具有确定性和随机利率的确定性收入

那么，ψ∈ C2,1（R×R+，R+）和ψ（\'R，\'x）=V（\'R，\'x），ψ（R，x）≥ V（r，x）+q（x）- \'x）+q（r）- 对于所有人（r，x）∈ R×R+。此外，L（ψ）（\'r，\'x）=L（ψ）（\'r，\'x）<-第二季度。自ψ∈ C2,1（R×R+，R+），函数L（ψ）是连续的，因此可以用L（ψ）（R，x）<-（r，x）的q∈ B√2h（\'r，\'x）。W.l.o.g.假设r>0且0<h<兰德定义 :=e（`r+h）h/u`r-手ε=minnqh, qo。进一步假设C是任意容许策略，XCt=^Xt，τ的定义如上所述。注意，（rτ，^Xτ）∈ [r]- h、 \'r+h]×x- h、 因为路径是连续的。因此，我们得到v（rτ，^Xτ）≤ ψ（rτ，^Xτ）- ε .显然，L（ψ）rs，^Xs≥L（ψ）rs，^Xs.现在考虑函数ψ。它通过伊藤的公式成立-U′rτψ（rτ，^Xτ）- ψ（\'r，\'x）=Zτe-U¨rsn¨L（ψ）rs，^Xs- csods+～σZτe-U′rsψrrs，^XsdWs≤Zτe-U′rsL（ψ）rs，^Xsds-Zτe-U¨rscsds+¨σZτe-U′rsψrrs，^XsdWs。使用ψ（rτ，^Xτ）≥ V（rτ，^Xτ）+ε和L（ψ）（rs，^Xs）≤ -ε、 我们在这里-U′rτV（rτ，^Xτ）+ε- ψ（\'r，\'x）≤ -εZτe-U-rsds-Zτcse-U¨rsds+¨σZτe-U？rsψr（rs，^Xs）dWs。这尤其意味着rzτcse-U-rsds+e-U′rτV（rτ，^Xτ）- ψ（\'r，\'x）≤ - εZτe-U-rsds- εe-U′rτ+σZτe-U′rsψr（rs，^Xs）dWs。因为ψr（rs，^Xs）对于s是有界的∈ [0，τ]且τ为a.s.有限，上述随机积分的期望值为0。

我们可以估计上述不等式右边的项，如下所示-U\'rsdsi≤ 呃- H1.- E-（`r）-h） τ我≤\'r- h、 Ehe-U’rτi≥ Ehe-（\'r+h）τi≥ E-（`r+h）hu。（18） 因此，我们已经展示了nehzτcse-U-rsds+e-U′rτV（rτ，^Xτ）i- ψ（\'r，\'x）≤ε′r- H- εE-（`r+h）hu=-2ε′r- h、 同样的方法也适用于“r”≤ 0，只需更改（18）中的估计值即可。假设C={cs}现在是起点（\'r，\'x）的任意允许策略，那么以下估计成立：VC（\'r，\'x）=EhZτcse-U-rsds+Z∞τcse-U’rsdsi=EhZτcse-U-rsds+Z∞cs+τe-U\'rs+τdsi≤ EhZτcse-U-rsds+e-U’rτVrτ，XCτi、 现在，我们可以在上述不等式的两边建立所有可容许策略的上确界。特别是，对于每一个ε>0，都有一个可接受的策略\'C={\'C}，这样的策略是supcehzτcse-U-rsds+e-U’rτVrτ，XCτ我≤ EhZτ′cse-U-rsds+e-U’rτVrτ，X′Cτi+ε。设ε=εr-h、 我们得到nV（\'r，\'x）- ψ（\'r，\'x）≤ -ε′r- h、 这与假设ψ（\'r，\'x）=V（\'r，\'x）相矛盾。下一个结果是粘性解的唯一性。命题4.5假设u是HJB方程（14）的子解，v是上解，满足命题4.2，（15）和u（r，0）的条件≤ v（r，0）表示所有r∈ 然后它保持u（R，x）≤ v（r，x）在r×r+上。证明：假设有一对（r，x）∈ R×R+这样∞ > u（r，x）- v（r，x）>0。然后，有一个s>1，对于vs（r，x）=sv（r，x），它仍然保持u（r，x）-vs（r，x）>0。下面的估计是直接向前的：u（r，x）- vs（r，x）≤ ξZ∞ef（r，s）ds- sξZxξ-uef（r，s）ds- suZ∞xξ-uef（r，s）ds，这意味着∈ R有一个x∈ R+使得对于x>~x，它保持su（R，x）-vs（r，x）≤ 0

