关于与之相关的原动力值函数和对偶动力值函数的正则性

因为v′（t，x）=-eV′（t，y），y=V′（x），值函数V（t，x）也是两次连续可微的，因此条件a）已满。从命题4可以看出，在存在性假设下，命题2和命题3的所有条件都是满足的，因此这些命题简单地说，V（t，x）满足条件b）和条件c），因此V（t，x）是一个正则半鞅族。让我们证明，对于任何t，最优性原则（见[10]）也满足条件e）∈ [0，T]过程（V（s，Xs（T，x）），s≥ t） 是一个鞅，其中Xs（t，x）=x+Rstπu（t，x）dsui是条件优化问题（13）的解。这意味着P-a.s.V（t，x）=E（V（s，Xs（t，x））/Ft。（60）另一方面，再次使用最优性原则，我们有V（t，Xt（x））=E（V（s，Xs（x））/Ft，并在这个等式中替换最优资本Xt（x）wegetV（t，x）=E（V（s，Xs（x））的逆-1t（x））/Ft）。（61）因为对于任何t函数（V（t，x），x∈ R） 是严格凸的，比较（60）和（61）我们得到P-a.s Xs（t，x）=Xs（x-1t（x））。通过x的连续性（t，x）-1t（x）作为SDE（39）的解，我们得到条件e）是满足的。因此，定理3.1 fr[10]的所有条件都是满足的，这意味着V（t，x）是BSP DE（13）的解。推论假设满足定理3的条件，则过程v（t，y）=E（eU（yZTZt）/Ft），t∈ [0，T]满足BSPDE（31）。根据定理2，有必要验证过程v′（t，y）=E（ZTZteU′（yZTZt）/Ft∈ [0，T]是一个特殊的半鞅。乐视电视（t.y）=E（ZTeU′（yZT）/Ft）。很明显，ev′（t，y）=ZtV（t，yZt）。但是通过对偶关系（9）V（t.y）=E（ZTeU′（yZT）/Ft）=-ZtXt（x）和mart ingale场V（t.y）在命题4上是可区分的两倍。

因此，It^o-Ventzel公式暗示ztv（t，yZt）是一个特殊的半鞅，因此过程v′（t，y）也是如此。参考文献[1]F.Bellini和M.Fritelli，关于极小极大鞅测度的存在性，数学。《金融学》第12期（2002年），第1期，第1-21期。[2] R.Chitashvili，《受控随机过程理论中的鞅思想》。概率论和数学统计。过程。4thusr Jap。症状。，第比利斯，1982年，数学课堂讲稿。1021年，73-92年，柏林斯普林格等地，1983年。[3] U.Horst，Ying Hu，P.Imkeller，A.Reveillac和J.Zhang，《预期效用最大化的前向-后向系统，随机过程及其应用》，第124卷，2014年第5期，第1813-1848页[4]N.El Karoui和M.Mrad，两个可解SDE和非线性效用随机PDE之间的精确联系，暹罗金融数学杂志。第4卷第1期（2013），69 7-736。[5] D.Kramkov和M.Sirbu，关于不完全市场最优投资问题中价值函数的两次可微性。《应用概率年鉴》，第16卷，第3期（2006），第13 52-1384页。[6] D.Kramkov和W.Schachermayer，效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资。《应用概率年鉴》，第9卷，第9期，（1999），904-950。[7] H.Kunita，《随机流动和随机微分方程》，剑桥大学出版社，（1990）[8]M.Mania和R.Tevzadze，《反向随机偏微分方程和不完全对冲》，国际理论与应用金融杂志，第6卷，第7期，（200 3），663-692页。[9] M.Mania和R.Tevzadze，反向随机偏微分方程与效用最大化和套期保值有关。鞅理论及其应用，J.数学。Sci。《纽约》153（2008），第3291-380号。[10] M.Mania和R.Tevzadze，《与效用最大化问题相关的反向随机偏微分方程》，格鲁吉亚数学。期刊，第卷。

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