用选择的公理快速致富

在第2节的连续情况下（ω不一定是正的），可预测的正资本过程的概念等同于正资本过程的概念，但s完全可预测的正资本过程的概念，即使如前所述，也是无用的：同样，任何这样的过程都是常数。定理2和3表明，唯一的非平凡部分Ohm （就ofP的标志而言）是Ohm新界：=ω ∈ Ohm | 我-ω6= , I+ω=.也就是说，P（E）（如果ω ∈ E:var（对数ω）<∞=P（E）∩ Ohm否则。定理2和下面的结果（也将在第5节中得到证明）表明，这部分真的不是平凡的：它有上概率1的子集和上概率0的非空子集（如任何单态）。定理4。布景Ohmn为高概率1。此外，Pω ∈ Ohm | 我-ω={t}，I+ω== 每t 1（15）∈ （0,1）.备注6.以下变量定义（7）通常有用：var+（f）：=supnXi=1（f（ti）- f（ti）-1） ）+，（16）其中u+：=u∨ 0; 我们将允许f:[0，1]→ [-∞, ∞). 使用这个定义，（8）可以简化（参见[13，第2节末尾]）toP（{ω}）=e- var+（logω），（17）在这种形式下，对于任何正的c`adl`agω，等式为真（允许infω=0）。（9）-（12）的修改版本为：var+（f，t-) := inft\'∈[0，t）var+f|[t′，t], （18） var+（f，t+）：=inft\'∈（t，1]var+f|[t，t\'], （19） J-ω:=T∈ [0,1]|var+（对数ω，t-) = ∞ （0,1]，（20）J+ω：=T∈ [0,1]|var+（对数ω，t+）=∞ [0，1）。（21）如果我们用var+替换var的所有中心，用J替换I的所有中心，引理1、定理3和定理4将继续成立。备注7.在这句备注中，我们允许价格路径ω取零值。

重新定义Ohm 作为所有正c`adl`ag函数的集合ω：[0,1]→ [0, ∞), 考虑到Ohm 分成以下三个子集：A:={ω∈ Ohm | infω>0}，B:={ω∈ Ohm | T∈ [0，1]：符号ω=1[0，t}，C:=Ohm \\ （A）∪ B） ，签名u：=1如果u>00如果u=0-如果u<0，则为1。换句话说，A是Ohm 正如本节主要部分所定义的，B是所有ω的集合∈ Ohm 在某个时间点t变为零，然后再也不会恢复，C是所有ω的集合∈ Ohm 这样ω（t）-) ∧ ω（t）=0和ω（t）>0表示某些t<t。定理3和4，如最初所述或在前面的注释中所修改的，描述了A的子集的P的符号。我们可以忽略C:P（C）=0中的pric e pa，因此，对于任何e Ohm,P（E）=P（E）∩ （A）∪ B） ）。在这句话的其余部分，我们不仅允许f:[0，1]→ [-∞, ∞) 在（16）、（18）和（19）中，但是一个lso是任意ω∈ Ohm （对于Ohm) 在第（20）至（21）条中。定理3将继续适用于ω∈ A.∪ B如果我们用var+J替换var（如第5节给出的相同参数所示）。公式（15）在公式4中可以重写ω ∈ A | J-ω={t}，J+ω== 1.4正向价格pathsLet us现在重新定义Ohm 是所有正函数的集合ω：[0，1]→ [0, ∞)满足infω>0（无任何连续性要求）。对自适应进程、停止时间等的定义仍与第2节相同。定理3和定理4仍然成立，如下一节中相同的论点所示。注释4仍然成立，对可预测和强可预测的正资本过程有相同的定义。备注7仍然适用Ohm 所有正函数的集合ω：[0,1]→ [0, ∞).定理的5个证明下一个结果（引理2）适用于所有Ohm 在第2-4节中考虑。订一份好的订单 属于Ohm, 这是由泽梅洛定理（选择公理的另一种形式；参见[8，定理5.1]）所存在。

