信息不对称和随机视界下的金融均衡

尽管如此，她还是选择不积极交易，因为正如Back和Baru ch[2]所观察到的那样，快速披露她的信息，价格影响正在及时降低，因此等待的风险可以通过降低执行成本来补偿。备注2。本节中的计算表明，除非Γ具有伯努利分布，否则不存在平衡。事实上，如果X独立于τ，命题3.1表明Y是一个重要的Ornstein-Uhlenbeck过程。另一方面，P∞= 均衡价格由Y的标度函数给出。通常，P∞从Y开始只能取两个不同的值∞∈ {-∞, ∞}.3.2. 更一般的清算价值。在本节中，我们考虑Γ的更一般分布，并假设对于某些连续且严格递增的f和标准正态随机变量η，Γd=f（η）。我们可以合并原子，考虑Γ的更一般分布。然而，这只会导致Y的系数更加复杂*在内部人士的过滤中，不会显著改变在该模型中可以做出的定性推断。因此，为了说明和模型的简单性，我们做出以下假设。14 UMUT C,3.1。存在一个连续且严格递增的函数f:r7→ R使得Γd=f（η），其中η是标准正态随机变量。备注2表明，对于Y，使用时间齐次SDE不能超越伯努利分布支付。Collin Dufresne等人[8]考虑了一个类似的问题，当Γd=η时，得到了一个平衡，即Y的系数*取决于时间使用卡尔曼滤波的想法。接下来，我们将证明更一般的支付分布存在一个均衡。

事实上，做市商的均衡信号过程*, will tur n被证明只是一个theOrnstein-Uhlenbeck过程的时间过程，当Γ具有上一节中的伯努利分布时，它出现在平衡状态。也就是说，假设dyt=σ（t）a（Yt）dXt+σ（t）φ（Yt）dt，其中σ：R+7→ R+。根据第3.1节开头使用的类似论点，经过明显修改后，我们得到了+aσhy y+σφhy=0（3.21）aσa′和φσa′- σφ′+σ′σ+r=0。（3.22）当σ≡ 1上述方程式简化为（3.10）和（3.11）。如前一节所述，我们将选择≡ 1和φ（x）=rx。这意味着σ′σ（1）- σ)(1 + σ)= -r、 （3.23）自- x） （1+x）=x+2（1）- 十）-2（1+x），积分（3.23）得到σ（t）1- σ（t）=Ce-2RTF的某些常数C将在以后确定。因此，我们可以通过求解上述方程来推导σ（t）=Ce-2rt1+Ce-2rt。（3.24）下一个引理将定义一个函数，该函数后来被证明是insider的值函数。引理3.3。设h:R+×r7→ R满足（3.21），使得h（t，·）严格地为每小时递增≥ 0.考虑者j（t，y）：=Zyh-1（t，v）h（t，x）-vσ（t）dx+ertZ∞te-rsσ（s）hy（s，h）-1（s，v））ds，（3.25），其中h-1（t，·）代表e的h（t，·）的倒数≥ 然后，Jt+σ（t）Jy+σ（t）ryJy- rJ=0d=代表分配平等。信息不对称和随机视界下的金融均衡∞te-rsσ（s）hy（s，h）-1（s，v）ds<∞, T≥ 0.证明。

