有投资的现金约束企业价值的数值逼近

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英文标题：
《Numerical approximation of a cash-constrained firm value with investment
  opportunities》
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作者：
Erwan Pierre, St\\\'ephane Villeneuve, Xavier Warin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a singular control problem with regime switching that arises in problems of optimal investment decisions of cash-constrained firms. The value function is proved to be the unique viscosity solution of the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation.   Moreover, we give regularity properties of the value function as well as a description of the shape of the control regions. Based on these theoretical results, a numerical deterministic approximation of the related HJB variational inequality is provided. We finally show that this numerical approximation converges to the value function. This allows us to describe the investment and dividend optimal policies.
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中文摘要：
我们考虑了一个带有制度转换的奇异控制问题，该问题出现在现金约束企业的最优投资决策问题中。证明了该值函数是关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一粘性解。此外，我们还给出了值函数的正则性以及控制区域形状的描述。基于这些理论结果，给出了相关HJB变分不等式的数值确定性近似。最后，我们证明了这种数值逼近收敛到值函数。这使我们能够描述投资和股息的最优政策。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Numerical_approximation_of_a_cash-constrained_firm_value_with_investment_opportunities.pdf (651.76 KB)

2022-5-11 03:46:28 上传

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关键词：企业价值 Quantitative Applications Constrained Computation

现金受限固定价值与投资机会的数值近似。埃尔万·皮埃尔*St\'ephane Villeneuve+Xavier Warin摘要：我们考虑一个带有制度转换的奇异控制问题，该问题产生于现金受限企业的最优投资决策问题。该值函数被证明是关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一粘性解。此外，我们给出了值函数的正则性以及控制区域形状的描述。基于这些理论结果，给出了相关HJB变分不等式的数值确定性近似。最后，我们将介绍这种数值近似如何收敛到值函数。这使我们能够描述投资和股息的最佳政策。关键词：投资、股利政策、奇异控制、粘性解、非线性PDEJEL分类数：C61；C62；G35AMS分类：60J70；90B05；91G50；91G60。1简介在无摩擦的资本市场中，莫迪利亚尼和米勒定理证明，企业可以为所有有价值的投资机会提供资金。然而，如果我们引入资本市场缺陷，现在的标准结果是，现金受限的企业必须更多地依赖内部财务资源：现金持有量和信贷额度来为投资机会提供资金。近年来，利用奇异控制技术来模拟现金受限企业的投资问题越来越受到关注。

作为奇异随机控制理论的参考，我们可以提到豪斯曼和苏[10]和[11]的开创性工作，以及Jeanblanc和Shiryaev[17]、Hojgaard和Taksar[12]、Asmussen、Hojgaard和Taksar[1]、Choulli、Taksar和Zhou[4]、Paulsen[21]在投资/股息问题上的应用，而最近的公司金融研究包括Bolton、Chen和Wang[3]，Decamps、Mariotti、Rochet和Villeneuve[7]以及Hugonnier、Malamud和Morellec[16]。奇异控制是随机控制理论中的一类重要问题。相关的HJB方程采用带梯度约束的变分不等式形式，很难求解。特别是，解的规律性仍然不确定*EDF研发公司OSIRIS。电子邮件：erwan。pierre@edf.com+图卢兹经济学院（CRM-IDEI），法国图卢兹，21岁，布赖恩全日制，31000。电子邮件：斯蒂芬。villeneuve@tse-fr.eu——EDF R&D&FiME，能源三月财务实验室（www.FiME-lab.org）非常了解。因此，对于动态企业融资所产生的具体问题，提出价值函数的数值近似并确保该数值近似收敛到目标价值函数是很重要的。Barles和Souganidis[2]的论文指出，当奇异控制问题的值函数是相关HJB变分不等式的唯一粘性解时，一致、稳定且单调的数值格式收敛于值函数。现在已经证实，有几种方法可以逼近奇异随机控制问题的值函数。