设ωa，其中ω∈ Ohm 还有∈ [0,1]，成为-小元素Ohm 这样ωa |[0，a]=ω|[0，a]。直观地说，使用ωaas，在时间a对ω的预测是Ockham的raz或的立场：在所有与可用数据ω|[0，a]兼容的假设中，我们选择s implest one，其中简单性是通过孔森井序来衡量的。对于任何ω∈ Ohm setWω：=nt∈ [0, 1] | t′∈ （t，1）：ωt′6=ωto=nt∈ [0, 1] | t′∈ （t，1）：ωt′ ω至=T∈ [0, 1] | t′∈ （t，1）：ωt|[0，t′]6=ω|[0，t′]（22）（尤其是1）∈ Wω）。以下引理直观地表明，对未来的短期预测通常是可能的。引理2。1.集合Wω的序为≤. （因此，它的每个点在右边是孤立的，这意味着Wω是可数的，并且没有稠密的。）2.如果没有∈ [0，1]\\Wω，存在t′>t，使得ωt|[t，t′]=ω|[t，t′）。如果没有∈ [0，1），t这里存在t′>t，使得ωs|[t，t′]=ω|[t，t′对于所有的s∈ （t，t′）。引理2的第一部分非正式地说，集合Wω是s mall。第二部分说，在小集合Wω之外的每个时间点t，输出ωtas的Ockham预测系统的预测是正确的（在一些非平凡的时间间隔内）。第三部分说，即使在Wω中的时间点t，Ockham预测系统在时间t之后立即变得正确（在同样弱的意义上）。让我们首先检查Wω的有序性≤. 补充说明Wω元素有一个严格递减链t>t>。然后我们有ωt ωt · · · , 这与 作为一个良好的秩序。每点t∈ Wω\\{1}在右边是孤立的，因为Wω∩ （t，t′）=, 当et′是t的后继者时。因此，Wω不是稠密的。要检查Wω是否可计算，请映射每个t∈ Wω\\{1}与区间（t，t′）中的nal数之比，其中t′是t的后继数；这个映射是一个注入。由于第2部分是显而易见的（并且基本上是在第（22）部分中断言的），让我们检查第3部分。假设t∈ [0, 1).

所有ωs，s的集合∈ （t，1）有一个最小的元素ωt′，其中t′∈ （t，1）。需要注意的是，对于所有的s，ωs=ωt′∈ （t，t′）。备注8。人们可能会猜测，对于任何一个t∈ Wω\\{1}，函数s7→ ωsdoes不依赖于s∈ （t，t′），其中t′是t的继承者，而这句话对Ohm = C[0，1]，简单的例子表明它通常是错误的：见附录A中的引理5.5.1定理1对每对有理数（A，b）的证明，使得0<A<b<1 fix A严格正权重wa，b>0，使得pa，bwa，b=1，总和覆盖所有这些。对于每一对（a，b），我们将定义一个正的资本过程Ka，b例如Ka，b=1和Ka，bb（ω）=∞ 当ω|[a，b]=ωa |[a，b]和ω|[a，b]不是常数时。让我们检查以下过程：=Xa，bwa，bKa，b（23）将实现我们的目标（6）。让ω∈ Ohm c是最大的t∈ [0，1]使得ω|[0，t]是常数（通过ω的连续性得到上下限）。假设ω不是常数，我们有c<1。设置ωc+：=t的ωt∈ （c，c+）对于一个非常小的>0（即，使得t7→ ω是区间（c，c+）上的常数；这样的由引理2）存在。选择d∈ （c，1）使得ωd=ωc+（因此，对于所有t∈ （c，d]）。拿a，b来说∈ （c，d）使得a<b和ω|[a，b]不是常数；因为Ka，bb（ω）=∞, （23）给某人（ω）=∞;由于b可以任意接近c，我们得到（6）。对于固定资产a和B，仍然需要构建这样一个积极的资本流程。从现在起直到这场公关结束，ω是Ohm. 为了每个人∈ {1, 2, . . .}, 设Dn:={k2-n | k∈ Z} 并定义一系列停止时间tnk，k=-1, 0, 1, 2, . . ., Tn感应式-1:=a，Tn（ω）：=inf{t∈ [a，b]|ω（t）∈ Dn}，Tnk（ω）：=infT∈ [Tnk-1（ω），b]|ω（t）∈ Dn&ω（t）6=ω（Tnk）-1), k=1，2，我们在哪里设置inf := b、 对于每个n=1，2。

