有投资的现金约束企业价值的数值逼近

在一个恒定的步长下，矩阵的形式如下：0-(1 - ρ3，i）λ-(1 - ρ3，i）（1）- λ) 0-(1 - ρM，i）λ-(1 - ρM，i）（1）- λ) 0Di=相对于矩阵Di中对角线的偏移集d，即Di开头的零线数等于tod=1+e2γh十、式中，E是FL oor函数。我们还定义了分数部分：λ=2γh十、- E2γh十、.最后，向量B的大小为N×M，满足要求J∈ [1，N×M]，bj=-ρl，iθl，i（1）- ψl，i），j=l+（i）- 1） M.定义2矩阵A是M-矩阵如果A是非奇异的，A的对角线系数是负的，A的对角线系数是负的-1.≥ 0.注释5矩阵，使-1.≥ 0令人满意≥ 0<=> A.-1X≥ 引理8矩阵Zi（ρ，ψ，θ）=（zil，j）l，jare M-矩阵。证据：拿我来说∈ [1，N]。我们观察到矩阵ZIL满足所有l，ZIL>0和所有l 6=j，ZLJ≤ 是对角占优矩阵。的确L∈ [2，M]，齐尔-Xj6=l | zil，j |=r、 ψliρl，iθl，i=1,0，ψli=0 etρl，iθl，i=1,1，ρliθli=0。对于l=1，狄里克莱条件决定了thatzi-Xj6=1 | zi1，j |=1。然而，该矩阵不是严格对角占优矩阵，因为当存在红利分布（即ψli=0和ρl，iθl，i=1）时，线系数之和等于零，因此[13]中使用的经典技术不适用。证明zi（ρ，ψ，θ）是M矩阵的另一种方法是找到一个M大小的向量W，使得W>0和ZiW>0（见[23]）。让我们证明W是由L∈ [1，M]，Wl=1+l具有 =Rxu′β>0满足所有i∈ [1，N]。

首先，由于Zi是一个三对角矩阵，我们有L∈ [2，M- 1] ，（ZiW）l=zil，l-1（1+（l- 1)) + zil，l（1+l）) + zil，l+1（1+（l+1）).对于l=1（ZiW）=（1+)对于l=M（ZiW）M=1+M十、-1+（米）- 1)x、 那么，尽管我∈ [2，M]，我们有：（ZiW）l=（1+（l）- 1))r+（zill+2zil，l+1），ρliθliψli=1，x、 ρliθli=1 etψli=0,1+l, ρliθli=0。此外，当ρliθliψli=1时，我们有zill+2zil，l+1=r-C（xl，ki）x、 所以，（1+（l- 1))r+（zill+2zil+1，l）=（l- 1） r + r+R-C（xl，ki）十、≥ lr + R- C（xl，ki）x、 使用 事实上我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，C（xl，ki）≤ μ′β我们有（1+（l- 1))r+（zill+2Zill+1，l）≥ lr.所以L∈ [1，M]，（ZiW）l>0。我们得出结论，Zi是一个M-矩阵。推论2矩阵A（ρ，θ，ψ）是M-矩阵。证明：为了证明这个结果，我们使用了与引理8相同的技巧。

