具有确定性和随机利率的确定性收入

备注3.3（任意漂移函数）考虑processXt=x+Ztu（s）ds，其中u（s）是一个任意连续函数，在[0，T]中有无数个零。允许策略C表示现在的累计消耗量，即C`adl`ag，增加和铯≤ XCs-. 在这种情况下，HJB方程为ismax{Vt+u（t）Vx，ef（t）- Vx}=0。[8]中考虑了确定不变利率δ>0的无限制支付的消费最大化问题。在那里，有可能建立一种算法，以找到最优策略和价值函数的显式表达式。这里，来自[8]的恒定利率算法必须与本文前面描述的纯贴现债券的恒定漂移算法相结合。然而，价值函数的查找过程将非常耗时和浪费空间。感兴趣的读者可以联系作者以获取更多信息。4随机利率在本节中，我们考虑一个具有随机贴现率和固定期限的模型。和前面一样，我们假设所考虑的家庭的sur plus是xt=x+ut。4.1几何布朗运动作为贴现过程，在本小节中，我们让rt=r+mt+σWt，其中{Wt}是标准布朗运动。我们的目标是最大化所有可容许策略C={cs}的预期折扣消费，前提是折扣过程由几何布朗运动给出。这意味着，我们假设所考虑的家庭的消费行为与几何布朗运动模拟的股价有关。作为一个可接受的策略，我们定义了所有C={cs}，使cs∈ [0，ξ]，C被调整为过滤{Fs}，由{Ws}和XCt=Xt生成-RTCSD≥ 0代表所有t≥ 0（即消费不会导致破产）。

对应于策略c={cs}的返回函数和值函数定义为vc（r，x）=EhZ∞E-rscsds | r=ri（r，x）∈ R×R+，V（t，x）=supCVC（R，x）（R，x）∈ R×R+。注意E[eru]=E-R-（m）-σ） u.为了保证值函数的精确性，我们假设e m>σ。显然，V（r，x）≤ ξEhZ∞E-R-（m）-σ） tdti，上述积分对所有r都是有限的∈ R.与问题对应的HJB方程为uVx+mVr+σVrr+s up0≤C≤ξcne-R- Vxo=0。（12） 首先考虑边界ξ小于或等于drif tu的情况。在这里，我们可以按照最大速率ξ支付到∞ 不用担心。对应于这种策略的返回函数vξ由vξ（r，x）=ξEhZ给出∞E-rsdsi=ξZ∞E-R-M-σsds=ξe-rm-σ.Vξ不依赖于x，明显地解决了HJB方程（12）。现在考虑ξ>u。现在，直到时间结束之前，都不可能按汇率ξ付款。相反，我们考虑策略^C={^cs}^cs=（ξ0≤ s≤xξ-us>xξ-u. （13） 相应的返回函数由v^C（r，x）=ξZxξ给出-ue-R-（m）-σ） sds+uZ∞xξ-ue-R-（m）-σ） sds。命题4.1（13）中定义的策略^C是最优策略，V^C（r，x）是价值函数。证明：考虑函数V^C（r，x）。它保持sv^Cx（r，x）=e-R-（m）-σ） xξ-u.因此，对于所有x≥ 0它保持不变-R- V^Cx（r，x）=e-R1.- E-（m）-σ） xξ-u≥ 0 .很容易看出，函数V^Csolves HJB方程（12）。需要证明V^C（t，x）=V（t，x）。设C={cs}为任意可容许策略，则holdsV^C（rt，XCt）=V^C（r，x）+Zt（u）- cs）V^Cx（rs，XCs）+mV^Cr（rs，XCs）+σV^Crr（rs，XCs）ds+σZtV^Cr（rs，XCs）dWs≤ -中兴通讯-rscsds+σZtV^Cr（rs，XCs）dWs。因为V^Cis有界，所以上面的随机积分是一个期望为零的鞅。此外，EV^C（rt，XCt）≤ EE-R-mt-σWt= E-重新-（m）-σ） 因此，要满足期望，让→ ∞ yieldsEhZte-rscsdsi≤ V^C（r，x）。

