关于与之相关的原动力值函数和对偶动力值函数的正则性

类似地，我们可以展示ZT（Z）的最小值-1τ（y）），所以问题（7）的极小极大鞅测度的条件密度为zt（Z）-1τ（y））对于任何t∈ [0，T]函数V′（T，x），x∈ R和Zt（y），y>0是连续的，并且Zt（y）的逆存在，从（10）我们有P-a.s.Z-1τ（V′（τ，x））=V′（x）-1τ（x））（24），与（9）一起表示条件对偶关系（20）。还要注意，由于Zt（y）Xt（x）是一个鞅（见[13]中的定理1），通过x（x）和Z（y）t的连续性，过程（Zt（V′（x））-1τ）Xt（X-1τ（x）），t≥ τ） 这将是一个广义鞅，通过等式（24）这相当于（21）。3原问题和对偶问题的值过程的分解项之间的关系在本节中，除了过滤F的连续性之外，我们假设任何正交局部鞅l表示为关于给定连续局部鞅M的随机积分⊥. 因此，值过程V（t，x）允许分解V（t，x）=V（0，x）- A（t，x）+Ztа（s，x）dMs+Ztа⊥（s，x）dM⊥s、 其中A（t，x）是任意x的递增过程∈ R、а和а⊥是M和M吗⊥可积可预测过程。由于对偶问题的值processeV（t，y）是每个y>0的子鞅，因此它可以分解为aseV（t，y）=eV（0，y）+eA（t，y）+Zteа（s，y）dMs+Zteа⊥（s，y）dM⊥s、 （25）带M和M⊥可积可预测过程eа和eа⊥和一个递增的过程a（t，y）。已知原问题和对偶问题的价值过程由等式v（t，-eV′（t，y））=eV（t，y）- 是的（t，y）。（26）我们感兴趣的是分解项A、φ和φ之间的关系⊥带ea、eа和eа⊥分别地定理2。假设过滤F是连续的，并且与M局部鞅L正交的任何部分都表示为与M局部鞅M相关的随机积分⊥.

假设V（t，x）是引入的半鞅（即满足条件a）-c）的正则族，并且eV′（t，y）是一个分解为eV′（t，y）=eV′（0，y）+eB（t，y）+Zte~n′（s，y）dMs+Zte~n′的半鞅⊥（s，y）dM⊥s、 （27）其中eb（t，y）是任何y的有限变化过程。那么（eV（t，y），y>0）是半鞅的正则形式，且eа（s，y）=а（s，-eV′（s，y）），uhMia。e、 ，（28）e~n⊥（s，y）=~n⊥（s），-eV′（s，y）），uhMia。e、 ，（29）eA（t，y）=Zta（s，-eV′（s，y））dhMis-Zt（ν′s，-V′（s，y）））V′（s，-eV′（s，y））dhMis--Zt（ν′）⊥（s），-V′（s，y）））V′（s，-eV′（s，y））dhM⊥是（30）除满足BSPDEeV（t，y）=eV（0，y）+Zt外yλse~n′（s，y）-yλseV′（s，y）dhMis+Zt（ν′）⊥（s，y）eV′（s，y）dhM⊥is+Zteа（s，y）dMs+Zteа⊥（s，y）dM⊥s、 eV（T，y）=eU（y）。（31）Proo f.使用对偶关系（26）和It^o-Ventzel公式（参见[7]或[15]），我们得到了v（t，-eV′（t，y））=V（0，-eV′（0，y））+Ztа（s，-eV′（s，y））dMs+Ztа⊥（s），-eV′（s，y））dM⊥s--ZtV′s，-eV′（s，y））e~n′（s，y）dMs-ZtV′s，-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）dM⊥s-+中兴通讯(s)，-eV′（s，y））dhMis-ZtV′s，-eV′（s，y））deB（s，y）++ZtV′（s，-eV′（s，y））eа′（s，y）dhMis++ZtV′（s，-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）dhM⊥是-Zt~n′s，-eV′（s，y））eа′（s，y）dhMis--Zt~n′⊥（s），-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）dhM⊥is==eA（t，y）+中兴通讯（s，y）dMs+中兴通讯⊥（s，y）dM⊥s-- 是（t，y）- yZte~n′（s，y）dMs- yZte~n′⊥（s，y）dM⊥s、 （32）自V′以来，-eV′（s，y））=y，从（32）我们得到了，-eV′（s，y））dMs+Ztа⊥（s），-eV′（s，y））dM⊥s+Zta（s，-eV′（s，y））dhMis+ZtV′（s，-eV′（s，y））（eа′（s，y））dhMis++ZtV′，-eV′（s，y））（e~n′⊥（s，y））dhM⊥是-Zt~n′s，-eV′（s，y））e~n′（s，y））dhMis--Zt~n′⊥（s），-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）dhM⊥is==eA（t，y）+中兴通讯（s，y）dMs+中兴通讯⊥（s，y）dM⊥s

