风险Lambda值的性质：稳健性、可引出性

我们首先展示了这一点(-∞,十、- ε] =[n∈楠。结论 这是显而易见的。修正x∈ (-∞,十、-ε] 设γ：=∧（x）-F（x）。通过定义x和C∧，我们得到∧（x）>F（x），因此γ>0。从∧的右连续性- F和∧的连续性，对于任何ε′>0，都存在n∈ N这样N≥ n、 ∧（x+1/（2n））- F（x+1/（2n））≥ γ - ε′和∧（x）- ∧（x+1/（2n））≥ -ε′. 现在取ε′=γ/4得到∧（x）-F（x+1/（2n））=∧（x+1/（2n））-F（x+1/（2n））+λ（x）-∧（x+1/（2n））≥ γ -γ/4-γ/4=γ/2因为γ>0，对于足够大的n，我们得到∧（x）- F（x+1/（2n））≥ 1/n，因此是x∈ 安福索姆∈ N、 如前所述。我们现在证明存在n∈ N这样(-∞,十、- ε] =n[n=1An.如果确实是+1\\An6= 对于绝大多数人而言∈ N、 然后存在一个收敛的子序列{xk}xk∈ Ank+1\\Ank和x:=limk→∞xksuch:i）-∞ < ~x≤十、- ε和ii）F（~x）≥ ∧（x）。i） 这是因为∧有一个较低的边界dλm，而F明显倾向于0-∞. 因此，存在M>0和NM(-∞, M] 每星期≥ 纳米；ii）xk提供的后续服务/∈ 这意味着∧（xk）- F（xk+1/（2nk））<1/nk和F的右连续性≥ lim sup F（xk+1/（2nk））≥ lim sup∧（xk）- 1/nk=∧（~x），其中最后一个不等式来自∧的连续性。如果F（~x）=∧（~x），通过定义C∧得到-∧V aR（F）≤ ~x≤十、- ε，这是一个矛盾。当F（~x）>∧（~x）时，显然也会得出同样的结论。因此我们证明了n的存在∈ N使得∧（x）- F（x+1/（2n））≥ 1/x∈ (-∞, 十、- ε] 现在取δ：=1/（2n）和G∈ C∧使得d（F，G）<δ。因此，对于任何x≤十、- ε、 ∧（x）- G（x）≥ ∧（x）- F（x+δ）- δ≥N- δ=2n>0。它遵循∧V aR（G）≤ λvar（F）+ε（6），这是上半连续性。通过证明下半连续性，我们得出结论。从定义1开始，对于任何ε>0的情况，都存在^x∈ [x，x+ε]使得γ：=F（^x）- ∧（^x）>0。

由于∧是连续的，因此存在δ>0，因此对于所有δ′≤ δ、 ∧（^x）- ∧（^x+δ′）≥ -γ/4. 现在就开始吧≤ min{δ，γ/4，ε}使^x+δ∈ [x，x+ε]。通过观察，对于G∈ C∧带d（F，G）<δ我们有G（^x+δ）- ∧（^x+δ）≥ F（^x）- δ- ∧（^x+δ）≥ F（^x）- ∧（^x）- γ/4 - δ≥ γ/2 2017年2月7日定量金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212我们获得∧Var（G）≥ -^x- δ≥ ∧V aR（F）- ε. （7） 通过取δ：=min{δ，δ}并结合（6）和（7），我们得到G∈ C∧，d（F，G）<δ==> |∧V aR（F）- 根据需要∧V aR（G）|<ε。∧函数增加了∧V aR的灵活性，但是，当需要稳定性时，应按照集合C∧的建议构造∧V aR。必须选择连续的∧函数，并且在任何区间，它都不能与所考虑的任何分布F一致。我们参考示例11来说明在给定一组P&L正态分布的情况下，如何保证该条件。4.可获取性由于Gneiting（2011）和Ziegel（2014）获得了令人惊讶的结果，Embrechts和Hofert（2014）从财务风险管理角度强调了该地产的重要性。事实上，Embrechts和Hofer（2014）指出，可引出性降低了风险度量预测估计和直接回溯测试的评估和比较。Lambert等人（2008年）引入了“可诱导”一词，但一般的概念可以追溯到Osband（1985年）的开创性工作。根据文献的某些部分，我们引入了符号T:M D→ 2.描述一个集值统计函数。

