随机波动和随机波动混合模型中的方差互换定价

如果标的资产遵循动力学（14），那么f（φ；t，t，, ν（t），r（t）|FX（t+))= eC（φ，T）j（D（φ，T）；t、 t，ν（t））·k（E（φ，t）；t、 t，r（t）），其中对于任何0≤ T≤ T，D（φ，T），j（φ；T，T，ν（T））和k（φ；T，T，r（T））由D（φ，T）=a+bσ1给出- eb（T）+-t） 一,- geb（T）+-t） ，a=κ*- ρσφ，b=pa+σ（φ- φ） ，g=a+ba- b、 （18）其中j（φ；t，t，ν（t））=eF（φ，t）+G（φ，t）ν（t），F（φ，t）=RTthκ*θ*G（φ，s），X（s）ids，G（φ，t）=2κ*φσφ + (2κ*- σφ）eκ*（T）-t） k（φ；t，t，r（t））=eL（φ，t）+M（φ，t）r（t）和C（φ，t）、E（φ，t）、L（φ，t）和M（φ，t）由以下常微分方程确定-dEdt=ηE- (α*+ B（t，t）η）E+φ，-dCdt=κ*θ*（t） D+α*β*（t） E，-dMdt=ηM- (α*+ B（t，t）η）M，-dLdt=α*β*（t） M.（19）证据。这里，我们给出命题1的一个简单证明。我们表示y（T）asf（φ；T，T，, ν（t），r（t）|FX（t+))= ET（ET（eφy（T）|F（T）∨ F（T）∨ F（T）∨ 外汇（T+)) （20） | F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（T+)).我们首先关注于计算内部期望et（eφy（T）|F（T）∨ F（T）∨ F（T）∨ 外汇（T+)).通过定义函数u（φ；t，es，ν，r）=ET（eφy（t）| F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（T+))和T≤ T≤ T+, 应用Feynman-Kac定理，我们得到Ut+vUes+σνUν+ηrUr+ρσνU锿ν+R-νUes+（κ）*(θ*（t）- ν))Uν+α*β*（t）- (α*+ B（t，t）η）rUr=0，U（φ；t=t+, es，ν，r）=eφy（T），（21），其中es（T）=ln S（T）- ln S（T）in T≤ T≤ T+. 为了解（21），我们假设[11]中的（φ；t，es，ν（t），r（t））具有以下公式（φ；t，es，ν（t），r（t））=eC（φ，t）+D（φ，t）ν+E（φ，t）r+φes。（22）8曹继陵、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军（22）替换成（2 1），我们得到以下三首颂歌-dDdt=φ（φ- 1) + (ρσφ - κ*)D+σD，-dEdt=ηE- (α*+ B（t，t）η）E+φ，-dCdt=κ*θ*（t） D+α*β*（t） E，（23）带有初始条件sc（φ，t+) = 0，D（φ，T+) = 0，E（φ，T+) = 0

（24）然后，我们可以将（2-3）中第一首颂歌的解写成D（φ，t）=a+bσ1- eb（T）+-t） 一,- geb（T）+-t） ，a=κ*- ρσφ，b=pa+σ（φ- φ） ，g=a+ba- b、 （25）需要数值积分才能得到E和C的解。现在，我们继续求解0的外部期望值≤ T≤ T在t=t时，ET（eφy（t）|F（t）∨ F（T）∨ F（T）∨ 外汇（T+))= U（φ；t=t，es（t），ν（t），r（t））=eC（φ，t）+D（φ，t）ν（t）+E（φ，t）r（t）。定义ν（t）和r（t）的下列特征函数，分别为j（φ；t，t，ν（t））=ET（eφν（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t）），和k（φ；t，t，r（t））=ET（eφr（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t））。然后，我们得到相应的偏微分方程Jt+σνJν+ (κ*(θ*（t）- ν))Jν=0，j（φ，t=t，t，ν）=eφν，（26）和Kt+ηrKr+α*β*（t）- (α*+ B（t，t）η）rKr=0，k（φ，t=t，t，r）=eφr.（27）利用[7,11]中的有效形式求解技术，我们假设（26）的解的形式为j（φ；t，t，ν（t））=eF（φ，t）+G（φ，t）ν（t）。（28）函数F（φ，t）和G（φ，t）c可以通过求解两个常微分方程来求出-dGdt=σG- κ*G-dFdt=κ*θ*（t） 初始条件为sf（φ，t）=0，G（φ，t）=φ。（30）解为f（φ，t）=ZTtκ*θ*（s） G（φ，s）ds，G（φ，t）=2κ*φσφ + (2κ*- σφ）eκ*（T）-t） 。接下来，定义函数k（φ；t，t，r（t））=eL（φ，t）+M（φ，t）r（t），以导出（27）的解。初始条件为L（φ，T）=0和M（φ，T）=φ。然后，L和M满足以下条件-dMdt=ηM- (α*+ B（t，t）η）M，-dLdt=α*β*（t） M，（31）结合内外期望计算，我们得到了命题中的结果。3.2. 给定路径FX（t）的特征函数。在这一小节中，我们导出了特征函数f（φ；t，t，, ν（t），r（t））。

