聚合时间偏好，减少不耐烦

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英文标题：
《Aggregating time preferences with decreasing impatience》
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作者：
Nina Anchugina, Matthew Ryan, Arkadii Slinko
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  It is well-known that for a group of time-consistent decision makers their collective time preferences may become time-inconsistent. Jackson and Yariv (2014) demonstrated that the result of aggregation of exponential discount functions always exhibits present bias. We show that when preferences satisfy the axioms of Fishburn and Rubinstein (1982), present bias is equivalent to decreasing impatience (DI). Applying the notion of comparative DI introduced by Prelec (2004), we generalize the result of Jackson and Yariv (2014). We prove that the aggregation of distinct discount functions from comparable DI classes results in the collective discount function which is strictly more DI than the least DI of the functions being aggregated. We also prove an analogue of Weitzman\'s (1998) result, for hyperbolic rather than exponential discount functions. We show that if a decision maker is uncertain about her hyperbolic discount rate, then long-term costs and benefits will be discounted at a rate which is the probability-weighted harmonic mean of the possible hyperbolic discount rates.
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中文摘要：
众所周知，对于一组时间一致的决策者来说，他们的集体时间偏好可能会变得时间不一致。Jackson和Yariv（2014）证明，指数折扣函数的聚合结果总是显示出当前偏差。我们发现，当偏好满足Fishburn和Rubinstein（1982）的公理时，当前偏见相当于减少不耐烦（DI）。应用Prelec（2004）提出的比较DI概念，我们推广了Jackson和Yariv（2014）的结果。我们证明了将可比较的DI类中的不同折扣函数聚合，得到的集体折扣函数严格地比被聚合的函数中最小的DI更大。我们还证明了Weitzman（1998）结果的一个类似物，对于双曲而非指数折扣函数。我们证明，如果决策者不确定她的双曲线贴现率，那么长期成本和收益将以可能的双曲线贴现率的概率加权调和平均值贴现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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关键词：不耐烦 Quantitative Preferences Aggregation Exponential

聚合时间偏好，减少不耐烦*尼娜·安丘吉娜、马修·瑞安和阿卡迪·斯林科德，奥克兰大学经济学院，奥克兰技术大学数学系。anchugina@auckland.ac.nz，马修。ryan@aut.ac.nzA.slinko@auckland.ac.nzApril2016年摘要。众所周知，对于一组时间一致的决策者来说，他们的集体时间偏好可能会变得时间不一致。Jackson和Yariv[11]证明了指数折扣函数的聚合结果总是表现出当前偏差。我们证明，当偏好满足Fishburn和Rubinstein[7]的公理时，当前偏见相当于减少不耐烦（DI）。应用Prelec[19]引入的比较DI的概念，我们推广了Jackson和Yariv[11]的结果。我们证明了将不同的折扣函数从可比较的二类中聚合得到的集体折扣函数严格地比被聚合的函数的最小折扣函数更大。我们还证明了Weitzman[27]结果的相似性，即双曲而非指数折扣函数。我们表明，如果决策者对双曲线贴现率不确定，那么长期成本和收益将按照可能双曲线贴现率的概率加权调和平均值进行贴现。关键词：折扣，双曲线折扣，减少不耐烦，聚合。果冻分类：D71，D90。*我们感谢Matthew Jackson、Simon Grant和几位研讨会观众的评论和建议。阿尔卡迪·斯林科得到了马斯登基金（Marsden Fund grant UOA 1420）的支持，尼娜·安丘吉纳（Nina Anchugina）感谢奥克兰大学的财政支持。1简介有时，关于定时结果的决定必须由一群个人做出，比如董事会、委员会或家庭。