用S（x，y）表示预先预测x之间的已实现预测误差∈ R和THEX观察后y∈ R、 其中S是一个函数S:R×R→ [0, +∞) 被称为“得分”或“损失”。根据Gneiting（2011）的说法，评分函数S对于功能性T ifEF[S（T，Y）]≤ EF[S（x，Y）]（8）对于M中的所有F，所有t∈ T（F）和所有x∈ R.如果它是一致的，那么它是严格一致的，并且期望值的相等意味着x的th∈ T（F）。定义6（Gneiting 2011）集值统计函数T:M→ 如果存在严格一致的评分函数S，则2R是可引出的。Bellini和Bignozzi（2015）最近提出了一个略微不同的可诱导性定义。他们认为，在金融应用中，只有单值统计函数是一种自然要求。此外，它们还采用了评分函数的附加属性。我们也考虑了单值统计函数，但没有对评分函数施加任何限制。定义7统计函数T:M→ 如果存在评分函数Ssuch thatT（F）=arg minxEF[S（x，Y）]F∈ M.（9）定义6仅限于单值统计函数的情况，当最小值是唯一的时，其等同于定义7。与风险度量相关的统计函数是mapT:M→R使得T（F）=-ρ（F）对于任何分布F。我们根据部分文献采用了这种符号惯例。我们说，如果2017年2月7日相关的量化金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212统计函数T是可引出的，则风险度量是可引出的。

在下文中，我们将限制为M 以便对所考虑的取芯功能有明确的预期。与V aR，T（F）：=q+λ（F）相关的统计函数可在以下集合上导出：Mλ：={F∈ D： F严格递增} Cλ与（4）中的Cλ相同，并具有以下评分函数（Gneiting 2011）：S（x，y）=λ（y- x） ++（1）- λ） （y）- 十）-. （10） 让我们用T∧：D表示→ R与∧V aR相关的统计函数，使得：T∧（F）=-λvar（F）（11）并考虑集合M∧ 定义如下：M∧=F∈ D: \'\'x s.t。 x<x，F（x）<∧（x）和x>x，F（x）>∧（x）}。（12） 当∧时，该集合再次与Mλ重合≡ λ. 在Bellini和Bignozzi（2015）中，有人认为∧V aR在更强的可引出性定义下是可引出的，对于∧连续和递减的特殊情况。在下一个定理中，我们用一般定义7证明了∧V aR是可导出的，并且对∧的限制条件较少。具体地说，我们证明∧V aR在（12）中依赖于∧的特定分布类M∧上是合理的。定理8关于任意单调右连续函数∧：R→ [λm，λm]，其中0<λm≤λM<1，统计函数T∧：D→ （11）中定义的R可在集合M∧上导出 在（12）中定义的数据，损失函数为（x，y）=（y- 十）--Zxy∧（t）dt。（13） 证据。

我们需要证明t（F）=arg minxZRS（x，y）dF（y）。为了找到全局最小值，我们首先计算R（x，y）dF（y）的左右导数。应用支配收敛定理，我们得到：-xZRS（x，y）dF（y）=-xZR（y）- 十）--Zxy∧（t）dtdF（y）=ZR-x（y）- 十）---xZxy∧（t）dtdF（y）=ZR（y<x）- ∧（x）-)dF（y）=limt↑xF（t）- ∧（x）-) = F（x）-) - ∧（x）-).2017年2月7日量化金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212类似地适用于正确的衍生工具+xZRS（x，y）dF（y）=ZR（y）≤十）- ∧（x）dF（y）=F（x）- ∧（x）。现在观察x*= inf{x∈ R:F（x）>λ（x）}，这是与∧V aR，saties相关的统计函数，对于每个F∈ M∧，x<x*F（x）<∧（x），F（x）-) ≤ ∧（x）-) ;x>x*F（x）>∧（x），F（x）-) ≥ ∧（x）-) ;（14） 从中我们推断x<x*-xZRS（x，y）dF（y）≤ 0,+xZRS（x，y）dF（y）<0；x>x*-xZRS（x，y）dF（y）≥ 0,+xZRS（x，y）dF（y）>0。（15） 这意味着x*这是当地的最低标准。通过证明没有其他局部极小值，我们得到了x*是唯一的全局最小值。取第一个x<x*. 注意，通过应用支配收敛定理，I（x）：=RRS（x，y）dF（y）是一个连续函数。而且，我在任何时候都不是康斯坦顿(-∞, 十、*] 从（15）开始，我们+xI<0。因为I是连续的，从（15）开始，左导数和右导数都是非正的，所以任何序列都可以收敛到x-正在减损。类似地，任何收敛到x+的序列都在增加。换句话说，存在δ>0，因此，对于所有x，I（x）>I（x）>I（x）- δ<x<x<x<x+δ。因此，x不是局部最小值。案例x>x*这是类似的。我们可以得出结论，在（12）中定义的概率测度M∧的类别上，∧V aR是可导出的。注9：很容易证明（13）中的评分函数可以改写为：S（x，y）=Rxy∧（t）dtx- y（y）- x） ++1-Rxy∧（t）dtx- Y（y）- 十）-. （16） 如果x6=y，S（x，x）=0。

