随机波动和随机波动混合模型中的方差互换定价

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英文标题：
《Pricing variance swaps in a hybrid model of stochastic volatility and
  interest rate with regime-switching》
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作者：
Jiling Cao, Teh Raihana Nazirah Roslan and Wenjun Zhang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we consider the problem of pricing discretely-sampled variance swaps based on a hybrid model of stochastic volatility and stochastic interest rate with regime-switching. Our modelling framework extends the Heston stochastic volatility model by including the CIR stochastic interest rate and model parameters that switch according to a continuous-time observable Markov chain process. A semi-closed form pricing formula for variance swaps is derived. The pricing formula is assessed through numerical implementations, and the impact of including regime-switching on pricing variance swaps is also discussed.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了基于随机波动率和随机利率混合模型的离散抽样方差互换定价问题。我们的建模框架扩展了赫斯顿随机波动率模型，包括CIR随机利率和根据连续时间可观测马尔可夫链过程切换的模型参数。推导了方差互换的半封闭形式定价公式。通过数值实现对定价公式进行了评估，并讨论了包括制度转换对定价差异互换的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_variance_swaps_in_a_hybrid_model_of_stochastic_volatility_and_interest_r.pdf (212.66 KB)

2022-5-11 03:29:46 上传

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关键词：混合模型 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

在随机波动率和利率的混合模型中，定价方差互换与政权更迭的曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军抽象。在本文中，我们考虑了基于随机波动率和随机利率的混合模型的离散样本变量掉期定价问题。我们的建模框架扩展了Heston随机波动率模型，包括CIR随机利率和根据连续时间可观测马尔可夫链过程切换的模型参数。推导了方差互换的Asemi闭式定价公式。通过数值实现对定价公式进行了评估，并讨论了包括区域切换对差异互换定价的影响。1.简介差异互换是一种针对特定资产未来实现的收益差异的交换合约。在到期时间T>0时，方差互换率可按V（T）=（RV）进行评估- K） x L，其中K是掉期的年化交割或履约价格，RV是掉期的已实现变量，L是掉期的名义金额。测量RV isRV的典型公式=AFNNXj=1S（tj）- S（tj-1） S（tj-1)x 100，（1）其中S（tj）是标的资产在第j个观察时间的收盘价，tjand N是观察次数。年化因子AF遵循采样频率，将上述评估转换为年化方差点。假设一年中有252个公交线路日，那么对于每日采样频率，AF等于252。然而，如果采样频率为每月或每周，则AF将分别为12或52。衡量实际差异需要对基础价格进行离散监控，通常是在一个工作日结束时。

为此，我们假设同样离散的观测值与实际市场一致，从而降低了toAF=t=NT。差额掉期的多头头寸在支出时支付固定的交割价格K，并收到年化已实现差额的浮动金额，而短期头寸则相反。自1998年首次推出方差互换以来，如何定价一直是数学和定量金融领域的一个活跃研究课题。Carr和Madan[2]将使用期权的静态回复与未来的动态交易相结合，以进行价格和对冲方差互换，而不指定波动过程。德米特尔金属公司。[6] 通过证明可变资产互换可以通过标准期权组合进行复制，我们也朝着同样的方向努力。通过降维2000数学科目分类的有限差分方法。初级91G30；中学91G20，91B70。关键词和短语。Heston-CIR混合模型，制度转换，已实现方差，随机利率，随机波动率，方差交换。2[12]探讨了曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军的方法，以获得离散样本方差掉期定价的高效性和准确性。在[18,19]中，朱和廉扩展了[12]中的工作，将赫斯顿双因素随机波动率纳入离散抽样方差WAP的定价中。然而，在[15]中探索了一种更简单的方法，其中施瓦茨解程序用于推导偏微分方程的有效解。最近，为了扩展[18]中忽略随机利率的工作，Cao等人[4]采用了随机波动率模型和CIR利率模型的混合，用离散抽样研究了变量互换的定价率。在[9]中，Elliott等人。

