非均匀介质Choquet积分的联合公理化

由于在这些集XSk中发现的所有等价类（有两个或更多基本变量）现在都有一个定义值，因此这些等价类完全在集内，只有一个基本变量。因此，我们可以扩展这些表示，并得到φi（xi）>φi（yi）i ff xi<iyi（参见引理7，它表明函数定义良好）。引理3。考虑到某人，这样就存在一个 N、 为了什么我们有一个∈ A、 j∈ N\\A，以下是trueXi∈Aαai=Xi∈Aαbi。证据以rAr为例-A、 它同时属于XSA和XSb。通过定理7和上述单本质坐标区域的值函数的构造，我们得到了φa（rAr）-A） =φb（rAr）-A） ，hencePi∈Aαaiφ（ri）=Pi∈Aαbiφ（ri），由此得出的结论为φi（ri）=1表示所有i∈ N.现在我们可以继续构建一个独特的容量ν：2N→ R来自存在于各种XSa上的系数αAi。如Wakker[1989]所示，引理3的条件是实现这一点的必要条件。容量ν还有一个独特的M–obius transformm:2N→ R（参见第2.1节中的定义）。我们现在可以构造一个非常类似于Choquet积分的表示。为此，让我们首先定义以下函数：Φ∧（x，A）：=φi（xi）表示i，使得j rxi表示所有j∈ A\\i，如果这对几个i是正确的，可以选择任何一个。我们现在可以构造一个全局值函数（参见第2.1节）：φ（x）：=XA∈纳米（A）Φ∧（x，A）。（2） 很容易看出，对于每个x∈ X和每个XSi，这样X∈ 我们有φa（x）=φ（x）。现在我们可以证明φi（xi）=φj（xj），只要i，jinteract。引理4。对于任何n-极限x∈ 它包含的X：i Exj=> φi（xi）=φj（xj），除非i和j不相互作用。证据假设x∈ XSa，x∈ 当所有k，l的kSbl∈ 与i，j分开，我们有iSaj和jSbi。

根据定理7，φa（x）=φb（x）和引理3，对于所有k6=i，j和αai+αaj=αbi+αbj，证明αak=αbk是很简单的。我们有αaiφi（xi）+αajφj（xj）=αbiφi（xi）+αbjφj（xj）（其他和分量抵消）。除以αai+αaj=αbi+αbj，我们得到φi（xi）和φj（xj）在两侧的凸组合。由此得出φi（xi）=φj（xj）或αai=αbian和αaj=αbj。假设是后者。对XSkand和xsl的所有可能组合重复此操作将导致我们得出结论，对于所有B，m（B）=0 {i，j}，作为权重αki，αli，αkj，αljdo，当我们从XSkto XSl移动时，以及相应地从φktoφl移动时，不会改变。结论来自等式（2）。最后，我们可以证明这意味着i和j不相互作用。这意味着ij三重取消aipjz-ij4-biqjz-ijairjz-ij<bisjz-ijcipjz-ij<diqjz-ij=> cirjz-ij<disjz-ij代表所有ai、bi、ci、di∈ Xi、pj、qj、rj、sj∈ Xj和所有z-ij∈ 十、-ij。为了说明这一点，使用方程式（2）写出所有相关点的值，将求和组件分组如下。例如，对于aipjz-ij:φ（aipjz）-ij）=XAiA6jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）+XAjA6im（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）+XA6i、 jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）+XAi、 jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）。注意，由于上述论点，我们有i、 jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）=0。还请注意jA6im（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）不依赖于ai和PA6i、 jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）不依赖于Ai或pj。假设，面对一个矛盾，disjz-ij cirjz-ij。写出所有点的值，并将第一个和第三个、第二个和第四个不等式相加，得出：XAiA6jm（A）[Φ∧（aipjz）-ij，A∧（dipjz）-ij，A）]≤XAiA6jm（A）[Φ∧（bipjz）-ij，A∧（cipjz）-ij，A]XAiA6jm（A）[Φ∧（aipjz）-ij，A∧（dipjz）-ij，A）>XAiA6jm（A）[Φ∧（bipjz）-ij，A∧（cipjz）-这是一个矛盾。