为了实现这一点，我们需要计算方程（18），其中θ*（t） 和β*（t） 取决于马尔可夫链过程X到t+,f（φ；t，t，, ν（t），r（t））=ET（eC（φ，t）·j（D（φ，t）；t、 t，ν（t））·k（E（φ，t）；t、 t，r（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））=ETexpZT+Thα*β*E（φ，s）+κ*θ*D（φ，s），X（s）ids+ZTthκ*θ*G（D（φ，T），s），X（s）ids+ZTthα*β*M（E（φ，T），s），X（s）ids+2κ*D（φ，T）σD（φ，T）+（2κ*- σD（φ，T））eκ*（T）-t） ν（t）（32）+r（t）ZTtηM（E（φ，T），s）- (α*+ B（s，T）η）M（E（φ，T），s）ds！F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（t）= ETexp（ZT）+thJ（s），X（s）ID）| F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t）！×exp（ν（t）G（D（φ，t），t））×exp（r（t）M（E（φ，t），t））。这里是函数J（t）∈ Rn由j（t）=（κ）给出*θ*G（D（φ，T），T）+α*β*M（E（φ，T），T））（1- HT（t））+（α*β*E（φ，t）+κ*θ*D（φ，t））HT（t）（33）以及HT（t），后者是定义为asHT（t）的重型单位阶跃函数=1.如果没有≥ T，0，其他。10曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军。设{X（t）：0≤ T≤ T}是一个状态切换马尔可夫链，其动力学由（15）给出。在QT下，ex pRTthJ，X个ID是拜特给的经验RTthJ，X个IDF（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（t）= hΦ（t，t；J）X（t），1i，（34），其中函数Φ（t，t；J）是由Φ（t，t；J）=expZTt（QT（s）+diag（J（s））ds！给出的N×N R值矩阵！，（35）带1=（1，1，…，1）∈ 注册护士。证据考虑Z（t，t）=expRTthJ，X个IDX（T）。区分Z（t，t）和使用（15）YieldZ（t，t）=expRTthJ，X个ID（QT（T）X（T）dT+dMT（T））+hJ（T），X（T）ie xpRTthJ，X个IDX（T）dT=expRTthJ，X个IDdMT（T）+hJ（T），X（T）iZ（T，T）dT+expRTthJ，X个IDQT（T）X（T）dT=expRTthJ，X个IDdMT（T）+QT（T）+diag[J（T）]Z（t，t）dT（36）积分（36）的两边给定的srttdz（t，s）=RTt（QT（s）+diag（J（s）））Z（t，s）ds+RTtexpRsthJ（w），X（w）idwdMT（s）。（37）Putψ（t，t；J）=EThZ（t，t）F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t）i。

