非均匀介质Choquet积分的联合公理化

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英文标题：
《Conjoint axiomatization of the Choquet integral for heterogeneous
  product sets》
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作者：
Mikhail Timonin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We propose an axiomatization of the Choquet integral model for the general case of a heterogeneous product set $X = X_1 \\times \\ldots \\times X_n$. In MCDA elements of $X$ are interpreted as alternatives, characterized by criteria taking values from the sets $X_i$. Previous axiomatizations of the Choquet integral have been given for particular cases $X = Y^n$ and $X = \\mathbb{R}^n$. However, within multicriteria context such identicalness, hence commensurateness, of criteria cannot be assumed a priori. This constitutes the major difference of this paper from the earlier axiomatizations. In particular, the notion of \"comonotonicity\" cannot be used in a heterogeneous structure, as there does not exist a \"built-in\" order between elements of sets $X_i$ and $X_j$. However, such an order is implied by the representation model. Our approach does not assume commensurateness of criteria. We construct the representation and study its uniqueness properties.
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中文摘要：
我们提出了异类产品集$X=X_1\\times\\ldots\\times X_n$的一般情况下Choquet积分模型的公理化。在MCDA中，$X$的元素被解释为替代品，其特征是标准取集合$X_i$中的值。对于特殊情况$X=Y^n$和$X=\\mathbb{R}^n$，已经给出了Choquet积分的先前公理化。然而，在多标准的背景下，不能先验地假定标准的这种相同性，因此是共通性。这构成了本文与早期公理化的主要区别。特别是，不能在异构结构中使用“共单调性”的概念，因为集合$X_i$和$X_j$的元素之间不存在“内置”顺序。然而，这种顺序是由表示模型隐含的。我们的方法不假设标准的共通性。我们构造了这个表示并研究了它的唯一性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Conjoint_axiomatization_of_the_Choquet_integral_for_heterogeneous_product_sets.pdf (349.51 KB)

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关键词：Choquet CHO Presentation Quantitative alternatives

异类积集Choquet积分的联合公理化Mikhail TimoninMarch 28，2018Abstracts我们提出了异类积集X=X×。×Xn。在MCDA中，X元素被解释为备选方案，其特征是标准取集合Xi中的值。对于X=yn和X=Rn的特殊情况，之前已经给出了Choquet积分的公理化。然而，在多标准的背景下，标准的这种相同性，因此共通性，不能被先验地假定。这构成了本文与早期公理化的主要区别。特别是，“共单调性”的概念不能用于异质结构，因为集合XiandXj的元素之间不存在“内置”顺序。然而，这种顺序是由表示模型隐含的。我们的方法不假定标准的共通性。我们构造了表示并研究了它的唯一性。1简介Choquet积分广泛应用于决策分析，尤其是MCDAGrabisch和Labreuche[2008]，尽管由于方法学问题和实际实施中的困难，其使用仍然受到一定限制。等级依赖模型首次出现在公理化决策理论中，以回应对萨维奇的理性研究的批评萨维奇[1954]。著名的埃尔斯伯格悖论埃尔斯伯格[1961]表明，人们可以违反萨维奇的公理，仍然认为自己的行为是理性的。第一个解释这种悖论中观察到的所谓不确定性厌恶的模型出现在20世纪80年代的奎金[1982]等人的著作中（参见Wakker[1991b]的综述）。

Schmeidler Schmeidler[1989]对期望效用模型（EU）的一个特殊推广是Choquet期望效用（CEU），其中概率被非加性集合函数（称为容量）取代，积分使用Choquet积分进行。自Schmeidler的论文发表以来，同一模型的不同版本已在文献中得到描述（例如Gilboa[1987]，Wakker[1991a]）。CEU在理论和应用经济学文献中都取得了一些进展，主要用于分析涉及奈特不确定性的问题。同时，多属性效用理论（MAUT）Keeney和Raiffa[1976]采用了秩相关模型，特别是Choquet积分。在这里，由于非加性度量在这种情况下的可处理性，积分得到了普及（参见Grabisch和Labreuche[2008]的综述）。该模型允许各种优先现象，如标准相互作用，这在传统的加性模型中是不可能反映的。MAUT和不确定性下的决策之间的联系早已为人所知。在状态数为有限的情况下（下文假设），状态可与标准相关联。因此，行动符合多种标准和备选方案。最后，每个州的结果集可以与标准值集相关联。然而，这最后一个转变并非微不足道。人们通常认为，世界上每个州的结果都是相同的，Savage[1954]，Schmeidler[1989]。在多标准决策中，情况正好相反。事实上，考虑消费者选择汽车的偏好。每辆车都有许多特点（标准），比如颜色、最高速度、油耗、舒适度等。