提出了赫斯顿随机波动率模型的连续时间马尔可夫调节版本，以区分一个商业周期的不同状态。利用制度转换Esscher变换，得到了波动性加权平均值定价的解析公式，并对有无制度转换的模型进行了比较。[8,9]中说明了Heston随机波动率模型下的差异掉期定价的合并制度转换的必要性，其中一个常见的假设是“连续采样时间”。事实上，当使用连续采样作为近似值时，离散采样方差互换的选项被错误估值，并且在每个IOD的某些采样中出现了较大的不准确度，如[3,8,12,19]所述。在过去的十年里，许多研究人员考虑将马尔可夫区域切换技术与随机利率模型相结合。例如，为了发现不同业务阶段之间的企业跳跃和不一致性，Elliott等人[9]和Siu[17]使用了制度转换方法，分别扩展了Cox-Ingersoll-Ross（CIR）、Hull-White和Vasicek模型。然而，关于随机波动下的波动性衍生产品定价和具有制度转换的随机利率，文献中存在agap。据我们所知，唯一存在的研究是在[16]中进行的，它只关注连续采样变量和ESWAP，并采用PDE方法。在本文中，我们讨论了随机波动率和随机利率条件下的随机随机抽样方差互换问题。我们扩展了[4]和[8]的框架，将CIR随机利率纳入了赫斯顿随机波动率模型的马尔可夫调制版本。

该混合模型的参数根据连续的时间可观测马尔可夫链过程进行切换，该过程可解释为可观测宏观经济因素的状态。我们的方法与[16]不同。我们使用离散采样方法代替连续采样方法，以提高定价的准确性和计算效率。本文的其余部分组织如下。在第2节中，详细描述了体制切换混合模型，然后推导了该模型在t向前测度下的动力学。在第3节中，我们推导了前向特征函数，以获得方差WAP价格的半解析公式。在第4节中，给出了一些数值例子，说明了我们的解决方案的可行性和制度转换的影响。第5节简要总结了我们的结果，并将其与文献中的其他相关结果进行了比较。2.建模框架在本节中，我们开发了一个混合模型，该模型将赫斯顿随机波动率模型与单因素CIR随机利率动力学（包括制度转换效应）相结合。Elliot等人首先考虑了波动性衍生品定价的制度转换模型[9]。最近，Elliot和Lian[8]考虑了区域切换效应对Heston的随机波动模型的影响。我们的目标是通过将随机利率纳入建模框架来扩展[8]中的工作。2.1. 具有区域切换的Heston CIR模型。设{S（t）：0≤ T≤ T}是特定资产价格在一定时间范围内的过程[0，T]。

Heston CIR杂交模型由dS（t）=uS（t）dt+pν（t）S（t）dW（t），0≤ T≤ T、 dν（T）=κ（θ）-ν（t））dt+σpν（t）dW（t），0≤ T≤ T、 dr（T）=α（β）- r（t））dt+ηpr（t）dW（t），0≤ T≤ T、 （2）式中{ν（T）：0≤ T≤ T}是随机等价方差过程，{r（T）：0≤ T≤ T}是随机瞬时利率的过程。参数κ决定了ν（t）的平均回复速度，θ是其长期平均值，σ是其波动率。同样，α决定了利率过程的均值回归速度，β是利率结构，η控制着利率的波动性。如[5,11]所述，为确保平方根过程始终为正，要求2κθ≥ σ和2αβ≥ η分别为。在这里，我们假设上述模型中涉及的相关性由（dW（t），dW（t））=ρdt，（dW（t），dW（t））=0和（dW（t），dW（t））=0给出，其中ρ是一个常数-1.≤ ρ ≤ 1.根据Girsanov定理，存在一个风险中性度量Q，它等价于现实世界中的度量Psuch，在Q系统（2）下，它被转化为dS（t）=r（t）S（t）dt+pν（t）S（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 dν（T）=κ*(θ*- ν（t））dt+σpν（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 dr（T）=α*(β*- r（t））dt+ηpr（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 （3）κ在哪里*= κ + λ, θ*=κθκ+λ, α*= α+λ和β*=αβα+λ是风险中性参数，{fWi（t）：0≤ T≤ T}（1）≤ 我≤ 3） 是Q下的布朗运动。这里，λj（j=1，2）是波动率或利率风险的溢价。市场动态由连续时间可观测马尔可夫链X={X（t）：0建模≤ T≤ 具有有限状态空间S={S，S，…，sN}的T}。在不损失通用性的情况下，S可以用单位向量集{e，e，…，eN}识别，其中ei=（0，…，1，…，0）∈ 注册护士。N×N速率矩阵Q=（qij）1≤i、 j≤Nis用于在Q下产生链的演化。

