风险Lambda值的性质：稳健性、可引出性

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英文标题：
《On the properties of the Lambda value at risk: robustness, elicitability
  and consistency》
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作者：
Matteo Burzoni, Ilaria Peri, Chiara Maria Ruffo
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Recently, financial industry and regulators have enhanced the debate on the good properties of a risk measure. A fundamental issue is the evaluation of the quality of a risk estimation. On the one hand, a backtesting procedure is desirable for assessing the accuracy of such an estimation and this can be naturally achieved by elicitable risk measures. For the same objective, an alternative approach has been introduced by Davis (2016) through the so-called consistency property. On the other hand, a risk estimation should be less sensitive with respect to small changes in the available data set and exhibit qualitative robustness. A new risk measure, the Lambda value at risk (Lambda VaR), has been recently proposed by Frittelli et al. (2014), as a generalization of VaR with the ability to discriminate the risk among P&L distributions with different tail behaviour. In this article, we show that Lambda VaR also satisfies the properties of robustness, elicitability and consistency under some conditions.
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中文摘要：
最近，金融业和监管机构加强了关于风险度量的良好性质的辩论。一个基本问题是评估风险评估的质量。一方面，需要一种回溯测试程序来评估这种估计的准确性，这可以通过可引出的风险度量自然实现。出于同样的目的，Davis（2016）通过所谓的一致性属性引入了另一种方法。另一方面，对于可用数据集中的微小变化，风险估计应该不那么敏感，并表现出定性稳健性。Frittelli等人（2014）最近提出了一种新的风险度量，即Lambda风险值（Lambda VaR），作为VaR的推广，能够区分不同尾部行为的损益分布中的风险。在本文中，我们证明了Lambda-VaR在某些条件下也满足鲁棒性、可导性和一致性的性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_the_properties_of_the_Lambda_value_at_risk:_robustness,_elicitability_and_con.pdf (241.19 KB)

2022-5-11 04:13:18 上传

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关键词：Lambda lamb Lam BDA 稳健性

2017年2月7日量化金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212将出现在《量化金融》第00卷第。20XX月1日至17日，关于风险Lambda值的属性：稳健性、可诱导性和一致性。布佐尼*, I.PERI+和C.M.RUFFO*数学系，ETH Z¨urich，R¨amistrasse 101，8092 Z¨urich，瑞士+格林威治大学金融系，30 Park Row，London SE10 9LS，英国+米兰比科卡大学统计与定量方法系，Via Bic occadegli Arcinboldi 8，20126意大利米兰（2016年4月发布的v1）最近，金融业和监管机构加强了关于风险度量良好属性的辩论。一个基本问题是评估风险评估的质量。一方面，需要一种回溯测试程序来评估这种估计的准确性，这可以通过可引出的风险度量自然实现。出于同样的目的，Davis（2016）通过所谓的一致性属性引入了另一种方法。另一方面，对于可用数据集的微小变化，风险估计应该不那么敏感，并表现出定性稳健性。Frittelli等人（2014）最近提出了一种新的风险度量，即Lambda风险值（λV aR），作为V aR的推广，能够区分不同尾部行为的损益分布中的风险。在本文中，我们证明了∧var在某些条件下也满足了鲁棒性、可导性和一致性的性质。关键词：一致性；启发性；风险λ值；法律不变风险度量；风险措施；坚固性等级：C13、D81、G171。引言风险度量是金融服务业最关心的问题。