另一方面，由于函数f的性质，对于allx∈ R+1有limr→-∞呃-ba{u（r，x）-vs（r，x）}≤ 显然，函数VS是一个上解，使用命题4中的符号。2我们还得到了u（r，x）- vs（r，x）=u（r，x）- u（r，0）+u（r，0）- sv（r，x）≤xξe-min（r）-ba，0）u（a+b）麦克斯（r）-b、 0）+∧+ v（r，0）-sv（r，0）≤xξe-min（r）-ba，0）u（a+b）麦克斯（r）-b、 0）+∧+ (1 -s） ube-麦克斯（r）-ba，0）-σ2a。首先假设≤ b和r≤ 屋宇署（r）：=（s）- 1） （b+a）ubξ∧er-文学士-σ2a和A：=（r，x）∈ R+：x>d（R），R≤ B.请注意，函数d（r）是正的，并且随着r的增加而增加≤ b、 像往常一样，我们让m:=sup（r，x）∈阿尔-ba{u（r，x）- vs（r，x）}。特别是，我们知道∞ > M≥ 呃-ba{u（r，x）- vs（r，x）}>0。让（r）*, 十、*) 使M=u（r）*, 十、*) - vs（r）*, 十、*) （由于上述论点，它持有r*> -∞ 安德斯*< ∞) η>0和k的定义：=2sξu（a+b）∧H:={（r，q，x，y）：d（r）<x<y，d（q）<y<∞, -∞ < R≤ b、 r<q≤ b} ，fη（r，q，x，y）：=er-bau（r，x）- 情商-BAV（q，y）-η（x）- y）-kη（y）- x） +η，Mη：=sup（r，q，x，y）∈Hfη（r，q，x，y）。注意fη是连续的，这保证了（rη，qη，xη，yη）的存在∈其中H表示H的闭包，使得Mη=fη（rη，qη，xη，yη）。通过定义（r*, 十、*)它保持（r）*, R*, 十、*, 十、*) ∈因此，Mη≥ fη（r）*, R*, 十、*, 十、*) = 呃*-文学士u（r）*, 十、*) - vs（r）*, 十、*)-kη=er*-砰-kη。因此，我们可以得出结论，存在η*对于所有η>η，Mη>0*andlim infη→∞Mη≥ 呃*-砰。另外，很明显，因为VS在y中有界，所以它保持粘性→∞fη（r，q，x，y）=-∞.显然，fη在q中递减，这意味着我们可以假设rη=qη，即我们考虑（r，r，x，y）∈“H.代表（r，r，x，x）∈\'H和H>0我们有→0fη（r，r，x，x）- fη（r，r，x，x+h）h≤ sξu（a+b）∧- 因此，有一个ε>0，使得fη（r，r，x，y）>fη（r，r，x，x）表示y∈ （x，x+ε]和x∈ [d（r），∞).

为了你≥ ε+x一具有，与x和y的值无关：fη（r，r，x，y）=u（r，x）- vs（r，y）-η（x）- y）-kη（y）- x） +η≤ (ξ - su）Z∞ef（r，s）ds-ηε<0表示η>ξ-sεR∞ef（r，s）ds。因此，fη（r，r，x，x）≤ fη（r，r，x，x+ε）<0。出租人（r）：=（s）- 1） （b+a）ubξ（r）- b+λ）e-R-文学士-σ2aH:={（r，q，x，y）：d（r）<x<y，d（q）<y<∞, b<r<∞, b<q<r}对于r>b，也可以证明其唯一性。备注4.6确定性线性盈余和Ornstein-Uhlenbeck过程作为短期利率的问题似乎非常简单。然而，我们无法找到一个明确的解决方案来解决这个优化问题。证明了价值函数在r中是凹的，在x中是凸的，这表明最优消费策略应该是Barrier型的。但是，与几何布朗运动作为折扣因子的情况相比，计算与某种障碍策略对应的返回函数并不是那么容易。参考文献[1]Albrecher，H.和Thonhauser，S.：保险中红利p问题的最优性结果。拉克萨姆雷夫。R.阿卡德。西恩。意甲垫子。103（2），295–320（2009）[2]Amann，H.和Escher，J.：分析I，Birkh–auser Verlag，巴塞尔。（2002）[3]Azcue，P.和Muler，N.：克拉姆-伦伯格模型中的最优再保险和股息分配政策。数学《金融》杂志15261–308（2005）[4]博罗丁，A.N.和萨尔米宁，P.：布朗运动手册——事实和公式。Birkh–Ausergrag，巴塞尔。（1998）[5]Brigo，D.和Mercurio，F.：利率模型——理论与实践。斯普林格，海德堡。2.条件。（2006）[6]Cox J.C.和Huang C.F.：资产价格遵循效用过程时的最优消费和组合政策。《经济理论杂志》49，33–83（1989）[7]艾森伯格J.：再保险和投资对注资的最优控制。Bl.DGV FM31（2），329–345，（2010）[8]艾森伯格，J.，格兰迪斯，P。

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