（33）将（33）中的鞅部分相等，我们得到等式（28）和（29）。因为Ceev（t，y）是两倍可微的andeV′（t，y）=-V′（t，-eV′（t，y）），（34）我们有eа（s，y）和eа⊥（s，y）也是可区分的，且，-eV′（s，y））eV′（t，y）=~n′（s，-eV′（s，y））V′（t，-eV′（s，y）），uhMia。e、 ，（35）eа′⊥（s，y）=~n′⊥（s），-eV′（s，y））eV′（t，y）=~n′⊥（s），-eV′（s，y））V′（t，-eV′（s，y）），uhM⊥伊莉亚。e、 （36）因此，-eV′（s，y））e~n′（s，y））=V′（s，-eV′（s，y））（e~n′（s，y）），uhMia。e、 ，~n′⊥（s），-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）=V′s，-eV′（s，y））（e~n′⊥（s，y）），uhM⊥伊莉亚。e、 将（33）中的有限变量部分相等，我们推断等式（30）成立。现在让我们展示EV（t，y）满足BSPDE（31）。由（13）可知，a（s，x）=（λsV′（s，x）+~n′（s，x））V′（s，x）。因此，使用等式V′s，-eV′（s，y））=y，（34）和（35）Zta（s，-eV′（s，y））dhMis=Zt（yλs+~n′（s，-eV′（s，y）））V′（s-,eV′（s，y））dhMis==Ztyλse~n′（s，y）-yλseV′（s，y）dhMis+Zt（φ′s，-V′（s，y）））V′（s，-eV′（s，y））dhMis。这（和（30）一起）意味着ea（t，y）=Ztyλse~n′（s，y）-yλseV′（s，y）dhMis+Zt（ν′）⊥（s，y）eV′（s，y）dhM⊥是（37）现在，（25）和（37）意味着EV（t，y）满足（31）。评论由（25）、（30）和（34）可知，EV（t，y）满足[4]中导出的前向SPDE，在这种情况下，采用以下形式EV（t，y）=Zta（s，-eV′（s，y））dhMis+Zt（~n′（s，-eV′（s，y））eV′（s，y）dhMis+Zt（ν′）⊥（s），-eV′（s，y））eV′（s，y）dhM⊥is++Zte~n，-eV′（s，y））dMs+中兴通讯⊥（s），-eV′（s，y））dM⊥s4根据建议1得出的最佳财富倒流的微分方程，如果过滤F是连续的，且假设1-3满足，则适用的逆X-存在最优财富过程的1t（x）。

在更强的条件下，我们将推导逆过程X-1t（x）一个随机微分方程（SDE），用于显示V（t，x）和V′（t，x）的有界变差部分相对于平方特征<S>的绝对连续性。对于随机过程ξt（x）乘ξ′t（x）（或ξt（x））我们表示相对于x的导数，uhSi表示对hSi的Dolean度量，即[0，t]×上被测量的hsidpOhm. 如果F（t，x）是一个半马氏格族，则rtf（ds，ξs）表示广义随机积分（见[7]），或[2]中的随机线积分。如果F（t，x）=xGt，其中gt是一个半鞅，那么广义随机积分与通常用byRTξsdGsor（ξ·G）t表示的积分一致。现在我们将推导出一个关于最优财富ψt（x）=x的逆的SDE-式中的1t（x）ψt=σt（ψt）dSt+ut（ψt）dhSit，ψ=x，（38），其中σt（z）=-πt（z）X′t（z），ut（z）=2X′t（z）πt（z）X′t（z）′.提议2。设X′t（X），π′t（X）存在uhSi-a.e.并且是关于XuhSi的局部lipschitz函数-a、 e。。那么SDE（38）或等价的ydψt=-πt（ψt）X′t（ψt）dSt+π′t（ψt）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit-X′t（ψt）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit，（39）ψ=X（40）存在唯一的最大解，且与X-1t（x）。证明：SDE（38）在τ（x）之前允许唯一的最大解≤T，其中|ψτ（x）-| = ∞ 如果τ（x）<T（见[7]）。应用Ito-Ventzel公式计算Xt（ψt）≡ X（t，ψt）（见[7]或[15]）并使用tψt系数（39），我们得到dx（t，ψt）=X（dt，ψt）+X′（t，ψt）dψt+X′（t，ψt）dhψit+dZ·X′（dr，ψr（X）），ψ（X）t=πt（ψt）dSt+X′t（ψt）[-πt（ψt）X′t（ψt）dSt+π′t（ψt）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit-X′t（X）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit]+X′t（X）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit-π′t（ψt）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit=0，ψ（X）=X。因此X（t，ψt（X））=X在[0，τ（X））。因为|X-1τ（x）（x）|<∞, 我们有τ（x）=TP-a、 s.和ψt（x）=x-1t（x）。备注1。设πt（x）=Ht（Xt（x））。