首先，基于马尔科夫链近似的概率方法本质上是明确的有限差分方案，因此不受限制时间步长选择的稳定性诅咒的影响（见[19]）。另一方面，在[18]中开发了基于控制区域跟踪的分析方法。它们看起来相当复杂，因为它们需要很好地猜测控制区域的形状，尤其是在存在多个控制的情况下。我们的论文建立在[24]中提出的现金约束企业的理论模型基础上，修正了投资水平是离散的。对于投资产能的大型行业来说，这一假设似乎是合理的。其目标是确定企业价值以及投资和股息最优政策，从而产生一个单一的控制问题，其中制度转换对应于不同的生产水平。我们的主要贡献是：证明了值函数是HJB变分不等式的唯一粘性解。此外，在左导数和右导数处处存在的Milda假设下，我们证明了值函数的正则性。最后，我们证明了为高价值的现金支付股息是最优的，这使我们能够为我们的数值方案设置正确的边界条件在现金管理问题引起的HJB变分不等式的背景下，我们对[13]提出的直接控制方法进行了严格的分析。在证明了一个强比较定理之后，我们证明了我们的直接控制方法是一致的、稳定的和单调的。在我们的上下文中，稳定性结果似乎有点棘手，其证明需要证明值函数的增长条件（见引理2）最后，HJB变分不等式的数值逼近导致线性系统AU=B的解。

我们提出了一个类似于[13]的定点迭代方案来求解线性系统。为了证明这个迭代过程的收敛性，我们需要证明三对角块矩阵A是一个M-矩阵（见引理8），这需要对[13]中证明的结果进行扩展。本文的组织结构如下：在第2节中，我们介绍了模型，并推导了粘度解的值函数的标准分析特征。此外，我们给出了值函数的正则性和控制区域形状的描述。第3节和第4节专门介绍数值近似，并包含基于[13]中开发的经典技术扩展的收敛结果。第5节以数字说明结束本文。2该模型我们认为，一家公司在每个时间t的特征是以下资产负债表：Kt+Mt=Lt+xt其中oKt代表该公司的生产性资产，oMt代表现金储备或流动资产的金额，oLt代表未偿债务的数量，oxt代表权益的账面价值。我们假设企业能够通过investmentor撤资，在N个严格正水平范围内选择其生产性资产的水平：Kt∈ {ki}i∈[1，N]。对于大型工业来说，这种假设似乎是合理的，因为随着新工厂的建设或新设备的购买，生产性资产的增加会带来巨大的沉没成本。在不失去普遍性的情况下，我们假设{ki}i∈[1，N]满足我∈ [1，N]，ki=k+（i）- 1） h.生产性资产持续产生现金流（Rt）≥随着时间的推移。我们假设dRT=β（Kt）（udt+σdBt），其中u和σ是正常数，而（Bt）t≥0是完全概率空间（σ，F，P）上的标准布朗运动，带有过滤（Ft）t≥0

在这个模型中，我们通过引入递增有界凹函数β来假设规模报酬率递减。我们将‘β表示为{ki}i上增益函数的最大值∈[1，N]即β=β（kN）。为了满足营运资本要求，我们认为该公司可以获得固定的信贷额度。信贷额度的抵押品由资产的市场价值提供。如果我们引入γ>0，即取消生产性资产投资的成本和现金水平，则假定信贷额度的深度为beLmax=（1）- γ） K+M.（1）当达到该信贷额度限额时，公司不再能够履行其财务承诺，因此被迫破产。此时，管理人清算公司资产，以偿还债权人的债务，债权人优先于股东。为了使信贷额度对银行股东具有吸引力，我们做出以下假设：假设1α是一个严格连续可微函数。此外，假设抵押债务对银行有利，这意味着十、≥ 0，α（x）>r，α（0）=0。在[24]中，在一个类似的框架中已经证明，当且仅当现金储备耗尽，即lt=（Kt）时，使用信贷额度是最佳的- Xt）+。（2） 因此，我们对权益和生产性资产的账面价值有以下动态（[24]）：（dXt=β（Kt）（udt+σdBt）- α（（Kt）- Xt）+）dt- γ| dIt |- dZtdKt=dI+t- dI-t、 其中Z=（Zt）t≥0是一个递增的右连续（Ft）自适应过程，表示截至时间t和I+=（I+t）t的累计股息支付≥0（分别为I）-) 是累积投资过程（分别为撤资）。