，定义了一个简单的资本过程，即停止时间ω为的简单交易策略的资本过程∈ Ohm 7.→ τnk（ω）：=Tnk（ω）∧ Tnk（ωa），k=0，1，定义为ashnk（ω）的相应下注HNK:=（2n）ωa（τnk+1（ωa））- ω（τnk）如果ωτnk（ω）=ωa，τnk（ω）<b0，则初始资本为1。由于这一简单资本过程的增量在绝对值上永远不会超过1（并且一旦预测ωais失效，交易就会停止），其初始资本为1确保其始终保持正值。初始值Knb（ω）为Ohm（2n）（使用Knuth作为符号表示法）除非ω|[a，b]6=ωa |[a，b]或ω|[a，b]是常数。如果我们现在设置，b：=∞Xn=1n-2Kn，我们将获得Ka，ba<∞ Ka，bb（ω）=∞ 除非ω|[a，b]6=ωa |[a，b]或ω|[a，b]是常数。这就完成了定理1.5.2的证明定理2的证明我们将遵循[13]中命题2的证明（该命题考虑了可测量的策略，但可测量性的假设在这里并不重要）。让我们检查等效语句（17）。如果c<var+（对数ω），我们可以找到[0,1]中的一部分0=t<t<t···<tn=1，这样SUPNXI=1（对数ω（ti）- 对数ω（ti）-1） ）+>c（参见（16））。通过将所有可用资本投入ωa t时间ti-1（对数ω（ti）- 对数ω（ti）-1） ）+>0（即每当ω（ti）>ω（ti-1） ），交易者至少可以将1转化为ec。这证明了不平等≤ 在第17页。很明显，这是交易者在没有破产风险的情况下所能做的最好的事情。关于更多（明显的）细节，请参见[13]中关于命题2的证明。5.3定理3的证明该证明将使用inf I+ω这一事实∈ 当I+ω6=. 注意，I+ω=J+ω，其中J+ω在备注6中定义。在这一小节中，我们构造了一个正的资本过程，使得<∞ S=∞ 每当I+ω6=; 此外，它将满足（14）。

也就是说，我们通过其表示（4）来定义KGn，cn（ω），其中ω是Ohm, 定义如下：ocn=1/n（确保初始资本总额为1/n）；Gn将由表示为τn，τn。下注表示为hn，hn如果I+ω=, 设置τn（ω）=τn（ω）=···=1和hn（ω）=hn（ω）=···=0（直觉上，Gnnever下注，这使得定义的这一部分不具有对抗性）；在本定义的其余部分中，我们将假设I+ω6=因此，inf I+ω<1；o设置a:=inf I+ω；我们知道∈ I+ω和a<1；o根据引理2，设置ωa+：=t的ωt∈ （a，a+）对于足够小的（例如t7→ ωt不在t上∈ （a，a+）定义：=infT∈ （a）a+2-n）∧ 1] |var+对数ωa+|[t，t+2-n]≤ N（带inf） := （a+2）-n）∧ 1);o 集合d:=（a+c）/2，并定义τnk（ωa+）∈ [d，（d+2-n）∧ 1] ∪ {1} （24）和hnk（ωa+），k=1，2。，以这种方式HNK（ωa+）∈0，KGn，cnτnk（ωa+）（ωa+）ωa+（τnk）（25）（S的正性定义隐含要求，相当于[0,1]范围内的相对赌注）和KGN，cn（d+2-n）∧1（ωa+）>encn；（26）后者可以通过VaR实现+对数ωa+|[d，d+2-n]> 以及（17）如果在定义（5）P时，只有正的简单资本过程被用作S，则为真（见第5.2节中的证明）设置τnk（ω）：=（τnk（ωa+）如果ω|[0，τnk（ωa+）]=ωa+[0，τnk（ωa+）]1否则（27）和hnk（ω）：=（hnk（ωa+）如果ω|[0，τnk（ωa+）=ωa+|[0，τnk（ωa+）]0否则）。让我们检查一下（14）。为给定的t提供（14）的先行项∈ [0,1]和ω∈ Ohm. 使用上一段中介绍的符号（和前面一样，抑制对ω和n的依赖），我们可以看到t>a。从一些n开始，我们将得到d+2-n<t且ωs=ωa+表示所有s∈ （a、d+2）-n） 因此，级数n/n的散度乘以St（ω）=∞.备注9。

