信息不对称和随机视界下的金融均衡

通过部分积分，我们得到了一个更方便的r表示：Wτ=Zτ（Γ）- h（s，Ys））α-sds。作为风险中性交易者，知情交易者的目标是在可接受策略类别内最大化EvWτ。定义2.3。（（w）*, B*, Y*), H*, α*) 是一个平衡态，如果（1）（（w*, B*, Y*), H*) 是做市商可接受的定价规则；(2) θ*由θ定义*t=Rtα*sds是一种可接受的内幕交易策略（w*, B*, Y*), H*);（3） St=1[τ>t]h*（t，Y）*t） +1[τ≤t] Γ是一个GM鞅，其中Y*是w=w的（2.4）的唯一强解*b=b*;(4) θ*最大化内部人士的预期利益。也就是说，EvZτ（v- H*（s，Y）*s） ）α*sds=supα∈AEvZτ（v）- H*（s，Y）*s） ）α-sds，五、∈ supp（ν），其中A是所有可容许策略的类，给出n可容许定价规则（（w*, B*, Y*), H*).由于τ独立于Γ和B，市场庄家和内部人士不会使用依赖于τ的均衡控制。在这种情况下，投资者最终财富的预期值将等于v[Wτ]=Z∞E-rsEv[（v）- h（s，Ys））αs]ds。（2.6）6 UMUT C,etin让我们用fx表示包含P-空集的最小右连续过滤，X与之相适应。当内幕人士使用独立于τ的策略时，这将使X也独立于τ。在这种情况下，我们应该期望st=Pt[t<τ]+Γ1[t≥τ]，其中P是适用于FX的s-martin-gale。下面的命题表明，这是在这种情况下，并给出了P在Γ方面的特征。提议2.2。假设X独立于τ，且所有FX鞅都是连续的。然后，Pt=E[Γ| FXt]，i。e、 P是Γ的FX可选投影。特别地，P是连续的。上述结果的证明被委托给附录A。然而，值得一提的是，该证明并不依赖于做市商以马尔可夫方式做出定价决策，即。

Pt=h（t，Yt），其中Y紧随其后（2.4）。也就是说，无论定价决策是什么，只要X独立于τ且所有的FX鞅都是连续的，它就必须满足ypt=E[Γ| FXt]。鉴于做市商定价决策P的上述特征，我们将通过研究投资者的最佳交易选择，在下一节中寻求均衡。由于我们的重点不是均衡的唯一性，我们应该遵循我们的直觉，考虑独立于τ的交易策略。因此，下一节将确定平衡的存在，其中X独立于τ3。内部人的优化问题和均衡3。1.伯努利分配清算价值。在这一节中，我们假设Γ取{0，1}中的值，如[2]中的值，并设置p:=ν（{1}），即清算值等于1的概率。在这个假设下，我们接下来将看到，我们可以得到一个平衡，其中系数（2.4）以及定价函数h不依赖于时间。因此，内部人员优化问题的解决方案也将是时间均匀的。我们首先尝试正式获得与Insider的值函数相关的Bellman方程。为此，如上所述，假设X独立于τ，市场庄家将时间t上的价格[t<τ]设置为一些有效平滑的h的h（Yt），其中dyt=a（Yt）dXt+φ（Yt）dt。还记得dXt=dBt+αtdt，其中αtdt代表内部人的微小交易。根据（2.6）的观点，我们可以考虑以下关于内部人问题的值函数，假设Γ=v:J（x）=supαEvZ∞E-卢比（v）- h（Ys））α-sdsY=x. （3.7）正式地，J s olvessupαaJ′+J′（aα+φ）+α（v）- h）- rJ= 因此，如果它是连续可微的三倍，我们期望有aj′=h-v（3.8）aJ′+J′φ- rJ=0。