很明显，这与（10）中V aR的评分函数相似。此外，请注意，如果∧不明显增加（12），则每个F都满足∈ Dincreasing，以便我们恢复Bellini和Bignozzi（2015）的结果。一般来说，使用评分函数（13）得出的∧V aR的可引出性要求∧仅与水平¨x=-λV aR（F）如（12）所示。注10∧V aR的递减函数∧可在所有分布的集合上导出。在这种情况下，M∧≡ D、 因为F是n-递减的，∧的导数是负的。当∧为非递增时，在递增分布函数集上∧var是可导出的。如果我们还需要∧的连续性，我们就可以得到M∧ C∧，其中C∧在（5）中定义。这意味着∧V aR是可导出的分布集也保证了∧V aR是可导出的。在下文中，我们提供了一个具有非递减∧的∧V aR构造的例子，该构造在给定一组P&L范数分布的情况下是可导出且鲁棒的。例11用Φ（x）表示标准正态分布的分布函数。LetM:={Φ（x）-uiσi）}i∈对于某些集合I，如果u：=supuI<∞ σ：=infσi>0。设定2017年2月7日定量金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212u>u，0<σ<σ，定义∧（x）：=λmx≤ xmΦ十、- uσxm≤ x<xMλMx≥ xM。如果xm≤ x等于0<λm≤ Φ（xm）-μσ）和Φ（xM-uσ) ≤ λMthen∧是非递减且连续的。此外，从定理8来看，∧V aR在M上是可导的。为了得到一个带有评分函数的∧V aR（13），我们需要在特定条件下建立∧函数，该条件取决于P&L分布的集合。特别是，评分函数（13）保证了∧V aR的可引出性，且∧仅在（12）中的概率度量M∧类中为非递减∧，如下反例所示。例12：让ε<0.5%。

设∧（x）和F（x）如下=0 x<-1001.5% -100≤ x<41 x≥ 4∧（x）=ε+0 x<-101（x+101）/100-101≤ x<-992%x≥ -99.F（x）是随机变量Y的累积分布函数，分布为：Y=-100，概率p=1.5%，Y=4，概率1- p=98.5%。很容易计算与∧V aR有关的统计函数为T∧（F）=-100.如果∧V aR是可导的，T∧应该是g（x）：=E[S（x，Y）]=S（x，-100）1.5+S（x，4）98.5。由于∧V aR的S定义如（13）中所示，我们需要计算由ψ（t）=Z∧（t）=εt给出的∧的导数+0吨-101（t/2+101t）-101≤ t<-99吨≥ -99.因此，ψ(-100) = -51- 100ε和ψ（4）=8/100+4ε，因此我们有S（x，-100) = (-100- 十）--ψ（x）- 51- 100ε和S（x，4）=（4- 十）-- ψ（x）+8/100+4ε和g（x）=-ψ（x）+(-100- 十）-1.5+ (4 - 十）-98.5+CWC=(-51- 100ε) · 1.5% + (0.08 + 4ε) · 98.5%. 现在观察∧V aR不是全局最小值，因为g(- 100）>g（4）。事实上：g(-100) - g（4）=-Ψ(-100) + Ψ(4) - 104 ·1.5= 51 +- 104 ·1.5> 0.我们已经证明，（13）中的评分函数只保证了∧V aR在（12）中的分布集M∧上的可引出性。是否存在另一个评分函数来保证∧V aR在更大类别的分布上的合理性，这是一个有趣的问题，可能会在2017年2月7日量化金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212进一步研究的对象。在本节结束时，我们将讨论关于这个问题的一些见解，以及这种扩展可能出现的困难。特别地，我们研究了可导性的一个必要条件，即凸水平集性质（Osband 1985）。定义13如果M D是凸的，我们说T有凸水平集，如果，对于任何γ∈ R、 levelset{T=γ}:={F∈ M:T（F）=γ}是凸的，即。

