风险Lambda值的性质：稳健性、可引出性

（17） 用P表示所有概率测度的集合，定义为：P={Pα∈ P:对于Pα-几乎所有ω，kfαk（x，ω）在x中是连续的∈ Ohm}.Davis（2016）表明，对于一大类过程B（P）和一大类数据模型P，V aR满足了这种一致性，其校准函数如下：l（x，y）=λ- 1（y）≤x）。与∧V aR相关的统计函数由（11）给出，因此我们定义了每个k和α∈ A:T∧（Fαk）：=inf{x | Fαk（x）>∧（x）}。注意{T∧（Fαk）}k∈Nand{∧（T∧（Fαk））}k∈这是一个可预测的过程，如以下2017年2月7日量化金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212引理所示。引理每k为18≥ 1，T∧（Fαk）和∧（T∧（Fαk））是Fk-1-可测量的随机变量。证据用α修正概率Pα∈ A.首先请注意，对于任何y∈ R、 对于Pαa.e.ω，我们有∧（Fαk）≥ Y<==> Fαk（x）≤ ∧（x）十、≤ Y<==> Fαk（q）≤ ∧（q）Q∈ Q、 Q≤ 最后一个等价性来自Fα和∧的右连续性。因此我们有{ω| T∧（Fαk）≥ y} =\\q∈Q∩(-∞,y] {ω| Fαk（q）≤ ∧（q）}∈ Fk-其中T∧（Fαk）是一个Fk-1-可测随机变量。∧（T∧（Fαk））也是Fk-1-可测量：因为∧是右连续的∧（x）≥ y i off x≥ Λ-（y） 在哪里∧-（y） ：=inf{x∈ R∧（x）≥ y} 是广义逆e（Embrechts and Hoffert 2013，Pr oposition1），因此是{ω|∧（T∧（Fαk））≥ y} ={ω| T∧（Fαk）≥ Λ-（y） }∈ Fk-1.通过遵循Davis（2016）提出的方法，我们能够证明∧V aR对于大型数据模型P是一致的，如以下定理所示。定理19对于每个Pα∈ P、 nnXk=1∧（T∧（Fαk））- 1（Yk）≤T∧（Fαk））→ 因此，∧var是（l，n，P）-与l（x，y）=∧（x）一致- 1（y）≤x）。（19） 在给出定理的证明之前，我们先给出下面的引理。每个Pα的引理20∈ P、 Eα（Yk）≤T∧（Fαk））|Fk-1.= ∧（T∧（Fαk）），Pα-a.s.证明。固定Pα∈ P.由于没有混淆，为了便于记法，我们省略了对α的依赖。

Ob表示Uk:=Fk（Yk）是均匀分布的≤ T∧（Fk）<==> 英国≤ Fk（T∧（Fk））=∧（T∧（Fk））。现在请注意，UK独立于Fk-1因为，来自Fk的延续，P（英国）≤ 英国| Fk-1） =P（Yk）≤ F-k（英国）| Fk-1） =Fk（F）-k（英国））=uk=P（英国）≤ （英国）（其中F-kdenotes是Fk的广义逆。因为∧（T∧（Fk））是Fk-1-根据引理18，我们可以通过应用冻结引理（Williams 1991，第9.10节）来计算所需的条件期望。即定义h（x，y）：=1{y≤x} 让^h（x）：=E[1{Uk≤x} ]=x.因为h是一个有界的2017年2月7日定量金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212Borel可测函数，UK独立于Fk-1、thenE（Yk）≤T∧（Fk））|Fk-1.=^h（λ（T∧（Fk））=λ（T∧（Fk）），其中等式是P-a.s.意义上的等式。定理19的证明。定义：Zk:=∧（T∧（Fαk））- 1（Yk）≤T∧（Fαk）），Sn:=nXk=1Zk，Qn:=nXk=1（Zk），hSin:=nXk=1Eα[（Zk）| Fk-1].从引理20，sni是自Eα[Sn]的鞅- 锡-1 | Fn-1] =Eα[Zn | Fn-1] = 0. 我们现在计算（Zk），我们使用缩写W:=∧（T∧（Fαk））。（Zk）=1（Yk）≤T∧（Fαk））+W- 2W 1（Yk≤T∧（Fαk））=W（Yk>T∧（Fαk））+（1- W）（Yk≤T∧（Fαk））。注意，由于λm≤ W≤ λMwe获得Eα[（Zk）]≤ 最大{（λM），（1）- λm）}<∞ 所以Snisa平方可积鞅。此外，请注意，（Zk）≥ 最小{（λm），（1）- λM）}。（20） 因为W是Fk-1-可测量，使用引理20，Eα[（Zk）|Fk-1] =WEα[1（Yk>T∧（Fαk））|Fk-1] + (1 - W）Eα[1（Yk≤T∧（Fαk））|Fk-1] =W（1）- W）+（1- W）W=W（1）- W）。因此λm（1- λM）≤ Eα[（Zk）|Fk-1] ≤ λM（1）- λm），这恰好意味着辛≥ nλm（1）- λM）→ ∞, 第二，结合（20），QnhSin≥n min{（λm），（1- λM）}nλM（1）- λm）=min{（λm），（1- λM）}λM（1）- λm）=：εα>0。请注意，zk从上到下每k以1为界∈ N、 因此，我们有Qn≤ N

