有投资的现金约束企业价值的数值逼近

尽管如此，我们将在下面关于左导数和右导数存在的假设下给出一个正则性结果。假设2值函数允许左（D-) 定义域上的右（D+）导数。命题3在假设（2）下，所有i∈ [1，N]。证据：让我来吧∈ [1，N]，x∈ Ohm假设D+vi（x）>D-vi（x）。那就吃点东西∈ （D）-vi（x），D+vi（x））并考虑函数φi（x）=vi（x）+q（x- x） +2（十）- x） 与 > 0.那么xis是vi的局部最小值- ψi，其中（x）=q和（x）=.因此，我们通过写出上解不等式得到一个矛盾：0≤ -（β（ki）u- α（（ki）- x） q+r（vi（x））-σβ（ki）2选择 足够小。我们有不等式d+vi（x）≤ D-vi（x）。假设现在存在一些x/∈ 西苏克-vi（x）>D+vi（x）。然后我们会问一些问题∈ （D+vi（x），D）-vi（x））并考虑函数φ（x）=vi（x）+q（x- 十）-（十）- x） 与 > 0.那么xis是vi的局部最大值- 与（x）=q>D+vi≥ 1.从那时起/∈ 子解不等式的性质是0≥ rvi（x）- (ki)- α（（ki）- x） +））q+σβ（ki）2通过选择导致矛盾 非常小。因此，我们有一个开放集Ohm我是。现在让我们证明viis仍然是Con-Si。修正x∈ S+i（x的证明）∈ s-取j=min{l>i，x- γ| ki- 吉隆坡/∈ S+l}。那么xis是vi的最小值- vj（。- γ（kj）- 还有草皮-六（十）- D-vj（x）- γ（kj）- ki）≤ D+vi（x）- D+vj（x）- γ（kj）- )。但是，从j，x的定义来看- γ（kj）- （ki）/∈ 引理4的S+jand，x- γ（kj）- （ki）/∈ s-jso x- γ（kj）- ki）属于开放集Ohm所以D+vj（x- γ（kj）- ki=D-vj（x）-γ（kj）- 然后砰的一声-六（十）≤ D+vi（x）证明了这个结果，因为之前已经证明了逆不等式。

既然我们在假设2下证明了值函数是C，我们从现在开始提出：Di={x∈ Ohmi、 vi（x）=1}，Ci=Ohmi \\（Di）∪ 是）。4号提案∈ [1，N]，viis Con Ci。证明：在这个开放的集合中，我们知道Vi是- Livi=0，x∈ Ci。（7） 现在，对于任意有界区间（x，x）∈ C考虑Dirichlet边界线问题：- Liw=0w（x）=vi（x），w（x）=vi（x）。（8） 经典结果（例如参见[9]）提供了（x，x）到（8）上光滑C函数w解的存在性和唯一性。特别地，这个光滑函数w是（7）的粘性解。根据标准唯一性结果，我们得到（x，x）上的vi=w∈ 这证明了Vi是由（x，x）的任意性决定的。2.3红利区域的性质在这一点上，我们只有边界条件：我∈ [1，N]，vi（γki）=0。然而，要用数值方法解决这个问题，我们需要在右侧设置另一个边界条件。下一个引理给出了红利区域的一个性质，它将使数值格式适定。引理5∈ [1，N]，我们有bi=sup{x∈ Ohmi、 vi（x）>1}<+∞.证明：我们注意到I={I∈ [1，N]，bi<+∞} 我们假设Ic=[1，N]\\_i6=. 就我而言∈ [1，N]，函数x→ 六（十）- x是一个递增有界连续函数（见引理2），因此允许极限ai=limx→+∞（vi（x）- x） 。我们为所有人（i，j）∈ [1，N]×[1，N]：aj- （哎- γ| ki- kj |）=limx→+∞（vj（x）- vi（x）- γ| ki- kj |）））≥ 0.以j为例∈ Icsuch该aj=max{aj，j∈ Ic}。特别是，我们有所有的j∈ Ic\\{j}，aj>（aj- γ| kj- kj |）。