对于任何α∈ [0,1]和F,F∈ MT（F）=T（F）=γ=> T（αF+（1）- α） F）=γ。命题14（Osband 1985）如果是统计函数T:M D→ R是可导的，那么T是凸水平集。Gneiting（2011）表明ES不满足这一必要条件，因此，ESI不可诱导。定理8证明了∧var在M∧中是可导的，因此在这类d分布中也有凸水平集。下面的例子表明，一般来说，∧V aR在更大的一组分布上可能不满足这个条件，因此，这两个分布都不可引出。示例15固定0<ε<和λM<1。考虑人f（x）：=∞Xk=1k[k+1，k）（x）+ε1[0,1）+1[1，∞)andF（x）：=F（x）+∞Xk=1(-1） kk[k+1，k）（x）。作为函数∧取∧：=ε1(-∞,0）+（F+F）1[0,1）+λM[1，∞). 注意K∈ nf（2k）>∧（2k）和F（2k+1）>∧（2k+1）。此外，对于所有x<0的情况，0=F（x）=F（x）<∧（x）。这意味着∧V aR（F）=∧V aR（F）=0。然而，由于∧（x）=λM<1f或x≥ 1，我们有∧var（F+F）=-1，由此产生凸水平集属性f。通过选择一类特殊的∧给出了凸水平集性质的肯定答案，其条件满足递增分布函数集。引理16如果∧是一个跳跃次数有限的d分段常数，则∧V aR在递增分布函数集上具有凸水平集。证据我们首先观察到，一般来说，对于i=1，T∧（Fi）=γ意味着T∧（αF+（1）- α） F）≥ 每α的γ∈ [0,1]和F,F∈ 为此，我们证明了inf{x:αF（x）+（1）- α） F（x）>∧（x）}≥ γ、 γ=T∧（Fi）：=inf{x:Fi（x）>∧（x）}表示i=1，2。注意，通过定义i=1,2的∧（Fi），我们得到了Fi（x）≤ 每x∧（x）≤ γ.

因此，对于一个任意变量，我们得到0≤ α ≤ 1，αF（x）+（1- α） F（x）≤ 每x∧（x）≤ γ，其中T∧（αF+（1- α） F）≥ γ.对于逆不等式，观察存在ε>0，使得∧在[γ，γ+ε]上是常数。由于γ=inf{x:Fi（x）>和∧（x）}是非递减的，对于i=1，2，则αF（x）+（1）-α） F（x）>每x∧（x）∈ （γ，γ+ε），其中T∧（αF+（1- α） F）≤ γ.总之，我们观察到，2017年《ConverxFebruary 7》量化金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212水平集属性所适用的分布类别的扩展在很大程度上取决于∧的具体情况，因此似乎有必要进行个案研究。5.一致性在本节中，我们指的是Davis（2016）最近研究的一致性概念。Davis认识到在风险度量的回测环境中，可引出性的重要性，但他认为，可以从不同的角度更好地解决这个问题。戴维斯研究的动机在于预测投资组合财务回报的“真实”分布的难度。假设你确实得到了时间k之前的信息- 1.在timek中，只有一个实现，因此没有足够的信息来说明F的预测是否正确。因此，Davis引入了风险估计器一致性的概念，该概念基于风险估计器的实现与实际结果之间的日常比较，但没有考虑预测是如何得出的。因此，与可引出性属性的根本区别在于，对生成投资组合回报的条件分布的模型的假设可以随时改变，人们只需检查预测是否执行良好（更多详细讨论请参见Davis 2016）。在本节中，我们将介绍Davis的框架。

也就是说，我们(Ohm, F、 {Fk}k∈N） 在哪里Ohm =Q∞k=1R（k）是实值数据过程Y={Yk}k的规范空间∈NF是Borel sigma代数在R的每个副本中生成的乘积sigma代数（用R（k）表示）；{Fk}k∈这是过程Y和平凡的西格玛代数的自然过滤。对于这个数据过程，可能模型的类别由概率测度的集合P表示，用P表示：={Pα，α∈ A} ，其中A是一个任意索引集。我们用Eα表示关于Pα的期望。对于每个Pα，可以定义每个k≥ 1，给定Fk的随机变量的条件分布-1，作为映射Fαk:R×Ohm 7.→ [0,1]满足：对于Pα-a.e.ω，Fαk（·ω）是一个分布函数，对于每个x∈ R、 Fαk（x）=Pα（Yk）≤ x | Fk-1） Pα-a.s.definition 17（Davis 2016）假设B（P）是一组严格递增的可预测过程B={bn}n∈Nsuch th at limn→∞bn=∞ Pα-a.s.对于每个α∈ A、 l:R→ R是一个校准函数，这是一个可测量的函数，使得Eα[l（T（Fαk），Yk）|Fk-1] 对于所有Pα=0∈ P如果相关的统计功能满足要求，则风险度量ρ是（l，b，P）-一致的→∞bnnXk=1l（T（Fαk），Yk）=0pα-a.s。Pα∈ P