用选择的公理快速致富

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英文标题：
《Getting rich quick with the Axiom of Choice》
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作者：
Vladimir Vovk
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper proposes new get-rich-quick schemes that involve trading in a financial security with a non-degenerate price path. For simplicity the interest rate is assumed zero. If the price path is assumed continuous, the trader can become infinitely rich immediately after it becomes non-constant (if it ever does). If it is assumed positive, he can become infinitely rich immediately after reaching a point in time such that the variation of the log price is infinite in any right neighbourhood of that point (whereas reaching a point in time such that the variation of the log price is infinite in any left neighbourhood of that point is not sufficient). The practical value of these schemes is tempered by their use of the Axiom of Choice.
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中文摘要：
本文提出了一种新的快速致富方案，该方案涉及具有非退化价格路径的金融证券交易。为简单起见，假设利率为零。如果假设价格路径是连续的，交易者可以在它变为非常数后立即变得无限富有（如果它曾经变为非常数）。如果假设为正，他可以在到达某个时间点后立即变得无限富有，从而使原木价格的变化在该时间点的任何右邻域都是无限的（而到达某个时间点，从而使原木价格的变化在该时间点的任何左邻域都是无限的，这是不够的）。这些方案的实用价值因其对选择公理的使用而减弱。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
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关键词：快速致富 Mathematical Quantitative QUANTITATIV mathematica

利用选择公理快速致富Vladimir VovkMarch 22，2017摘要本文提出了一种新的快速致富方案，该方案涉及具有n个退化价格路径的金融证券交易。为了简单起见，假设利率为零。如果假设价格路径是连续的，那么交易者可以在价格路径变为非常数后立即变得非常富有（如果它真的如此）。如果假设为正，则他可以在到达某个时间点后立即变成一个完整的人，从而使原木价格的变化在该时间点的任何右邻域内都是有限的（而在该时间点上，使原木价格的变化在该时间点的任何左邻域内都是无效的）。这些方案的实用价值因其对选择公理的使用而减弱。这篇论文的版本在http://probabilityandfinance.com（工作文件43）更新最频繁。期刊版本将以“可测性在随机理论概率中的作用”为题，呈现出随机性和随机性。1导言本文属于遗传理论的范畴（见[11]）。与测度论概率的主导方法相比，数学金融博弈论概率的优势在于，它允许我们在没有任何统计假设的情况下陈述和证明结果，即使在这些假设通常被视为必要的情况下（参见[1-2]中的概率弗里杜宾-施瓦兹定理）以及[9]中随机积分的无概率理论。

在本文中，我们考虑了一个具有一种可交易证券的理想化金融市场的框架，为简单起见，假设利率为零。可测性的非平凡要求（如s Borel、Lebesgue或universal）的必要性在测量理论中是众所周知的（没有测量的可测性，我们有反直觉的结果，如Banach–Tarski悖论[14]），它由测量论概率继承。在博弈论的概率中，巴纳赫-塔斯基悖论有时也被认为是实现致富的捷径，例如：（a）买一个金球；（b） 复制你的球；（c） 卖掉多余的球；（d） 转到（b）。然而，这个计划不如我们的计划来得快。离散时间通常不需要可测量性（例如[11]）；然而，本文表明，在连续时间内，在博弈论概率论的基础上，施加如此小的可测性条件（如Borel或普适可测性）是必要的。如果不施加此类条件，博弈论概率的基本定义可能会变得无趣，甚至退化：例如，在连续路径的情况下，集合的概率上限只能取两个值：1（如果集合包含常数价格路径）或0（如果不是）。本文构造了明确的交易策略，以丰富交易，并给出了所有可能价格路径空间的良好顺序；然而，这样的良好秩序只存在于选择的公理之下（尽管有一些反常的推论，这是普遍接受的）。既然我们不能建立这样好的秩序，我们的策略就不能被认为是真正有建设性的。因此，它们不能被视为实用的快速致富计划。

