信息不对称和随机视界下的金融均衡

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英文标题：
《Financial equilibrium with asymmetric information and random horizon》
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作者：
Umut \\c{C}etin
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study in detail and explicitly solve the version of Kyle\'s model introduced in a specific case in \\cite{BB}, where the trading horizon is given by an exponentially distributed random time. The first part of the paper is devoted to the analysis of time-homogeneous equilibria using tools from the theory of one-dimensional diffusions. It turns out that such an equilibrium is only possible if the final payoff is Bernoulli distributed as in \\cite{BB}. We show in the second part that the signal of the market makers use in the general case is a time-changed version of the one that they would have used had the final payoff had a Bernoulli distribution. In both cases we characterise explicitly the equilibrium price process and the optimal strategy of the informed trader. Contrary to the original Kyle model it is found that the reciprocal of market\'s depth, i.e. Kyle\'s lambda, is a uniformly integrable supermartingale. While Kyle\'s lambda is a potential, i.e. converges to $0$, for the Bernoulli distributed final payoff, its limit in general is different than $0$.
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中文摘要：
我们详细研究并明确解决了Kyle模型在{BB}的一个具体案例中引入的版本，其中交易期限由指数分布的随机时间给出。本文的第一部分致力于利用一维扩散理论中的工具分析时间齐次平衡。事实证明，只有当最终收益是伯努利分布的，如{BB}中所示，这样的均衡才可能。我们在第二部分中表明，做市商在一般情况下使用的信号是一个时间变化的版本，如果最终收益是伯努利分布，他们会使用这个版本。在这两种情况下，我们明确描述了均衡价格过程和知情交易者的最优策略。与原来的凯尔模型相反，我们发现市场深度的倒数，即凯尔的λ，是一个一致可积的超鞅。虽然Kyle的lambda是一种潜力，即收敛到0美元，但对于伯努利分布的最终收益，其限制通常不同于0美元。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-5-11 03:38:06 上传

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关键词：信息不对称 不对称 Mathematical distribution Applications

具有不对称信息和随机水平的金融均衡。我们详细研究并明确解决了[2]中asp eci fic案例中引入的Kyle模型，其中交易期限由指数分布的随机时间给出。本文的第一部分致力于使用一维微分理论中的工具分析时间齐次平衡。事实证明，只有当最终支付是如[2]所示的伯努利分布时，这种均衡才有可能。我们在第二部分中表明，在一般情况下，做市商使用的信号是一个经过时间变化的版本，如果最终支付具有伯努利分布，他们将使用这个版本。在这两种情况下，我们都明确地描述了均衡价格过程和知情交易者的最优策略。与原来的凯尔模型相反，我们发现市场深度的倒数，即凯尔的λ，是一致可积的上鞅。虽然Kyle的lambda是一种潜力，即收敛到0，但对于伯努利分布的最终支付，其极限通常不同于0.1。引言信息不对称市场的规范模型由Kyle[13]提出。凯尔研究单一风险资产的市场，其价格在均衡状态下确定。构成市场的主体主要有三类：一类是战略风险中立的知情交易者，拥有有关资产未来价值的私有信息；另一类是非战略不知情的噪音交易者；另一类是许多风险中立的市场决策者，他们争夺战略和非战略交易者的净需求。

该模型的关键特征是，资产价值在固定的确定日期成为公共知识，做市商无法区分知情交易和未知情交易，而是通过“过滤”知情交易人知道的信息，从净需求中“学习”，而知情交易人知道的信息被噪音需求“破坏”。知情交易者的私人信息是静态的，即它是在交易开始时获得的，不随时间变化。这种信息的性质其实并不重要：它可能是关于资产未来收益的内部信息，也可能是对未来收益的无偏估计。当战略知情交易者是一家大型投资银行，拥有一个良好的研究部门，从事不与公众分享的复杂研究时，后者是一个更合适的解释。凯尔的模型是离散时间的，并假设噪声交易者遵循随机游走，资产的未来收益具有正态分布。这已经扩展到了一个持续时间框架，并在后面提供了一般的支付[1]。在这个扩展中，噪声发生器的总需求由布朗运动给出，资产的未来收益具有一般的连续分布，而信息发生器的私人信息仍然是静态的。Kyle的模型及其按Back的连续时间扩展已进一步扩展，以允许多个知情交易者（[11]，[3]），包括违约风险[6]，或单个知情交易者收到作为竞争信息的连续信号的情况（[4]和[7]）。本文的第一个目标是研究byBack和Baruch在[2]中引入的该模型的时间同质版本。