直接差异收益率ZYT=Zyh-1（t，v）ht（t，x）σ（t）dx-Zyh-1（t，v）h（t，x）- vσ（t）σ′（t）dx+rertZ∞te-rsσ（s）hy（s，h）-1（s，v）ds-σ（s）hy（t，h）-1（t，v））=-σ（t）Zyh-1（t，v）hy-y（t，x）+hy（t，x）rxdx-Zyh-1（t，v）h（t，x）- vσ（t）σ′（t）dx+rertZ∞te-rsσ（s）hy（s，h）-1（s，v）ds-σ（s）hy（t，h）-1（t，v））=σ（t）hy（t，h）-1（t，v））- hy（t，y）-Zyh-1（t，v）h（t，x）- vσ（t）σ′（t）dx-σ（t）Zyh-1（t，v）hy（t，x）rxdx+rertZ∞te-rsσ（s）hy（s，h）-1（s，v）ds-σ（t）hy（t，h）-1（t，v））。因此，Jt+AJ- rJ=σ（t）ry（h（t，y）- v）-Zyh-1（t，v）（h（t，x）- v） （rσ+σ′（t））σ（t）dx-σ（t）Zyh-1（t，v）hy（t，x）rxdx=σ（t）ry（h（t，y）- v）- rσ（t）Zyh-1（t，v）（h（t，x）- v） dx- σ（t）Zyh-1（t，v）hy（t，x）rxdx=0，其中最后一个等式来自部分积分。h满足的PDE（3.21）表明，处于均衡状态的做市商信号将在rnstein-Uhlenbeck过程中发生时间变化，其中时间变化由v（t）给出：=Ztσ（s）ds=2rlog1+C1+Ce-2rt。（3.26）事实上，（3.21）的任何解都可以通过时间变化得到，正如我们在下一个引理中看到的。引理3.4。假设≡ 1和φ（x）=rx。那么h是由g（t，y）：=h（V）定义的（3.21）i的解-1（t），y），其中V是给定i n（3.26）的绝对连续函数，solvesgt+gy y+rygy=0。（3.27）证据。注意h（t，y）=g（V（t，y）。由于dV（t）=σ（t）dt，因此权利要求如下。16 UMUT C,与前一节的定义一致，内部人员应构建一个桥接过程，Y*, 如此有限→∞H*（t，Y）*t） =Γ和Y*, 在它自己的过滤中，followsdY*t=σ（t）dBYt+rσ（t）Y*tdt，即带有发电机（3.13）的Ornstein-Uhlenb-eck工艺的时变版本，其中d=0。正如我们在前面的引理中所观察到的，时间变化由函数V（t）给出，它收敛到V(∞) =2rlog（1+C）<∞. 这意味着Y的分布*∞等于V下的O rnstein-Uhlenbeck过程(∞) 定义为（3.13），d=0。

这个分布是高斯分布，允许我们超越Γ的伯努利分布。设p（t，x，y）为Ornstein-Uhlenbeck过程的跃迁密度，由（3.13）定义，d=0。众所周知，p（t，x，y）=qe2rt- 12r，y- 施乐,式中q（t，x）=√2πte-x2t。下一个定理定义了桥梁过程，这将是决策者在均衡中策略的关键。定理3.3。设f为假设3.1中的函数，假设C=2r。那么，无论如何∈ R、 存在唯一的强解toYt=Ztσ（s）dBs+rZtf-1（v）- Yscosh对数（1+2re）-2rs）信义对数（1+2re）-2rs）σ（s）ds，（3.28），其中σ>0通过（3.24）定义。此外，limt→∞Yt=f-1（v），Qv-a.s.，其中Qvis是溶液定律。此外，EQv[F（Ys；s≤ t） ]=EQp（V）(∞) - V（t），Yt，f-1（v）F（Ys；s≤ （t）p（V）(∞), 0，f-其中F是一个有界可测函数，Q是唯一解toYt=Ztσ（s）dBs+rZtσ（s）Ysds的规律。（3.30）证据。解的存在性和唯一性紧随其后，因为在每个紧致区间[0，T]中，SDE h是Lipschitz系数。接下来观察那个日志（1+2re）-2rt）=r（V(∞) - V（t））。因此，如果我们定义：-1（t），我们得到rt=ZV-1（t）σ（s）dBs+rZtf-1（v）- Rscosh（r（V）(∞) - s） ）信义(∞) - s） ）D。另一方面，βt:=RV-1（t）σ（s）是关于过滤（Gt）t的局部鞅≥0，其中Gt:=FV-1（t）。此外，对于每个t，[β，β]t=t≥ 因此，它是一个G-布朗运动。因此，Rt=βt+rZtf-1（v）- Rscosh（r（V）(∞) - s） ）信义(∞) - s） ）ds，t<V(∞). （3.31）具有不对称信息和随机视界17的金融均衡然而，以上是ρt=Wt+rZtρsds在事件[ρV]条件下的SDE(∞)= F-1（v）]。