此外，它们并不影响连续时间博弈论概率的现有结果，而连续时间博弈论概率通常明确假设可测量性（据我所知）。我们的交易策略将非常简单，并基于哈丁和泰勒的帽子上的swork难题（至少可以追溯到[5]和[4，第4章]）。这些作者在[6]中（另见[7，第7.4节]）表明，选择公理为我们提供了一种奥克姆式的策略，能够预测短期未来（通常情况下，尽管并非总是如此），当允许以一种价格变化不小的证券进行交易时，很容易致富。第2节专门讨论连续价格路径。持续性的假设使我们能够使用杠杆和止损策略，只要价格不稳定，交易者就可以快速、快速地获利。（我们只考虑从不面临破产风险的交易策略。显然，从恒定价格路径获利是不可能的。）在第3节中，我们假设价格路径不是连续性，而是c`adl`ag。为了使交易成为可能，我们进一步假设价格为正。如果原木价格路径的变化是有限的，交易者就不可能变得非常富有。如果变化是有限的，那么就会有一个时间点，使得原木价格的变化在其左邻域中是有限的，或者有一个时间点，使得原木价格的变化在其右邻域中是有限的。在后一种类型的积分之后，成为真正的富人是可能的。

金融市场的标准随机模型几乎肯定会研究具有这些点的价格路径。在简短的第4节中，我们只假设价格路径是正的；这种情况下的理论几乎与正c`adl`ag价格路径的理论相同。我们所有主要结果的证明都收集在单独的第5节中；它们基于哈丁和泰勒的结果。附录A提供了使用选择公理预测短期未来的更全面的情况。它回答了几个非常自然的问题（最后又问了256个问题，只回答了其中一个）。我们对连续时间概率的基本概念（如假设时间）的定义将是Galmarino类型（参见[2，定理1.2和1.4]），并以技术报告[12]中的定义为模型（未来版本使用的定义略有不同），但可测量性要求将被取消。我用“正”表示“非负”，必要时加上“严格”。f | cofa函数f:a的严格性→ B到a集合C被定义为asf | a∩C即使在C 6 A.2连续价格路径Ohm 是所有连续函数ω：[0，1]的集合C[0，1]→ R（直观地说，这些是时间间隔[0,1]内的潜在价格路径）。adaptedprocess S是一系列函数St：Ohm → [-∞, ∞], T∈ [0,1]，因此，对于所有ω，ω′∈ Ohm 所有这些都不是∈ [0,1]，ω|[0,t]=ω′|[0,t]==> St（ω）=St（ω′）。直觉是St（ω）仅通过ω|[0，t]依赖于ω：如果ω在（t，1）上变化，则St（ω）不受影响。停止时间是τ的函数：Ohm → [0，1]这样，对于所有ω，ω′∈ Ohm,ω|[0,τ (ω)]= ω′|[0,τ (ω)]==> τ(ω) = τ(ω′). （1） 直觉是，如果ω的变化超过（τ（ω），1]，则τ（ω）不受影响。对于任意停止时间τ，函数X：Ohm → R被认为是由时间τ决定的，如果对于所有ω，ω′∈ Ohm,ω|[0,τ (ω)]= ω′|[0,τ (ω)]==> X（ω）=X（ω′）。

（2） 直觉是X（ω）仅通过ω|[0，τ（ω）]依赖于ω。我们通常会将ω（τ（ω））简化为ω（τ）（通常，在其他情况下，参数ω也会被省略）。允许交易策略的类别分两步定义。首先，简单阅读策略G由递增的停止时间τ序列组成≤ τ≤· · · 对于每个k=1，2。，由时间τk确定的有界函数hk。对于每个ω∈ Ohm, τk（ω）=1。首字母c∈ R对应简单的大写字母kg，ct（ω）：=c+∞Xk=1hk（ω）ω（τk+1）∧ （t）- ω（τk）∧ （t）, T∈ [0,1]（3）（忽略总和中的零项，从而使总和确定）；值hk（ω）在时间τk（ω）时被称为bet，而KG，ct（ω）在时间t时被称为资本。第二，正资本过程是指任何可以在FORMST（ω）中呈现的适应过程：=∞Xn=1KGn，cnt（ω），（4）其中简单资本过程KGn，cnt（ω）要求为正，对于allt和ω，以及正序列∞n=1cni需要在R中收敛。和（4）总是正的，但允许取其值∞. 由于KGn，cn（ω）=cnn不依赖于nω，S（ω）也不依赖于ω，有时会被修改为S。集合E的上概率 Ohm 定义为asP（E）：=infsω ∈ Ohm : S（ω）≥ 1E（ω）, （5） 式中，S在正向资本过程中变化，1E代表E的指示函数。我们称集合E Ohm 如果p（E）=0，则为空。备注1。一个简单交易策略背后的直觉是，交易方可以在一个价格为t的证券中做多做空∈ [0，1]表示为ω（t）。位置只能在时间τ，τ，…，的离散序列上改变。，这使得贸易r的资本时间t的定义（3）不具有争议性。