（3.9）正如我们将在下一节中看到的，所有的FX鞅在均衡中都是连续的。一般来说，该特性的有效条件是ERtαsds<∞ 对于所有t>0（见[16]的推论8.10]）。信息不对称和随机视界下的金融均衡7第一身份收益率j′=h- va，J′′=h′a-H- vaa′，J′=h′a- 2h′a′a-（h）- v） a′a+2（h）- v） （a′）a.将上述内容插入第二个恒等式yields0=ah′+h′φ- （h）- v）aa′+a′aφ- φ′+r.由于h不能依赖于Γ，我们获得了候选定价规则的以下条件，即做市商将选择的系数a和φ来构建定价规则。ah′+h′φ=0（3.10）aa′+a′φ+（r）- φ′）a=0。（3.11）看看这个方程，我们可以猜测在平衡态中，Byyt=a（Yt）dBYt+φ（Yt）dt，（3.12）其中By是一个GM布朗运动，dA和φ解（3.11）。以下说明，所有这些过程都可以从Ornstein-Uhlenbeck过程中获得。提议3.1。假设Y是（l，u）上的一个规则一维微分，由生成器ddx+φddx定义，其中a>0和φ是（l，u）上满足（3.11）的两个函数。进一步假设∈ （l，u）存在（3.12）的一个唯一弱解，对于某些c，下列可积条件成立∈ （l，u）f（x）：=Zxca（y）<∞, 十、∈ （l，u）。如果Rt=f（Yt），那么R是一个Ornstein-Uhlenbeck过程，对于某些d，其generatorA=ddx+（rx+d）ddx，（3.13）∈ R.证明。很明显，Y通过某种布朗运动来解（3.12）。因此，它遵循伊藤的公式ThatDrt=dBYt+φ（f）-1（Rt））σ（f-1（Rt））-σ′（f）-1（Rt））dt。使用（3.11）可以很容易地检查f函数7的导数→φ（f）-1（y））σ（f-1（y））-σ′（f）-1（y））等于r，我得出结论。鉴于上述情况，我们预计均衡价格过程是Ornstein-Uhlenbeck过程的函数。

顺便说一句，选择一个≡ 1和φ=rx+df或部分d∈ R.这意味着，结冰规则h将是与发电机（3.13）的扩散的标度函数。回想一下，a和φ的选择是由做市商做出的。因此，8位市场庄家将构造他们的信号Y，使其成为均衡中的一个瞬态过程（|Yt |→ ∞ 当Y由（3.13）定义时。引理3.1。定义（x）=rrπZx-∞经验-Ry+dr!dy.（3.14）则s是（3.13）与s定义的扩散的标度函数(-∞) = 1.- s(∞) = 0.证明。检查As=0很简单。此外，s是表示有界条件的正态随机变量的累积分布函数。定理3.1。让E∈ 考虑一下SDEdYt=dBt+rYt+d+1Es′（Yt）s（Yt）- 1Ecs′（Yt）1- s（Yt）dt，Y=Y∈ R、 其中s由（3.14）给出。然后，有一个独特的强大的解决方案来解决上述问题。解决方案尤其令人满意→∞Yt（ω）=∞, 如果ω∈ E-∞, 如果ω∈ 欧共体。此外，如果P（E）=s（y），我们有P（E | FYt）=s（Yt），因此，在其自身的过滤中，dYt=dBYt+{rYt+d}dt，其中byt是布朗运动。证据考虑一个Ornstein-Uhlenbeck过程，R，在某个概率空间中有生成器（3.13）(Ohm, G、 （Gt）t≥0，P），从而存在一个集合F∈ Gwith P（F）=P（E）。显然，M:=Fs（R）s（y）+1Fc1-s（R）1-s（y）是E[M]=1的有界鞅。因此，在G上定义Q的bydQdP=M∞得到弱解的存在性。此外，对于t>0，由于Mt>0，弱解在定律上是唯一的。Y为T的极限条件→ ∞ 由弱解的构造而来，因为构造只是实现R的h变换∞= ∞ （分别为∞= -∞ ) onF（分别为Fc）（见[5]第34页第32段）。上面的SDE实际上拥有一个独特的强解。