事实上，该马尔可夫桥的SDE表示法遵循[10]中的示例2.3，这与上述SDE一致，因为F（t）=Ert和∑（s，t）=e2rt-12r，其中F和∑是[10]的示例2.3中定义的函数。因此，Rt→ F-1（v）as t→ 五(∞), 这相当于Yt→ F-1（v）as t→ ∞.绝对连续性关系是[10]中定理2.2的结果，因为（3.30）的解是一个转移密度为p（V（t）的马尔可夫过程- V（s），y，z）。我们现在准备在下一个定理中说明平衡的存在性，其证明见附录B定理3.4。假设C=2r，并假设存在正常数K>0和K<1+2r，使得| f（y）|≤ 凯基。负（t，y）：=Z∞-∞f（z）p（V）(∞) - t、 y，z）dz，让h*（t，y）=g（V（t，y）。然后，（（σ）*, φ*, 0），h*, α*) 是一个平等的图书馆，其中σ*是（3.24）的正平方根，C=2r，φ*（y） =ry，和α*（t） =rσ*（t） f-1(Γ) - Y*tcosh对数（1+2re）-2rt）信义对数（1+2re）-2rt）- Y*T此外，Y*t=Ztσ*（s） 分贝*s+rZt（σ）*（s） ）Y*sds，（3.32），其中B*这是一个FY*-布朗运动。与时间齐次情形一样，凯尔的lambda将是一致可积的超鞅。然而，与时间同质的情况相反，它不会随着时间的推移而消失→ ∞, i、 e.一般来说，这不会是潜在的。提议3.3。考虑定理3.4中给出的平衡n，并定义λ*t:=h*y（t，y）*t） 。那么λ*是一致可积的（FY*, P） -超级马丁格尔和利姆特→∞E[λ*t] =Z∞-∞f′（z）√2πe-zdz。（3.33）证据。定义u（t，y）=h*y（t，y）。

差异化*t+σ（t）h*y+σ（t）ryh*y=0相对于y yieldsut+σ（t）uy+σ（t）ryuy=-rσ（t）u.将伊藤公式应用于u和Y*, 满足（3.32），产量dλ*t=uy（t，Y*t） σ*（t） 分贝*T- r（σ）*（t） ）λ*tdt。18μmut C,λ*≥ 0，则上述分解中的随机积分是一个上鞅，这导致λ的期望上鞅性质*.从fr om（B.37）可知u（t，y）=p1+2re-2rtZ∞-∞f′（z）p（V）(∞) - V（t），y，z）dz。因此，λ*∞:= 极限→∞λ*t=f′（Y）*∞), P-a.s.安第斯[u（t，Y*t） ]=p1+2re-2rtZ∞-∞f′（z）p（V）(∞), 0，z）dzby-Chapman-Kolmogorov方程。因此，limt→∞E[u（t，Y*t） ]=Z∞-∞f′（z）p（V）(∞), 0，z）dz=E[f′（Y*∞)] = E[λ*∞].这意味着λ*是一致可积的超artin gale。（3.33）源于以下事实：*∞这是正常的。备注3。正如推论3.2所示，可以证明内幕交易是不显眼的，即X*它本身就是一个布朗运动。这直接来自于Y的平衡水平*,满足（3.32）。结论利用e维差分势理论中的工具，我们求解了一个具有一般报酬的凯尔模型，当公告日期呈指数分布且与模型的所有其他参数无关时。结果表明，如果支付函数具有伯努利分布，则存在平稳平衡，这对应于[2]中考虑的特殊情况。本文考虑的方法在研究和描述内部人在相关扩散过程中的过度功能方面的最优策略方面是新颖的。尤其是被称为Kyle\'s lambda的液体粘度测量仪，它被认为是一种潜在的。正如在早期关于凯尔模型的文献中，我们已经证明，资产均衡的总需求与噪音交易的总需求具有相同的分布，即内幕交易不明显。