给你，琪琪≥ 0代表所有1≤ i、 j≤ N w，所有1的i 6=j和pni=1qij=0≤ J≤ N.根据[10]，过程X的半马丁加表示如下X（t）=X（0）+ZtQX（s）ds+M（t），（4），其中{M（t）：0≤ T≤ T}是一个RN值鞅，与Q下X生成的过滤系数有关。通过假设资产价格、其波动性和利率取决于市场趋势或由制度转换马尔可夫链X指示的其他经济因素，在我们的Heston-Cirton模型中，制度转换效应被吸引住了。更准确地说，长期方差均值θ*（t） 资产价格的百分比由θ给出*（t） =hθ*, X（t）i，其中θ*= (θ*, θ*, ..., θ*N）θ*i> 0，每个1≤ 我≤ N，and h·，·i表示RN中的标量积。同样，长期平均利率β*（t） 由β给出*（t） =hβ*, X（t）i，其中β*= (β*, β*, ..., β*N）β*i> 0，每个1≤ 我≤ NQ条件下的Heston-CIR模型和r-e模式切换由下式给出：dS（t）=r（t）S（t）dt+pν（t）S（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 dν（T）=κ*(θ*（t）- ν（t））dt+σpν（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 dr（T）=α*(β*（t）- r（t））dt+ηpr（t）dfW（t），0≤ T≤ T.（5）4曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军应用乔莱斯基分解，我们可以将SDE（5）重写为dS（t）S（t）dν（t）dr（t）= uQdt+∑C×dW*（t） dW*（t） dW*（t）, 0≤ T≤ T、 （6）带uQ=r（t）κ*(θ*（t）- ν（t））α*(β*（t）- r（t））, Σ =pν（t）00σpν（t）00ηpr（t）（7） andC=10ρp1- ρ0 0 1这样的话=1 ρ 0ρ 1 00 0 1还有dW*（t） ，dW*（t） 还有dW*（t） 在Q下是相互独立的dfW（t）dfW（t）dfW（t）= C×dW*（t） dW*（t） dW*（t）, 0≤ T≤ T.2.2。模型动力学下的T-前进措施。在本小节中，我们将在Q下具有区域切换的Heston CIR模型的动力学转换为在T前向测度QT下的动力学。

为此，我们首先推导出Q下zer o息票债券价格P（t，t，r（t），X（t））的制度转换指数形式。假设Q下债券价格P（t，t，r（t），X（t））具有以下指数形式P（t，t，r（t），X（t））=eA（t，t，X（t））-B（t，t）r（t），（8）其中A（t，t，X（t））和B（t，t）将被确定。贴现债券价格是给定的p（t，t，r（t），X（t））=e-Rtr（s）dsP（t，t，r（t），X（t））。（9） 应用它^o的公式toeP（t，t，r（t），X（t）），并注意到非马尔代尔数之和必须为零，我们得到Pt+α*(β*（t）- r）Pr+hP，QX（t）i+Prηr- rP=0，（10）终端条件P（T，T，r（T），X（T））=1，P=（P，P，…，PN）对于1，Pi=P（t，t，r，ei）≤ 我≤ N注意，X（t）取单位向量集合{e，e，…，eN}中的一个值。如果X（t）=对于某些1≤ 我≤ N，那么θ*（t） =hθ*, X（t）i=θ*i、 β*（t） =hβ*, X（t）i=β*i、 P（t，t，r（t），X（t））=P（t，t，r（t），ei）=Pi。结果，等式（10）变成N个耦合的偏微分方程圆周率t+α*(β*我- r）圆周率r+hP，Qeii+圆周率rηr- rPi=0，1≤ 我≤ N（11），终端条件Pi（T，T，r（T））=1。然后我们用PTP兰德Printo上述偏微分方程得出以下普通微分方程adB（t，t）dt=ηB（t，t）+α*B（t，t）- 1，dAidt=α*β*iB（t，t）- E-AiheA，Qeii，1≤ 我≤ N、 （12）式中Ai=A（t，t，ei），eAi=eAiandeA=（eA，eA，…，eAN）, 1.≤ 我≤ N终端条件b ecome b（T，T）=0和Ai（T，T）=0。与[5]中的CIR模型类似，（12）isB（t，t）的第一个等式的解=e（T）-（t）√(α*)+2η- 1.p（α）*)+ 2 η+α*+p（α）*)+ 2 ηe（T）-（t）√(α*)+2η- 1..为了推导Ai和A（t，t，X（t））的表达式，让Υi（t）=α*β*iB（t，t）代表ach1≤ 我≤ N，并让diag（Υ（t））表示第i行和i列上的条目为所有1的Υi（t）的对角矩阵≤ 我≤ N