选择 =Rxu′β>0和0<η<（d+λ）.因此，我们将N×M大小的向量定义如下我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，Wl+（i）-1） M=1+l + 我是η。然后，利用引理8的结果，我们得到∈ [1，N]而且我∈ [2，M-1] ，ρliθli=1=> （AW）l+（i）-1） M≥ 闵x、 lr+ （zil，l+zil，l）-1+zil，l+1）iη。利用矩阵是对角占优的，我们得到ρliθli=1=> （AW）l+（i）-1） M>0。在（θli，ρl，i）=（0，1）的情况下，我们有（AW）l+（i）-1） M=1+l + iη- （1+1） + （一）- 1） η）=η>0，在ρl，i=0的情况下，我们有（AW）l+（i-1） M=1+l + iη- (1 - λ） [1+（l- d） + （i+1）η]- λ[1+（l- 1.- d） + （i+1）η]=（d+λ） - η>0.因此，我们显示一个向量W>0，这样，对于所有i∈ [1，N]，对于所有l∈ [1，M]，（AW）l+（i）-1） M>0这证明了他的结果。备注6一位仲裁人指出，有另一种方法可以通过使用[25]中介绍的弱链对角占优矩阵的概念来证明A（ρ，θ，ψ）是aM矩阵。4模式的收敛性本节的主要结果是U是以下策略迭代的解：aqq+1+Bq=0（19），其中aq=A（ρq，θq，ψq），B（ρq，θq，ψq），并在定理1中恢复。算法1策略迭代（ρ，θ，ψ）=（1，1，1）q=0W=0，而误差> doSolve Wq+1ρql，i“θql，i”的解-ψql，i（~LWq+1）l，i+（1）- ψql，i）Wq+1l，i- Wq+1l-1.我十、- 1!!#= - ρql，i（1）- θql，i）（Wq+1l，i- Wq+1l，i-1) - (1 - ρql，i）（Wq+1l，i-~I（Wq+1i+1））（ρq+1，θq+1，ψq+1）的解（ρq+1，θq+1，ψq+1）=argmin（ρ，θ，ψ）∈{0,1}nρl，iθl，ih- ψl，i（~LWq+1）l，i+（1）- ψl，i）Wq+1l，i- Wq+1l-1.我十、- 1.i+ρl，i（1）- θl，i）（Wq+1l，i- Wq+1l，i-1) + (1 - ρl，i）（Wq+1l，i-~I（Wq+1i+1））oError=| | Wq+1- Wq||∞q=q+1在条件i）矩阵Aq为M-matrixii）k（Aq）的情况下，当值为1时-1k和kBqk是有界的，与q无关。算法1中的格式收敛到方程（18）的唯一解。证据：证据是经典的，见附录。

引理9序列（Uq）q≥0是有界的。证明：为了证明结果，我们必须证明矩阵（Aq）-1和bq是有界的，与q无关。首先，通过定义，我们对所有q都有界≥ 0和所有j∈ [1，N×M]，bqj≤ 1，所以矩阵是有界的。此外，由于ρq、θq和ψq取离散值：Q≥ 0, L∈ [1，M]，我∈ [1，N]，ρql，i，θql，i，ψql，i=0或1，我们有有限个可逆矩阵Aqso，也有有限个（Aq）-1并且在所有可能的组合中取最大值会导致（Aq）的最大值-1.Q值为零，结果为零。5数值结果5。1最优区域的描述在第2.3章中，我们证明了∈ [1，N]存在bi>kisuch，即dividendregion至少包含[bi+∞[，它允许我们在数值格式中定义一个边界条件。数值结果为我们提供了关于最优控制区域的更多信息。下一个命题继续这些结果：命题7最优控制区域满足1。我∈ [1，N]，Di=[bi+∞[.2. 我∈ [2，N]，di∈ Ohmi、 S-i=[γki，di].3。K*∈ [1，N]，我≥ K*, S+i=.4.我<k*, 人工智能∈]di，bi]，S+i=[ai+∞[.图1说明了命题7。使用线性债务和指数增益函数得出结果：o线性债务：α（x）=λx.o指数增益函数：β（x）=β1.- 经验(-η′βx）.不同参数的下一个值：【u=0.25，σ=0.40，r=0.02，λ=0.10，】β=2，η=1，γ=1e-3，N=20，M=1e]有了这些参数，选择xmax=10就足以让xmax>maxi{bi}。在以下所有数值结果中，我们也选择kmax=10。图1：最优控制区域。在图1中，我们区分了六个方面：1。s-i（橙色区域）：股权账面价值低于企业生产性资产水平的撤资区域。在这个区域，进行投资以降低破产风险是最佳选择。2.

S+i（蓝色区域）：股权账面价值与企业生产性资产之比较高的投资领域。通过收益函数进行投资以提高可租性是最佳选择。风险成比例增加，但现金储备保护了公司的利益。3.Ci（黑色区域）：中间有一个连续区域，在该区域中，最好不激活控件。正如第2.3章所证明的，我们观察到，在图1的右侧，对应于高水平的股权，支付股息总是最佳的，这会导致三个不同的方面：4。S+i∩ Di（绿色和蓝色区域）：用于低水平的生产性资产。在这个区域，支付股息和投资直到达到最佳水平k是最佳的*.5.S-我∩ Di（绿色和橙色区域）：用于高水平的生产性资产。在这个区域，最好是在生产性资产达到最高水平之前停止投资，以便分配股息。6.Di（绿色区域）：在两者之间，既不投资于撤资，也不投资于支付股息，这不是最佳选择。这些结果与经济学理论一致。此外，它们揭示了两个有意义的结论：o只有当公司达到其行业的最佳规模支出时，才支付股息是最佳的。o存在公司不应超过的最大规模。这些结论直接归因于所选增益函数的特性。事实上，可租性随着增益函数的增加而增加，增益函数是凹的，具有有限的限制。因此，在某种程度上，与股东获得股息的价值相比，边际收益很小。5.2投资成本的影响投资成本（和撤资成本）在开关区域的形式中起着重要作用。图2给出了不同γ值和与图1相同参数的最佳控制区域。（a） γ=0.05。