因此，ij三重取消适用于所有ai、bi、ci、di∈ Xi、pj、qj、rj、sj∈ Xj和所有z-ij∈ 十、-ij，因此我和j不相互作用。引理5。如果是为了一些z∈ 我们有i Szj，然后φi（zi）>φj（zj）。证据很容易验证（由于“封闭性”假设），存在xijz-这样我就可以离开了-ijj和zi<ixi，而xj<jzj。由于φi通过引理4表示<i，并且<iis不对称（由于结构假设），我们有φi（zi）>φi（xi）=φj（xj）>φj（zj）。现在我们有了[i Exj]=> [φi（xi）=φj（xj）]用于相互作用i，j和[i-Sxj]=>[φi（xi）>φj（xj）]，因此我们得出结论[i Rxj]<==> [φi（xi）<φj（xj）]对于所有的相互作用i，j，这允许我们最终将（2）重写为Choquet积分：φ（x）=XA纳米（A）迷你∈Afi（xi）。为了总结本节的结果，我们陈述了以下引理：引理6。设X′i:=X\\{X}的最大和最小元素。设X′：=X′×。X X′n.假设至少有一个集合X′Sa（如前所述）具有两个以上的基本变量。然后每x，y∈ 我们有<==> φ（x）≥ φ（y）.7.1每一个xsa上只有一个基本变量的情况对于这种情况，我们只需要A3来构造表示。由于<是一个弱序，而每个xsih是一个可数序稠密子集，因此存在一个函数F:X=> R、 使x<y<==> F（x）≥ F（y）。为了构造值函数，我们需要以下引理。引理7。乐泰xiz-我∈ XSaand yiz-我∈ XSb。让我成为XSA和XSb的唯一必要协调人。那么，xiz-我~ 哎呀-i、 证据。证明的思想是通过构造一系列点和子集XSj从XSato XSBB“追踪路径”。我们将保持Xunchchange，但将移动剩下的坐标，以表明序列中的每个点都属于当前和后续子集，而且我将是所有XSj上唯一的基本坐标。有几个步骤。

我们从一对坐标j，k开始，这样i Saj，k，和j Sak，但k Sbj（反之亦然）。请注意，j和k在XSa中都是不重要的。让j Sak和j，k在Sa中是后继的，也就是说，没有m使得j Sam Sak。这样的一对肯定存在。使用一个简单的参数，我们可以证明我们可以构造一个pointxiz-Ib通过改变zjand zk，使k Exiz′-ij。通过密度参数，我们可以证明，如果j和k在XSa上都不是必需的，那么它们在XSa上也不是必需的。所有其他坐标的重要性也不受影响，soi仍然是XS上唯一的基本坐标。注意，因为k Exiz′-ij，我们有xiz-我∈ XSa，xiz-我∈ XS。这样继续，我们构建了一个序列xizj-直到最后一对j，k，这样i Saj，i Sak的排列顺序与Sb相同。使用同样的方法，我们对j，k重复它，这样j Sai，k Sai。最后，序列以序号结束。仍然需要切换坐标的顺序，以改变Sa和Sb中i的相对位置。通过使用封闭结构假设，我们可以构造一个同时属于XS和XSb的点，并且由于i是这两个集合上唯一的基本坐标，我们得到了结果。利用这个引理，我们现在可以通过选取x来定义值函数φi（xi）=F（x）∈ 这里i是基本坐标。引理表明这些函数定义得很好。它需要构建一个容量。我们可以这样做，让αai=1表示基本i，αaj=0表示剩余坐标。点可以用来显示类似于图3的结果。

这意味着，存在一个容量ν，偏好关系可以用一个关于该容量和值函数的Choquet积分表示，定义如上。第A.6.8节给出了一种替代结构，将表示扩展到X8的极值点。1最大点和最小点处的定义值函数由于大量可能的情况，我们不能轻易地证明所有的值函数都有界于Wakker[1991b]中的Xias上。相反，我们可以显示哪些函数被限制在XSai上。在两种情况下，我们不知道φiis是否在XSai上有界。这些情况的最大值为：omax XSai=max Xi，或oMai：=max XSai和Maiz-我∈ 仅当对于某些j6=i，我们有zj=max Xj。引理8。让我对有两个或更多基本变量的XSA进行必要的分析。设Maibe为XSai的最大元素。然后，φiis在XSaiif上有界：1。存在y和z-i、 这样的话，梅兹-我∈ xsa和y<Miz-i、 或者2。我和variab l e j属于同一个互动阵营，第一个选项适用。证据我们从第一个案例开始。我们需要构造y′和z′-i、 这样它们就不包含任何极小或极大点，并且仍然是y′<Maiz′-i、 假设z-我包含一些极大点。所有坐标不可能是单调的最大值。FindSa minimal j，使得zjis在XSaj中最大（in也可以在Xjor中最大，而不是），但是对于所有坐标k，使得j SMaiz-ik（注意上标，如果某些坐标在E中，点可以属于多个XSain情况），我们知道zk在XSak中不是最大的。我们可以稍微降低zj，发现z′jzj，这样-ijz′j∈ XSa。单调地-ijz′j.以类似的方式进行，我们可以构造z′-不包含任何最大点。