对于无限制支付，HJB方程为max{uVx+mVr+σVrr，e-R- Vx}=0，很容易看出值函数由v（r，x）=e给出-rx+e-ruZ∞Ehe-mt-σWtidt=e-rx+e-rum-σ.这意味着，我们必须立即支付初始资本，并在限定时间内按利率支付。对于证明方法，例如Schm idli[10，第102页]。4.2 Ornstein-Uhlenbeck过程与第2节中的短速率类似，我们再次用{rs}表示Ornstein-Uhlenbeck过程rs=re-as+~b（1）- E-as）+σe-AszSoudwu，其中{Wu}是一个标准布朗运动，a，~σ>0，并让Urs=Rsrudu，r=r。我们的目标是最大化所有可容许策略的预期贴现消费C={cs}，如果利率由{rt}给出。一个策略C={cs}如果cs∈ [0，ξ]，适用于过滤{Fs}，由{rs}和xct=Xt生成-RTCSD≥ 0代表所有t≥ 0.在这里，我们假设过程{rs}full fils的长期平均值为：~b>σ2a。对应于策略C={cs}的返回函数和值函数由VC（r，x）=EhZ定义∞E-URSCDS | X=xi，（r，X）∈ R×R+，V（R，x）=supCVC（R，x），（R，x）∈ R×R+。由于r现在是一个变量，而不是第3节中所述的常数参数，我们通过为（2）中定义的函数f编写f（r，s）而不是f（s）来证明这一事实。再次表示σ：＝σ√2a和b:=~b-~σ2a>0，我们有E[E]-Urs]=ef（r，t）。与该问题对应的HJB方程为uVx+a（~b）- r） Vr+∑Vrr-rV+sup0≤C≤ξcn1- Vxo=0。

（14） 此外，可以将函数ef（r，s）估计为如下ef（r，t）=expn- 英国电信-R- 文学士（1）- E-在）-σ2a（1）- E-at）o≤ 扩展- 英国电信- 闵R- 巴，0o、 利用上述估计和事实b>0，我们找到了价值函数的以下边界：V（r，x）≤ ξEhZ∞E-Ursdsi=ξZ∞ef（r，s）ds≤ξbexpn-闵R- 巴，0o、 V（r，x）≥ ξZxξ-u∨0ef（r，s）ds+uZ∞xξ-u∨0ef（r，s）ds。（15） 对于a的每个选择，σ>0和全部（r，x）∈ R×R+.4.2.1限制利率，含ξ≤ u.假设第一ξ≤ u. 在这种情况下，过程Xξt=X+（u- ξ） t永远不会达到零。对应于常数策略cs的函数Vξ≡ ξ由以下公式得出：Vξ（r，x）=ξEhZ∞E-Ursdsi=ξZ∞ef（r，s）ds。注意，在这种情况下，Vξ不依赖于x。特别是：1- Vξx（r，x）=1。证明Vξ解ODEa（~b）是一个简单的练习- r） vr+∑vrr- rv+ξ=0。对于Vξ（r，x），可以交换积分和微分，使Vξr（r，x）=ξZ∞-1.- E-asaef（r，s）ds，Vξrr（r，x）=ξZ∞(1 - E-as）aef（r，s）ds。因此，a（~b）- r） Vξr（r，x）+σVξrr（r，x）- rVξ（r，x）=ξZ∞fs（r，s）ef（r，s）ds=-ξef（r，0）=-ξ，这证实了你的主张。这里，函数Vξ成为值函数的候选者。4.2.2ξ>u的限制速率。现在假设ξ>u。对应于策略^cs=（ξ0）的返回函数≤ s≤xξ-us>xξ-u（16）由v^C（r，x）=E表示ξZxξ-ue-Ursds+uZ∞xξ-ue-厄尔兹= ξZxξ-uef（r，s）ds+uZ∞xξ-uef（r，s）ds。显然，V^Cis对于x是连续可微的，对于r是两次连续可微的，比如在ξ的情况下≤ u，我们可以交换积分和求导，得到a（~b- r） V^Cr+■σV^Crr- rV^C=ξZxξ-ufs（r，s）ef（r，s）ds+uZ∞xξ-ufs（r，s）ef（r，s）ds=（ξ）- u）efr、 xξ-u-ξ .V^cw对x的导数由V^Cx（r，x）=ef给出r、 xξ-u.我们可以得出结论，V^c解决了PDE（μ- ξ） vx+a（~b）- r） vr+∑vrr- rv+ξ=0。注意1- V^Cx≥ 0 i fffr、 xξ-u≤ 0