然而，与早期模型不同的是，随着时间接近公告日期，均衡价格不再收敛于收益。也就是说，当Γ成为公共知识时，价格会大幅上涨。这是因为，这一通知甚至对内部人士来说都是一个惊喜，而且在此之前，她无法为需求过程建造随机长度τ的桥梁，以使价格收敛到Γ（参见[7]中的桥梁施工）。然而，在均衡状态下，她交易的方式是，以不公布为条件的价格过程，即P收敛到Γ。如果不再假设公布日期τ与其他变量无关，那么这些结论，尤其是最后一个结论，将发生怎样的变化，这将是很有趣的。然而，这将需要一个超出本文范围的框架，并留给未来研究。附录A.命题2.2的证明，我们正在寻找一个反命题t=Pt[t<τ]+Γ1[t≥τ]，具有非对称信息和随机视界19p的金融均衡，其中P是适用于外汇的半鞅。为了使P成为集合[t<τ]上的候选价格过程，必须保证S是GM鞅。为此，下面的引理将是必要的。引理A.1。定义：=Γ1[t≥τ ]-rZt[s<τ]E[Γ| FXs]ds，Mt:=1[t≥τ ]- rZt[s<τ]d当N和M是GM鞅时。证据注意，对于s<tE[Nt | GMs]=1[τ≤s] EΓ - rZτE[ΓFXu]duGMs+ 1[τ>s]EΓ1[t≥τ ]- rZt[u<τ]E[Γ| FXu]duGMs= 1[τ ≤s] Ns+1[τ>s]E[Γ| FXs]（1）- E-r（t）-s） )- rZsE[Γ| FXu]du-1[τ>s]EZtsr1[u<τ]E[Γ| FXu]duGMs= 1[τ ≤s] Ns+1[τ>s]E[Γ| FXs]（1）- E-r（t）-s） )- rZsE[Γ| FXu]du-1[τ>s]Ztsre-r（u）-s） E[Γ| FXs]du=Ns，其中第二个和第三个等式是由于X和τ的独立性。M的鞅性质的证明遵循类似的路线。

鉴于上述引理，为了使S成为GM鞅，需要证明ut:=Pt[t<τ]+rZt[S<τ]E[Γ| FXs]ds（a.34）是GM鞅。这导致了提案2.2的最高点。假设P的半鞅分解由Pt=P+Zt+atz给出，其中Z是一个连续的局部鞅，a是一个P可预测的分解过程。L etUt=Pt[t<τ]+rZt[s<τ]E[Γ| FXs]ds。然后，根据前面的引理，我们得到了dut=1[t≤τ]{dZt+dAt}- Pt-{dMt+r1[t<τ]dt}+r1[t<τ]E[Γ| FXt]dt- Aτ[t=τ]=1[t≤τ]dZt- Pt-dMt+1[t<τ]dAt+r1[t<τ]E[Γ| FXt]- Ptdt。因此，Zt[s<τ]dAs+r1[s<τ]E[Γ| FXs]- 附言ds在所有鞅都是连续的假设下，可选的和可预测的σ-代数重合。20 UMUT C,是一个可预测的有限变化局部鞅。因此，[t<τ]dAt=1[t<τ]r（Pt- E[Γ| FXt]）dt。因为τ依赖于fx，而P（τ>t）>0代表所有t≥ 0，这个yieldsdAt=r（Pt- E[Γ| FXt]）dt。因此，A是连续的，P也是连续的。考虑τn:=inf{t≥ 0:|Zt |>n}。因为Z是连续的，所以τn→ ∞, P-a.s。。接下来，让^Γt=E[ΓFXt]并考虑σn:=inf{t≥ 0:| Pt-^Γt |>n}，它收敛到∞ P和^Γ的连续性。那么，Pt∧τn∧σm-^Γt∧τn∧σm- rZt∧τn∧σm（Ps）-^Γs）ds是n和dm的鞅。

