聚合时间偏好，减少不耐烦

，dn，其系数为λiλj里尔杰- rj+ λiλj里尔杰- 里= -λ（ri）- rj）。亨塞克=-Xi<jλiλjDiDj（ri- rj）。自从迪∈ （0,1]，λi>0和ri≤ 0表示所有i=1。n、 我们有r（t）≤ 因此，<isDI。当且仅当r（t）严格递减时，偏好关系为严格DI。我们看到r（t）是严格递减的，{t|r（t）=r（t）=…=rn（t）和r（t）=r（t）=…=rn（t）=0}不包含非平凡区间。下面的推论描述了命题13的一个重要特例：推论14。非完全相同的指数折扣函数的混合是严格的。因此，推论14是杰克逊和亚里夫（2014，命题1）的连续时间版本。Prelec[19，推论4]只考虑了两个折扣函数的混合，但不需要区分。他证明了两个相等的DI函数的混合比其组成部分的DI更多。Prelec[19，推论4]暗示了当n=2时Jackson和Yariv[11]结果的特殊情况。我们的目标是建立一个比Prelec[19]和Jackson and Yariv[11]更普遍的结果。我们得到的结果如下定理所述：定理1。让n≥ 2和D，D应该有不同的折扣函数，这样D<D<D<D<没有。如果D是D的混合物，然后是D没有。为了构造这个定理的证明，两个初步结果将是有用的。第一个是增强Prelec[19]的成绩。15号提案。让λ∈ (0, 1). 如果两个不同的折扣函数~然后是它们的混合物，D=λD+（1- λ） D，严格地说比每个Di代表更多的DIP引用。也就是说，D迪德做证据As D~然后，通过推论9，D（t）=D（t）c，其中c 6=1，c>0。根据命题7，有必要证明f（z）=lnd的严格凸性D-1（ez）为了z≤ 0.根据命题10，它也是有效的。

我们注意到：f（z）=lndD-1（ez）= 自然对数λDD-1（ez）+ (1 - λ） DD-1（ez）= 自然对数λez+（1）- λ） ez/c.f（z）的一阶导数为：f（z）=λez+c（1- λ） ez/cλez+（1）- λ） 二阶导数是：f（z）=λez+c（1）- λ） ez/cλez+（1）- λ） ez/c-λez+c（1）- λ） ez/c（λez+（1）- λ） ez/c）=p（z）q（z）。这个分数的分母q（z）和分子p（z）都是严格正的。前者是显而易见的。要了解后者，请注意分子p（z）可以简化为：=λez+c（1）- λ） ez/cλez+（1）- λ） ez/c-λez+c（1）- λ） ez/c= λ(1 - λ） e（1+c）z-cλ（1）- λ） e（1+c）z+cλ（1）- λ） e（1+c）z=e（1+c）zλ（1）- λ)1.-C.因此，f是一个严格凸函数。命题15是[19]中推论4的一个更强大的版本，因为我们表明，两个折扣函数的混合，同样是DI，严格地代表更多的DI偏好，而不仅仅是更多的DI偏好。需要注意的是，命题15不能通过归纳直接推广到n个折扣函数。为了获得这种普遍化的途径，我们需要下面的引理。引理16。让λ∈ (0, 1). 如果两个不同的贴现函数D满足D<D，那么它们的混合物D=λD+（1- λ） DRE严格地表示了比D更多的DI首选项。也就是说，D做证据如果D~那么结论来自命题15。假设DRE呈现的DI偏好严格高于D。那么，根据命题7，ln DD-1（ez）是严格凸的(∞, 0]. 我们需要证明D-1（ez）也是严格意义上的凸(∞, 或者，等价地，以下函数是严格对数凸的：DD-1（ez）= λDD-1（ez）+（1）- λ） DD-1（ez）=λDD-1（ez）+（1）- λ） 埃兹。表示λDD-1（ez）=f和（1）- λ） ez=g。那么我们有：DD-1（ez）= f+g，其中，假设f是严格对数凸的，g=（1）-λ） 埃兹是对数凸的。