然后dψt=-Ht（Xt（ψt））X′t（ψt）dSt+H′t（Xt（ψt））Ht（Xt（ψt））X′t（ψt）dhSit-X′t（ψt）Ht（Xt（ψt））X′t（ψt）dhSit。使用等式Xt（ψt（x））=x，x′t（ψt（x））=ψ′t（x），和-X′t（ψt（X））X′t（ψt（X））=ψ′t（X）ψ′t（X）我们得到了线性部分SDE（线性PSDE）dψt（X）=-Ht（x）ψ′t（x）dSt+H′t（x）Ht（x）ψ′t（x）dhSit+Ht（x）ψ′t（x）dhSitor散度形式为dψt（x）=-Ht（x）ψ′t（x）dSt+（Ht（x）ψ′t（x））′dhSit。让我们定义马丁加随机场SM（t，x）=E[U（XT（x）| Ft]，M（t，x）=E[U′（XT（x）|Ft]。提议3。假设命题2的条件是满足的。i）如果M（t，x）是与x有关的两个连续可差的时间，那么V（t，x）=M（t，ψt（x））的有限变量部分相对于hSi是绝对连续的。ii）如果M（t，x）对x是两次连续可微的，那么V′（t，x）是一个特殊的半鞅，且有限变分pa r tof V′（t，x）=M（t，ψt（x））对hSi是绝对连续的。此外，V′（t，x）允许分解V′（t，x）=V′（0，x）-Zta′（s，x）dhMis+Ztψ′（s，x）dMs+L′（t，x）。（41）Proo f.i）根据o pt imality原理，V（t，Xt（x））是一个巧妙的输入，因为V（t，x）=U（x），我们得到V（t，Xt（x））=E[U（Xt（x））|Ft]=M（t，x）。因此，通过对偶关系（9）M′（t，x）=V′（t，Xt（x））x′t（x）=Zt（y）x′t（x）（42）是鞅，而letM′（t，x）=V′（x）+Zthr（x）dMr+Lt（x），L（x）⊥M′（t，x）的GKW分解。从（39）开始，我们有Z·M′（dr，ψr（x）），ψ（x）t=-Zthr（ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））dhSir。（43）因为V（t，x）=M（t，x-1t（x）），通过伊藤-文策尔公式，我们得到V（t，x）=V（0，x）+ZtM（ds，ψs）+ZtM′（s，ψs）dψs（44）+ZtM′（s，ψs）dhψ是+Z·M′（dr，ψr（x）），ψ（x）（39）和（43）的三角视图可以验证（44）的所有有限变量都是关于hSi的积分。

即- A（t，x）=ZtM′（r，ψr（x））π′r（ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））-X′r（ψr（X））πr（ψr（X））X′r（ψr（X））dhSir+ZtM′（r，ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））- hr（ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））先生。ii）由（9）和（10）可知，M（t，x）=E[U′（XT（x））|Ft]=E[ZT（y）|Ft]=ZT（y）=V′（t，XT（x）），（45），这（与（42）一起）意味着M和M是相关的sM′（t，x）=M（t，x）x′t（x）（46）和V′（t，x）=M（t，x）-1t（x））。由（45）可知，M′（t，x）=Z′t（y）V′（x）是鞅，且Z·M′（dr，ψr（x）），ψ（x）t=-Zt′hr（ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））dhSir，（47）其中m′（t，x）=V′（x）+Rt′hr（x）dMr+\'Lt（x），\'L（x）⊥M是M′（t，x）的GKWdecomposition。因此，伊藤-文策尔公式意味着v′（t，x）=M（t，x）-1t（x））是一个特殊的半鞅，与i）类似，我们可以证明V′（t，x）的有限变分部分相对于hSi是绝对连续的。因此，V′（t，x）可分解为asV′（t，x）=V′（0，x）+Ztb（r，x）dhMir+Ztg（r，x）dMr+N（t，x），（48）对于任意x的局部mart-ingale N（t，x）正交t-o-M∈ R和Mand hMi可积过程分别为g和b。该命题的It^o-Ventzel公式和条件也意味着b（r，x）和g（r，x）在x处是连续的。因此，将方程（48）与todx（在有限区间内）积分，并使用随机Fubini定理（考虑分解（11）），5完全市场的情况在本节中，对于完全市场的情况，我们提供了效用函数U的充分条件，以保证SPDE（13）解的存在。此后，我们将假设市场是完整的，即dQ=ZTdP，其中ZT=ET(-λ·M）是唯一的鞅测度。LetR（x）=-U′（x）U′（x），R（x）=-U′′（x）U′（x），x∈ R

