具有确定性和随机利率的确定性收入

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英文标题：
《Deterministic Income with Deterministic and Stochastic Interest Rates》
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作者：
Julia Eisenberg
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider an individual or household endowed with an initial capital and an income, modeled as a deterministic process with a continuous drift rate. At first, we model the discounting rate as the price of a zero-coupon bond at zero under the assumption of a short rate evolving as an Ornstein-Uhlenbeck process. Then, a geometric Brownian motion as the preference function and an Ornstein-Uhlenbeck process as the short rate are taken into consideration. It is assumed that the primal interest of the economic agent is to maximise the cumulated value of (expected) discounted consumption from a given time up to a finite deterministic time horizon $T\\in\\R_+$ or, in a stochastic setting, infinite time horizon. We find an explicit expression for the value function and for the optimal strategy in the first two cases. In the third case, we have to apply the viscosity ansatz.
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中文摘要：
我们考虑一个拥有初始资本和收入的个人或家庭，将其建模为具有连续漂移率的确定性过程。首先，在短期利率演化为Ornstein-Uhlenbeck过程的假设下，我们将贴现率建模为零息票债券的价格。然后，以几何布朗运动为偏好函数，以Ornstein-Uhlenbeck过程为短速率。假设经济主体的首要利益是最大化从给定时间到有限确定性时间范围$T\\in\\R\\u+$的（预期）折扣消费的累积价值，或在随机环境下，无限时间范围。在前两种情况下，我们找到了值函数和最优策略的显式表达式。在第三种情况下，我们必须应用粘度ansatz。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Deterministic_Income_with_Deterministic_and_Stochastic_Interest_Rates.pdf (399.4 KB)

2022-5-11 04:15:01 上传

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关键词：确定性 Optimization Quantitative Game Theory consumption

具有确定性和随机利率的确定性收入Julia Eisenberg*维也纳理工大学经济数学方法研究所。我们考虑一个拥有初始资本和收入的个人或家庭，将其建模为一个具有连续漂移率的确定性过程。首先，我们将贴现率建模为零息债券的价格，假设短期利率演变为Ornstein-Uhlenbeck过程。然后，以年龄计量布朗运动为偏好函数，以Ornstein-Uhlenbeck过程为短速率。假设经济主体的主要剩余部分是最大化从给定时间到确定时间的（预期）贴现消费的累积价值∈ R+或者，在随机环境中，在有限的时间范围内。在前两种情况下，我们找到了价值函数和最优策略的明确表达式。在第三种情况下，我们必须应用粘度ansatz。关键词：最优控制，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，瓦西塞克模型，几何布朗运动，利率2010年数学主题分类：主要93B05次要49L20，49L251简介近年来，出现了大量关于股息，消费，注资，其中，回报函数定义为预期贴现值，贴现率或优惠率为常数。例如，与S chmidli[10]、Albrecher和Thonhauser[1]、Cox和Huang[6]、Eisenberg[7]协商。我们的目标不是回顾现有文献。

因此，我们仅参考上述出版物中的参考文献。在上述例子中，贴现率是一个常数，不依赖于时间，这使得它成为一个偏好率，在所考虑的模型中描述管理者的投资偏好。实际上，通常的做法是，经济模型假设一个恒定且严格正的优惠率，这意味着*电子邮件：jeisenbe@fam.tuwien.ac.atThe作者的研究得到了奥地利科学基金会的资助，该基金资助P26487“为当前和/或近期的遥远未来”项目。这一事实导致了对经济过程的描述发生了变化，更不用说对所考虑的时间段内市场闲置的不切实际假设了。这种模型的一个可能扩展是引入随机利率。模型的简化可以用两种方式来解释。第一种方法是将随机利率视为宏观经济市场变化的可能性，这将影响独家经济代理的消费行为。一个合适的例子是最近的美国“财政政策”，它仍然影响着美国所有个人和企业的收入。第二种方法是将利率的随机性解释为经济主体个人偏好变化的不确定性。例如，寒冷的天气基本上会影响农民家庭的收入。