这里我们假设投资成本与撤资成本相同。经理以股东的利益为出发点，最大化所有未来股息支付的预期贴现价值。假设股东是风险中性的，未来现金流按无风险利率r贴现。因此，目标是最大化允许控制π=（I+，I-, Z） 函数lv（x，ki；π）=Ex，kiZτe-rtdZπt,其中x和Kia是权益资本和生产资本的初始值。τ是破产时间，根据（1）和（2），我们得到τ=inft≥0{Xπt≤ γKπt}。我们用∏表示容许控制变量集，并用∏定义股东价值函数我∈ [1，N]，vi（x）=v（x，ki）=supπ∈πV（x，ki；π），定义在域上我∈ [1，N]，Ohmi=[γki+∞[2.1粘度解本节的目的是确定股东价值函数（VI）i满足的HJB变分不等式（HJB-VI）∈[1，N]。这种分析特征将使我们能够从数值上解决现金受限企业的最优投资问题。命题1：股东价值函数对每一个i都是联合连续的∈[1，N]。证据：拿我来说∈ [1，N]，x>γk和（xn）N∈Na序列Ohm它收敛到x。我们考虑两个可容许的策略：o策略πn：从（x，ki）开始，直到区间的退出时间（γki，xn）。

我们表示（Xπnt，Kπnt）t≥0由πn控制的过程。o策略πn：从（xn，ki）开始，直到间隔（γki，x）的退出时间，我们表示（xπnt，Kπnt）t≥0由πn控制的过程。我们定义θn=inf{t≥ 0，（Xπnt，Kπnt）=（xn，ki）}，θn=inf{t≥ 0，（Xπnt，Kπnt）=（X，ki）}，和tn=inf{t≥ 0，Xπnt=γKπnt）}，Tn=inf{t≥ 0，Xπnt=γKπnt）}。动态规划原理与v（XTn，KTn）=0 yieldvi（x）≥ E“Zθn∧特恩-rtdZπnt+e-r（θn）∧Tn）{θn<Tn}v（Xθn，Kθn）#≥ Ehe-rθn{θn<Tn}vi（xn）i≥EE-rθn- EE-rθn{θn≥Tn}vi（xn）≥EE-rθn- Pθn≥ Tnvi（xn）。另一方面，使用v（XTn，KTn）=0，我们得到vi（xn）≥ E“Zθn∧特恩-rtdZπnt+e-r（θn）∧Tn）{θn<Tn}v（Xθn，Kθn）#≥ Ehe-rθn{θn<Tn}vi（x）i≥EE-rθn- EE-rθn{θn≥Tn}六（十）≥EE-rθn- Pθn≥ Tnvi（x）。在[24]中，作者证明了Limn→∞P（θn）≥ Tn）=0，limn→∞P（θn）≥ Tn）=0。安德林→+∞E（E）-rθn）=limn→+∞E（E）-rθn=1。然后vi（x）≥ lim supnvi（xn）≥ lim infnvi（xn）≥ vi（x），证明了vion在开区间上的连续性（γki+∞). 它仍然显示边界点γki处的连续性。使用部分积分，我们得到了x>γk和固定策略π，ExE-rτXπτ- x=ExZτe-rs（dXπs）- rXπ-sds）.因为Xπ总是非负的，所以我们得到Zτe-rsdZπs≤ 十、- 前任E-rτXπτ+前任Zτe-rs（β（Kt）（udt+σdBt）- α（（Kt）- Xt）+）dt- γ| dIt|≤βur1.- 前任E-rτ+ 十、- 前任E-rτXπτ.由于撤资会使一对权益生产性资产平行于清算边界，而且我们不能在生产性资产k的水平撤资，因此清算边界会不断交叉。因此，我们可以在不失去普遍性的情况下假设我们不断地跨越这个水平。让x趋向于γki，右边收敛到零，因为γki是xπ的正则点，证明了值函数在γki处的连续性。让Libe成为下一个微分算子：Liφ=（β（ki）u- α（（ki）- x） +））φ（x）+β（ki）σφ（x）- rφ（x）。