（49）我们将使用以下条件之一：r1）U是三次可微的，R（x）有界远离零且不完整，R（x）有界且Lipschitz连续。r2）U是四次可微的，唯一鞅测度的密度是有界的。引理2。假设市场是完全的，条件r1）是满足的，那么最优财富XT（x）是二次可微的，并且导数x′T（x），x′T（x）是有界的且Lipschitz连续的。Proo f.由于eU（y）和U（x）是共轭的，因此eU（y）也是三次可微的andeU′（y）=-U′（x），eU′（y）=-U′′（x）（U′（x）），y=U′（x）。（50）因此，函数B（y）和B（y）也是有界的，其中B（y）=yeU′（y）=1/R（x），B（y）=yeU′（y）=R（x）/R（x）（51）。这意味着Eu（yZT）的二阶和三阶导数是有界的，因此函数ev（y）=Eu（yZT）是三次可微分的andeV′（y）=EQeU′（yZT）ZT。因为ev（y）和V（x）是共轭的，所以V（x）也是可微分的三倍。在这种情况下，对偶关系（9）采用的是以下公式‘（XT（x））=yZT，XT（x）=-eU′（yZT），y=V′（x）。（52）这种关系意味着函数XT（x）对于所有ω都是两倍可微的∈ Ohm′= （ZT>0）与P(Ohm′) = 1.对（52）中的第一个等式进行微分，我们得到了t hatU′（XT（x））x′t（x）=V′（x）ZT，（53）U′（XT（x））（x′t（x））+U′（XT（x））x′t（x）=V′（x）ZT。（54）从m（52）和（53）得到x′T（x）=V′（x）V′（x）U′（XT（x））U′（XT（x））。根据条件r1）和命题1.2f[11]c≤ -V′（x）V′（x）≤ c、 因此，这意味着X′T（X）是有界的，尤其是rcc≤ X′T（X）≤cc，（55）式中，cand care常量fr om（14）。比较方程（53）和（54），我们得到了x′T（x）+U′′（XT（x））U′（XT（x））（x′T（x））=V′（x）V′（x）x′T（x）。

（56）由于EQX′T（x）=1和EQX′T（x）=0，对方程（56）中的度量Q进行期望，我们得到V′′（x）V′（x）=eq′（XT（x））U′（XT（x））（x′T（x））（57），这与（55）和条件r1）一起意味着V′（x）V′（x）V′（x）是有界的。因此，从（56）可以看出X′T（X）也是有界的，因此X′T（X）是Lipschitz连续的。因为有界Lipschitz连续函数的乘积是Lipschitz连续的，所以从（57）可以看出V′（x）V′（x）是Lipschitz连续的，（56）意味着x′T（x）也是Lipschitz连续的，因为（56）中的所有项都是有界的和Lipschitz连续的。引理3。假设市场完全且条件r2）满足，则最优财富XT（x）是三次可微的，x′T（x）是严格正的，并且导数x′T（x）、x′T（x）和x′T（x）在每个紧[a，b]上一致有界∈ RProo f.由于U（x）和U（y）是共轭的，条件r2）意味着eu（y）也是四次可微的，并且U（yZT）的导数对于任何y都是有界的∈ R、 因此，函数ev（y）=EeU（yZT）是四倍可微分的。那么V（x）也是四次可微的，因为V′（x）是-eV′（y）。因此，对偶关系xt（x）=-eU′（V′（x）ZT）意味着最优财富XT（x）是可微的三倍，并且导数x′T（x）、x′T（x）和x′T（x）在每个紧[a，b]上有界∈因此导数X′T（X），X′T（X）满足局部Lipschitz条件。此外，X′T（X）=-V′（x）ZTeU′（V′（x）ZT））>0，因为V′（x）<0和u′（y）>0。推论1。过程（X′t（X），（t，X）∈ [0，T]×R）允许持续修改。因为X′t（X）是Q-鞅，通过Doob不等式和中值定理得到≤T|X′T（X）- X′t（X）|≤ cEQ|X′T（X）- X′T（X）|≤ c | x- x | EQsupα∈[0,1]|X′T（αX+（1）- α） 十）|≤ c | x- x |对于某些常数c，c。