最常用的风险度量是风险值（VaR），对于某些常规置信水平λ（例如1%），它是右λ-量化Q+λ的负值。VaR因其公式简单、计算方便而成为一种不变量风险度量，但它也有一些缺点。首先，V aR对随机变量缺乏凸性，这通常会影响多样性。相反，V aR满足了分布的准凸性（Drapeau and Kupper 2012，Frittelli et al.2014）。这种情况在复合彩票中有一种自然的解释：复合彩票的风险不高于第四大彩票。V aR的另一个相关问题是对尾部风险缺乏敏感性，因为它将相同的风险归因于具有相同分位数但不同尾部行为的分布。最近，Frittelli等人（2014）提出了一种新的风险度量，即风险λ值（λV aR）。∧V aR似乎很有趣，因为它能够通过*电子邮件：matteo。burzoni@math.ethz.ch+通讯作者。电子邮件：i。peri@greenwich.ac.uk——电子邮件：c.ruffo@campus.unimib.itFebruary2017年7月，量化金融LVaRpropvf˙-2R˙2212概括应收账款。具体而言，∧应收账款定义如下：∧应收账款（F）：=- inf{x∈ R:F（x）>其中∧：R→ [λm，λm]带0<λm≤ λM<1是一个右连续单调函数。当∧函数始终等于某个λ时∈ （0,1）它与置信水平为λ的ARV定义一致。其主要思想是，信心水平可以改变，它是资产损失的函数。通过这种方式，∧V aR能够区分具有相同分位数但不同尾部行为的损益分布中的风险。在这方面，∧V aR的灵敏度高达分布的λm分位数，因为通过定义，∧V aR（F）≤ V aRλm（F）。

然而，要求λm>0只是技术性的，λmca可以任意选择接近0。在（Fr ittelli et al.2014）中获得了∧V aR的性质，如单调性和拟凸性，这是完全通用的（即也允许λm=0）。本文的目的是研究∧VaR是否能满足VaR也能满足的风险度量的其他重要性质。我们首先关注所谓的稳健性，即风险估计器对数据集中的微小变化不敏感。我们采用了汉佩尔经典的定性稳健性概念（汉佩尔e t等人，1986年，胡伯1981年），康特等人（2010年）也考虑了这一概念，用于一般风险度量（后来Kr¨atschmer等人（2014年）提出了一个更强大的概念，用于凸风险度量）。我们讨论了∧var的历史估计在依赖于∧的分布族中是如何鲁棒的。特别是，我们恢复了Cont等人（2010）关于∧的结果≡ λ ∈ (0, 1).我们研究的第二个性质是∧V aR的可引出性。许多作者都强调了该地产在风险管理和回溯测试实践中的重要性（Gneiting 2011、Ziegel 2014、Embrechts and Hoffert 2014、Bellini and Bignozzi 2015）。具体而言，可引出性是指风险度量预测的比较，并提供了执行回溯测试的自然方法。对于V aR的情况，∧V aR在依赖于∧的特定分布族中也是可导出的，对于∧的特殊情况≡ λ ∈ （0,1），我们恢复了片麻岩（2011）的结果。请注意，Bellini和Bignozzi（2015）已经观察到了∧递减的可诱导性，我们在这里扩展到最有趣的∧递减案例。最后，我们研究了Davis（2016）最近提出的一致性性质。

在这项研究中，戴维斯认为，可诱导性决策理论框架假设理论损益分布是未知的，并且在任何时候都保持不变。因此，他建议，在一个更明确的框架下，使用所谓的一致性属性，以验证ifa风险度量产生准确的估计。我们证明了∧V aR满足一致性性质，而不需要对P&L生成P过程进行任何假设，就像V aR的情况一样。本文的结构如下。在介绍了第2节的基本概念和定义之后，我们开始在第3节中研究稳健性属性。我们在第4节专门讨论了∧V aR的可引出性。最后，在第5节中，我们定义了理论框架，并验证了∧V aR.2的一致性。符号和定义let(Ohm, F、 P）为非原子概率空间且L:=L(Ohm, F、 P）是F-可测随机变量的空间，几乎可以肯定是P-有限的。我们假设X∈ LRE代表财务状况（即X<0时亏损，X>0时盈利）。任意随机变量X∈ Linducesa概率测度PXon（R，BR）乘以PX（B）=P（X-1（B））对于每个Borel集合B∈ BRandF（x）：=PX(-∞, x] 表示其分布函数。设D:=D（R）是一组分布函数和具有有限第一时刻的数据。在本文的审查过程中，Davis将一致性属性重新命名为动态设置下的预测校准。2017年2月7日量化金融LVaRpropvf˙-2R˙2212风险度量是一个映射ρ：L L→分配给每个返回X的R∈ L代表监管机构为弥补其财务风险所需的最低资本额的数字。金融中使用的风险度量主要是基于分布的风险度量，也就是说，它们将相同的值分配给具有相同分布的随机变量。