我们很容易证明存在“x”∈ R+这样\'x>kj，rvj（\'x）>uβ（kj），vj（\'x）>\'x+maxj∈Ic\\{j}（aj）- γ| kj- kj |），x>bi+γ| ki- kj |，我∈ I.然后我们定义函数w，使十、≤ \'x，w（x）=vj（x），x>x，w（x）=vj（\'x）+x- “\'x.那么从定义上来说，对于x∈ [γkj，\'-x]，w是一种粘度为min的溶液-Ljw，w（x）- 1，w（x）- maxj6=jvj（x- γ| kj- kj |）= 0.我们仍然需要证明w是[x]上的粘性溶液+∞[.首先，对于所有x∈]\'x+∞[，w（x）=1.此外，x>\'x，-Ljw=r（vj（\'x）+x- \'\'x）- β（kj）。所以使用：rvj（`x）>μβ（kj）我们就得到了-Ljw>0。最后，为了所有j∈ Ic\\{j}，我们有x>x，w（x）>x+aj- γ| kj- kj|≥ vj（x）- γ| kj- kj |）。因为我∈ 一、 作为“x”- γ| ki- kj |>bi，对于所有x>\'x，vi（x- γ| ki- kj |）=1。之后x>x，vi（x- γ| ki- kj |）- w（x）=vi（x）- γ| ki- kj |）+x- \'x- （vj（\'x）+x- \'x）=vi（\'x- γ| ki- kj |）- vj（`x）≤ 我们证明了w是变分不等式的粘性解，所以通过唯一性，w=vj，这与j相矛盾∈ 结果证明了这一点。引理5确保如果x足够大，我们就有vi（x+h）=vi（x）+h。这个性质，在左边界条件为γk时，足以建立一个数值格式。然而，我们可以证明更多关于红利区域的信息。下面的命题5在一定的假设下指定了分割区域的形式，并建立在接下来的两个引理之上。定义1我们说x∈ Ohmiis子集E的左边框（或右边框）（如果存在） > 0和（xn）n∈N/∈ 我就是这样→+∞xn=xandY∈]x、 x+[，y∈ E.引理6∈ [1，N]，如果ai是Disch的左边界∈ 艾思哲-γ| ki-kj |是Dj的左边界。证据：以友邦保险公司的左边界为例∈ Sij。

存在 > 0以至于十、∈ [ai，ai+[，vi（x）=vi（ai）+x- 人工智能。还有ai∈ Sijso：十、∈ [ai，ai+[，vi（x）=vj（ai）- γ| ki- kj |）+x- 人工智能。自第六次以来（x）≥ vj（x）- γ| ki- kj |）我们有：十、∈ [ai，ai+[，vj（x）- γ| ki- kj |）≤ vj（人工智能）- γ| ki- kj |）+x- 利用引理3，我们得到十、∈ [ai，ai+[，vj（x）- γ| ki- kj |）=vj（ai- γ| ki- kj |）+x- 艾索- γ| ki- kj |，ai- γ| ki- kj |+[ 流行音乐播音员此外，如果存在δ>0，则[ai]- γ| ki- kj|- δ、 哎- γ| ki- kj |] Djthen十、∈]人工智能- γ| ki- kj|- δ、 哎- γ| ki- kj |]，vj（x）=vj（ai）- γ| ki- kj |）+x- ai+γ| ki- kj |=vi（ai）+x- ai+γ| ki- kj |>vi（x+γ| ki）- kj |）是一个矛盾，证明了结果。引理7∈ [1，N]，如果Ai是地坛的左边界人工智能∈\'Ci=> 人工智能≥ kiand vi（ai）=β（ki）r，ai∈ S+i=> 人工智能≥ K和vi（ai）=μβ（kl）R，l=min（j>i，ai）- γ| ki- kj|/∈ S+j），ai∈ s-我=> ai<K和vi（ai）=μβ（kl）R，其中l=max（j<i，ai- γ| ki- kj|/∈ s-j） 。证据：以友邦保险在Di的左边界为例。让我们首先证明vi（ai）≥β（ki）- α（（ki）- ai）+）r.（9）As-利维≥ 0和vi（x）=1在[ai，ai+我们有十、∈ [ai，ai+[, -(ki)- α（（ki）- x） +）+rvi（x）≥ 0.那么，vi（ai）≥β（ki）- α（（ki）- ai）+）r.第一个案例：ai∈“Ci。它的存在使得[ai]- δ、 哎[ CIAN和VIS覆盖该间隔（参见位置4）。利用引理3，我们得到了vi（a）-（一）≤ 0.因此，使用viover]ai提出的微分方程- δ、 我们有0≥ rvi（人工智能）- β（ki）+α（（ki- ai）+）。Sovi（ai）=β（ki）- α（（ki）- 假设ai存在 > 0以至于]ai，ai+[∈ Di∩]γki，ki[.然后（vi（x）=vi（ai）+x- 人工智能，- 利维（x）≥ 0，所以-(ki)- α（ki）- x） ）+rβ（ki）- α（ki）- x） r+x- 人工智能≥ 0.由此得出α（ki- 十）- α（ki）- ai）+r（x- （人工智能）≥ 这是自相矛盾的，因为α>r。第二种情况：ai∈ S+ij。在这个例子中，使用引理6，我们知道ai- γ| ki- kj |是Dj的aleft边界。