为了获得更有用的交易策略，我们允许交易者将其初始资本拆分为可数个账户，并为每个账户运行单独的简单交易策略；所有这些简单的交易策略都不允许负债。在时间t得到的总c apital由（4）给出。由（5）定义的上概率P（E）是E上二元期权的最小初始资本充足率。第5节将证明以下定理。定理1。所有非常数ω的集合∈ Ohm 是空的。此外，有一个S=1的正资本过程S，一旦ω停止为常数，它就会变得有限：对于所有t∈ [0, 1],(t、 t∈ [0，t）：ω（t）6=ω（t））==> St（ω）=∞. （6） 备注2。Perkowsk iand Pr–omel[9]给出了一个更受欢迎的定义（5）。Perkowski和Pr–omel的定义更为宽松[9，第2.3节]，因此，如果我们允许不可测量（但仍然是非预期的）交易策略，定理1的第一个陈述也将继续适用。正如所有关于连续时间博弈论概率的论文（据我所知），在[9]中给出的定义假设了所有策略的可测量性。备注3。本节的定义假设交易者被允许做空证券（允许hk（ω）<0）和借款（在下面备注4的注释中，杠杆率低，hk（ω）>1）。如果不允许做空和借贷（在备注4的注释中，如果HK仅被授权获取[0,1]中的值），则定理1不再为真，但定理3仍然适用。3正c`adl`ag价格路径在本节中，我们将证明正c`adl`ag价格路径ω的定理1的分析；现在情况变得更复杂了。

直观地说，ω：[0，1]→[0, ∞) 指金融证券的价格路径，其价格始终为正（如股票，从现在起将被称为股票）。在本节的大部分内容中，我们考虑价格路径ω满足infω>0；一般正ω的情况将在本节末尾的备注7中考虑。因此，我们重新定义Ohm 作为所有ω的set:[0，1]→ [0, ∞)使得infω>0。对适应工艺、浇头时间等的定义与以前一样（但对Ohm). 我们的目标是确定P（E）的符号（即，确定P（E）>0）对于一系列集合E Ohm.对于每个函数f:[a，b]→ R、 其中[a，b] [0,1]，其变化var f定义为var（f）：=supnXi=1 | f（ti）- f（ti）-1)| ∈ [0 , ∞], （7） 当sup接管所有n=1，2。所有分区a=t<t<t··<tn=b；该定义通常用于[a，b]=[0，1]。正如在[13]中所注意到的，对于每个价格路径ω，P（{ω}）>0∈ Ohm 带var（lo gω）<∞. 也就是说，我们得到了以下简单结果（将在第5.2小节中证明）。定理2。对于任何ω∈ Ohm,P（{ω}）=sω（0）ω（1）e- var（对数ω）。（8） 我们可以看到p（E）>0，只要E包含ω和var（logω）<∞.因此，在本节的测试中，我们将集中讨论ω∈ Ohm withvar（对数ω）=∞. 我们从ω的分类开始。对于任何f:[0，1]→ R和t∈ [0,1]，setvar（f，t-) := inft\'∈[0，t）varf|[t′，t], （9） var（f，t+）：=inft\'∈（t，1]varf|[t，t\']; （10） 案例var（f，0-) := 0和var（f，1+）：=0分别处理。注意var（f，t-) var（f，t+）总是取两个元素集中的值{|f（t）|，∞}和{0，∞}, 分别（在哪里f（t）：=f（t）- f（t）-) 是f在t上的跳跃）。此外，对于每个ω∈ Ohm 塞蒂-ω：={t∈ [0,1]|var（对数ω，t-) = ∞}  （0,1]，（11）I+ω：={t∈ [0,1]| var（对数ω，t+）=∞}  [0, 1).