事实上，自从≡ [15]中的引理IX.3.3、推论IX.3.4和命题IX.3.2意味着该SDE具有路径唯一性。因此，鉴于山田和渡边的著名结果（见[12]中的推论5.3.23），存在一个独特的强解。此外，利用通过上述弱构造得到的s解定律，我们得到了p[E | FYt]=EyM∞F | FRtEy[M∞|FRt]，其中Ey是关于乘积度量Py×ν的期望，其中Py是R=y的rw定律，ν是F的分布。由于F和R是独立的，在P（E）=s（y）的假设下，我们得到M∞F | FRtEy[M∞|FRt]=s（Rt）s（y）P（F）Ey[Mt | FRt]=s（Rt），具有不对称信息和随机视野的金融均衡，因为P（F）=P（E）=s（y）和Ey[Mt | FRt]=1。因此，对于某些FY布朗运动，非线性滤波的标准结果（如[14]中的定理8.1）yieldsdYt=dBYt+{rYt+d}dt。现在我们来讨论内幕价值函数的计算。事实上，我们将在命题3中进行验证。2是由j（x）给出的：=Zxs-1（v）（s（y）- v） dy（3.15），通过h=s的构造满足（3.8）。此外，AJ（x）- rJ（x）=s′（x）+（s（x）- v） ）φ（x）- rZxs-1（v）（s（y）- v） dy=s′（x）+Zxs-1（v）φ（y）s′（y）dy=s′（x）-Zxs-1（v）s′（y）dy=0，（3.16）自s′（s）-1（v））=0。引理3.2。对于任何v∈ {0，1}考虑SDEYt=y+Bt+ZtrYs+d+1v=1s′（Yt）s（Yt）- 1v=0s′（Yt）1- s（Yt）ds，（3.17）和defineav:=A+v=1s- 1v=0s′1- sddx。那么，J是Avand方程的r-过量函数-rtJ（Yt）→ 0作为t→ ∞, 式中，对于给定的V值，关于上述SDE的解的定律的期望算子。证据

回想一下（3.16）中的AJ- rJ=0，观察该值-rJ=AJ-rJ+v=1s- r1v=0s′1- s（s）- v）=v=1s- 1v=0s′1- s（s）- v）≤ 0.定义非负函数gv：=v=1s- 1v=0s′1- s（五）- s） 。一旦我们证明GV与r可积，则J将是r-过量的，这与Av定义的扩散速度度量有关。根据[5]第34页第31条，该测量值由mV（dx）给出：=v=1s（x）+1v=0（1- s（x））s′（x）dx。10 UMUT C,ETINThus，Z∞-∞gv（x）mv（dx）=2Z∞-∞s（x）（1）- s（x））dx<∞因为s是正态随机变量的累积分布函数。由于r-过多函数的积分表示公式（见[5]第33页第30条），因此我们有j（x）=Z∞E-rsQvsgv（x）ds+cψr（x）+cφr（x），其中（Qvt）t≥0是（3.17）的解对于给定值v的转移函数，以及Avu的φrandψ稀有递减和递增解-ru=0，r分别为。我们声称c=c=0。事实上，假设v=0。然后是J′(∞) = 1和J(-∞) = 然而，由于l和u是自然边界，φr(-∞) = ∞ = ψ′r(∞) （见[5]第19页），这反过来会产生c=c=0。当v=1时，类似的考虑会得出相同的结论。因此，e-rtQvtJ（y）=Z∞te-rsQvsgv（y）ds。但当t时，上述结果收敛到0→ ∞. 事实上，因为qvtgv=1v=1Ptsgvs+1v=0Pt（1- s） gv1- s、 where（Pt）t≥0是Or-nstein-Uhlenbeck过程与发生器（3.13）的过渡函数，我们有qvtgv（y）≤ 最大值Pts′（y）s（y），Pts′（y）1- s（y）≤√R√πmaxs（y），1- s（y）,鉴于上述引理，我们现在可以构造出当市场制造商使用s作为其定价规则时，内部人的最优策略。提议3.2。假设Pt=s（Yt），其中s由（3.14）和Yt=y+Xt+Zt（rYs+d）ds给出。和y∈ R被选择为s（y）=p=p（Γ=1）。那么，以下策略对内部人员来说是最佳的：αt=Γs′（Yt）s（Yt）- (1 - Γ）s′（Yt）1- s（Yt）.