这种风险度量ρ被称为law不变量，更正式地说，它们满足：X~dY=> ρ（X）=ρ（Y）。这样，风险度量ρ可以表示为集合M上的映射 D.分配的数量。尽管有点滥用符号，我们仍然用ρ表示这一映射，并设置：ρ（F）：=ρ（X），其中F是X的分布函数。自Artzner等人（1999）发表开创性论文以来，风险度量理论一直基于对其最小性质的研究。此外，当风险度量定义在分布上时，单调性也被普遍接受；正式地说，对于任何F，F∈M、 ρ是单调的，如果：F（x）≥ F（x），十、∈ R imp liesρ（F）≤ ρ（F）。学者们还讨论了其他属性。正如Frittelli等人（2014年）所指出的，对于分布定义的风险度量，Convexity属性与TranslationVariance属性不兼容。因此，我们可能需要ρ来满足拟凸性（Drapeau and Kupper 2012，Frittelli et al.2014）：对于任何γ∈ [0,1]，ρ（γF+（1- γ） F）≤ 最大值（ρ（F），ρ（F））。金融行业普遍接受采用风险度量值（VaR）数据置信水平λ∈ （0,1），定义如下（见Artzner等人1999年定义3.3）：V aRλ（F）：=- inf{x∈ R:F（x）>λ}。（1） Var是单调的、拟凸的（Frittelli等人，2014年），但从定义上看，它显然不是尾部敏感的。为了克服其限制，巴塞尔委员会（2013年）建议使用预期短缺（ES），其正式形式为：ESλ（F）：=λZλV aRs（F）ds。（2） 通过定义，ES能够评估尾部风险，并满足随机变量的次可加性（Artzner等人，1999）。另一个尾部敏感的风险度量是Lamb da风险值（λV aR），最近由Frittelli等人（2014）提出，其性质是本文的主要主题。

在定义VaR时，∧VaR通过考虑f函数∧而不是常数λ来推广VaR。考虑∧函数的优点有两个：一方面，∧VaR提供了一个标准，在市场条件变化时改变信心水平（例如，在预期更大损失的情况下留出更多资本），另一方面，它允许通过不同的尾部行为来区分损益分配的风险。形式上，∧V aR定义为：定义1∧V aR（F）：=- inf{x∈ R:F（x）>λ（x）}（3）2017年2月7日定量金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212其中∧：R→ [λm，λm]带0<λm≤ λM<1是一个右连续单调函数。直观地说，如果F和∧都是连续的，∧V aR由F和∧之间的最小交集给出。与ES不同，∧V aR在定义随机变量时缺乏次可加性、正齐性和平移不变性，然而，∧V aR在分布集上是单调的和拟凸的（关于这些性质的讨论，参见Frittelli等人2014年第4节）。稳健性评估风险度量的优点涉及确定其计算如何受到估计问题的影响。问题在于检查风险度量对可用数据集微小变化的敏感性；因此，健壮性似乎是一个关键属性。在这种情况下，Cont等人（2010）进行了第一次严格的研究。作者指出，鲁棒性的概念应被称为“风险估计器”，作为“风险测量程序”的结果（详情见Cont等人2010），他们将问题建立在汉佩尔的经典定性稳健性概念上（汉佩尔等人1986年，胡伯1981年）。基本上，如果损益分布的微小变化意味着估计器定律的微小变化，则称arisk估计器为r ob ust。

他们考虑了历史估计量ρh的情况，即通过将风险度量ρ应用于经验分布^F而获得的情况，并得出结论，V aR的历史估计量比其他法律不变的一致风险度量更稳健。之后，Kr¨atschmer et al.（2012）和Kr¨atschmer et al.（2014）认为，汉佩尔的观点不区分具有不同尾部行为的损益分布，因此，不适合研究对尾部敏感的风险度量的稳健性，例如。因此，他们把重点放在了法律不变的连贯风险度量上，他们表明，如果使用更强有力的概念，破产并没有完全消失，而是在一定程度上消失。基本上，风险估计器的稳健性是基于对特定指标的选择，不同的指标会导致更强或更弱的定义。然而，正如Embrechts等人（2014）所指出的，稳健性的正确定义仍然是一个主要问题。本节的目的是研究∧V aR的稳健性，我们使用Cont等人（2010）提出的稳健性的最弱定义。让我们用x表示∈ X表示特定数据集的n元组，其中X=∪N≥1删除所有可能的数据集。给定特定数据集x的F估计用^F表示，并表示映射^F:x→ D