人们自然会认为，个人可能会对他们使用的贴现程序有所不同。如果决策是由一群个人做出的，最好有一个适当反映所有成员时间偏好的汇总程序。自然选择是对每个人的贴现函数进行平均，这相当于在所有人的效用函数相同的情况下对贴现效用进行平均。这种方法已广泛应用于现有的时间偏好文献中。众所周知，这种集合折扣函数不需要共享被聚合的单个折扣函数所共有的属性。正如Jackson和Yariv[11]所证明的那样，如果个体对未来进行指数贴现，并且贴现因子存在异质性，那么他们的总贴现函数就会表现出当前的偏差，这意味着将两个不同日期的结果延迟相同的时间，可以逆转这些结果的排名。此外，当个体数量增加时，在极限范围内，群体贴现函数变成双曲线[11]。Jackson和Yariv[11]举了一个例子，说明了对于一个拥有两个时间一致性个体（Constantine和Patience）的家庭来说，目前有偏见的群体偏好。两者都有相同的瞬时效用函数，并以指数方式贴现未来，但康斯坦丁的贴现因子为0.5，而耐心的贴现因子为0.8。假设他们需要在今天每个人的10个单位或明天每个人的15个单位之间进行选择。他们计算每个选项的总贴现效用：10+10=20和15（0.8+0.5）=19.5。因此，今天选择了10个utiles。现在假设他们必须在时间t的10个utiles之间进行选择≥ t+1时为1和15个单位。

在这种情况下，综合公用设施分别为10（0.8t+0.5t）和15（0.8t+1+0.5t+1）。无论如何≥ 1 t+1处的15个utiles优于t处的10个utiles，这与t=0时10个utiles的初始偏好相反，而t=1时15个utiles的偏好相反。这个家庭的行为是有偏见的。另一种可能需要聚合时间偏好的情况是，单个决策者不确定要应用的适当折扣函数。例如，贴现可能受到风险率恒定但不确定的生存函数的影响。Weitzman[27]和Sozou[24]考虑了这种情况。如果决策者将预期贴现效用最大化，那么她将确定性等价贴现函数的贴现率最大化，计算为可能应用的不同可能贴现函数的概率加权平均值。Weitzman[27]表明，如果每个可能的时间偏好率收敛到某个非负值（随着时间的推移），那么确定性等价时间偏好函数收敛到这些极限中的最低值。类似地，Sozou[24]认为，决策者的计算反映了一个具有恒定但不确定的风险率的生存函数。如果风险率呈指数分布，Sozou证明决策者的预期损失函数是双曲线的。当然，目前的偏见并不局限于总的或预期的折扣函数。在实验中经常观察到，随着奖励进一步转移到未来，个体决策者变得越来越不耐烦（越来越耐心）。如果决策者在早期结果和更大、更晚的结果之间不存在差异，那么将这两个结果延迟相同的时间通常会导致更大、更晚的结果成为首选。

这些受试者表现出目前的偏见，或严格减少不耐烦（DI）。指数折扣意味着持续的不耐烦，因此它不能严格解释全球或局部不耐烦的减少。将直接投资纳入个人时间偏好的必要性使得双曲线贴现成为行为经济学中的一个重要工具。引入了几种类型的双曲贴现函数，包括准双曲贴现[17,14]、延迟贴现[1]、比例双曲贴现[10,16]和广义双曲贴现[15,2]。考虑到描述个人时间偏好的双曲折扣函数的广泛使用，理解聚合或平均双曲函数的行为非常重要。本文的目标有两个。首先，我们试图扩展Jackson和Yariv关于指数折扣函数聚合的结果。两个人的不耐烦感降低的速度可能有所不同，但他们各自的不耐烦程度可能相当——其中一个人的偏好可能明显高于另一个人的偏好。正如Prelec[19]所证明的，如果一个人的贴现函数的对数比另一个人的贴现函数的对数更凸，那么一个人比另一个人表现出更多的DI。我们能说一些关于DI可以（弱）排序的单个折扣函数的加权平均的DI水平吗？定理1证明，加权平均总是严格地比DI最小的分量显示出更多的DI。这推广了Jackson和Yariv的结果。[11]中的命题1表明，具有不同贴现因子的指数贴现函数的加权平均值表现出存在偏差。