时间同质性指的是与市场价格日期（2018年10月2日）相对应的SDE，即具有时间同质系数的2018年10月2日。内幕人士的最佳决策仅取决于交易资产的价格，而非时间。这在一定程度上是因为假设资产价值Γ以随机指数时间τ宣布，平均r-1对于一些r>0且独立于模型中的所有其他变量。知情交易者知道Γ，但不知道τ。因此，她在信息方面比其他人更具优势；然而，这随时都可能结束，因为τ对知情交易者和其他交易者来说都是一个惊喜。Back和Baruch将市场深度和知情交易者的策略作为价格的函数进行计算，这只是隐含地使用逆运算。此外，他们的方法不允许明确描述均衡价格过程的分布。在第3.1节中，我们使用一维微分理论中的工具分析了Back和Baruch模型。我们证明，在均衡状态下，市场制造商构造了一个transientOrnstein-Uhlenbeck过程Y，用于定价。由此产生的一个特殊结果是，定价规则变成了Y的标度函数。此外，我们还用Ornstein-Uhlenbeck过程的某个h-变换的r-过量函数确定了战略交易的价值函数J。Back和Baruch假设了做市商和informedtrader的均衡控制，然后验证这些确实构成了均衡。另一方面，我们研究了在信息交易者的一大类可接受策略的情况下，做市商的可接受定价规则，并描述了均衡中可能出现的策略。

事实证明，做市商可以在均衡状态下的连续控制中进行选择；然而，对于均衡价格过程，每一种选择都会导致相同的SDE。我们证明了衡量交易价格影响的过程，即Kyle的lambda，是一个一致可积的超鞅，接近于0，即一个势。因此，随着时间的推移，市场的平均流动性越来越高。这与Kyle[13]的预测不同，o预测Kyle的lambda必须遵循鞅，以防止[3]和[9]中解释的市场深度发生“系统性变化”。在缺乏此类系统性变化的情况下，内幕人士无法在深度较低的情况下获得大量头寸，以便在日后流动性较高的情况下变现，以获得无约束的利润。在我们研究的模型中，即使市场随着时间推移变得更具流动性，由于市场可以在任意时间间隔[t，t+dt]以概率rdt结束，因此非正式交易者没有机会进行最终交易。本文中使用的方法的优点之一是，它明确地确定了价格过程的分布。然而，解的显式形式也表明，如果资产价值具有非伯努利分布（如备注2所述），则不可能存在均衡，即价格过程为时间齐次扩散。另一方面，Collin Dufresneet al.[8]最近的一项工作暗示了一般报酬分布应该遵循的方向。Collin Dufresne等人[8]研究了凯尔模型的一个版本，其中宣布日期是泊松过程的跳跃时间，具有非恒定强度，资产价值使用线性卡尔曼滤波具有高斯分布。

事实证明，在他们的模型中，SDE对均衡价格的影响应该是时间依赖的。基于他们的结果，我们在第3.2节中研究了Back和Baruch模型的扩展，将其推广到一大类支付分布。事实证明，当收益具有一般分布时，做市商使用的信号是一个时变的瞬态Ornstein-Uhlenbeck过程。时间变化V（t）与V有关(∞) < ∞. 时间变化的不确定性意味着做市商信号的极限分布是非退化正态分布。这一特殊功能允许我们将Back和Baruch的模型扩展到更一般的设置，包括[8]中考虑的正态分布情况。在凯尔模型的其他工作中，我们证明了知情交易者的交易在均衡中是不明显的。也就是说，总需求的均衡分布与累积噪声交易的均衡分布相同。另一方面，与早期关于这一主题的著作的一个本质区别是，均衡价格在公告日期τ出现跳跃。这是很自然的，因为知情的交易方不知道τ，因此，没有策略来确保随着时间接近τ，市场价格几乎肯定会收敛到Γ，这是一个完全可访问的停止时间，即使是知情的交易方。然而，知情交易者可以做的是以下策略，实际上这将不是她的均衡策略：她可以使以生存为条件的市场价格（即，[τ>t]）收敛到Γas t→ ∞. 也就是说，以独立生存为条件，市场价格趋同于真正的回报。

请注意，由于τ的有限性，不确定生存的概率为0，当τ出现价格上涨时，概率为1。本文概述如下：第2节介绍了模型，定义了市场庄家和知情交易者的可接受控制，最后描述了市场庄家的定价选择。第3.1节和第3.2节分别解决了最终支付具有伯努利分布和一般分布时的均衡问题。最后，第4节得出结论。2.赛普利特(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一个过滤概率空间，满足右连续性和P-完备性的一般条件。我们认为F不是平凡的，存在一个F-可测量的随机变量，Γ，取R中的值。此外，过滤概率也支持标准布朗运动，B=0，因此，B独立于Γ。我们还假设存在一个与F无关的F-可测随机变量τ∞具有指数分布，平均值为0<r-1< ∞. 特别地，τ独立于Γ和B。由Γ在R上引起的测量值将用ν表示，即ν（A）：=P（Γ∈ A） 对于R的任何Borel子集，我们进一步假设概率测度族（Pv）v的存在∈R、 使下面的分解公式成立：P（E）=ZRPv（E）ν（dv），E∈ F.（2.1）当我们考虑Ohm = R×C（R+，R），其中C（R+，R）是R+上实值连续函数的空间。如果v，我们设置Pv=P/∈ supp（ν）。我们还假设Γ是平方可积的。也就是说，E[Γ]=ZRvν（dv）<∞. （2.2）我们考虑一个市场，其中无风险利率设置为0，单个风险资产进行了交易。