这可能会导致“投资行为”发生相当大的变化：在家庭富裕的年代，今天的钱可能比明天的钱更受欢迎。但如果我们引入随机利率会发生什么呢？在精算数学中，由于保险系统发展的不确定性，保险实体的盈余通常通过随机过程建模：随机模型比确定性模型更接近真实过程。在一个有随机盈余的模型中加入一个随机利率将使优化问题复杂化，即使我们假设这两个过程是独立的。相比之下，确定性建模更易于计算。因此，首先，在本文的第一部分中，我们将盈余建模为具有连续漂移函数的确定性过程。此外，假设贴现函数是由Vasicek模型导致的即期汇率变化下，时间零点的纯贴现债券价格给出的。有关债券价格理论的详细描述，请参见Brigo and Mercurio[5，第58页]。在[8]Eisenber g中，Grandits和Thonhauser考虑了恒定偏好率下任意漂移函数的消费最大化问题。在那里，有可能建立一种算法来确定值函数。在目前的问题中，我们使用了一个类似的原则：从成熟度T开始，以相反的顺序计算价值函数和最优策略。首先，我们考虑限制性消费支付的情况，然后研究非限制性情况。由于限制支付的情况更加复杂，我们用一个例子来说明。

在一个注释中，我们讨论了任意确定漂移函数的问题。在本文的第二部分中，我们将盈余建模为一个具有常数drif t的确定性过程，但贴现函数现在是一个随机过程。首先，我们考虑被考虑的经济主体的消费与价格遵循几何布朗运动的阿斯托克有关的情况。然后，我们将短期利率建模为具有特定参数的O rnstein-Uhlenbeck过程。就在第一种情况下，可以确定最优策略和价值函数。在第二种情况下，我们必须应用粘度ansatz。此外，在第二种情况下，我们只考虑消费率受限的情况。必须单独考虑不受限制费率的情况，并将在我们未来的研究中进行研究。据你所知，利率理论是保险数学中一个未经修饰的领域，可以开辟许多研究可能性。其中一些在结束语中提到。2确定性偏好函数考虑s urplus过程，其中su rplus率由非负常数u：Xt=x+utasume给出，个人或家庭根据零息债券在时间零点的价格消费商品。s短期利率是一个随机量，由Vasicek模型给出。我们的目标是最大化折扣消费的累积价值，从给定时间到确定的时间范围T∈ R+。我们不允许消费导致毁灭，这意味着我们旅程的终点将永远不会结束。消耗过程C={cs}下的剩余过程是xct=x+ut-ZTCDS。我们称策略C={cs}可容许，如果cs∈ [0，ξ]和XCt≥ 0代表所有t∈ [0，T]。

对应于容许策略C={cs}的返回函数定义为VC（t，x）=ZTtEhe-Ursicsds+XCTEhe-UrTi，其中Urs=Rsrudu和{rs}是一个r=r的Ornstein-Uhlenbeck过程，即{rs}完全满足以下积分方程RT=re-在+b（1）处- E-at）+σe-atZteasdWs，其中r=r是过程的初始值，a，*σ>0，b∈ R是常数，{Ws}是标准布朗运动。在这里，由于Brigo和Mercurio[5]EE-乌尔斯表示零息债券（或纯贴现债券）的零价格，到期日s.Wet目标是最大化贴现消费的预期价值。V（t，x）=supCVC（t，x）。对应于该问题的HJB方程由VT+uVx+s up0给出≤C≤ξcEE-城市轨道交通- Vx= 0 .在Borodin和Salminen[4，第525页]中，我们找到了E[E]的封闭表达式-Urs]：E[E]-Urs]=expn- 学士学位-R-~ba1.- E-像+■σ4a2as+1- (2 - E-as）o、 图1：f（t）的可能开发场景。让σ：＝σ√2a和b:=~b-■σ2a，我们有-Urs]=expn- 学士学位-R- 文学士1.- E-像-σ2a（1）- E-as）o.（1）租赁基金：-学士学位-R- 文学士1.- E-像-σ2a（1）- E-as）。（2） 然后，HJB方程变成svt+uVx+s up0≤C≤ξcef（t）- Vx= 0 . （3） 根据参数选择，函数f（s）将具有不同的属性。2.1 f（t）的性质首先考虑f（t）的导数。f′（t）=-B-R- b+σaE-at+σae-2at。因此，为了确定f（t）的行为，替换e-考虑二次函数g（t）：=-B- （r）- b+σa）t+σat。很明显，g（t）是一条向上张开的抛物线。特别地，g（t）最多有2个0，u:D:=（r+b）-σa）+4σabu:=（r）-b+σa）-√D2σa（4）u:=（r）-b+2σa）+√D2σa.o如果D≤ 0，那么f（t）在[0，t]上增加如果D>0，那么我们必须考虑u<u的uand和uw。假设D>0。可能出现以下5种情况1。U≤ E-阿坦德大学≥ 1.然后，f（t）在[0，t]上递减。U≤ E-aTor u>1。在这种情况下，f（t）在[0，t]上增加。