我们证明，当偏好满足Fishburn和Rubinstein[7]的公理时，Jackson和Yariv对当前偏见的定义相当于严格减少不耐烦。由于所有指数折扣函数都表现出恒定的不耐烦性——它们都表现出相同的DI程度——Jackson和Yariv的命题1是定理1的特例。我们的第二个目标是证明Weitzman[27]结果的相似性：其中的贴现是双曲线的，但双曲线贴现因子存在不确定性。定理3给出的答案与魏茨曼关于指数折扣的答案非常不同。我们证明了确定性等价双曲贴现因子不是收敛于最低的单个双曲贴现因子，而是收敛于单个双曲贴现因子的概率加权调和平均值。2准备工作在本节中，我们介绍了我们的调查框架，并定义了本文中使用的两个关键概念：当前偏见和严格减少偏好不耐烦。我们证明这两个概念在满足Fishburn-Rubinstein的效用表示公理时是一致的。以Pratt[18]和Arrow[3]为例，我们从折扣函数的对数凸性的角度讨论了这两个概念，从而得出了这方面的必要结果和定义。大多数结果都是已知的，但为了保持论文的完整性，我们将其包括在内。2.1凸性和对数凸性凸性和对数凸性在贴现理论中起着重要作用。LetI可以是实数的区间（有限或有限）。函数f:I→ 对于任意两点x，y，R是凸的∈ I和任何λ∈ [0,1]它认为：f（λx+（1- λ） y）≤ λf（x）+（1）- λ） f（y）。函数f是严格凸的iff（λx+（1- λ） y）<λf（x）+（1）- λ） f（y）对于任何x，y∈ I使得x 6=y和任意λ∈ (0, 1).

如果f是二次可微凸性，则f等价于f≥ 严格凸性等价于两个条件：函数fis在I上是非负的，集合{x∈ If（x）=0}不包含非平凡区间[25]。以下（严格）凸函数的等价定义是众所周知的。A函数f:I→ R是（严格）凸的如果对于每个x，y，v，z∈ 我希望x-y=v- z>0和y>z我们有f（x）- f（y）≤ [<]f（v）- f（z）。凸性在函数组合下保持不变，如下面的引理所示，其直接证明被省略：引理1。让f:我→ R是一个非减凸函数，f:I→ R是一个凸函数，使得f的域中包含的f的范围。那么复合f=fo fis是一个凸函数。此外，如果fis严格增加，并且对于fis严格凸，则f也是严格凸的。函数f:I→ 如果所有x的f（x）>0，则R称为对数凸∈ I和ln（f）是凸的。如果ln（f）是严格凸的，则称为严格对数凸。如果f是严格正的二次可微函数，则f的对数凸性等价于条件ff- （f）≥ 0，而f的严格对数凸性还要求集合{x∈ I f（x）f（x）- [f（x）]=0}不包含非平凡区间。对数凸性也可以不用对数来表示[5]。函数f:I→ R是对数凸的当且仅当f（x）>0时∈ 我和所有的x，y∈ I和λ∈ [0,1]我们有：f（λx+（1- λ） y）≤ f（x）λf（y）1-λ. （1） 如果当x 6=y和λ时不等式（1）是严格的，则函数f是严格对数凸的∈ (0, 1).下面的结果似乎是众所周知的，但一个正式的参考是难以捉摸的，所以我们在这里包括了完整性的证明。引理2。让f，g:我→ R是f严格对数凸和g对数凸的函数。那么f+g之和是严格对数凸的。证据