通过引理2，严格对数凸函数和对数凸函数的和是严格对数凸的，因此DD-1（ez）是严格对数凸的。我们现在准备提供定理1的证明，因为引理16可以直接推广到n个不同折扣函数的情况。定理1的证明。我们用n上的归纳法证明了这一说法。用引理16证明了n=2的结果。假设定理的陈述对n=k为真。LetD（k+1）=ηD+…+ηk+1Dk+1，其中pk+1i=1ηi=1和每个ηi∈ (0, 1). 然后D（k+1）=ηD+…+ηk+1Dk+1=（1）- ηk+1）η1 - ηk+1D++ηk1- ηk+1Dk+ ηk+1Dk+1。LetD（k）=η1- ηk+1D++ηk1- ηk+1Dk。根据归纳假设，D（k）迪克。众所周知，Dk<DIDk+1，因此，通过命题10，D（k）迪克+1。然而，这两个函数的组合是xactlyd（k+1）=（1）- ηk+1）D（k）+ηk+1Dk+1。然后，根据命题16，D（k+1）DIDk+1，完成导入步骤。4.3两次连续可微折扣函数的混合——当折扣函数适当可微时，定理1和命题12暗示IDI（D）≥ [0]上的mini{IDI（Di）}，∞) （11） 等式成立的t值集不包括任何非平凡区间。考虑以下示例：示例2。设D（t）=（1+ht）-2b是一个零速度双曲贴现函数[13]和d（t）=exp(-αt1/2）是一个缓慢的威布尔折扣函数[13]。如例1所示，IDI（D）（t）=h（1+ht）-1> 0代表所有t。我们还有IDI（D）（t）=（2t）-1> 0表示所有t=αt-1/2和r（t）=-αt-3/2.因此，两者都是严格的DI。假设h=0.1。特尼迪（D）（t）- IDI（D）（t）=0.11+0.1t- 0.5t=0.05t- 101+0.1吨。显然，IDI（D）（t）≤ IDI（D）（t）当且仅当t≤ 10和IDI（D）（t）>IDI（D）（t）当且仅当t>10。

因此，Dand Dboth来自无与伦比的DI类。由于D和D都表现出严格的DI，命题13意味着它们的混合物D也表现出严格的DI。D1的DI指数d2的DI指数D1和d2混合物的DI指数0 10 20 30 40 50 6000.050.10.15图1:D1和dB混合物的DI指数通过直接计算，我们得到以下表达式：IDI（D）（t）=6λh（1+ht）-4+1/4λαexp-αt0。5t-1（α+t-0.5）2λh（1+ht）-3+1/2λαexp-αt0。5t-0.5-2λh（1+ht）-3+1/2λαexp-αt0。5t-0.5λ（1+ht）-2+λexp-αt0。5.参数为λ=λ=0.5、h=0.1和α=0.12的IDI（D）的行为如图1所示。从图1中可以清楚地看出，D迪德诺德做然而，IDI（D）≥ [0]上的min{IDI（D），IDI（D）}，∞).例2表明，即使折扣函数不可比，不等式（11）也可能继续成立。定理2验证了这个猜想。定理2。让<、<、<具有两次连续可微折扣函数D，D，分别是Dn。设D=Pni=1λi是D，D，…，的混合物，Dn。然后是IDI（D）≥ [0]上的mini{IDI（Di）}，∞), andIDI（D）（t）>mini{IDI（Di）（^t）如果rj（^t）6=rk（^t）对于某些j 6=k.证明，则设Ii=IDI（Di）对于所有i∈ {1，…，n}设I=IDI（D）。回想一下，D=-因此D=Dr- Dr=Dr（r+I）。还记得我=-因此，我=-Pni=1λiDiPni=1λiDi+Pni=1λiDiPni=1λiDi=Pni=1λiDiri（ri+Ii）Pni=1λiDiri-Pni=1λidirpini=1λiDi。这个表达式可以重新排列如下：I=Pni=1λidiriipni=1λiDiri+Pni=1λidirini=1λiDiri-Pni=1λidirpini=1λiDi=nXi=1αi（t）Ii+Q，其中Q=Pni=1λidirpini=1λiDiri-Pni=1λidirpini=1λidi和αi=λidirpini=1λidiri，其中Pni=1αi=1和αi≥ 0