让我们检查一下定理3的证明是否可以修改，以证明备注4中更强的陈述。注意，在不丧失一般性的情况下，我们可以替换区间[0，…]在（25）中，由两元素集{0，…}考虑其最终订单（见第5.2小节中的证明）；这将确保相对b ets始终满足Hnk（ω）∈ {0，1}。除停止时间（24）和赌注（25）外，确定停止时间σnk的方式如下：oσnk（ωa+）∈ [τnk（ωa+）、τnk+1（ωa+）]和σnk（ωa+）∈ （τnk（ωa+），τnk+1（ωa+），当τnk（ωa+）<τnk+1（ωa+）σnk（ωa+）与τnk（ωa+）非常接近，因此当我们在定义Gn时用σnk替换停止时间τnk时，（26）仍然成立（与（25）相对应的赌注不变）对于任意ω∈ Ohm,σnk（ω）：=（σnk（ωa+）如果ω|[0，τnk（ωa+））=ωa+|[0，τnk（ωa+）]1否则（参见（27））。以这种方式改变所有GNI后，我们将获得一个强可预测且仍然满足（14）的正资本过程。5.4定理4的证明我们将证明（15）一个固定t∈ （0，1）.修正区间l（0，1）中收敛于t，ti的数的严格递增序列t，t↑ 和我一样→ ∞; sett:=0。让我们：{-1, 1}∞. 对于每个序列ξ=（ξ，ξ，…）∈ Ξ将ωξ定义为[0，t）上的c`adl`ag函数，该函数在每个区间[ti]上都是常数-1，ti），i=1，2。，满足ωξ（0）：=1和ωξ（ti）：=ωξ（ti）-1)1+ξii+1, i=1，2。（28）我们对ωξ特别感兴趣，这样limi→∞ωξ（ti）存在于（0，∞); 然后我们可以把ωξ扩展到一个元素ωξ→属于Ohm 这在[t，1]上是常数。我们称之为ωξ可扩；对他们来说ωξ→存在并且是集合{ω}的一个元素∈ Ohm | 我-ω={t}，I+ω=} 在（15）中。让我们检查一下，在每一个可扩展ωξ上，没有任何正资本过程S至少增长1+，即re>0是一个给定常数。

相反，假设给定的S满足S=1和ST（ωξ）→) ≥ 1+（29）表示所有可扩展ωξ。考虑form（4）中S的任何表示。这个证明使用了测量理论概率的方法；我们的概率空间配备了标准过滤（Fi）和均匀概率测度对{-1，1}：圆柱{（ξ，ξ，…）的并的Ξ的所有子集的ficonists∈ Ξ|ξ=c，ξi=ci}，每个圆柱体的测量值为2-i、 这是一个没有任何可测量性问题的离散概率空间（使用这种“差”概率空间的简单想法在前面的[11，第4.3节]中使用过）。为了简化公式，我们对任何ω使用符号ωi:=ωξ（ti）和Ki:=Sti（ω）∈ Ohm 这与区间[0，ti]上的ωξ一致（与ω无关，与测度理论概率中的通常情况一样，对ξ的依赖被抑制）。根据（28），ω是鞅。让我们检查一下thatKi=Ki-1+bi（ωi）- ωi-1） ，（30）式中，bi是在观察ωξ|[0，ti]之后，时间ti之前的所有GNI的总下注（该检查中唯一的问题是收敛性）。形式上，bi：=∞Xn=1hnk（n，i），（31），其中k（n，i）：=max{k |τnk<ti}和（τnk）和（hnk）是Gn的停止时间和下注。序列（31）在[0]中收敛，∞] 因为它的条款是积极的（以确保eachKGn，cn的积极性）。由于资本过程S是正的，ω在任何时候几乎可以降到0，所以我们有bi∈ [0，Ki-1/ωi-1] （这源于简单资本流程组成部分的类似包含）。我们可以看出（30）是真的。让我们定义αi∈ [0,1]通过条件bi=αiKi-1/ωi-1.（32）作为ωi的鞅变换，Ki也是鞅。结合（28）、（30）和（32），我们可以看到这两个鞅的重现性是ωi=ωi-1.1+ξii+1,Ki=Ki-1.1+αiξii+1, i=1，2。