在（37）的两侧取期望值，得到ψ（t，t；J）=X（t）+ZTt（QT（s）+diag（J（s））ψ（t，s；J）ds。（38）假设Φ（t，s；J）是一般微分方程线性系统的N×N矩阵解dΦ（t，s；J）ds=（QT（s）+diag（J（s）））Φ（t，s；J），Φ（t，t；J）=diag（1）=IN。（39）与（38）相比，我们得到了结果ψ（t，t；J）=Φ（t，t；J）X（t），这最终得到了公式（34）。现在，将命题2中的结果代入（32）中，给出了y（T）=lns（T）的特征函数+)-ln-S（T）对于具有区域切换的Heston-CIR模型。提议3。如果标的资产遵循动力学（14），那么y（T）=ln S（T+) - lns（T）由f（φ；T，T）给出，, ν（t），r（t））=ET[eφy（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t）]=exp（ν（t）G（D（φ，t），t））×exp（r（t）M（E（φ，t），t））×hΦ（t，t+; J） X（t），1i，（40），其中D（φ，t），G（φ，t），J（t）和Φ（t，t+; J） 给出了比亚迪（φ，t）=a+bσ1- eb（T）+-t） 一,- geb（T）+-t） ，a=κ*- ρσφ，b=pa+σ（φ- φ） ，g=a+ba- b、 G（φ，t）=2κ*φσφ + (2κ*- σφ）eκ*（T）-t） ，J（t）=（κ*θ*G（D（φ，T），T）+α*β*M（E（φ，T），T））（1- HT（t））+（α*β*E（φ，t）+κ*θ*D（φ，t））HT（t），Φ（t，t+; J） =expRT+t（QT（s）+diag（J（s））-ds,（41）和E（φ，t）以及M（φ，t）由以下常微分方程确定-dEdt=ηE- (α*+ B（t，t）η）E+φ，-dMdt=ηM- (α*+ B（t，t）η）M.（42）现在，通过使用方差交换的公平交货价格估值，并总结前面的整个过程，我们可以为方差交换asET编写向前特征函数S（tj）S（tj）-1)- 1.F（0）∨ F（0）∨ F（0）∨ 外汇（0）= ETe2y（tj-1)- 2 ey（tj）-1） +1 | F（0）∨F（0）∨F（0）∨外汇（0）= f（2；0，tj）-1.t、 ν（0），r（0））- 2f（1；0，tj）-1.t、 ν（0），r（0））+1，（43），其中y（tj）-1） =ln S（tj）- ln S（tj）-1), t=tj- tj-1和特征函数f（φ；t，t，, ν（t），r（t））在等式（32）中给出。

因此，根据T-ForwardMeasures下的即期汇率nc v（0）和即期利率r（0），方差Swap的公平执行价为asK=ET（RV）（44）=TNXj=1（f（2；0，tj）-1.t、 ν（0），r（0））- 2f（1；0，tj）-1.t、 ν（0），r（0））+1。公式验证和结果在本节中，我们通过考虑三种状态来评估公式（44）的性能，分别表示为{e，e，e}，代表商业周期的收缩、低谷和扩张状态。收缩状态可以定义为经济开始放缓时的情况，而低谷状态发生在经济触底时，通常是在衰退中。此外，扩张被定义为经济开始增长的情况。在这里，我们假设没有政权转换的赫斯顿CIR模型对应于第一个政权，并且随着时间的推移，它将转换为另外12个曹继陵政权、拉伊哈娜·纳齐拉·罗斯兰政权和张文军政权。表1显示了我们用于实现所有数值实验的参数集，除非另有说明。表1。具有区域切换的Heston-CIR混合模型的模型参数。SρVθ*κ*σrα*β*ηT1-0.40.05（0.05,0.075,0.04）2 0.1 0.05 1.2 (0.05, 0.04, 0.075)0.01 1此外，马尔可夫链X的速率矩阵由Q给出=-1 0.1 0.90.9 -1 0.10.5 0.5 -1..4.1. 根据蒙特卡罗模拟验证定价公式。我们首先用蒙特卡罗模拟验证公式（44）的有效性。在这里，采样频率从N=1到N=52不等，蒙特卡罗模拟是使用欧拉离散化进行的，有20万条采样路径。对比如图1所示。图1。

采用区域切换和蒙特卡罗模拟的Heston CIR模型的罢工价格方差交换。0 10 20 30 40 50560580600620640660680700抽样频率（次数/年）计算出的方差掉期履约价格（方差点）我们的制度转换公式蒙特卡罗模拟如图1所示，我们对公式的定价为N=52的模拟提供了满意的结果，即每周抽样。事实上，当N=52时，我们的定价公式与模拟计算的误差小于0.077%，并且随着样本路径数的增加，该误差将减小。此外，应该强调的是，对于N=4，我们定价公式的运行时间仅为3.28秒，而模拟大约需要8200秒。很明显，与作为基准值的模拟相比，我们的定价公式在更短的时间内达到了几乎相同的精度。4.2. 政权更迭的影响。在or de r中，为了探索制度转换的影响，在图2中，我们展示了由公式（44）和Heston CIR模型（无制度转换）得出的结果【4】。对于无区域切换的Heston CIR模型，我们将参数值固定为θ*= 0.05和β*= 0.05.图2。Heston CIR模型在有或无制度转换的情况下的方差掉期执行价格。0 10 20 30 40 50480505050460580抽样频率（次/年）计算的差异互换履约价格（差异点）Heston-具有区域切换的CIR模型-无制度转换的CIR模型我们观察到，从有制度转换的Heston CIR模型中获得的方差掉期价格明显低于相应的无制度转换模型的价格。例如，对于N=52，根据两个模型计算的WAPS价格差异为7.32%。