U∈ （e）-在，1）和u≥ 1.那么，f（t）在[0，w]上减小，在（w，t）上增大，其中w:=-ln（u）a.（5）4。U≤ E-阿坦德大学∈ （e）-至少，1）。然后，f（t）在[0，w]和d上增加，其中w:=-ln（u）a.（6）5。u、 u∈ （e）-至少，1）。然后，f（t）在[0，w]上增加∪ （w，T]和（w，w）上的递减。f（t）的可能开发场景如图1所示。注2.1特别地，f（t）是上的内射(-∞, w） ，[w，w]和（w，∞), 因此，我们可以定义f的反函数，作用于上述一个区间：h:[f（w），1]→ (-∞, w） f（t）7→ t、 h:[f（w），f（w）]→ [w，w]f（t）7→ t、 h:[f（t），f（w）]→ （w），∞) f（t）7→ t、 在情况3中，我们只使用函数hon[f（0），f（w）]和hon[f（t），f（w）]。考虑到4，我们仅定义hon[f（w），f（0）]和hon[f（w），f（T）]。为了简单起见，我们引入：=h（f（T）），对于给定f（T）的情况4和5≤ f（0）；（7） t:=h（f（t）），对于给定f（t）的情况3和5≥ f（0）（8）或f（T）≥ f（w）对应。首先，我们将考虑支出受某个正常数ξ限制的情况，最后一部分我们将考虑无限制的情况。3零债券贴现的最优策略和价值函数我们只考虑第五种情况，其中f有一个最大值和一个最小值。上述其他情况也可以用类似的方式处理。3.1 ξ ≤ uξ≤ u，即使我们以最高税率支付，该过程仍为非负。因此，对于给定的一对（t，x）∈ [0，T]×R+我们必须比较ef（T）和ef（T）。最佳策略C*= {c*s} 然后是byc*s=（ξ，ef（t）≥ ef（T）0，ef（T）<ef（T）。（9） 然后，值函数由v（t，x）=ZTtef（s）c给出*sds+（x+ZTtu）- C*sds）ef（T）。（10） 特别是，它保持Vx（t，x）=ef（t）。

很容易检查，价值函数解相应的HJB方程（3）对于t和x是连续可微的。注意，在所有五种情况下，最优策略都不依赖于初始资本x.3.2ξ>u，这里，最大支付边界ξ超过漂移u。让wand wbe对应于（6）和（5）中定义的f（t）的最大点和最小点。注意如果f（w）≤ f（T）最好等到T，然后在那里支付所有费用。显然，相应的函数将解HJB方程（3）。现在假设f（w）>f（T），即T，见（8），已经定义好。如果t（7）存在，我们在区间[t，t]，[t，w]，[w，t）和[0，t]上应用反向算法，或者在区间[t，t]，[0，w]，[w，t）上应用反向算法，或者在区间[t，t]，[0，w]，[w，t]上应用反向算法，如果f（0）存在，我们构造了一个候选策略≥ f（T）。我们假设f（0）<f（T）。让我们先∈ [t，t]，然后，f（t）≤ f（T）表示所有T。T为)ct=0∈ [t，t]，也就是说，我们等到t，然后在那里付你所有的钱。相应的返回函数v（t，x）：=x+u（T）- （t）ef（T）显然在[T，T]×R+上解HJB方程（3）。对于t∈ [w，t）设ct=（ξ，x>0u，x=0，得到返回函数v（t，x）=ξRttef（s）ds+Vt、 x+（u）- ξ） （t）- （t）,xξ-u+t≥ tξRxξ-u+ttef（s）ds+uRtxξ-u+tef（s）ds+V（t，0），xξ-u+t<tddxV（t，x）=ef（T），xξ-u+t≥ 特氟醚t+xξ-u,xξ-u+t<t，这表明Vsolves HJB方程（3）。现在考虑一下t∈ [t，w）。策略将取决于dxv（w，x）的值。定义[t，w）×R+χ（t，x）：=infnu>0:f（t+u）>ft+u+x+uuξ- uo、 注意，函数χ（t，x）是一个定义良好的、关于tox和t函数的连续可区分函数。