显然，每个标准所采用的值集可能与其他标准完全不同。在这种情况下，排名相关模型的排名阶段（在不确定性决策中涉及比较在不同状态下获得的结果）将相当于比较颜色与燃油消耗水平，以及最大速度与舒适度。事实上，传统的加性模型Debreu[1959]，Krantz et al[1971]只意味着捆绑商品之间单位的有意义的可比性，而不是它们的绝对水平。然而，在等级相关模型中，这种可比性似乎是一个必要条件。本文提出了Choquet积分模型的一个表示定理。二元关系<定义在异构产品集X=X×。×Xn。在多准则决策分析（MCDA）中，集合X的元素被解释为备选方案，其特征是标准从集合Xi中取值。对于X=Yn（参见K¨obberling and Wakker[2003]中的方法综述）和X=Rn（参见Grabisch and Labreuche[2008]中的综述）的特殊情况，已经给出了Choquet积分模型的先前公理化。一个相关的结果是Sugeno积分模型最近的公理化（Greco等人[2004]，Bouyssou等人[2009]）。Labreuche[2012]提出了另一种使用效用函数条件的方法。一般X情形下Choquet积分的“联合”公理化是文献中的一个公开问题。与先前公理化的关键区别在于，“共单调性”的概念不能用于异构情况，因为集合Xi的元素之间不存在有意义的“内置”顺序。

为此，必须引入新的公理和证明技术的修改。我们的第一个公理粗略地展示了如何根据加法表示存在所需的性质将集合X划分为子集。我们介绍的公理（A3）类似于之前用于描述最小/最大值和Sugeno积分的“二级”条件（Greco等人[2004]，Bouyssou等人[2009]）。A每点z∈ 对于每对坐标i，j，X∈ N可以建立两个“矩形锥体”——一个由XI的点组成，比Zi“大”，另一个由Xj的点组成，比zj“小”。该公理表明，<受限于i，j的三重相消必须至少保持在其中一个圆锥体上。这允许通过使用不同对i、j的此类圆锥的交集将X划分为子集。第二个特性是，不同子集上的加法表示是相互关联的，尤其是标准值之间的“权衡”在相同维度内和不同维度内的分区元素之间是一致的。这由两个公理（A4，A5）反映出来，类似于Wakker[1991a]和Krantz等人[1971]中使用的公理（第8.2节）。粗略地说，一种说法是三重相消适用于子集，而另一种说法是，当区间通过等价关系投影到另一个维度上时，任何维度上的区间顺序都必须保持。这些公理由一个称为双独立性（A6）和弱可分性（A2）的新条件（Bouyssou et al.[2009]）进行补充，这两个条件共同反映了积分的单调性，以及标准的本质性、“共单调”阿基米德公理和限制可解性（A7、A8、A9）。最后，<被认为是一个弱序（A1），X是序密的。2 MCDADe定义中的Choquet积分1。设N={1。

. . , n} 成为一个固定的集合，2个它的能量集合。能力（非加性测度，模糊测度）是一个集合函数ν：2N→ R+这样：1。ν() = 0;2.A B=> ν（A）≤ ν（B），A、 B∈ 2N。在本文中，还假设容量是标准化的，即ν（N）=1。定义2。函数f:N的Choquet积分→ 关于容量的R，则定义为asC（ν，f）=∞Zν（{i∈ N:f（一）≥ r} ）dr+Z-∞[ν（{i∈ N:f（一）≥ r} )- 1] dr表示f:N的范围e→ R作为{f，…，fn}，定义可以写成：C（ν，（f，…，fn））=nXi=1（f（i）- f（i）-1） ）ν（{j）∈ N:fj≥ 其中f（1），f（n）是f，fnf（1）≤ f（2）≤ · · · ≤ f（n）和f（0）=0。关于容量分析，最有用的工具之一就是所谓的M¨obius变换。这是容量的线性变换，由m（a）=XB给出A(-1） |A\\B |ν（B）。Choquet积分可以用M¨obiustransform系数写成一种非常方便的形式：C（ν，f）=XA∈纳米（A）迷你∈A（fi）.2.1 modelLet<是集合X=X×。×Xn。, , 4.~, 6.~ 以通常的方式定义。在MCDA中，集合X的元素被解释为由集合N={1，…，N}中的标准表征的替代方案。设置Xicontains准则i的准则值。如果存在容量ν和函数fi:Xi，我们说<可以用Choquet积分表示→ R、 称为值函数，例如：x<y<==> C（ν，（f（x），fn（xn））≥ C（ν，（f（y），fn（yn））。从Choquet积分的定义中可以看出，它的计算涉及相互比较fi。目前尚不清楚该操作在MCDA决策框架中有何意义。