注意mini{Ii}≤nXi=1αiIi≤ 所有t的最大值{Ii}∈ [0, ∞).表达式Q可以改写为：Q=hPni=1λidiri·hPni=1λiDii-hPni=1λidirihpni=1λidiri·hPni=1λiDii。Q的分母是严格正的，所以Q的符号取决于算符的符号。设N为Q:N=hnXi=1λidiri·hnXi=1λiDii的分子-hnXi=1λiDirii。我们可以将N简化如下：N=nXi=1nXj=1λiλjDiDjri-nXi=1nXj=1λiλjDiDjrirj。因此，我们有：N=nXi=1nXj=1θijri（ri- rj）式中θij=λiλjDiDj。由于θij=θji>0，对于所有i和j，我们看到n=Xi<jθij[ri（ri- rj）+rj（rj- ri）]=Xi<jθij（ri- rj）。因此，N≥ 如果rj6=RK，对于某些J6=k，则为0且N>0。因此Q≥ 如果rj6=RK，对于某些J6=k，则0和Q>0。因此，由于I=Pni=1αiIi+Q和mini{Ii}≤nXi=1αiIi≤ 所有t的最大值{Ii}∈ [0, ∞),我们有：迷你{Ii}≤ 迷你{Ii}+Q≤nXi=1αiIi+Q=I。换句话说，I≥ [0]上的迷你{Ii}，∞), 如果rj（^t）6=rk（^t）对于某些J 6=k，则I（^t）>mini{Ii（^t）}。注意，这个结果不要求折扣函数表现出递减的不耐烦。因此，定理2做出的限制性假设比命题13少——它允许贴现函数表现出越来越大的不耐烦。4.4比例双曲线贴现函数的混合斯维茨曼[27]表明，如果不同的贴现函数最终可能以一定的概率出现，那么未来的成本和收益最终必须以尽可能低的限制时间偏好率贴现。当可能的搜索函数都是指数函数，且具有恒定的时间偏好率时，这个结果尤其显著。本节的目的是给出比例双曲贴现函数的类似结果，双曲贴现率为常数（示例1）。本案的结果与魏茨曼的截然不同。

长期未来收益和成本不是以最低的双曲线贴现率贴现，而是以单个双曲线贴现率的概率加权调和平均值贴现。假设时间偏好率存在一些不确定性，我们有一组可能的场景N={1，…，N}，其中每个时间偏好率ri（t）可能以概率pi结束≥ 0，这样pnt=1pi=1。因为对于每个iri（t）=-Di（t）Di（t），相应的折扣函数可以用时间偏好率表示，如下Di（t）=exp-Ztri（τ）dτ每一次我∈ N.（12）确定性等价折扣函数为：D=nXi=1piDi，其中pi≥ 0和nxt=1pi=1。那么确定性等效时间偏好率为r=-DD.Weitzman[27]证明，如果随着时间的推移，每个时间偏好率收敛到一个非负值，那么确定性等价时间偏好率收敛到这些值中的最低值。换句话说，如果限制→∞ri（t）=r*我和r*我≥ 0和r*< R*i、 其中i 6=1，则limt→∞r（t）=r*.例3。注意，（12）中的ri（t）是常数，当且仅当dii是指数的。在这种情况下，我们有：Di（t）=exp(-（rit）对于每一个我∈ N、 其中ri=const。因此，Weitzman的结果意味着limt→∞r（t）=miniri。图2显示了n=3、r=0.01、r=0.02、r=0.03和p=p=1/3的情况。我们还观察到，时间偏好的确定性等价率r（t）朝着r呈单调递减。这是推论8和14以及IDI（D）=-r/r。然而，Weitzman的结果[27]并没有在特殊情况下提供太多的见解，即任何可能的时间偏好都有一个具有比例双曲线计数函数的DU表示。

