保险中的随机控制。斯普林格·维拉格，伦敦。（2008）[12]Shreve，S.E.，Lehoczky，J.P.和Gaver D.P.：具有吸收和反射屏障的一般差异的最佳消费。暹罗J.控制优化。，22(1), 55–75, (1984)