（b） γ=0.1。（c） γ=0.5。图2：某些γ的最佳控制区域我们观察到γ越高，延续区域越宽。这是一致的，因为如果成本低，经理很容易投资，因为他知道他可以投资更低的价格。5.3生产性资产的离散化上述我们选择N=20级生产性资产。图3显示了当我们选择较小的离散化时会发生什么。图3：生产性资产离散化（k=10、50和250）因此，当生产性资产流动性更强时，延续区域（黑色区域）更宽。事实上，经理可以在投资或取消投资前等待更长时间，因为他可以更频繁地进行投资。我们还观察到，由于离散化，当N较低时，该公司的实际最优规模会超过。同样的观察结果也适用于企业的最大规模。为了完成数值分析，我们在图4中展示了M变大时的收敛性。我们再次使用N=20作为例子。图4：股权离散化（M=50、100和5000）6结论本文描述了现金受限企业的投资财务模型。它导出了值函数的分析性质以及控制区域形状的描述。最后，利用这些理论结果发展了一个收敛的数值格式。数值近似采用类似于[13]的定点迭代来求解线性系统。7附录7。1定理1的证明使用近似值q和q+1，系统（19）可以写成：Aq+1（Uq+2- Uq+1）+Aq+1Uq+1- aqq+1=-Bq+1+Bq+1（Uq+2- Uq+1）=aqq+1+Bq- （Aq+1Uq+1+Bq+1）。我们知道（ρq+1，ψq+1，θq+1）最小化A（ρ，ψ，θ）Uq+1+B（ρ，ψ，θ）soAq+1（Uq+2）- Uq+1）≥ 然后使用Aq+1是一个M矩阵，我们得到了uq+2- Uq+1≥ 因此，该方案是非递减的。

莫沃弗（Aq）-1和bq对于q是有界的，所以使用uq+1=-（Aq）-1BQ我们知道UQI也是有界的，所以这个方案是收敛的。我们注意到你*（Uq）q的极限∈我们仍然需要证明极限是唯一的，并且独立于U*还有“你”*两个限制。U*还有“你”*这两个都是soA的解决方案*U*+ B*= 0\'A*“U”*+“B”*= 0减去我们得到的两个方程，\'A*（‘U’*- U*) = B*+ A.*U*- （\'B*+“A*U*).但是（°ρ）*,ψ*,θ*) 最小化“A”U*+ B所以A*（‘U’*- U*) ≤ 0.然后使用“A”*是一个M矩阵，我们有*- U*≤ 0.我们以同样的方式证明*- U*≥ 0实现了演示。参考文献[1]阿斯穆森，A.，Hojgaard，B.，塔克萨，M.：最优风险控制和股息分配政策。保险公司超额损失再保险的例子。金融与随机，4299-324（2000）[2]Barles，G.和P.Souganidis:完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。渐近分析4（3）：2347-2349第4卷[3]博尔顿，P.，陈，H.，王，N.：托宾q的统一理论，企业投资，融资和风险管理，金融杂志，（2011）[4]Choulli，T.，Taksar，M.，Zhou，X.Y.：具有风险控制约束的公司最优股息分配的扩散模型。暹罗控制与优化杂志，411946-1979（2003）[5]Crandall M.G，Ishii H和Lions P.L:二阶偏微分方程粘性解用户指南，Bull。艾默尔。Soc。27, 1-67 (1992).[6] 戴M，钟Y：具有比例交易成本的连续时间投资组合选择的惩罚方法，计算金融杂志（2008）。[7] DeCamps，J.P.，Mariotti，T.，Rochet，J.C.和Villeneuve，S:自由现金流，发行成本和股票价格，金融杂志，661501-1544（2011）。[8] 福赛斯，P。

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