众所周知，在加性模型Krantz等人[1971]中，直接比较各种属性的值函数是没有意义的（回想一下，每个值函数的起源可以独立地改变）。在同质情况下，这个问题很容易解决，因为我们有一组“结果”Y（在不确定性决策的背景下）。所需顺序要么假设为给定的Wakker[1991b]，要么很容易从“常数”动作（y，…，y）Wakker[1991a]的顺序中推导出来。因为只有一个“结果”集合，所以我们也只有一个值函数U:Y→ R、 因此，比较U（yi）和U（yj）是完全合理的，因为U代表集合Y上的顺序。这些方法都不适用于异构情况。2.2 Choquet积分的性质下面给出了Choquet积分的一些重要性质：1。函数f:N→ R和g:N→ 如果没有i，j，R是共单调的∈ N保持sf（i）>f（j）和g（i）<g（j）。对于所有的共单调f，Choquet积分简化为通常的Lebesgue积分。在有限的情况下，积分相应地减少为加权和。2.Choquet积分的特殊情况（例如Grabisch和Labreuche[2008]）如果m（{1}）=m（{n}）=1，然后C（ν，（f，…，fn））=max（f，…，fn）如果m（N）=1，m（A）=0，a6=N，那么C（ν，（f，…，fn））=min（f，…，fn）如果m（A）=0，则所有A N:|A |≥ 2，那么C（ν，（f，…，fn））=Pi∈Nν（{i}）fiProperty 1表示集合X可以被划分为与值函数的特定顺序相对应的子集。有n！这样的场景。因为每一个集合的积分都被化为一个加权和，即。

作为加法表示，我们应该期望加法联合模型的许多公理在这个子集上有效。这就是下一节给出的几个公理背后的直觉。3公理和定义3。考虑到我，j∈ N、 关于X×。Xnsatis fies ij三重取消（ij-3C），如果适用于所有ai、bi、ci、di∈ Xi、pj、qj、rj、sj∈ Xj和所有z-ij∈ 十、-ijz:aipjz-ij4-biqjz-ijairjz-ij<bisjz-ijcipjz-ij<diqjz-ij=> cirjz-ij<disjz-ij。A1-弱序这是一个软弱的秩序。A2-弱可分性。尽管如此，如果-我 比克斯-如果是人工智能，比∈ Xi，x-我∈ 十、-i、 真的-我是比伊-不管怎样-我∈ 十、-i、 注意，由此可知，对于任何ai，bi∈ xiaix-我是比克斯-ior bix-我知道-ifor all x-我∈ 十、-i、 这允许引入以下定义：定义4。对于所有ai，bi∈ 氧化物含量<ias ai<ibi<==> 艾克斯-我是比克斯-ifor all x-我∈十、-i、 定义5。对于任何一个z∈ X定义SEzij={xixjz-ij∈ X:xi<izi，zj<jxj}，nwzij={xixjz}-ij∈ X:zi<ixi，xj<jzj}。A3-协调订购完整性。对于任何一个z∈ 十、 而我，j∈ N、 ij triplecancellation适用于SEzijor和NWzij。这个新属性将允许我们将X划分为子集，而无需使用共单调性的通知。我们可以介绍以下二元关系：定义6。我们写：1。如果ij三重取消在集合SEzij上保持，则为Rzj。2.i Szj if[非j Rzi]。3。如果[i Rzj和j Rzi]。请注意，Rzis是完整的（这就是为什么我们将axiom A3称为“坐标顺序完整性”），而Szi是部分的。因为N是有限的，所以只有有限数量的各种偏序Sz，所以我们可以对它们进行索引（Sa，Sb，…）不需要的时候，把上面的字母去掉。此外，每一部分订单都偷偷地定义了相应的RK-i Rkj if[NOT j Ski]。与具有两个变量的情况相比，仅此属性不足以构造表示。