假设di（t）=1+hitD1D2D3D（t）r1r2r3r（t）时间折扣率时间指数折扣函数0 200 400 600 800100000200 30000.010.020.030.040.0500.20.40.60.81图2：每个i的指数折扣函数的混合∈ N、 其中hi>0是双曲线贴现率。在不失去普遍性的情况下，我们假设h>h>…>嗯。假设Dieventuates的概率为π，其中π≥ 0和Pni=1pi=1。然后确定性等价折扣函数将为（t）=p1+ht++pn1+hnt。时间偏好率isri（t）=hi1+hit*i=r*j=0表示所有i 6=j和limt→∞r（t）=0，这实际上与魏茨曼的结果相对应。然而，这个结论并没有给出关于确定性等价折扣函数渐近行为的更多信息。考虑到每个可能的贴现函数都来自不同的二类（不同于异质指数贴现函数的情况），我们想知道哪个（如果有的话）最能描述某些等价函数的渐近行为。为了回答这个问题，我们需要修改魏茨曼的分析。注意，确定性等价折扣函数可以写成d（t）=1+h（t）t，其中h（t）是确定性等价双曲折扣率。特别地，h（t）=（D（t）- 1） 所以h（t）对于t是很好的定义∈ (0, ∞). 我们问：h（t）是如何表现为t的→ ∞?我们提醒读者，非负值x，x，…，的加权调和平均值，xn具有非负权重a，a，Ansatizing a+…+an=1ish（x，a；…；xn，an）=nXi=1aixi！-1.众所周知，加权调和平均值小于相应的期望值（加权算术平均值）。定理3。假设每个Di（i）∈ N） 是一个比例双曲线贴现函数，相关双曲线贴现率为hi。贴现函数Di最终将以概率pi计算。

那么，长期确定性等价双曲线贴现率是单个双曲线贴现率的概率加权调和平均值，H（H，p；…；hn，pn）。证据我们注意到pi1+hit=pihit+i（t），在哪里i（t）/t→ t时为0→ ∞. 允许（t） =（t） +…+n（t）。因此可以得出如下结论：1+h（t）t=nXi=1piDi（t）=p1+ht++pn1+hnt=pht++pnhnt+（t）=ph++pnhnt+（t） =H（H，p；…；hn，pn）t+（t） =1+H（H，p；…；hn，pn）t+^（t） ，在哪里（t） /t→ 0作为t→ ∞. 这意味着h（t）→ H（H，p；…；hn，pn）作为t→ ∞.图3说明了当双曲率h=0.01、h=0.02和h=0.03的概率相等时，n=3情况下的定理3。请注意，h=0.02对应于h的算术平均值，即h。图3显示了确定性等效双曲线贴现率与加权调和平均值h（h，p；h，p；h，p）的收敛性。它还表明确定性等价双曲贴现率单调递减。下面的命题证明了情况总是如此。17号提案。假设每个Di（i）∈ N） 是一个比例双曲线贴现函数，与双曲线贴现率hi相关。贴现函数Di最终将以概率pi计算。那么确定性等价双曲贴现率在（0，∞).D1D2D3D（t）h1h2h3h（t）H（h1，p1；h2，p2；h3，p3）时间双曲线贴现率时间双曲线贴现函数0 200 400 600 80010000200 30000.010.020.030.040.0500.20.40.60.81图3：双曲线贴现函数的混合。我们用n的归纳法来证明这句话。首先，我们需要证明这句话适用于n=2。相应的确定性等效双曲线贴现率为：h（t）=p（1+ht）-1+p（1+ht）-1.- 1.t对于每个t>0。