将eai=eAiinto（12）替换为（12），我们可以将（12）中的普通微分方程组改写为以下矩阵形式dead=（diag（Υ（t））- Q)eA（13），其中eA（T，T）=1，其中1=（1，1，…，1）∈ 注册护士。设Φ（t）为（13）的基本矩阵，Φ（t）=IN，其中inde表示N维单位矩阵。然后，终端条件a（T，T）=1的（13）的解可以表示为a（T，T）=Φ（T）1。结果是eai（t，t）=hΦ（t）1，eii和A（t，t，X（t））=ln（hΦ（t）1，X（t）i。现在，我们实现了从Q到QT的测量变换技术。为了简洁起见，让我们用N1表示数字eRtr（s），用n2，t表示数字P（t，t，r（t），X（t）。然后，d ln N1，t=r（t）dt=Ztα*(β*- r（s））dsdt+Ztηpr（s）dfW（s）dt。因此，由∑Q=（0,0,0）给出的数值N1的波动率. 类似地，区分ln N2，t=lneA（t，t，X（t））-B（t，t）r（t）给定ln N2，t=eA（t，t，X（t））茶（t，t，X（t））-B（t，t）tr（t）- B（t，t）α*(β*（t）- r（t））+DeA（t，t）eA（t，t，X（t）），QX（t）E！dt- B（t，t）ηpr（t）dfW（t）+DeA（t，t）eA（t，t，X（t）），dM（t）E。注意，dfW（t）和dM（t）是独立的。因此，计算值N2的波动率由∑T给出=0, 0, -B（t，t）ηpr（t）.6 JILING CAO、TEH RAIHANA NAZIRAH ROSLAN和WENJUN Zhang使用[1]中的公式，我们可以看到我们的SDE在QTwith regimeswitching下的漂移uTof由uT=uQ给出-∑×C×C×（σQ）- ∑T）=r（t）κ*(θ*（t）- ν（t））α*β*（t）- [α*+ B（t，t）η]r（t）带∑和CC如（7）所述。因此，qt下（5）的动力学由下式给出：dS（t）S（t）dν（t）dr（t）= uTdt+∑C×dW*（t） dW*（t） dW*（t）. （14） 此外，在QT下，X的半鞅分解由X（t）=X（0）+ZtQT（s）X（s）ds+MT（t），（15）给出，速率矩阵QT（t）=（qTij（t））1≤i、 j≤由QIJT（t）确定=qijeA（t，t，ej）eA（t，t，ei），i6=j，-Pk6=iqikeA（t，t，ek）eA（t，t，ei），i=j，详见[13]。3.

定价公式的推导在本节中，我们将利用特征函数推导随机波动率和随机利率下的方差互换定价问题的半封闭形式解。设y（T）=lns（T+) - lns（T）。我们必须根据关于X从t=0到t=t+的样本路径的信息来评估价格. 首先，将F（t）、F（t）和F（t）定义为{W*（s） ：0≤ s≤ t} ，{W*（s） ：0≤ s≤ t} 和{W*（s） ：0≤ s≤ t} ，分别是。LetFX（t）是由{X（s）:0生成的过滤≤ s≤ t} 。为了获得y（T）的特征函数，我们需要分两步评估以下条件期望：ET（eφy（T）|F（T）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））=ET（ET（eφy（t）| F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（T+))|F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））（16）在第一步中，我们计算ETeφy（T）|F（T）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（T+). 在第二步中，我们计算ET（eφy（T）|F（T）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））.3.1。给定路径FX（T+). 我们考虑一个放大的滤波，其中前向特征函数f（φ；t，t，, y（t）的ν（t），r（t））由f（φ；t，t）定义，, ν（t），r（t））=ET（eφy（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））（17）提案1。