为了确定V^c是否可以成为值函数的一个很好的候选者，我们必须研究函数f（r，s）的性质。根据第2.1小节，对于固定的r和b>0，函数fs（r，s）在s=w（r）=-aln（u（r））与u（r）=r- b+σa+qR- b+σa+ 4bσa2σ/a>0。请注意，fss（r，s）=-afs（右、南）- A.b+σae-2as. 这意味着，对于固定的r，它保持着其他fs（r，s）≤ [0]上的0，∞), 如果u（r）≥ 1，或[0，w（r）]上的fs（r，s）>0，以及（w（r）上的fs（r，s）<0，∞), 如果u（r）<1。因此，我们只考虑第2小节中的情况1和4。1，如图1中的图1和图4所示。很容易看出，函数u（r）在r中增加，u（0）=1。它意味着f（r，s）<0表示所有（r，s）∈ R+。因此，对于（16）中定义的策略^C，它保持sv^Cx（r，x）=efr、 xξ-u≤ 1（r，x）∈ R+。如果r<0且s>0，则对于每个固定的r∈ R-函数f（r，s）达到其最大值w（r）。此外，因为f（r，0）=0表示所有r∈ R和lims→∞f（r，s）=-∞ 曲线α（s）：=a1- E-asn- 学士+学士（1）- E-as）-σ2a（1）- E-as）ois与f是唯一的α（s），s≡ 0.使用对数函数的幂级数表示，例如[2，p.381]，它适用于s>0：α（s）=a1- E-asn-文学士∞Xn=1（1- E-as）nn+ba（1）-E-as）-σ2a（1）- E-as）o=-B∞Xn=1（1- E-as）nn+1-σ2a（1）- E-as）<0，α′=-ba·e-像∞Xn=1（1- E-as）n-1nn+1-σe-as<0。因此，α为负且严格递减。设β（r）表示r的α（s）的反函数∈ (-∞, 0）（定义明确，因为α严格递减），即β（α（s））=s，然后是β（r），r∈ R-, 是正的，严格地说是递减的。特别是，f（r，s）>0表示s<β（r），f（r，s）<0表示s>β（r），V^Cxx（r，x）<0表示x≥ β（r）。

因此，函数V^c不能是值函数。命题4.2值函数V（r，x）是局部Lipschitz连续的，严格递增且凹于x；局部Lipschitz连续、递减且在r上凸。它保持limr→∞V（r，x）=0。证明：o让第一个h>0，r∈ 对于（R+h，x），R和C是一个可容许的ε-最优策略。然后，C也是（r，x）的一个可接受策略（该参数也适用于另一种情况），它保持sv（r+h，x）- V（r，x）≤ VC（r+h，x）+ε-VC（r，x）=EhZ∞E-UrscsE-哈（1）-E-as）- 1.dsi+ε≤ 0 .考虑（r，x）的ε最优策略，并应用相同的参数yieldsV（r+h，x）- V（r，x）≥ -V（r，x）ha≥ -hξbaexp- 闵R- 巴，0.因此，V是s的局部Lipschitz连续，r的局部连续∈ R、 λ∈ （0,1）设z=λr+（1）-λ） 对于（z，x）而言，q和C是ε-最优策略。然后，V（z，x）- ε ≤ V~C（z，x）=z∞E-Uzscsds=Z∞E-λUrs-(1-λ） UqsCSD≤ λZ∞E-Urscsds+（1）- λ） Z∞E-UqsCSD。注意，对于（r，x）和（q，x），C是一个可接受的策略。Thu s，V（z，x）≤ λV（r，x）+（1）-λ） V（q，x），即V在r中是凸的。对于每一个h>0，很明显，（r，x）的容许策略∈ R×R+对于（R，x+h）也是容许的，这意味着V在x分量中增加。另一方面，假设C是起点（r，x+h）的ε-最优策略，并将C={cs}定义为cs=（0s<hucs）-hus≥hu。显然，对于起点（r，x），C是一个可接受的策略。然后，我们得到v（r，x+h）- V（r，x）≤ VC（r，x+h）+ε-V~C（r，x）=EhZ∞E-乌尔西-呃∞h/ue-Urscs-h/udsi+ε=EhZ∞E-Urscs1.- E-相对湿度/urs+ududsi+ε。设<<Ursh/u：=Rh/urs+udu，注意<<Ursh/u仅通过rs依赖于Ursh。