（3.18）使用该策略的内部人士的预期收益等于J（y），其中J是定义在（3.15）中的功能。证据让J由（3.15）给出，并从（3.16）中回忆AJ- rJ=0。因此，伊藤的公式与部分整合-rtJ（Yt）=J（y）+中兴通讯-rs（h（Ys）- Γ{dBs+αsds}，其中α是内部人员的任意可允许策略。由于h和v是有界的，中兴通讯-rs（h（Ys）- Γ）具有非对称信息和随机视界的金融均衡是一致可积鞅。因此，sin ce J≥ 0，EvZ∞E-卢比（v）- h（Ys））α-sds≤ J（y），即J（y）是内部人士预期收益的上限。观察到在pvd下J（Yt）的分布取决于α的选择。因此，如果我们能找到一个可容许的α→∞E-rtJ（Yt）=0，这将是最优的。然而，引理3.2表明，如果α由（3.18）给出，那么这个极限实际上等于0。此外，由于h是有界的，α的可容许性将在zt |αs | ds<∞, Pv-a.s。。事实上，在[Γ=1]上，每T>0，我们就有ztevs′（Yt）s（Yt）dt=ZTEys′（Rt）s（Rt）s（Rt）dt=ZTEys′（Rt）根据定理3.1证明中观察到的（3.17）的解与带生成器的OrnsteinUhlenbeck过程（3.13）之间的绝对连续性关系。此外，由于0<s<1且s′有界，因此集合[Γ=1]上的可容许性得到了验证。可以类似地证明α在集合[Γ=0]上是可容许的。这就完成了证明。下面给出了所考虑市场的马尔可夫均衡：定理3.2。让我们≡ 1，φ（x）=rx+d对于某些d∈ R、 s是（3.14）中定义的函数，y是s（y）=p的唯一解，α是（3.18）中给出的过程。（1，φ，y），s，α）是非平衡态。证据考虑到σ、φ和s的这种情况，我们在命题3.2中看到α是最优的。

因此，根据命题2.2，它可以证明（Yt）=E[Γ| FXt]=E[Γ| FYt]，因为所有的FX（或等价的FY）鞅都是连续的，因为过滤是布朗的（关于这个事实的另一种说法，见推论3.2）。然而，由于s（y）=P（Γ=1），这个断言很容易遵循定理3.1。虽然上面的定理给人的印象是，存在一个由d表示的平衡连续统，但事实上，所有这些φ的选择都会导致相同的S DE。此外，当用P表示时，内幕人士的临时策略不依赖于d。推论3.1。设d，φ和α如定理3.2所示，设P*是与（（1，φ，y），s，α）相关的均衡价格。那么，P*是一个具有P的一致可积FX鞅*∞= Γ，andP*t=E[Γ]+Ztλ（P*（s）星展银行+Γλ（P*s） P*s- (1 - Γ）λ（P*s） 一,- P*sds, （3.19）式中λ（x）=s′s-1（x））和（3.14）中的函数，d=0。特别是，函数λ不依赖于d。此外，内部人在均衡中的策略具有以下f rom：α*t=Γλ（P*t） P*T-(1 - Γ）λ（P*t） 一,- P*t、 （3.20）12 UMUT C,。让d∈ R乘以ed，Y=B+R·（φ（Yt）+αt）dt*t=s（Yt），其中s由（3.14）给出。然后，dP*t=s′（Yt）dBt+Γs′（Yt）s（Yt）- (1 - Γ）s′（Yt）1- s（Yt）dt.观察P*= s（y）=E[Γ]通过选择y。接下来，请注意s（x）=sx+dr,意味着s′（x）=s′（x+dr）以及s-1（x）=s-1（x）-博士将这两个观察结果结合起来，然后推断出-1（x））=s′（s-1（x）），D∈ R.因此，dP*t=s′（s）-1（P*t） )dBt+Γs′s-1（P*t） ）P*T- (1 - Γ）s′s-1（P*t） ）1- P*Tdt.鉴于λ的定义，这产生了P的动力学*由（3.19）给出。那个P*由s的有界性得出一致可积。