此外，给出了P的半鞅局部时间-在L的0处，我们推断Pt∧τn∧σm-^Γt∧τn∧σm- rZt∧τn∧σm聚氨基甲酸酯-^Γu杜- 书信电报∧τn∧σm（A.35）是一个G-局部鞅，因此它是一个子鞅，由上而下。另外，请注意，由于S是一个一致可积鞅，正如在命题2.1的证明中所观察到的，1[τ>t]| Pt |≤ τ与P（Pt）有关∧τn∧σm）n≥1米≥1是一致可积的。因此，我们得到了s<tEh | Pt-^Γt|FXsi≥ |附言-^Γs|+rZtsEh|Pu-^Γu|FXSIDUA在将限制取为n后→ ∞ 还有m→ ∞ 利用（A.35）中积分的单调收敛定理以及L增加的事实。因此，Gronwall不等式的直接应用意味着，对于任何t>sEhPt-^ΓtFXsi≥附言-^Γs呃(t)-s） 。（A.36）另一方面，[τ>s]E|圣- Γ|GMs= 1[τ>s]Eτ>t | Pt- Γ|GMs= 1[τ>s]e-r（t）-s） E|Pt- Γ|FXs≥ 1[τ>s]e-r（t）-s） 嗯Pt-^ΓtFXsi，其中最后一个不等式来自自Ptis FXt可测量以来的Jensen不等式。然而，（A.36）那么yieldslimt→∞[τ>s]E|圣- Γ|GMs≥ 极限→∞附言-^Γs=附言-^Γs,这与（2.3）相矛盾，除非Ps=^Γs，P-a.s。。因为P和^Γ是连续的，所以空集可以独立于s，这就完成了证明。具有不对称信息和随机视界的金融均衡21附录B.定理3.4的证明我们将证明（（σ）*, φ*, 0），h*, α*) 是通过检查1）α得到的平衡*是可容许且最优的（σ*, φ*, 0）和2）（σ*, φ*, 0）是给定α的可接受定价规则*.第一步。内部最优。鉴于引理3.3，让我们首先验证atZ∞te-rsσ*（s） h*y（s，h）-1（s，v）ds<∞, T≥ 0.首先观察h*y（s，h）-1（s，v））=dh-1（s，y）dyandy=Z∞-∞f（z）p（V）(∞) - V（t），h-1（t，y），z）dz=z∞-∞f（z）p（2rlog（1+2re-2rt），h-1（t，y），z）dz=z∞-∞f（z）q（e）-2rt，z- H-1（t，y）p1+2re-2rt）dz。

（B.37）由于f上的边界，我们可以在积分符号内微分得到0<dh-1（s，y）dy=p1+2re-2rtZ∞-∞f（z）z- H-1（t，y）√1+2re-2rte-2rtq（e）-2rt，z- H-1（t，y）p1+2re-2rt）dz=p1+2re-2rtZ∞-∞f（z+h）-1（t，y）p1+2re-2rt）泽-2rtq（e）-2rt，z）dz≤ C经验k（h）-1（t，y））（1+2r）e3rtZ∞Z√2πexp-z（e2rt- （k）dz=C expk（h）-1（t，y））（1+2r）e3rte2rt- K~ C经验k（h）-1（t，y））（1+2r）埃塔斯t→ ∞, （B.38）上面（以及整个证明中）的C是一个常数，独立于t，这可能会随着行的变化而变化。此外，h-1（t，y）=g-1（V（t），y）对于固定的物理量V是有界的(∞) < ∞ g（，·，y）在[0，V]上严格递增且连续(∞)] 对于每个y。因此，上述渐近线确定该条件自Cez起得到验证∞σ*（s） <∞.因此，对于我们得到的任何可容许α-rtJ（t，Yt）=J（0，0）+中兴通讯-rs（h（s，Ys）- Γ{dBs+αsds}由于Jt+AJ-rJ=0，引理3.3。鉴于受理条件（2.5）中兴通讯-rs（h（s，Ys）- Γ）dBsT≥022 UMUT C,是一个一致可积鞅，收敛于L（dPv）。因此，如果e-rtJ（t，Yt）在L（dPv）中有一个极限，即t→ ∞, 特涅夫斯∞E-rs（h（s，Ys）- Γ）αsds=J（0,0）- 埃夫利姆→∞E-rtJ（t，Yt）。自从J≥ 如果达到极限，α将是最优策略→∞E-rtJ（t，Yt）=0。要了解上述限值在L（dPv）中的适用性，首先请注意-rtσ*（t） Zyh-1（t，v）（h（t，x）- v） dx≤√1+2r√2rZyh-1（t，v）（h（t，x）- v） dx≤√1+2r√2r（h（t，y）- v） （y）- H-1（t，v））（B.39）由于（3.24）和h在y中增加的事实。因此，limt→∞E-rtJ（t，Yt）=0，如果Yt- H-1（t，v）→ 0，Pv-a.s。。然而，定理3.3s表明α*限制→∞Y*t=f-1（v）=极限→∞H-1（t，v），Pv-a.s。。因此，如果支持≥0Ev | h*（s，Y）*s） |2+ε+Ev | Y*t|2+<∞, 对于某些>0，我们可以得出结论e-rtJ（t，Yt）在L（dPv）中收敛为0→ ∞ 鉴于（B.39）。注意，supt≥0Ev（h*（s，Y）*s） ）<∞ 也意味着α*是可以接受的。我们将首先表明Ev（Y*t） 2+ε是有界的。