如果它也包含最小点，我们可以增加它们，从Sa最大点开始，保持在xsa，并保持关系y<Miz-ijz′j（见引理16）。同样，我们可以替换y的所有最大和最小坐标。现在我们有y′<Miz′-我既不是y′，也不是z′-i包含任何极端坐标。因此，我们可以得出结论，通过每个wi的单调性∈ XSai，我们有φi（wi）<φ（y′）-Pj6=iαjφj（z′j），这表明φiis在XSai上从上方有界。第二种情况依赖于引理4。很容易看出，如果y，那么y<Miz-i、 不存在，我们不能增加任何坐标z-i、 否则，这样做会让我们单调乏味。它还意味着，所有其他基本变量都和我在同一个交互作用系中，否则我们将能够改变它们并获得y。最后，这意味着Sa最大坐标有一个最大值，所有交互作用坐标之间的关系都是E（因为我们既不能减少，也不能增加任何坐标）。因此，我们可以使用引理4得出结论，φihas是XSai的上界。在证明引理8之后，我们现在可以定义φ（Mi）：=limzi→Miφi（zi）和φ（Mi）：=limzi→米φi（zi）代表所有我∈ N.可以用类似的方式为Xican的最小元素赋值。最后我们可以证明最后的定理。8.2整个XTheorem的全球代表8。对于任何x，y∈ 十、 我们有X<y<==> φ（x）<φ（y）。证据我们按照Wakker[1991b]（引理21）进行了一些修改。对于不包含任何最大或最小坐标的点，已经证明了这一点（第7节）。因此，假设x或y包含最大或最小坐标。让x<y，让x∈ XSa，y∈ XSb。求Sa极小值j，使xjis最大。我们也可以假设，对于所有的k，比如j Sak，我们有j Sxk。

如果不是这样，那么X属于多个XSi（通过这些集合的定义），并且必须有一个满足此条件的XSi。通过引理16，我们可以找到x′j:xj<jx′j这样的x′jx-J∈ XSA和stillx\'jx-J y、 这样我们得到了不包含任何极大坐标的x′，和x′ y、 我们现在需要证明φ（x′）>φ（y）。类似地，我们可以替换y的最小坐标，所以现在需要显示φ（x′）>φ（y′）。所以我们可以假设x没有极大坐标，y没有极小坐标。x必须有一个非最小的xsa基本坐标，找到一个Sa最大的i。同样，我们可以假设对于所有k，比如j Sak，我们有j Sxk；通过引理16，我们可以稍微减小它，并发现x′i：xi x′i和x′ix-我∈ xsa仍然是x′：=x′ix-我 y、 所以我们现在只需要显示φ（x′）≥ φ（y）。如果我们将x′的所有最小坐标替换为非最小坐标，将y的所有最大坐标替换为非最大坐标，那么通过单调性，它们之间的优先性不受影响，通过引理6，我们得到φ（x′）>φ（y）。因此，任何极小值的微小增加和极大值的微小减少都会导致一个严格的不等式。通过定义Xi的φiat极值元素，我们得出φ（x′）是所有此类φ值的内界，φ（y）是上界。因此，φ（x′）小于φ（y）。x<y=> φ（x）<φ（y）也包括φ（x）≥ φ（y）=> 现在让φ（x）>φ（y）。x不能使其所有的基本坐标都最小，所以求出最大j，这样XJI就不是最小的。通过φj的密度，我们可以找到一个极小的x′j:xjjx′jand仍然φ（x′jx-j） >φ（y）。通过上述论证，我们得到了x′jx-j<y，通过严格的单调性，我们得到了x y、 9唯一性当定义函数φiw时，为所有i设置φi（ri）=0和φi（ri）=1。

事实上，对于每个互动团体来说，这都是很轻松的∈ N、 我们可以独立选择原点和缩放因子。仅更改原点不会改变容量，但更改缩放因子会改变容量。例如，如前所述，让我们定义所有i的φ′i（ri）=0∈ N、 但将φ′i（ri）=1设为i6∈ A和φ′j（rj）=泰姬陵∈ A、 现在αA′j=tAαaj对于某些j∈ A.相应地，当规范化加法表示中的系数αA′ii时，我们将使用PI6进行划分∈Aαai+tAPi∈Aαai。不难看出，A- NA引理（引理3）仍然完好无损——事实上，每个派系中的αa′i之和保持不变，只是通过一些公共因子（Pi6）进行缩放∈Aαai+tAPi∈Aαai）对于αA′i，i6∈ A、 和tA（Pi6∈Aαai+tAPi∈对于αA′j，j∈ 答：也不难证明，在这种操作之后，等价类在不同的XSA中仍然具有相同的值。下面的引理准备了这个。引理9。Le t A，A。。。那么，对于任何一个B:B∩ Ai6=, B∩ Aj6=, 我们得到了m（B）=0。同样，如果对于两组A和Awe，m（B）=0对于所有B:B∩ A6=, B∩A6=, 然后Ado的坐标与A.Proof的坐标不交互。这足以向单身人士展示这一点。让我∈ A和j∈ A.我们需要为任何B:i，j展示这一点∈ B、 我们有m（B）=0，反之亦然，如果每个B的m（B）=0，那么i和j不相互作用。假设对于某些这样的B，我们有m（B）6=0。然后，我们可以找到xijz-ij∈ XSa，yijz-ij∈ 对于所有k6=i，j，αai6=αbi，αaj6=αbj。这意味着ij-trade-o fff的一致性并不适用于所有Xij，因此变量相互作用。要显示相反的情况，请注意，对于X中的所有可能点，我们有αai=αbi，αaj=αbj，这意味着所有Xij上的ij-trade-o-off一致性。下面两个引理很简单。引理10。PB目标（B）≥ 0代表所有互动派系Ai。引理11。让A，A。。。成为N的互动集团。