该资产的基本价值等于Γ，将在随机时间τ公布。在这个市场中，有三种类型的代理人相互作用：i）流动性交易者，他们交易的原因与模型无关，其在时间t的累积需求由Bt给出。ii）一个单一的知情交易者，从时间t=0开始，o知道Γ，并且是风险中性的。我们将在下文中致电知情交易者内幕人士，并用θt表示其累计需求时间t。内幕人士的过滤GI是通过观察therisky资产Γ的价格以及是否已发布公告产生的，也就是说，每个t的τ>t≥ 0.过滤也将假定在（Pv）v的零设定值下完成∈R.4 UMUT C,ETINiii）市场庄家只观察风险y资产的净需求，X=B+θ，无论τ>或不是每个t≥ 0和Γ在τ公开时。因此，它们的过滤GM是由X（1[τ>t]）t生成的最小右连续过滤≥0，和（1[t≥τ]Γ）t≥0，并用P-null集完成。特别地，τ是GM停止时间。市场制造商选择的价格过程由S决定。显然，St=Γ在集合[t]中≥ τ]. 在宣布日期之前，我们假设市场价格是根据aBertrand竞争决定的：做市商制定他们的价格，投资者以最好的报价进行交易。这种机制导致S是一个GM鞅，即St=e[Γ| GMs]。因此，S∞自P（τ<∞) = 1.价格过程的确定方式产生以下sinceΓ是可积的。提议2.1。在条件（2.2）的vie w中≥ 极限→∞东街- Γ| | GMs]=0。（2.3）证据。自limt以来→∞St=Γ和Γ满意度（2.2），我们推断家庭（St）t≥0是统一整数（见[12]中的问题1.3.20）和（Γ）也是统一整数- St）t≥0

S ince limt→∞|圣- Γ|=0，索赔如下。在本文中，就像在凯尔模型的其他工作中一样，我们对马尔可夫纳什均衡感兴趣。根据现有文献，我们将假设做市商选择的价格是某个过程的确定函数Y，该过程求解了做市商选择的一些加权函数w和drif t函数b的dYt=w（t，Yt）dXt+b（t，Yt）dt（参见[1，4，7]等，用于构造做市商信号的加权函数）。在定义该模型中均衡的确切含义之前，我们先介绍做市商和信息交易者的容许控制类别。定义2.1。这对（w，b，y，h）对于某些区间（l，u）的做市商来说是一个可接受的定价规则f R、 y∈ （l，u）和w:R+×（l，u）7→ (0, ∞), b:R+×（l，u）7→ R、 andh:R+×（l，u）7→ R是可测函数，使得h（t，·）严格地包含在R+×（l，u）的紧致子集上的每一个t>0，w i s有界于0，并且对于任何布朗运动，β，都存在一个唯一的强解，没有爆炸性Toyt=z+Ztw（s，Ys）dβs+Ztb（s，Ys）ds，Z∈ （l，u）。给定一个可接受的定价规则（（w，b，y），h），做市商将在[τ>t]tobe h（t，Yt）上设定价格，其中y followsYt=y+Ztw（s，Ys）{dBs+dθs}+Ztb（s，Ys）ds，（2.4），只要θ是内幕人士可接受的策略。因为h是严格单调的，所以Y完全可以被交易者观察到，尤其是交易者。结合w在r+×（l，u）的紧致子集上远离0的假设，这将意味着内幕人士可以观察到bs，因为她清楚地知道自己的策略θ。因此，这一假设也确保了内部人的过滤是明确的，并由B、Γ和（τ）生成∧ t） t≥0

这一点值得注意，否则，我们可能会在模型的适定性方面遇到问题，因为内幕人士的交易策略可能取决于对价格过程的观察，该过程与X产生的过滤相适应，而过滤在很大程度上取决于内幕人士的交易策略。也就是说，不能在限定时间内到达边界点l和u。信息不对称和随机视界定义下的金融均衡2.2。给定一个可接受的定价规则（（w，b，y），h），如果θ变化有限且满足以下条件，则θ是一个可接受的策略。（1）θ是绝对连续的：对于某些GI适应的α，θt=Ztαsds，其中GI是由b，Γ和（τ）生成的最小右连续过滤∧ t） t≥0，并用（Pv）v完成∈R-null集。（2） 存在唯一的强解toYt=z+Ztw（s，Ys）dXs+Ztb（s，Ys）ds，Z∈ （l，u）。（3） 以下可积性条件成立：EvZτh（t，Yt）dt<∞, 五、∈ supp（ν），（2.5），其中Y是（2.4）的唯一强解。假设该策略是绝对连续的，没有任何通用性损失，因为任何具有正二次变化的策略都必然是次优的，因为交易的价格影响（关于这一事实的证明，请参见[1]）。面对可接受的定价规则（（w，b，y），h）内幕人士采用可接受的策略θ，并实现wτ=Z[0，τ]θsdh（s，Ys）+θτ（Γ）- h（τ，Yτ）），作为其在发布公告和交易可能性结束时的总收益，其中Y是（2.4）的斯特龙g解，该解存在且唯一，因为θ是可容许的。注意，项θτ（Γ）-h（τ，Yτ））是由于当true值被揭示时，价格可能会上涨。