因此，取l=min{j>i，ai- γ| ki- kj|/∈ S+j}我们可以使用FirstCase，我们有- γ| ki- 吉隆坡≥ klandvi（ai）=vl（ai）- γ| ki- kl |）这意味着≥ kiandvi（ai）=μβ（kl）兰德证明了结果。第三个案例：ai∈ s-ij。在这个例子中，使用引理6，我们知道ai- γ| ki- kj |是Dj的aleft边界。因此，取l=max{j<i，ai- γ| ki- kj|/∈ s-j} 我们可以使用第一种情况，我们有vi（ai）=vl（ai- γ| ki- kl |）=μβ（kl）r，但记住（9）：vi（ai）≥β（ki）- α（（ki）- ai）+）rsoβ（kl）r≥β（ki）- α（（ki）- ai）+）R如果ai≥ 并证明了结果。5号提案∈ [1，N]，如果bi/∈ Siandβ（ki）>α（1-γ） ki）然后Di=[bi+∞[∪Ee是一套内部空置的装置。证明：假设Di中有另一个非空的内部子集，那么它存在一个右边界和一个左边界，我们注意到diand gi。我们分两步来证明这个结果。第一步：假设gi=γki。存在 > 0使得[γki，γki+]  迪。所以对于所有x∈ [γki，γki+], v（x）=x- 基兰德-(ki)- α（ki）- x） ）+r（x- γ（ki）≥ 0.Butlimx→γki-(ki)- α（ki）- x） ）+r（x- γki）=-μβ（ki）+α（（1- γ） 这是一个矛盾。第二步：gi>γKi使用引理7我们知道gi≥ ki，所以di>ki。这意味着存在 > 0个这样的人-  ≥ 基兰德十、∈]di- , di]，vi（x）=vi（di）+x- 迪。用那个-利维（x）≥ 0比]di- , 我们有那个vi（di）≥再次使用引理7，作为bi/∈ Si，thenvi（bi）=μβ（ki），这是一个矛盾，因为bi>diand和via是严格递增函数。

这些理论结果（特别是命题（2）和引理（5））允许我们定义局部HJB方程的最终形式，该方程将在下一节中进行数值求解：推论1股东价值函数（vi）i∈[1，N]是HJB变分不等式的唯一连续粘性解：我∈ [1，N]，十、≥ 李基，敏-Livi（x），vi（x）- 1，vi（x）- maxj6=ivj（x- γ| ki- kj |）= 带边界条件的0（10）我∈ [1，N]，（vi（γki）=0，vi（bi）=1，（11），其中bi在引理5.3数值近似中定义。本节的目的是通过对边界问题（10）进行中心、正向和反向微分来生成网格和离散化。我们证明了该格式是单调的，因此收敛于解（见[8]）。3.1有限差分方法首先我们对变量进行如下改变：wi（x）=vi（x+γki）。很明显，Wii是方程的唯一粘度解-“Liwi（x），wi（x）- 1，wi（x）- 麦克斯（威斯康星州）-1（x），wi+1（x- 2γh）= 0（12）带，\'Liφ（x）=（μβ（ki）- α(((1 - γ） 基- x） +））φ（x）+β（ki）σφ（x）- rφ我们还定义了一个函数φ和一个点x的算子I，该点x给出φ的线性插值- 2γh.备注3提醒注意，i=N不存在投资，i=1也不存在撤资。因此，在先例定义中，我们假设条件vi（x）- 六、-1（x）- γh）（分别为vi（x）- vi+1（x）- γh）在i=1（分别为i=N）时消失。从上一节我们知道∈ [1，N]，存在wi（x）=1超过[bi+∞[.我们事先不知道边界bi，但如果把xmax取得足够大，我们将得到xmax>maxi{bi}，因此边界条件：我∈ [1，N]，wi（xmax）=1。因此，问题（12）在计算域（x，k）上得到了解决∈ [0，xmax]×[k，kN]（13）与规则网格（xl）l∈[1，M]={（l）- 1)x} l∈[1，M]与x=xmaxM- 1为了使xM=xmax。