比较不同属性的值函数表明了某种传递性。例如，fi（xi）>fj（xj）和fj（xj）>fk（xk）意味着fi（xi）>fk（xk）。我们引入的属性较弱——它是非循环的。如果它对于所有z都为空，那么其他的一个函数就意味着存在一个关于XA3-酰基-坐标序无环性的加法表示。尽管如此，z∈ 十、 这是非循环的。换句话说，我Szj Sz。Szk=> 我是Rzk。这个公理有效地定义了集合X的划分方式。Choquetintegral表示法必须存在。我们还介绍了以下概念：定义7。定义SEijas是以下三个集合的结合：o所有z∈ X使得i Rzj，如果z不是最大值，而zjis不是最小值都是z∈ 这样Zi是最大的，对于无xj，yj∈ Xj:zj<jxj<jyjj我们有Rxjz-ji而不是j Ryjz-吉都是z∈ 这样，兹吉斯米尼马尔和无xi，易∈ Xi:yi<ixi<iziwe h avej Rxiz-而不是杰里兹-二、将NWIJA定义为以下三个集合的联合体：o所有z∈ X使得j Rzi，如果zjis不是最大值，zi不是最小值都是z∈ 这样Zi最小，没有xj，yj∈ Xj:yj<jxj<jzjwe havei Rxjz-jj而不是我Ryjz-jj；o都是z∈ X s uch that zjis max and for no xi，yi∈ Xi:zi<ixi<iyiwe havei Rxiz-而不是我-ij。最大点和最小点的存在使Seijand NWij的定义变得非常复杂，因为在这些点上，一些集SEzijand NWzijbecome退化，条件3C ij微不足道。如果集合xind Xjdo不包含最小或最大点，我们可以在每个定义中删除相应的条件，并简单地声明seij={z:i Rzj}和NWij={z:j Rzi}。偏序集合X的边定义子集如下。定义8。我们写XSi=T（k，j）：k RijSEkjIt众所周知，笛卡尔积上存在加法表示的有效性质是强独立性Krantz等人[1971]。

在X=yn的情况下，Choquet积分之前是使用协单调强独立性（或协单调交换一致性Wakker[1991a]）公理化的。在本文中，我们将使用setsXSito公式来表示类似的条件。定义9。我们说我∈ N在A上是必不可少的 如果存在xix-i、 yix-我∈ A、 这样一来，xix-我 yix-i、 A4-协调内贸易-一致性Aix-i4 biy-iaiw-我喜欢做生意-icix-我喜欢自己动手-我=> ciw-我是迪兹-i、 前提是：a）存在XSjsuch，该aix-i、 比伊-i、 哎呀-i、 生意-i、 cix-i、 diy-i、 ciw-i、 迪兹-我∈ XSjb）存在XSj，XSksuch-i、 比伊-i、 哎呀-i、 生意-我∈ XSj，我在XSj和cix上是必不可少的-i、 diy-i、 ciw-i、 迪兹-我∈ XSk，或；c） 存在XSj，XSK，比如aix-i、 比伊-i、 cix-i、 diy-我∈ XSj，我对XSj很重要，还有aiw-i、 生意-i、 ciw-i、 迪兹-我∈ XSk。非正式地说，该公理的含义是，偏好差异（“间隔”）之间的顺序是保持不变的，而不考虑用于测量它们的“测量杆”。然而，与加法情况相反，这并不适用于所有X，而是仅当所有四个关系中涉及的所有点都位于同一个“3C集”XSj中，或者两个关系中涉及的点位于一个此类集中，而其他两个关系中涉及的点位于另一个此类集中时。A5-协调间贸易一致性Aix-i4 biy-icix-i<diy-艾伊-我~ 项目-杰比-我~ qjx-杰西-我~ rjx-伊迪-我~ sjx-jpje-j<qjf-J=> rje-j<sjf-适用于所有aix-i、 比伊-i、 cix-i、 diy-我∈ XSj提供的i在XSj上是必不可少的，好吗-i、 比伊-i、 ciy-i、 diy-我∈ XSk，pjx-j、 qjx-j、 rjx-j、 sjx-J∈ XSLJ在XSl、pje中是必不可少的-j、 qjf-j、 rje-j、 sjf-J∈ XSm。A5的形式陈述相当复杂，但它只是意味着“间隔”的理论顺序在各个维度上都得到了保留。连同A4，这些条件类似于Wakker的交易一致性条件Wakker[1991b]。