它包含t+χ（t，x）≤ wand f（t+χ（t，x））=ft+χ（t，x）+x+μχ（t，x）ξ-u.对于t∈ [t，w）设ct=（ξ，χ（t，x）=00，χ（t，x）>0和相应的返回函数full filsv（t，x）=ξZtt+χ（t，x）ef（s）ds+Vw、 x+χ（t，x）ξ+（u）- ξ） （w）- （t）ddxV（t，x）=ef（T），x+χ（T，x）ξξ-u+t≥ 特氟醚t+x+χ（t，x）ξξ-u,x+χ（t，x）ξ-u+t<t。因此，由于χ（t，x）：ef（t）的定义，HJB方程中的关键条件成立-ddxV（t，x）=（ef（t）- ef（T）>0，x+χ（T，x）ξ-u+t>tef（t）- ef（t+χ（t，x））≤ 0，x+χ（t，x）ξξ-u+t≤ t、 结果表明，V在（t，w）×R+上解HJB方程。还有待考虑[0，t]。在那里，每一个t就有f（t）<f（t）。设ct=0，相应的r eturn函数在[0，t]×r+：V（t，x）=V（t，x+u（t）上- t） ）。很容易看出函数v（t，x）：=V（t，x），t∈ [t，t]V（t，x），t∈ [w，t）V（t，x），t∈ [t，w）V（t，x），t∈ [0，t）（11）对于x和t是连续可微的。命题3.1Ifξ≤ u，最优策略和价值函数分别在（9）和（10）中给出。如果ξ>u，则最优策略为C，如第3.2小节所述，其值在（11）中给出。证明：由于证明方法是众所周知的，我们只参考弗莱明和索纳[9]。接下来，我们将考虑无限制支付的情况，即ξ→ ∞.无限制支付无限制支付的情况非常简单。基本上，一小时可以等到当地的最高限额，然后在那里支付可用资本。相应的HJB方程为VT+uVx+supc≥0c{ef（t）- Vx}=0。再次考虑第f种情况（f有最大值和最小值），我们必须区分f（w）≥ f（T）和f（w）<f（T）。如果f（w）≤ 那么对于所有的T∈ [0，T]最好等到T，然后支付所有费用，作为价值函数x+u（T）- （t）ef（T）。现在假设f（w）>f（T）。

对于t∈ [t，t]，最好等到t，然后在那里支付所有费用：V（t，x）=x+u（T）- （t）ef（T）。对于t∈ [w，t]，立即支付初始资本，按照u直到t的利率支付，然后直到t，并在那里支付收集到的漂移：V（t，x）=xef（t）+uZttef（s）ds+V（t，0）。最后，对于t∈ [0，w]我们必须区分f（0）≥ f（T）和f（0）<f（T）。我们让f（0）<f（T），也就是德克萨斯主义者。尽管如此，t∈ [t，w]，必须等到最大值w:V（t，x）=x+u（w）- （t）ef（w）+V（w，0）.64x20070,1s0,20390,40501113图2：值函数V（s，x）。对于t∈ [0，t）一直等到t.V（t，x）=V（t，x+u（t- t） ）。由于证明方法是众所周知的，我们省略了进一步的解释，仅参考施密德利[10，第102页]。请注意，限制支付和非限制支付的反向算法都可以应用于任意连续可微分利率函数，例如正弦或余弦。示例3.2设置r=-0.2，b=-0.1，a=1，σ=1，u=2，ξ=4，T=4。因此，w=0.2611和w=2.0414，t=0.1134和t=0.4388。注意，它保持f（w）>f（4）>f（0）。对于（s，x）∈ [t，t]×R+，f在s中增加。我们一直等到t和p在这里出现。该区域的值函数由图E2中的右（黑色）部分给出。在[w，t]中，我们按最大可能的速率支付，直到图中的t，白色切片（右二）∈ [t，w），我们要么等待，直到t+χ（t，x）或s开始立即支付速率ξ，直到w：图2中左边的第二个切片。在黑色区域我们等待，在灰色区域我们支付。s的值函数∈ [0，t）由左s虱子给出。如fort∈ 我们在黑色区域等待，在白色区域付款。