设Wl，ibe为方程（12）在（xl，ki）处对于每个i的近似解∈ [1，N]和l∈ [1，M]。我们使用类似于[13]的直接方法，尽可能地离散方程（12）和中心差分，以提高效率。更准确地说，我们求解，设置Li的离散化，ρl，iθl，i-ψl，i（~LW）l，i+（1）- ψl，i）我- Wl-1.我十、- 1.= - ρl，i（1）- θl，i）（Wl，i）- 我-1) - (1 - ρl，i）（Wl，i）-~IWl，i+1）（14）带，{ρl，i，θl，i，ψl，i}∈ {0，1}解（14），我们确保（12）中至少有一项等于零。为了确保所有的项都是正的，我们选择（ρ，θ，ψ），使得{ρl，i，θl，i，ψl，i}=argminρ∈{0,1}~θ∈{0,1}~ψ∈{0,1}n∧ρl，iθl，i-ψl，i（~LW）l，i+（1）-■ψl，i）我- Wl-1.我十、- 1.+ ρl，i（1）-θl，i）（Wl，i）- 我-1) + (1 - ρl，i）（Wl，i）-~IWl，i+1）o.（15）这确保了等式（12）中的所有项都是正的，这意味着（14）与（15）是（12）的合理二元化。终端边界条件wi（xM）=1是经典离散化的：WM，i=WM-1、我+x、 我∈ [1，N]我们也有，i=0，i∈ [1，N]。注4：惩罚法可用于求解此类方程。

然而，为了避免惩罚参数的校准，我们倾向于直接方法（见[15]）。如果我们表示C（xl，ki）=μβ（ki）- α(((1 - γ） 基- xl）+），C（xl，ki）=∑β（ki）>0，然后为了满足正系数条件并使效率最大化，离散化算子li由以下公式给出：（~LW）l，i=C（xl，ki）Wl+1，i+Wl-1.我- 2Wl，我x+C（xl，ki）Wl+1，i- Wl-1，i2十、- rWl，iif 2C（xl，ki）≥ |C（xl，ki）|x（中央差异）。C（xl，ki）Wl+1，i+Wl-1.我- 2Wl，我x+C（xl，ki）Wl+1，i- 我十、- rWl，iif 2C（xl，ki）<|C（xl，ki）|x和C（xl，ki）≥ 0（正向差异）。C（xl，ki）Wl+1，i+Wl-1.我- 2Wl，我x+C（xl，ki）Wl，i- Wl-1.我十、- rWl，iif 2C（xl，ki）<|C（xl，ki）|x和C（xl，ki）<0（向后差异）。命题6该方案单调、一致、稳定。证明：该方案作为一个明确的差异方案，是一致的。此外，我们很容易登记-（LW）我，l，在Wl前面的系数-1，i，Wl+1，i，Wl，i-1是否定的。那么，在Wk，i+1前面的系数，对于k，在插值IWl，i+1中起作用。相反，Wl前面的系数为正，这证明了单调性。我们仍然需要证明稳定性，也就是说，要证明这一点x、 该模式有一个解决方案（Wl，i）i，l，它是独立于x、 首先，等式（14）意味着我∈ [1，N]，L∈ [2，M]，Wl，i≥ Wl-1、我+十、≥ Wl-1，i（16）所以序列l→ Wl，iis正在增加。让我们证明WM，iis独立于x、 通过终端边界条件我们知道我∈ [1，N]，WM，i=WM-1、我+x、 让我们注意d=max{j∈ [1，M]，Wj，i>Wj-1、我+x} 。通过等式（14），我们得到了下面三个断言中的一个，这是真的。-（LW）d，i=0.2。嗯，我- 嗯，我-1= 0.3. 嗯，我-~IWd，i+1=0。通过定义d:Wd+1，i=Wd，i+十、