我们称风险估计器为map^ρ：X→ 与特定数据集x相关的R值为：ρρ（x）：=ρ（^F（x））。特别是，与风险度量ρ相关的历史估计器ρ是通过将ρ应用于Femp（x）定义的经验损益分布Femp得出的估计器：=nPni=1（x）≥xi）Witn≥ 即：ρh（x）：=ρ（Femp（x））。让我们用d（·，·）表示L’evy度量，对于任意两个分布F，G∈ 我们有D（F，G）：=inf{ε>0 | F（x）- ε) - ε ≤ G（x）≤ F（x+ε）+ε十、∈ R} 。此后，我们回顾Cont et al.（2010）提出的风险估计器的C-稳健性定义，其中C是分布的子集。定义2（Cont et al.2010）如果任何ε>0存在2017年2月7日定量金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212δ>0和n>1，则风险估计器^ρ在F处是C稳健的∈ C:d（G，F）≤ δ => d（Ln（ρ，G），Ln（ρ，F））≤ ε N≥ 其中d是L′evy距离，Ln（^ρ，F）是估计量ρ（^F（X））的定律，X:=（X，…，Xn）是具有公共分布F的独立随机变量向量。作为汉佩尔定理推广的结果，康特等人（2010年）得出了以下结果：推论3（康特等人2010年）如果风险度量ρ相对于L’evy度量在C上是连续的，那么历史估计量ρhis C-在任何F上都是鲁棒的∈ C因此，它们表明V aRλ的历史估计对于以下集合是鲁棒的：Cλ：=F∈ D|q-λ（F）=q+λ（F）（4） 其中q+λ（F）：=inf{x | F（x）>λ}和q-λ（F）：=inf{x | F（x）≥ λ}. 实质上，当真实损益分布的分位数唯一时，经验分位数是稳健的。此外，他们还表明ESλ的历史估计量是不稳健的。

更重要的是，他们指出了凸性（在随机变量上）和稳健性之间的矛盾：任何时候基于分布的风险度量需要凸性属性，其历史估计器都不具有稳健性。我们使用Cont等人（2010）在推论3中的结果来验证在何种条件下∧V aR的历史估计是可信的。假设4在本节中，我们假设∧：R7→ [λm，λm]是一个连续函数。首先，让我们考虑以下集合：EF:={x∈ R | F（x）=∧（x）或F（x）-) = 由分布F（或F的左连续形式）与∧相交的点组成。我们介绍了以下C∧类分布：C∧：={F∈ D | F（（x，x+ε））>∧（（x，x+ε））对于某些ε=ε（x）>0，十、∈ EF}（5），其中F（（x，x+ε））和∧（（x，x+ε）分别是区间（x，x+ε）到F和∧的图像。集合C∧由那些在任何区间上与∧不重合的d分布组成。在∧的特殊情况下≡ λ ∈ （0，1），这仅仅意味着分位数是唯一确定的，因此，C∧族与Cont et al.（2010）考虑的V aRλ的鲁棒性（4）族一致。还要注意，对于∧递减，该条件自动满足，因此C∧=D。在下面的命题中，我们表明∧V aR的历史估计在C∧类分布函数中是稳健的。命题5∧var在C∧上是连续的。因此，∧V aRhis C∧鲁棒。证据我们只需要证明∧V aR关于L′evy度量的连续性，其余的遵循Cont等人（2010）的推论3。固定ε>0和F∈ C∧。Letx:=-∧V aR（F）。对任何人来说∈ N、 定义集合An:={x∈ (- ∞ , 十、-ε] |∧（x）- F（x+1/（2n））≥ 1/n}。注意，对于x∈ 安，我们没有+1≤N≤ ∧（x）- Fx+2n≤ ∧（x）- Fx+2（n+1）2017年2月7日量化金融LVaRpropvf˙-2R˙2212，因此 A+1。