重新排列：h（t）=（1+ht）（1+ht）p（1+ht）+p（1+ht）- 1.t=1+（h+h）t+hhtp+p+（ph+ph）t- 1.t、 因为p+p=1，我们得到：h（t）=1+（h+h）t+hht1+（ph+ph）t- 1.t=（h+h）- 酸碱度- ph）t+hht1+（ph+ph）t·t=h+h- 酸碱度- ph+hht1+（ph+ph）t=ph+ph+hht1+（ph+ph）t.通过区分h（t）：h（t）=hh（1+（ph+ph）t）- （ph+ph+hht）（ph+ph）[1+（ph+ph）t]（13）我们需要证明h（t）<0。因为（13）的分母是正的，所以h（t）的符号取决于分子的符号。因此，我们用Q表示（13）的分子，并对其进行单独分析：Q（t）=hh[1+（ph+ph）t]- （ph+ph+hht）（ph+ph）=hh+hh（ph+ph）t- （ph+ph）（ph+ph）- hh（ph+ph）t=hh- （ph+ph）（ph+ph）。通过展开括号并使用p+p=1意味着1的事实- P- p=2表达式Q可以进一步简化：Q（t）=hh- phh- pph- pph- phh=hh（1- P- p）- pp（h+h）=2pph- pp（h+h）=-pp（h）- h） 。因此，由于h6=hwe，Q<0。因此，h（t）<0，h（t）急剧下降。假设这个命题适用于n=k，我们需要证明它也适用于n=k+1。当n=k+1时，确定性等效双曲线贴现率为：hk+1（t）=D（k+1）- 1.t、 式中（k+1）=k+1Xi=1piDi=（1）- pk+1）kXi=1pi1- pk+1Di！+pk+1Dk+1。因为kxi=1pi1- pk+1=1，我们有（k+1）=（1- pk+1）D（k）+pk+1Dk+1。式中d（k）=kXi=1pi1- pk+1Di。根据归纳假设，它遵循d（k）=1+hk（t）t，其中hk严格递减。因此，h（k+1）（t）=(1 - pk+1）D（k）+pk+1Dk+1- 1.t=(1 - pk+1）（1+hk（t）t）-1+pk+1（1+hk+1t）-1.- 1.t、 设^p=1- pk+1，^p=pk+1，^h（t）=hk（t）和^h=hk+1=const。然后我们有h（k+1）（t）=“^p（1+^h（t）t）-1+^p（1+^ht）-1.- 1#t.类似于n=2的情况，这个表达式可以重新排列，得到：h（k+1）（t）=^p^h+^p^h+^h^ht1+^p^ht+^p^ht。然而，与n=2的情况相反，^his现在是t的函数。

h（k+1）的导数是：dh（k+1）（t）dt=^p^h+^h^h+^h^ht1+^p^ht+^p^ht-^p^h+^p^h+^h^ht^p^h+^p^h+^p^hth1+p^ht+p^hti。这个分数的分母是严格正的，所以导数的符号只依赖于分子。用N:N表示分子=^p^h+^h^h+^h^ht1+^p^ht+^p^ht-^p^h+^p^h+^h^ht^p^h+^p^h+^p^ht.注意n=^Q（t）+^hh^p+^ht1+^p^ht+^p^ht- ^pt^p^h+^p^h+^h^hti、 式中，^Q（t）定义为命题1的证明，但h=^h（t）和h=^h。因为命题1确定了^Q（t）≤ 0（当且仅当^h（t）=h且^h<0时相等），证明^p+^ht1+^p^ht+^p^ht- ^pt^p^h+^p^h+^h^ht> 0（14）取消（14）左边的条款会给我们留下：^p1+^p^ht+^ht1+^p^ht- （^p）^ht。我们现在使用（p）=（1）这一事实- ^p）=1- 2^p+（^p）获得^p1+^p^ht+^ht1+^p^ht-1.- 2^p+（^p）^ht=^p+t^h^p+2^p^ht，严格按照要求为正。因此，h（k+1）（t）是严格递减的。5讨论我们推广了Jackson和Yariv的结果[11]，证明了当我们从可比较的DI类中聚合不同的贴现函数时，加权平均函数总是严格地大于其组成部分中最小的DI。这也加强了Prelec[19]定理的结论，Prelec[19]证明了来自同一DI类的两个不同折扣函数的混合代表了更多的DI偏好。当决策者不确定其双曲线贴现率时，我们表明，长期成本和收益必须按照可能最终产生的双曲线贴现率的概率加权调和平均值进行贴现。这补充了Weitzman[27]的著名结果。出现的一个自然问题是，当所有优先顺序都表现出越来越不耐烦时，是否有可能证明类似于命题13的结果（II）。