用选择的公理快速致富

无模型金融的路径随机积分。技术代表arXiv:1311.6187[math.PR]，arXiv。org电子打印档案，2015年5月。期刊版本：伯努利，22:2486–252012016。[10] 约瑟夫·G·罗·森斯坦。线性排序。纽约大学预科，1982年。[11] 格伦·沙弗和弗拉基米尔·沃夫。概率与金融：这只不过是我的错！威利，纽约，2001年。[12] 弗拉基米尔·沃夫克。连续时间交易和概率的出现。技术报告arXiv:0904.4364v4[math.PR]，arXiv。org e-Printarchive，2015年5月。期刊版本：金融与随机，16:561–6092012。[13] 弗拉基米尔·沃夫克。理想化金融市场中的粗略预测。技术报告arXiv:1005.0279[q-fin.GN]，arXiv。org电子打印档案，2016年11月。《立陶宛数学杂志》，51:274-2852011。[14] 斯坦·韦恩。巴纳赫-塔斯基悖论。剑桥大学预科，剑桥，1985年。在第5节的导论部分，我们介绍了Ockham预测系统（由上的井序参数化）Ohm) 但仅限于该节其余部分所要求的结果。在本附录中，我们扩展了这些预测系统，并对其进行了更系统的研究；本文的主体部分不需要本附录的新概念和结果。记住这一点 订单很好吗Ohm, 在本附录中，哪个可以是Ohm 在论文的主要部分考虑（除非Ohm 是不可分割的）。

Ockham预测系统是：o给定ω|[0，t），预测ωt-对于ω的其余部分，定义为-最小ω′，使得ω′|[0，t）=ω|[0，t）o给定ω|[0，t]，ω的其余部分的预测为ωt，如第5节：ω-满足ω′|[0，t]=ω|[0，t]；o的最小元素ω′t时刻的修正预测ωt+∈ [0，1）对于任何t′都是ωt′∈ （t，1）使得函数s7→ ωsis在（t，t′）上的常数。ωt+的存在如引理2的第3部分所示（已用于第5.3小节定理3的证明）。通过定义，ω1+未定义，但请注意ω和ωt-定义为所有t∈ [0,1]（特别是ω0-是吗-最小元素Ohm).对于时间点t，我们有以下三种二分法∈ [0，1]用于对给定ω进行短期预测∈ Ohm:o 如果存在t′<t使得ωt′=ωt，则t是过去成功的（对于ω）-; 特别是，0不是过去的成功如果ωt-= ωt；o如果ωt=ωt+，则t表示未来成功；特别是，1不是未来的成功。这给了我们所有t的一个划分∈ [0,1]分成2=8类。我们说这是真的(-, 0，+）-成功（对于使用Ockhamp预测系统的ω的短期TERM预测），如果t同时是过去成功、现在成功和未来成功；这是最高程度的成功。更一般地说，我们将包括- （分别为0，+）当且仅当过去（分别为前、后）成功。成功的人一点也不成功：他们不是过去的成功者，不是现在的成功者，也不是未来的成功者。我们将使用e符号，例如C(-,0、+）ω和C（）ω表示上标所示类的t集合。