然后，Choquet积分wrta对应的ν，，可以写成积分wrt“sub capacity”的总和，定义在Ai的所有子集上。因此，我们可以用φifor kAψifor代替所有i∈ A、 通过将每m（A）乘以ν（A）再乘以pB6来重新规范化容量∈Am（B）+kAPB∈ Am（B）。显然，这意味着从不同的X到相同的等价类的点仍然具有相同的值。值函数的唯一性性质与齐次情形X=Yn中得到的类似，但本文对其进行了修改，以适应集合X的非齐次结构。由于我们的一般设置，值函数在某些点上允许“顺序”变换，在其他点上允许“基数”变换，即使在同一坐标内也是如此。特别是，如果一个点xibelong到某个XSai，并且xsaha是两个或两个以上的基本坐标，其中一个是i，那么φi（xi）只允许进行坐标变换，除非极端情况适用，当xiz-我∈ Xsafora singlez-i、 对于理解来说，二维的情况更加透明，而广义的数据仍然完好无损。设I={A，…，Ak}是一组N的相互作用团。显然，I是N的一部分。引理12。让g:X→ Rgn:Xn→ R是这样的：（1）由gi代替的hol ds。那么，xi∈ Xi，这样对于多个z-我有xiz-我∈ XSa，其中XSa是两个基本坐标，其中一个是i，值函数fi和giare如下所示：fi（xi）=αAjgi（xi）+βAj，容量变化如下m′（B）=αAjm（B）PC哎，哎∈IαAim（C）。在X的剩余点上，值函数fi具有以下唯一性：fi（xi）=ψi（gi（xi）），其中ψi是一个递增函数，对于所有j∈ N、 j 6=i，存在一个∈ N:我，j∈ A、 m（A）>0，我们还有fi（xi）=fj（xj）<==> gi（xi）=gj（xj）。证据

主要来自加法和序数表示的唯一性和引理4。唯一的并发症是特殊情况，当xiz-我∈ Xsafora uniquez-i、 这实际上意味着xiz-iis是其等价类在XSa中的唯一代表，因此它必须是最大或最小的。它还意味着，φi（xi）的变换不必与XSai中所有其他点的变换相同，因为它满足的唯一条件是φ（xiz）-i） 必须大于（或小于）XSa中所有其他等效类的值。附录A。1.技术问题13。如果<满足三重抵消，则它是独立的。证据aip-i4 aip-i、 aiq-i<aiq-i、 aip-我是比普-我=> aiq-我是比克-i、 引理14。X=SXSi。证据马上3点。定义11。对于任何连续整数的集合I，一个集合{gki:gki∈ Xi，k∈ 一} 如果存在z，坐标I上的isa标准序列-yj，yj，yjsuch，yj6~jyjand代表艾莉，i+1∈ 我们有gkiyjz-ij~ gk+1iyjz-ij。此外，我们说{gki:k∈ 一} 包含在XSaif z中-ij，yj，yjc可以这样，所有的结果点都是inxsa。引理15。公理A5暗示了以下条件。让{gki:k∈ 一} 和{hkj:k∈ 一} 可以是两个标准序列，每个序列包含在一些XSa中。同时假设∈ 一、 格米尔兹-伊尔~ hmjwnx-JN和gm+1IlZ-伊尔~ hm+1jwnx-jn。那么，无论如何∈ 一、 gkiylz-伊尔~ hkjwnx-jn。证据该证明与[Krantz等人，1971年]（第8.3.1节引理5）中的证明非常相似。假设{gki:k∈ 一、 gkiylz-伊尔~ gk+1IlZ-il}是包含在XSa中的i上的一个递增标准序列，而{hkj:hkjwnx-jn~ 香港+1wnx-jn}是j上的一个不断增加的标准序列，完全位于XSb中。我们将展示GM+2YLZ-伊尔~ hm+2jwnx-一切都由归纳而来。假设hm+2jwnx-jn gm+2IlZ-伊尔。然后，通过限制可解性，存在^hj∈ xjsuchit^hjwnx-jn~ gm+2YLZ-伊尔。