（17） 案例1：使用离散化算子，我们在中心差分案例中：-C（xd，ki）Wd+1，i+Wd-1.我- 两轮驱动，我十、- C（xd，ki）Wd+1，i- Wd-1，i2x+rWd，i=0。然后，使用（17），-C（xd，ki）Wd-1.我- Wd，i+十、十、- C（xd，ki）Wd，i- Wd-1、我+x2x+rWd，i=0。因子分解，rWd，i=C（xd，ki）+-C（xd，ki）x+C（xd，ki）2十、（Wd，我- Wd-1.我- x） 所以，用这个词，我≥ Wd-1、我+x和中心微分不等式，我们有，i≤C（xd，ki）r。此外，C（xd，ki）独立于（xd，ki）被u′β束缚。然后，我≤u′βr.但是，通过定义d，WM，i=Wd，i+（M- d）x、 哦，我≤u′βr+（M- d）十、≤u′βr+xM。前后差异的证明是相似的，因此省略了。案例2：在这种情况下，让我们定义p=max{j∈ [1，我- 1] ，Wd，j- Wd，j-1> 0}. 在这一点上，我们必须-随钻测井，p=0。让我们证明我们也有Wd+1，p=Wd，p+x、 假设Wd+1，p>Wd，p+x、 然后，使用这个Wd，p=Wd，iWd+1，p>Wd，i+x、 但是通过定义d，Wd，i+x=Wd+1，i，soWd+1，p>Wd+1，这是一个矛盾，因为p<i。

所以我们有Wd+1，p=Wd，p+桑德-~LWd，p=0，我们可以用第一种情况来证明wd，i≤u′βr+xM。第三种情况下的证据类似，因此省略。最后，我们在所有情况下都证明了我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，Wl，i≤u′βr+xM是独立于并证明了结果。3.2离散化方程的矩阵形式W表示大小为N×M的向量U，i表示^ui∈ [1，N]大小为M的向量，使得^Ui=（Wl，i）l∈[1，M]，U=（^U，^U，…，^UN）。j=l+（i）- 1） 我们有J∈ [1，N×M]，Uj=Wl，i.那么我们可以用线性矩阵形式写出（14）：a（ρ，ψ，θ）U+B（ρ，ψ，θ）=0（18），其中a（ρ，ψ，θ）是一个大小为N×M:ZDCCiZiDiDN的正方形三对角块矩阵-1CNZNN×M，尺寸为M的齐次三对角矩阵由，Zi=Ti+（ρl，i（1）给出- θl，i）+（1- ρl，i）用Tigiven的系数表示∈ [2，M- 1] ，作者：til，l=ρl，iθl，iψl，ir+2C（xl，ki）x+| C（xl，ki）|x{2C（xl，ki）<x | C（xl，ki）|+(1 - ψl，i）十、,til，l+1=ρl，iθl，i-ψl，iC（xl，ki）x+C（xl，ki）2x+| C（xl，ki）|2x{2C（xl，ki）<x | C（xl，ki）|,直到，我-1=ρl，iθl，i-ψl，iC（xl，ki）十、-C（xl，ki）2x+| C（xl，ki）|2x{2C（xl，ki）<x | C（xl，ki）|-(1 - ψl，i）十、.为了满足狄里克莱条件，我们强制：我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，（Zi1，l=δ1l，Di1，l=Ci1，l=0。此外，为了满足正确的边界条件，对l=M的控制进行了固定：我∈ [1，N]，ρM，i=1，θM，i=1，ψM，i=0。通过这样做，我们确保在网格的正确边界处，我们处于分割区域。ci是大小为M的对角矩阵我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，cil，l=-(1 - θl，i）ρl，i.矩阵dii的形式是由算子i给出的。要得到单调格式，我们需要使用线性算子。