（3） 下一个引理建立了一个著名的比较原理，我们将用它来证明股东价值函数的线性增长条件。证据被省略了。引理1假设（ηi）i∈[1，N]是（γki）上的N个光滑函数+∞) 使得φi（γki）≥ 0和我∈ [1，N]，十、≥ 李基，敏-Li k i（x），k i（x）- 1，~ni（x）- maxj6=i~nj（x- γ| ki- kj |）≥ 0，（4）那么我们就有了∈ [1，N]，vi≤ 作为推论，我们证明了股东价值函数vi的线性增长条件。引理2∈ [1，N]对于所有x∈ Ohmi、 我们有vi（x）≤ 十、- γki+u′βr.证明：适用于所有i∈ [1，N]，我们定义了φi（x）=x- γki+u′βr。我们很容易证明∈[1，N]是（4）的粘性上解。的确我∈ [1，N]，νi（x）≥ 1和i（x）- νj（x）- γ| ki- kj |）=γ|ki- kj|- γ（ki）- （千焦）≥ 0，以及-Li k i（x）=-（β（ki）u- α（（ki）- x） +）+r（x- γki）+u′β≥ 0，使用vi（γki）=0，我们得到了φi（γki）=u′βr>vi（γki）。引理1证明了这个结果。我们现在可以陈述本节的主要结果。命题2股东价值函数（vi）i∈[1，N]是HJB变分不等式的唯一连续粘性解：我∈ [1，N]，十、≥ 李基，敏-Livi（x），vi（x）- 1，vi（x）- maxj6=ivj（x- γ| ki- kj |）= 带边界条件的0（5）我∈ [1，N]，vi（γki）=0。（6） 证明：该证明与[24]中的证明非常相似，因此被省略。注1：施加边界条件（6）有助于获得粘性解的唯一性。备注2因为vi（x）≥ vj（x）- γ| ki- kj |）对于所有对（i，j），HJB-VI是等效的我∈ [1，N]，十、≥ 米尼，米尼- Livi（x），vi（x）- 1，vi（x）- 最大值六、-1（x）- γh），vi+1（x- γh）o=0。在本节结束时，我们给出了理解HJB-VI（5）的启发性论点。假设该公司拥有高水平的生产性资产。在最适合保留现金的地区，价值函数满足Lvi=0，可以解释第一个期限。

对于第二个期限，假设公司在时间0时支付股息ε。因为这个策略是先验次优的，所以我们有vi（x）=vi（x）- ε） +εvi≥ 1.在最后一个期限内，假设企业投资（或取消投资）从kito KJKI转换为ki<kj（或ki>kj）。因此，对于每个j，我们有vi（x）≥ vj（x）- γ| ki- 2.2规则我们为所有我∈ [1，N]，Sij={x∈ Ohmi、 vi（x）=vj（x- γ| ki- kj |）}，S+i=∪j> iSij，S-我=∪j<iSij，Si=S+i∪ s-i、 确定了投资区域（S+i）和撤资区域（S+i）-i） 。在证明本节的主要结果之前，我们需要建立一些关于值函数的初步结果。引理3我∈ [1，N]，vi（x+h）≥ vi（x）+h.证明：如果我们从初始状态（ki，x+h）考虑次优策略，这是显而易见的，它包括在t=0时分配h美元作为红利，然后遵循最优策略。根据动态规划原理，我们有：vi（x+h）≥ vi（x）+h。引理4我∈ [1，N]，1。十、∈ S+i，x- γh/∈ s-i+1.2。十、∈ s-i、 x- γh/∈ S+i-1.证明：我们只证明第一个断言，因为第二个断言的证明是相似的。相反，假设存在我∈ [1，N]和x∈ S+isuch thatx- γh∈ s-i+1。因此，vi（x）=vi+1（x- γh）=vi（x- 2γh），这与引理3相矛盾。在上一节中，我们证明了值函数是连续的。文献[22]证明，值函数的凸性是其导数正则性的一个充分条件。但是，正如[24]中所证明的，当信贷利率较高时，价值函数可能是凹凸函数。