因为对于所有x，f（x）>0，g（x）>0∈ 一、 对于所有x，我们有（f+g）（x）>0∈ 让x，y∈ I使得x 6=y，并让λ∈ (0, 1). 我们必须证明f（λx+（1- λ） y）+g（λx+（1）- λ） y）<（f（x）+g（x））λ（f（y）+g（y））1-λ.因为f是严格对数凸的，所以我们有f（λx+（1）- λ） y）<f（x）λf（y）1-λ. （2） 类似地，因为g（x）是对数凸的：g（λx+（1- λ） y）≤ g（x）λg（y）1-λ. （3） 将（2）和（3）相加，我们得到：f（λx+（1）- λ） y）+g（λx+（1）- λ） y）<f（x）λf（y）1-λ+g（x）λg（y）1-λ.表示a=f（x），b=f（y），c=g（x），d=g（y）。注意a，b，c，d>0。为了证明引理的claimo，有必要证明：aλb1-λ+cλd1-λ≤ （a+c）λ（b+d）1-λ. （4） 因为（a+c）λ（b+d）1-λ> 我们可以用这个表达式除以（4）的两部分得到aa+cλbb+d1.-λ+钙+碳λdb+d1.-λ≤ 1.通过加权AM-GM不等式[6，定理7.6，第74页]：aa+cλbb+d1.-λ≤ λaa+c+（1）- λ） bb+DAD钙+碳λdb+d1.-λ≤ λca+c+（1）- λ） 因此，aa+cλbb+d1.-λ+钙+碳λdb+d1.-λ≤ λ + (1 - λ） =1，这证明了引理中的说法。本文中经常使用的一个重要定义是凸变换。我们说，如果存在一个（严格）凸函数f，则f（x）=（f）是一个（严格）凸变换o f） （x）=f（f（x））。引理3。让f，f:I→ R使得f-1存在。然后fis是fif的（严格）凸变换，且仅当组合fo F-1是（严格地）凸的。证据见[18]。还记得函数f:I→ R称为凹当且仅当-f是凸的。因此函数f:I→ R是对数凹的当且仅当1/f是对数凸的。因此，本节中的定义和结果可以很容易地适用于（对数）凹度。2.2优先权Let X R+是一组结果。我们假设X是包含0的非负实数的区间。

自然的解释是，结果是货币的（对于一种不可分割的货币），但这不是必要的。设T=[0，∞)是一组时间点，其中0对应于当前时刻。Cartesianproduct X×T将与一组定时结果相一致，即一对（X，T）∈ 当决策者在t时间段收到X，而在t时间段的所有其他时间段收到Nothing时，X×被理解为一个有日期的结果。假设决策者在超时结果集合上有一个优先顺序< 表达严格的偏好和~ 冷漠。我们说一个效用函数u:X×T→ R表示优先顺序<，如果为所有x，y∈ X和所有t，s∈ 当且仅当U（x，t）≥ U（y，s）。这是一个贴现效用（DU）表示，如果u（x，t）=D（t）u（x），（5），其中u:x→ R是一个连续且严格递增的函数，u（0）=0，d:T→ （0，1]是连续且严格递减的，因此D（0）=1且limt→∞D（t）=0。函数u称为瞬时效用函数，D称为与<相关的折扣函数。我们说这对（u，D）为<<提供了折扣效用表示。Fishburn和Rubinstein[7]为折扣效用表示提供了公理基础。附录中给出了他们的公理清单。Weassume在整篇论文中都有折扣效用表示。由于D在严格减少，我们的决策者总是不耐烦。然而，随着时间的推移，她的不耐烦可能会增加或减少。定义1（[19]）。如果所有σ>0，所有σ均为0，则偏好顺序<表现出（严格地）减少不耐烦（DI）≤ t<s，所有结果y>x>0，等效性（x，t）~ （y，s）意味着（x，t+σ）4[] （y，s+σ）。通过逆转最终偏好排名指标1，可以定义日益增加的不耐烦（II）。

然而，我们在本文中关注DI偏好，因为这似乎是与经验相关的情况。与前一句一样，我们还可以根据上下文将首字母缩略词“DI”交替用作名词（“减少不耐烦”）和形容词（“减少不耐烦”），以表示所要表达的意思。如果偏好顺序<具有折扣效用表示，则DI在折扣函数方面的特征是众所周知的。命题4（[10,19]）。设<是一个带有折扣函数D的折扣效用表示的优先顺序。以下条件是等价的：o优先顺序<附件（严格地）DI；oD（严格地）在[0]上是对数凸的，∞).[10，定理3.3]中的证明可以很容易地适用于证明一个类似的结果，以增加耐用性：偏好顺序<当且仅当D在[0]上（严格）对数凹，∞).如果偏好顺序<显示（严格）DI，则我们说贴现函数D是（严格）DI，并且具有贴现函数D的贴现效用表示。接下来，我们表明，具有贴现效用表示的偏好顺序<显示严格DI，当且仅当其显示Jackson和Yariv意义上的当前偏差[11，p.4190]。然而，需要注意的是，Jackson和Yariv假设时间是离散的，而我们允许时间是连续的。因此，以下定义2是其当前偏差定义的连续时间模拟。定义2（目前的偏见）。