.让我们检查对数ωi在R中的收敛性，几乎所有ξ都是i→ ∞. 这来自泰勒公式ωi- 对数ωi-1=ξii+1-（1+θiξi/（i+1））（i+1）（其中θi）∈ [0,1]），iξi/（i+1）的几乎确定收敛性（这是根据Kolmogorov的两个级数定理得出的），以及i（i+1）的收敛性-2.我们可以看到ωξ几乎肯定是可扩的。同样，我们可以演示logkir的收敛性，但我们不需要它。通过法图引理，我们得到了，对于任何ξ∈ Ξ具有可扩展ωξ，St（ωξ）→) =∞Xn=1KGn，cnt（ωξ）→) =∞Xn=1limi→∞KGn，cnti（ωξ）≤ 林英菲→∞∞Xn=1KGn，cnti（ωξ）=lim infi→∞基。Fatou引理的另一个应用和几乎所有ωξ都可扩张的事实表明链St（ωξ→) ≤ 伊林英菲酒店→∞基≤ 林英菲→∞Eki=1定义明确且正确。这与我们的假设（29）相矛盾。6结论本文表明，即使在博弈论概率中，也应该对连续时间交易策略施加一些规则性假设（除了非对抗性，如普遍可测性）。这在应用中不是一个严重的问题，因为只有可计算的交易策略才具有实际意义，而且在任何合理的计算模型下，可计算的交易策略都是可测量的。有许多有趣的进一步研究方向，例如：o是否有可能将定理1、3和4推广到交易者只知道最近的过去的情况，如[7，第七页和第7.3节]和[6，第5节]是否有可能将ms 1、3和4的理论扩展到没有同步手表的贸易商的情况（见[7，第7.7节]或[1]）第5.4小节中的构造产生一组E Ohm （由所有ωξ组成）→对于ξ∈ Ξ具有满足hp（E）=1和var（logω）的可扩展ωξ）∞ 总而言之ω∈ 然而，对于所有ω，vi（对数ω）=1∈ E（参见[12，第4.2小节]了解变异指数vi的定义）。

雌鹿 Ohm p（E）=1和infω∈Evi（对数ω）>1存在吗？致谢感谢“数学金融中的路径方法、函数计算和应用”（2016年4月4日至6日，维也纳）研讨会的与会者提出的意见。感谢Yuri Gurevich就广泛的主题进行了大量的讨论（因此我发现了Hardin和Taylor关于帽子谜题的工作），并感谢Yuri Kalnishkan就本文的主题进行了有益的讨论。一位不苟言笑的评论家深思熟虑的评论让我改变了表达方式和重点；他们还促使我加入附录A。这项工作得到了美国空军科学研究办公室（“语义完成”项目）的支持。参考文献[1]Dvij Bajpai和Daniel J.Velleman。匿名预测未来。《美国数学月刊》，123:777–7881016。[2] 菲利普·库尔和皮埃尔·普里奥雷特。临时协议与基金会：对等关系、合作关系与合作关系。巴黎大学统计研究所出版物，1965年14:245–274。[3] 克劳德·德拉切里和保罗·安德烈·迈耶。可能性和潜力。赫尔曼，巴黎，1975年。第一章至第四章[4]乔治·加莫和马文·斯特恩。数学难题。麦克米伦，伦敦，1958年。[5] 马丁·加德纳。数学游戏：涉及形式逻辑的“脑筋急转弯”。《科学美国人》，200（2）：136-1401959年。[6] 克里斯托·费尔·S·哈丁和艾伦·D·泰勒。选择公理和预测未来之间的特殊联系。《美国数学月刊》，115:91–962008。[7] 克里斯托·费尔·S·哈丁和艾伦·D·泰勒。协调推理的数学：广义Hat问题的研究。查姆斯普林格，2013年。[8] 托马斯·杰奇。集合论：第三个千年版，修订和扩展。柏林斯普林格，2003。[9] 尼古拉斯·珀科夫斯基和大卫·J·普罗梅尔。