这可以用θ的值来解释*和β*保持不变，而θ的值*和β*在具有状态切换的HestonCIR模型中，状态的变化会导致状态的变化。此外，对于每周抽样的情况，两个模型之间的方差互换价格差异可能会更大，并且随着抽样频率达到52，差异会趋于稳定。其中一个可能的解释是，随着采样频率的增加，在Heston CIR模型中，状态切换的次数增加。此外，我们还通过允许Heston CIR模式l在三种制度之间切换，研究了变量互换价格的经济后果。特别是r，wedenoteθ*= 0.05和β*= 收缩状态θ为0.05*= 0.075和β*= 槽态为0.04，θ*= 0.04和β*= 膨胀状态分别为0.075。这些值是通过指出好（或坏）经济由高（或低）利率和低（或高）波动性来确定的。我们在表2.14中提供了这三种制度的varianceswaps定价结果，即曹继陵、赖哈纳·纳齐拉·罗斯兰和张文军。在我们的定价公式中，比较不同州之间的差异互换价格。抽样频率y状态收缩状态通过状态扩展n=4517.89661.93464.79N=12505.74648.32450.21N=26502.61644.83446.42N=52501.28643.37444.82从表2中我们发现，方差互换的价格在整个状态下最高，其次是收缩状态，在扩展状态下最低。这一趋势在N=4到N=52的所有采样频率中都是一致的。我们可以将这一发现与每个州的经济状况联系起来。特别是，在这三个州中，粗略州的经济状况最差，而扩张州的经济状况最好。

因此，方差互换的价格在三者中经济最好的时候最便宜，在所有经济最差的时候最贵。这意味着制度转换对捕捉方差互换价格的经济变化具有重要影响。5.结论方差互换的评估近年来一直是一个活跃的研究课题。在[16]中，连续抽样方差互换是在体制转换的Ch–obel-Zhu-Hull-White混合模型下定价的。然而，在实践中，差异互换是基于每日收盘价在已实现的差异上进行的。为了提高这些合约的定价准确度，Zhu和Lian[18,19]基于Heston随机波动模型的框架，开发了离散抽样方差掉期的封闭式定价公式，其中利率遵循确定性过程。在[4]中，考虑了赫斯顿随机波动率模型和CI R随机利率模型的混合。混合模型通过将利息率建模为CIR过程，扩展了[18]中的赫斯顿随机波动率模型。证明了随机利率对离散样本方差互换的影响。Elliott和Lian[8]对Heston随机波动率模型的框架进行了另一次扩展，在模型中加入了制度转换动力学。研究表明，将制度转变为赫斯顿模型对波动性互换的价格有显著影响。由于制度转换和随机利率过程都会影响方差互换的价格，我们提出了一个包含随机利率和制度转换效应的模型。具体而言，该模型将CIR随机利率与赫斯托随机波动率的马尔可夫调制机制转换版本相结合。

我们的模型能够捕捉几个宏观经济问题，比如交替的商业周期。特别是，我们假设风险股票的长期方差均值和利率的长期均值取决于制度转换马尔可夫链所指示的经济状态。我们演示了我们的解决方法，并导出了可变掉期定价的半封闭式公式。数值实验表明，与MC模拟相比，我们的定价公式在更短的时间内达到了几乎相同的精度。为了分析将制度转换纳入定价差异互换的影响，我们首先比较了根据制度转换Heston-CI R模型计算的差异互换价格与不进行制度转换的相应模型。我们发现，从制度转换Hesto n-CIR模型中获得的方差互换价格与不进行制度转换的Heston CIR模型中的方差互换价格有显著差异。在我们的例子中，没有政权转换的Heston CIR模型对应于状态收缩，从政权转换的Heston-C IR模型得到的方差Swap的价格远低于从没有政权转换的Heston CI R模型得到的方差Swap。如果没有政权转换的赫斯顿CIR模型对应于其他状态，结论可能会有所不同。接下来，我们通过允许Heston CIR模型在定义为最佳、最低利率和最差经济的三种制度之间切换，探讨方差互换价格的经济后果。我们注意到，方差互换的价格在三个经济体中最好的经济体中最便宜，在所有经济体中最差的经济体中最贵。这证实了将制度转换纳入差异掉期定价的本质。参考文献[1]D.Brigo，F。

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