例如，C(-,ω是t的类∈ [0,1]对于ω来说，过去和现在都是成功的，但未来都不会成功。定义（22）可以用我们的新术语表示，Wω是t∈ [0,1]未来不会成功（与1一致）∈ Wω）；在我们的NEW表示法中，wω=C(-,0)ω∪ C(-)ω∪ C（0）ω∪ C（）ω。（33）让我们通过设置fω=nt来修改定义（22）∈ [0, 1] |t′∈ （t，1）：ωt′6=ωt或t′∈ [0，t）：ωt′6=ωto；特别是，{0，1} Fω。这是一组时间t∈ [0,1]当CKHAMP预测系统在最微弱的意义上失败时，可以通过我们的三个二分法来表达；也就是说，Fω是集合[0，1]\\_C(-,t的0，+）∈ [0,1]这不是事实(-, 0，+）-成功。如果没有∈ [0,1]\\_Fω，Ockham预测系统在时间t正确预测ω|[t，t]，其中（t，t） t是t的邻域，Wω Fω，甚至集合Fω是s直到很小：引理3。集合Fω的有序度为≤. （因此，它的每个点都被分离在右边，这意味着Fω是可数的，并且没有稠密的地方。）证据我们可以修改引理2第1部分中的论证。假设Fω的元素有一个有限的严格递减链t>t>。那么ωt ωt · · · , where=现在是可能的。然而，如果ωti=ωti+1（即，ti+1是未来成功的，而ti是过去的，并且对于ω是预先发送成功的），对于{2，3，…}中的i，然后通过定义Fω，我们得到ωti-1. ωtiandωti+1 ωti+2。因此，如果我们从ωt链中移除重复项 ωt · · · （即，仅用ωti替换每个相邻对ωti=ωti+1），我们仍将有一个与 代替. 这与 作为一个良好的秩序。引理2的第1部分是引理3的特例，因为好序集的任何子集都是好序的。

我们还可以看到，八个班级中的每一个都来自C公寓(-,0，+）ω是有序的。下面的引理表明Fω将[0，1]分裂成常数为t7的区间→ ωt引理4。无论如何∈ Fω\\{1}，函数s7→ ω是区间（t，t′）上的常数，其中t′是Fω中t的后继。证据接受任何挑战∈ Fω\\{1}，它的后继t′∈ Fω，以及任意的t′∈ （t，t′）。Sett:=infns∈ （t，t′）|ωs=ωt′o，（34）t:=supns∈ （t，t′）|ωs=ωt′o。必须证明t=t和t=t′。例如，假设t>t。这意味着t/∈ Fω。根据Fω的定义，有一个TinS7的邻域→ ωsis常数，因此ωs=ωt′；然而，这与t的定义（34）相矛盾。让我们检查引理4的类似物是否仍然适用于Wω而不是FωifOhm = C[0，1]，但通常会失败。引理5。如果Ohm = C[0，1]，对于任何t∈ Wω\\{1}，函数s7→ ωsis constanton区间（t，t′），其中t′是Wω中t的后继。否则，就没有秩序了Ohm, ω ∈ Ohm, 和t∈ Wω∩ （0，1）使得t inWω的接受者t′在（0，1）中，且函数s7→ ω在区间（t，t′）上不是常数，证明。认为Ohm = C[0,1]，t∈ Wω\\{1}，t′是Wω中t的后继者。让我们*≤ t′是Fω中t的后继者。通过引理4，ωt+（s）=对于ea-chsω（s）∈ （t，t*), 所以我们的连续性假设意味着ωt+（s）=ω（s）∈ （t，t*]. 这表明t′=t*, 第7条也是如此→ ωsis（t，t′）=（t，t）上的常数*).现在假设Ohm 6=C[0,1]。在剩下的证明中，我们将自由地使用这样一个事实，即两个好序之和也是一个好序[10，引理3.5（2）]，其中 命令和在两个不相交的集合X和X上，分别由X定义 x′<==>十、x′如果x∈ x和x′∈ Xxx′如果x∈ x和x′的∈ 如果x∈ x和x′的∈ x如果x∈ x和x′的∈ 任意x，x′的x∈ 十、∪ X[10，定义1.29]。