因此，我们可以预测Snn≤SnQn=新津新新≤εα新新→ 0 Pα-a.s.，其中最后一项从Davis（2016）的6.3号提案收敛到0。2017年2月7日量化金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212作为该定理的结果，与Davis（2016）观察到的VaR类似，风险经理可以使用以下相对频率测量值nXk=1∧（T∧（Fαk））- 1（Yk）≤T∧（Fαk））（21）作为有限样本假设检验中的检验统计量（如Corbetta和Peri 2016所述）。显然∧var也是（l，b′，P）-与b′n=nb和b={bn}n一致∈ B（P）。因此，作为分位数预测的∧V aR的一致性，可以在基本相同的条件下，在生成数据的机制上获得。与条件平均数（如ES）相关的统计函数Tm的估计并非如此，定义如下：Tm（fαk）：=ZRxFαk（dx）。实际上，Davis（2016）sh认为Tm（Fαk）满足条件（17），l（x，y）=x- y、 Qn=Pnk=1Zk，wher e Zk:=Yk- Tm（Fαk）和，值得注意的是，P∈ P是一组概率测度，如：i）对于任何k，Yk∈ L（Pα），ii）limn→∞辛=∞ Pα-a.s.，带hSin:=Pnk=1E[Zk | Fk-1] ，iii）存在εα>0，因此对于大n，Pα-a.s.通常，条件i），ii），iii）的有效性可能难以检查。此外，过程qn是不可预测的，因此，使用这种方法无法得出依赖于平均值的统计函数（如ES）满足定义17中的一致性属性的结论。因此，根据可引出性框架，验证基于均值的估计的准确性肯定比基于分位数的预测的同一问题更困难。对于∧V aR的情况，这是可能的，并且所有条件都满足，因此该方法可以成功应用。6.

结论我们已经证明∧V aR在特定类别的分布中具有可满足性和可引出性。稳健性要求∧函数是连续的，且不与任何区间上的分布F一致。可引出性要求更多，即∧只被任何可能的F交叉一次。我们还提出了一个在一组正态分布上构造一个可导出且鲁棒的∧V参数的例子。此外，我们还表明∧V aR在生成数据的机制上没有任何条件的情况下满足一致性属性，允许进行str-aightforwardback测试。在最近的金融危机之后，巴塞尔委员会（2013年）建议银行放弃应收账款，转而将ES作为风险管理的标准工具，因为ES能够克服应收账款的两个主要缺点：对随机变量缺乏凸性和对尾部行为不敏感。然而，ES也存在一些问题。具体而言，ES并不稳健，或者仅在需要更强大的稳健定义的小范围内，它是不可诱导的。最近，Acerbi和Sz\'ekly（2014）表明，ES的可诱导性可以与V aR联合实现（另请参见Fissler和Ziegel 2015，以获得扩展结果）。此外，验证ES的一致性属性更具问题性。此外，科赫·梅迪纳（Koch Medina）和穆纳里（Mu nari，2016）最近的一项研究指出，并不是所有ES的方面都被很好地理解。例如，对于令人敬畏的职位，感谢指出这个问题的匿名裁判。2017年2月7日量化金融LVaRpropvf˙-˙2R˙2212损失的概率很高，但尾部的预期收益也很高，从负债持有人的角度来看，ES的表现不一定比V aR好。

Bellini和Di Bernardino（2015年）最近研究的其他风险衡量指标考虑了超出预期的损失程度。在任何情况下，捕获尾部风险的问题仍然是至关重要的，无法通过粗糙度来完成。新的风险度量∧V aR可以解决这个问题，因为它能够区分具有相同分位数但尾部行为不同的分布中的风险，并与V aR具有其他重要属性，如拟凸性。另一方面，∧V aR缺乏子加法性，∧函数引入的灵活性需要额外的标准来确定其上限和下限。然而，我们认为∧V aR可以被认为是一种可供进一步研究评估的替代风险度量。致谢我们要感谢两位匿名代表的有用意见，以及J.C orbetta对这个问题的有益讨论。感谢ETH基金会对这项研究的支持。参考Acerbi，C.和Sz\'ekly，B.对预期短缺进行回溯测试。《风险》杂志，2014年。Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.-M.和Heath。，D.一致的风险度量。《数学金融》，1999年，9203-228页。巴塞尔银行监管委员会，《交易账簿的基本审查》，第二份咨询文件。国际清算银行，2013年。Bellini，F.和Bignozzi，V.，Elic-itable风险度量。《定量金融》，2015年，第15期。Bellini，F.和Di Bernardino，E.的《预期风险管理》。在2015年《欧洲金融杂志》上发表。科尔贝塔，J。以及Peri，I.对风险中的Lambda值进行回溯测试。工作文件，2016年。Ava ilable atarxiv。org/abs/1602.07599。Cont，R.，Deguest，R.和Scandolo，G.，Robustnes s和风险测量程序的敏感性分析。《定量金融》，2010年，10593-606页。Davis，M.H.A.，内部风险度量评估的验证。

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