然后说明随机变量RSI是正态分布的（平均值为re-as+~b（1）-E-as）和方差∑2a（1）-E-2as），使用1-前任≤ -x和（2）中f的定义，我们得到以下估计hz∞E-Urscs1.- E-~Ursh/udsi=Z∞EhEE-Urscs1.- E-~Ursh/u|rsids=Z∞EhEE-Urscs | rsn1- ef（rs，hu）OID≤ -Z∞EhEE-Urscs | rsFrs，huids=Z∞Ehe-Urscsnbhu+σ2a（1- E-ah/rs- 文学士（1）- E-ah/u）OID≤b+σ2ahξbue-闵R-巴，0+Z∞Ehe-Urscsrs- 文学士1.- E-啊/u身份证。现在考虑函数Θ（r，s，y）：=EE-Urs | rs=y. 使用Borodin和Salminen[4，第525页]，我们发现Θ（r，s，y）=表达式-~bs-r+y- 2巴丹像+σa像- 2谭像o=expn- 学士学位-R- 巴坦人像-Y- 巴坦人像o≤ 扩展- 学士学位- 闵R- 巴，0- 闵Y- 巴，0o、 因此，它持有SZ∞Ehe-Urscsrs- 文学士1.- E-啊/u身份证≤hξuZ∞EhEE-乌尔斯· （卢比）- b） 1I[rs>b]id≤hξe-闵R-巴，0Z∞E-疯牛病（卢比）- b） 1I[rs>b]ds。请注意，由于RSI是正态分布的，因此上述预期值可按以下方式估算（卢比）- b） 1I[rs>b]=（r）-)b）e-as+~b- B1+erf（r）-)b）e-as+~b- bσp2（1）- E-2as）+σ√1.- E-2as√2πe-（（r）-)b）e-as+~b-b） 2（1）-E-2as）σ≤ σ +（r）-)b）e-as+~b- b:为了所有人≥ -自然对数~b-bb-R/a和d r≤ b、 （r）-)b）e-as+~b- b:为了所有人≥ 0和r>b，0：否则。因此，定义∧：=σ（a+b）b+ab- bb+（a+b）bb+σ2a我们得到v（r，x+h）- V（r，x）≤hξu（a+b）麦克斯（r）-b、 0）+∧E-闵R-巴，0.o 为了证明x分量的凸性，让x，y≥ 0，Cxbe是（r，x）的ε-最优策略，Cybe是（r，y）的ε-最优策略。那么，对于z=λx+（1-λ） y:0≤ λx+ut- Cxt+ (1 - λ)y+ut- 中青旅= z+ut-λCxt+（1）- λ） 中青旅.因此，λCx+（1-λ） cy是（r，z）的可容许策略。由于ε是任意的，我们可以把λV（r，x）+（1-λ） V（r，y）≤ V（r，z），即。

V在x上是凹的。此外，我们知道值函数是有界的，并且利用单调收敛定理（因为f（r，s）在r上是递减的）我们得到了limr→∞V（r，x）≤ limr→∞ξZ∞ef（r，s）ds=0.o估计值函数相对于r的微分商。现在定义一个辅助函数VC（r，x）：=EhR∞E-Urscs（1）- E-as）dsian并让C bean接受策略，h>0。ThenVC（r+h，x）=EhZ∞E-Ur+hscsdsi=EhZ∞E-Urscse-哈（1）-E-as）dsi≥ VC（r，x）-haVC（r，x），VC（r，x）=EhZ∞E-URSCDSI=EhZ∞E-Ur+hscseha（1-E-as）dsi≥ VC（r+h，x）+haVC（r+h，x）。设h>0，C为（r，x）的h-最优策略≥VC（r，x）- VC（r+h，x）h+h≥V（r，x）-V（r+h，x）h.因为，V在r上是凸的，我们得到V（r，x）-V（r+h，x）h≥V（r）-h、 十）- V（r，x）h≥VC（r）-h、 十）- VC（r，x）h- H≥a~VC（r，x）- H已经证明，值函数在r中是凸的，在x中是凹的。我们猜想最优策略是障碍类型的，即我们在某个障碍上支付最大速率，在该障碍下不做任何事情，而x的障碍应该等于0，r的障碍应该由某个常数r给出*. 然后，我们必须考虑两个函数，描述障碍上下的值函数。不幸的是，我们无法找到与这种屏障策略对应的返回函数的闭合表达式。