这意味着Ohm 整体上可以扩展到一个良好的订单Ohm.考虑一个良好的订单Ohm 从ω=1定义的c`adl`ag函数开始，ω（t）：=（如果t∈ [0,1/4]t+3/4，否则ω（t）：=1如果不是∈ [0,1/4]t+3/4如果t∈ [1/4,1/2）1否则，ω（t）：=1如果不是∈ [0,1/4]t+3/4如果t∈ [1/4,1/2）如果t∈ [1/2,3/4]t+1/4（按此顺序）。对于ω：=ω，我们有Wω={1/4，3/4}，3/4是Wω中1/4的后继，函数s7→ ω在区间（1/4，3/4）中不是常数（它在s=1/2时的值从ω变为ω）。下面的结果（简单但烦人）表明，八个类中的每一个都可能是非空的，与案例不同Ohm = C[0，1]，其中有六个潜在的非空类（其中两个是{0}的子集）。特别是，它意味着Wω6=Fω是可能的，而且Fω\\Wω可能包含anyc∈ （0，1）（引理5的证明也很清楚）。引理6。C类(-,ω从来都不是空的（并且在表3的意义上是大的）。让c∈ (0, 1).o 对于Ohm = 第2节C[0，1]中的C类(-,+)ω和C(-)ω始终是完整的；类C（+）ω和C（）ω是{0}的子集（可以等于{0}和to）, 取决于ω和井序); 对于剩下的三个类中的每一个（上标中包含0但与C不同的类）(-,这里不存在ω∈ Ohm 和 使班级与{c}重合为了所有其他Ohm 在本文的主要部分，除了C之外的八门课(-,存在ω∈ Ohm 和 使类与{c}重合。证据首先，我们考虑这个案例Ohm = C[0,1]。关于上标中不包含0的Classes的语句来自任何t∈ （0，1]对于连续ω，c类c(-,+)ω和C(-)ω为空，因为0永远不会成功。

如果三个-最小的元素是ω：=1，ω：=2，ω（t）：=2+t（按这个顺序），我们有C（+）ω={0}，C（）ω=, C（+）ω=, andC（）ω={0}。为此，还有待考虑Ohm, 上标中包含0的类。让井水继续流动吧Ohm 从ω：=1开始，ω（t）：=（t<c1+t时为1）- c否则，即ω ω · · · . 我们有C(-,0）ω={c}。下一步，请考虑下订单Ohm 从ω：=2，ωn（t）：=（1+t，如果t<c（1）- 1/n）1+c（1）- 1/n）否则，n=2，3，（35）ω（t）：=（如果t<c1+c，则为1+t，否则为（36）ω+1（t）：=1+t（按此顺序，粗体ω代表第一个有限序数）。我们有C（0，+）ω={C}和C（0）ω+1={C}。这就证明了Ohm = C[0,1]。现在让我们Ohm 6=C[0，1]是另一个Ohm c在本文的主要部分考虑到。自C[0，1] Ohm, 我们已经证明了C(-,ω，C（0，+）ω和C（0）ω可以等于{C}。考虑一个良好的订单Ohm 从ω：=1开始，如果t<c2，ω（t）：=（1），否则，如果t<c2+t，ω（t）：=（1）- c否则（按此顺序）。我们有C(-,+)ω={c}和c(-)ω={c}。最后考虑一个良好的订单Ohm 从ω：=1，（35）-（36）和ω+1（t）：=（1+t，如果t<c2，则ω+2（t）：=（1+t，如果t<c2+t）- c否则（按此顺序）。我们有C（+）ω+1={C}和C（）ω+2={C}。引理6表明，可以由类C（····）ω形成的不同并集（如（33））的数量非常大（即，2=256），其中许多可能是有趣的。对于每一个并集，我们可以问什么集合[0，1]可以表示为不同ω的这种并集。我们只为在本文中扮演最重要角色的工会（33）回答这个问题。引理7。对于任何有序集W [0，1]包含1，存在ω∈ Ohm还有一口井 使得Wω=W。证据必须考虑Ohm = C[0，1]，这意味着任何其他Ohm 本文对此进行了研究。

设α为与W同构的序数[8，定理2.12]，设β为∈ α 7→ wβ∈ W是α和W之间的唯一同构[8，推论2.6] 是一个从（ωβ）β开始的良好秩序∈α、 通常按β的顺序∈ α、 因此ωβ（t）：=（t，如果t<wβ，则相反。对于所有t，仍然需要设置ω（t）：=t∈ [0, 1].引理7的一个类似物（然而 [6]的OREM 3.5中包含了代替=）的内容。