根据K-olmogorov定理，映射器 十、→ X′′·X（X）∈ C[0，T]允许连续修改，这意味着X′T（X）相对于变量（T，X），P的连续性-a、 s。。提议4。假设市场是完整的，并且满足条件r1）或r2）中的一个。那么，对于所有t，P，最优财富Xt（x）、最优策略πt（x）（uhSi-a.e.）、鞅流M（t，x）和M（t，x）在x处是连续可差的两倍-a、 方程（39）的系数满足局部Lipschitz条件。Proo f.首先假设条件r1）满足。根据表2，最优财富XT（x）是两倍可微的，并且导数x′T（x），x′T（x）是有界的且Lipschitz连续的。为了证明π′（x）的存在性，我们使用分解x′T（x）=1+RTπ（x）rdsr和一些可预测的S-可积被积函数π（1）（x）和不等式eqztπ（1）t（x+ε）- π（1）t（x）dhSit=EQhX′（x+ε）- X′（X）iT=EQ（X′T（X+ε）- X′T（X））≤ εEQmax0≤s≤1|X′T（X+sε）|≤ εConst，根据Ko-lmogorov定理，π（1）（x）相对于xuhSi-a.e是连续的。注意，如果满足条件r2），则我们认为π（1）（x）在R的每个紧度上存在uhSi-a.e连续修正，这意味着在整个实线上存在连续修正。因此，通过随机Fubini定理（见[15]）x- x+ZT（πr（x）- πr（x））dSr=XT（x）- XT（x）=ZxxX′T（x）dx=x- x+ZTZxxπ（1）r（x）dxdSrandπr（x）- πr（x）=Rxxπ（1）r（x）dxuhSi-a.e。。因此，对于所有x P，π（1）（x）=π′（x）uhSi-a.e.和x′T（x）=1+ZTπ′r（x）dSr（58）-a、 s。。它来自于（58）和f，来自于Fubini定理thatXt（x）- Xt（x）=x- x+Zt（πr（x）- πr（x））dSr=x- x+ZtZxxπ′r（x）dxdSr=ZxxX′t（x）dx对于任何x≥ xP-a、 [11]中的引理A3表示，对于每个固定的t，存在（Xt（x），x）的修正∈ R） 这对于勒贝格测度dx是绝对连续的。

自（X′t（X），t∈ [0，T]）是Qmartingale | X′T（X）- X′t（X）|≤ EQ（|X′T（X）- X′T（X）|/英尺）≤ C | x- x |（59）对于任何x≥ xP-a、 引理2和推论1暗示存在Ohm′ Ohm, P(Ohm′) = 1，使得每个ω∈ Ohm′不平等性（59）对所有人（t，x）来说都是充分的。由于EX′T（x）=0且市场是完全的，所以对于一些可预测的S-可积被积函数π（2），我们有x′T（x）=RTπ（2）r（x）dsr。与上述类似，我们可以证明π（2）（x）在xu<S>-a.e.处是连续的，π（2）（x）=π′（x）uhSi-a.e.因此，x′t（x）允许表示x′\'t（x）=Ztπ′r（x）dSr。同样，我们可以证明，我们可以选择两倍可微的Xt（x）的一个修正，使得x′（x）是Lipschitz连续的。如果条件r2）已满，而不是r1），则X′（X）将满足局部Lipschitz条件。因此，在这两种情况下（即，如果条件r1或r2满足），方程（39）的系数将是局部Lipschitz连续的。由于市场是复杂的（t，x）=V′（x）zt，很明显m（t，x）是连续可微的两倍。此外，等式（46）意味着M（t，x）在x处也是两次连续可微的。定理3。假设市场是完整的，并且满足条件r1）或r2）中的一个。然后条件a）-e）完全满足，价值函数V（t，x）满足BSP DE（13）。事实证明，很明显，B（y）和B（y）（由（51）定义）的有界性意味着双值函数ev（t，y）=E（eU（yZTZt）/Ft）是连续可微分的两倍。