这就是为什么，我们切换到粘度安萨茨。定义4.3我们说连续函数u:R×R+→ R+是（3）在（R，x）处的粘度亚解∈ R×R+如果有函数ψ∈ C2,1R×R+，R+ψ（r，x）=u（r，x），使得u- ψ在满足ψx+a（~b）时达到最大值- r） ψr+■σψrr- rψ+sup0≤C≤ξc1.- ψx≥ 我们说一个连续体的函数u:R×R+→ R+是（14）在（R，x）处的粘度上解∈ R×R+如果有函数φ∈ C2,1R×R+，R+φ（\'r，\'x）=\'u（\'r，\'x），使得\'u- φ在满足φx+a（~b）时达到最小值- r） φr+~σφrr- rφ+sup0≤C≤ξc1.- φx≤ 0 .（14）的粘度解是一个连续函数u:R×R+→ R+如果它在任意（R，x）处既是粘性子解又是粘性上解∈ R×R+。命题4.4值函数V（r，x）是（14）的粘度解。证明：Let（\'r，\'x）∈ R×R+，\'x>0，0<h<\'x和{Xct}恒定策略c下的剩余过程∈ [0, ξ]. 进一步，我们让τ：=inf{t≥ 0:Xct/∈\'x- h、 \'x+h},τ：=inf{t≥ 0:rt/∈\'r- h、 \'-r+h} dτ=τ∧ τ.因为，值函数V是逻辑Lipschitz连续的，所以存在一个n∈ N使得v（r，x）- V（rk，xk）≤ ε/2（r，x）∈ [rk-1，rk]×[xk，xk+1]，一些ε>0，rk:=\'r-h+2h（k+1）与xk:=x-h+2HKK∈ N.现在，让kk成为起点（rk，xk）的ε/2-最优策略。与命题（4.2）一样，可以证明与策略Ck相对应的返回函数VCk可以应用于初始值（rτ∧t、 Xcτ∧t） 。特别是，如果rτ∧t、 Xcτ∧T∈ [rk-1，rk]×[xk，xk+1]VCkrτ∧t、 Xcτ∧T≥ VCk（rk，xk）≥ V（rk，xk）- ε/2 ≥ V（rτ）∧t、 Xcτ∧（t）- ε .因此，对于每一个c∈ [0，ξ]并且给定ε>0，我们可以找到一个可测量的策略C，比如VCrτ∧t、 Xcτ∧T≥ 五、rτ∧t、 Xcτ∧T- ε.首先，我们证明了V是一个上解。

现在，按照以下方式构造一个策略C={cs}：让τ像上面一样定义，C∈ [0，ξ]和t∈ [0, ∞) 固定，确定cs=Cfors≤ τ ∧T如果rτ∧t、 Xcτ∧T∈ [rk-1，rk]×[xk，xk+1]从τ中选择∧t在战略上，即-τ∧t=~css表示s>τ∧t、 显然，构建的策略C是可接受的。设φ是关于r的两次连续可微函数，对于x检验函数是一次连续可微函数，即V（r，x）≥ φ（r，x）表示所有（r，x）∈ R×R+和V（\'R，\'x）=φ（\'R，\'x）。由于φ足够光滑，我们得到了极限→0Ehe-U′rτ∧tφrτ∧t、 x+（u）- c） τ∧ T- φ（\'r，\'x）τ∧ ti=（u）-c） φx（\'r，\'x）+a（~b- \'r）φr（\'r，\'x）＋∧σφrr（\'r，\'x）- \'rφ（\'r，\'x）。（17） 此外，它适用于构造的策略C：φ（\'r，\'x）=V（\'r，\'x）≥ V＠C（\'r，\'x）≥ cEhZτ∧te-U\'rsdsi+Ehe-U′rτ∧TV（rτ）∧t、 Xcτ∧（t）- ε我≥ cZtEE-美国ds+Ehe-U′rτ∧tφ（rτ）∧t、 Xcτ∧t） 我- εEE-U′rτ∧T.因为，期望值EE-U′rτ∧T由于τ和ε的定义是任意的，所以有φ（\'r，\'x）≥ cZtef（右、南）ds+Ehe-U′rτ∧tφ（rτ）∧t、 Xcτ∧t） i.在下一步中，我们重新排列上述不等式中的项，并将其除以τ∧ t、 在上面的不等式yields0中，让t变为0≥ Φx（\'r，\'x）+a（~b）- \'r）φr（\'r，\'x）＋∧σφrr（\'r，\'x）- \'rφ（\'r，\'x）+sup0≤C≤ξc1.- φx（\'r，\'x）,这就产生了想要的结果。还有待证明V是一个亚解。在这里，像往常一样，我们用矛盾来证明。这意味着，我们假设V不是（14）在某个（\'r，\'x）处的一个解。特别地，存在一个q>0和一个C2,1（R×R+，R+）函数ψ，使得ψ（\'R，\'x）=V（\'R，\'x），ψ（R，x）≥ V（r，x）表示（r，x）∈ R×R+和L（ψ）（\'R，\'x）<-第二季度，someg在哪里∈ C2,1R×R+，R+L（g）（r，x）：=sup0≤C≤ξ~L（g）（r，x）~L（g）（r，x）：=ugx（r，x）+a（~b）- r） gr（r，x）+σgrr（r，x）+c1.- gx（r，x）.进一步定义ψ（r，x）=ψ（r，x）+q（x- \'x）+q（r）- “-r”）。