（12） 下一个引理表明，所有ω的集合∈ Ohm 其对数的有限变化可以表示为{ω∈ Ohm | var（对数ω）=∞} = {ω ∈ Ohm | 我-ω6= } ∪ {ω ∈ Ohm | I+ω6=}. （13） 引理1。对于任何f:[0，1]→ R、 var（f）=∞ <==> (T∈ [0,1]：var（f，t+）=∞ ∨ var（f，t- ) = ∞) .证据言外之意<== 很明显，所以我们只检查==>. 假设VaR（f，t+）∞ 和var（f，t-) < ∞ 尽管如此，t∈ [0, 1]. 确定每个t的邻域Ot=（at，bt），使var（f|Ot）<∞. 这些邻域构成[0,1]的覆盖。其有限次覆盖的存在立即意味着VaR（f）<∞.下面的定理（在第5节中证明）处理（13）中的并集的第二项。定理3。全ω的集合∈ Ohm 这样I+ω6= 是空的。此外，如果I+ω6=: 尽管如此，t∈ [0,1]和ω∈ Ohm,(t′∈ [0，t）：var（对数ω，t′+）=∞) ==> St（ω）=∞. （14） 备注4。如果（1）成立且[0，τ（ω）]的两个分量被[0，τ（ω））（参见[3，定理IV.99（A）]）所取代，则称停止时间τ是可预测的。类似地，函数X：Ohm → R在停止时间τ之前确定，如果（2）保持[0，τ（ω）]的两个条目被[0，τ（ω））（参见[3，定理m IV.99（b）]替换）。我们将对涉及简单资本过程的相对bethk（ω）：=hk（ω）ω（τk）/KG，cτk（ω）（3）；直观地说，Hk（ω）是交易员在τk时投资于股票的资本l的分数。就相对赌注而言，简单的资本过程（3）可以改写为kg，ct（ω）=c∞Yk=11+Hk（ω）ω（τk+1）∧ t） ω（τk）∧ （t）- 1., T∈ [0, 1].请注意，这个简单的资本过程是正的，当且仅当相对资本始终在[0,1]范围内（因为股票价格在任何时候都可能上升或下降到接近0）。

如果成分简单资本过程KGn，Cn仅涉及可预测的停止时间τ和在τk之前确定的相对下注hk，则正资本过程（4）是可预测的。此外，还可以通过要求正资本过程S是可预测的来加强定理3。（请注意，在第2节的连续案例中，可预测性是自动的。）这种观察可以进一步加强。假设对于每个ω，停止时间τ是可预测的∈ Ohm, 存在t<τ（ω），因此，对于每个ω′∈ Ohm,ω|[0，t]=ω′|[0，t]==> τ(ω) = τ(ω′).函数X：Ohm → R是在停止时间τ之前严格确定的sa id，如果，对于每个ω∈ Ohm, 存在t<τ（ω），因此，对于每个ω′∈ Ohm,ω|[0，t]=ω′|[0，t]==> X（ω）=X（ω′）。如果成分简单资本过程KGn，Cn仅涉及在τk之前严格确定的强可预测停止时间τ和相对下注HK，则正资本过程（4）是强可预测的。通过要求正资本过程是强可预测的，定理3可以进一步加强。对定理3证明这一事实的简单修改将在备注9中给出。备注5。在前面的评论中，将在τkon之前确定的要求强加给赌注HK，而不是相对赌注HK，将导致一个可预测的正资本过程的无用概念：所有这样的过程都是恒定的。