它的极限性质P*∞=s（Y）∞) = Γ是由定理3.1得出的。内部人的策略形式紧随着相应变量的变化而变化。在凯尔关于风险中性做市商的模型中，通常可以观察到，在均衡状态下，投资者的交易是不明显的，即均衡需求过程的分布与噪声交易的分布相等。我们在这里观察到相同的ph值。推论3.2。考虑定理3.2或推论3.1中描述的平衡，让X*表示需求的均衡水平。然后，X*它本身就是一个布朗运动。证据请注意*t=Bt+Ztα*sdswhereα*由（3.20）给出。回想一下，X和Y之间的关系意味着它们产生相同的过滤。此外，由于定价规则是严格递增函数，我们推断P*还有X*重合所以呢α*T外汇*ti=Ehα*TFP*ti=EhΓFP*tiλ（Pt）Pt-1.- 呃ΓFP*钛λ（Pt）1- Pt=0p*是一致可积函数*-带P的鞅*∞= Γ由科罗洛里3.1。因此，X*根据[14]中的定理8.1，是一种自发的运动。由于我们能够将均衡价格过程描述为OrnsteinUhlenbeck过程的函数，这使我们能够观察到Kyle原始模型的均衡变化。如[3]和[9]所述，在[13]中，市场深度的倒数遵循一个防止市场深度发生“系统性变化”的鞅。在没有此类系统性变化的情况下，当深度较低时，投资者无法获得较大仓位，以便在日后流动性较高时变现，从而获得无限利润。

市场深度的倒数称为Kyle的金融均衡，具有不对称信息和随机视界13lambda，它由过程λ（P*) 在我们的模型中，其中λ和P*如推论3.1所示。下一个结果表明，与凯尔的发现相反，市场深度的决定遵循一个超级马尔廷格尔，Back和Baruch在[2]中使用不同的论点也观察到了这一点。推论3.3。设λ和P*如推论3.1所示。那么λ（P*) 通用汽车公司的超级艺人有这样的极限吗→∞E[λ（P*t） ]=0，即λ（P*) 这是通用汽车的潜力。证据如前所述，在不丧失普遍性的情况下，假设b=0，因此φ（x）=rx和市场制造商的信号Y*, 在自己的过滤中解决*t=dβt+rY*tdt，其中β是FY*-布朗运动。自从P*= s（Y）*), 必须证明s′（Y*) 她很害怕*-超级马丁格尔。依赖于τ和P*这就意味着s′（Y*), 因此λ（Y）*), 是年度股东大会的超级艺人。另一方面，s′（x）=rrπe-rx。因此，伊藤公式的一个应用是yieldsds′（Y*t） =-s′（Y）*t） （2rY）*tdβt+rdt），这反过来意味着s′（Y*) 具有所需的supermartingale属性。此外，作为支配收敛定理的推论，我们得到了→∞Es′（Y）*（t）= 埃利姆特→∞s′（Y）*t） i=0自极限→∞|Y*t |=∞. 备注1。事实上，市场中观察到的实际边际价格影响由λ（Pt）1[τ>t]给出，因为价格从τ开始是恒定的。注意，这也是引理a.1的GM supermartingalein视图。上述结果的一个简单结果是，市场的平均流动性更高。凯尔的这一表态是因为整个交易活动的随机截止日期，这与其他一切无关。知情人士意识到，信息优势将在一个完全不可接近的时间结束，这将是一个惊喜。