聚合时间偏好，减少不耐烦

如果（i）（x，t）4（y，s）意味着（x，t+σ）4（y，s+σ）对于每个x，y，每个σ>0和每个y，t∈ 这样就可以了≥ 0; 和（ii）对于每个s，t∈ T与s>T≥ 每σ>0存在x*还有y*这样（x*, t+σ） （y）*, s+σ）和（x）*, （t） （y）*, s） 。命题5给出的条件相当于贴现效用表示的偏好的当前偏差：命题5。假设<具有折扣效用表示。定义2的初始条件等价于lnd（t）的凸性；定义2的第二个条件等价于lnd（t）的严格凸性。证据我们首先证明第一个等价性。由于存在贴现效用表示，第一个条件相当于：u（x）D（t）≤ u（y）D（s）意味着u（x）D（t+σ）≤ u（y）D（s+σ）对于每个x，y，每个σ>0和每个s，t∈ T与s>T≥ 0.这可以重写如下：u（x）≤D（s）D（t）u（y）意味着u（x）≤D（s+σ）D（t+σ）u（y）。由于（y，s）<（x，t），s>t和D严格递减，因此u（y）>u（x）。Asu（0）=0，并且u严格递增，我们推断u（y）>0。因为u是连续的，所以可以选择x和y，使得u（x）/u（y）取[0,1]中的任何值。因此我们有：D（s）D（t）≤D（s+σ）D（t+σ）。或者，lnd（s）+lnd（t+σ）≤ lnd（s+σ）+lnd（t）（6）对于每个σ>0和s，t∈ T与s>T≥ 不等式（6）等价于Lnd（t）的凸性。Jackson和Yariv在2014年的论文（此处引用）和2015年的论文[12]中对偏见的定义不一致。我们坚持前一种定义。第二部分是类比证明。

在贴现效用表示下，第二个条件等价于以下条件：对于每个s，t∈ T与s>T≥ 0且每σ>0存在x*还有y*这样：u（x）*)D（t+σ）<u（y）*)D（s+σ）但u（x*)D（t）>u（y）*)D（s）。等价地，D（s）D（t）u（y*) < u（x）*) <D（s+σ）D（t+σ）u（y）*).因为（y*, s+σ）优先于（x*, t+σ）随着s>t，我们推断u（y*) > 因此，D（s）D（t）<D（s+σ）D（t+σ）。对于每一个s，t，这个不等式等价于：lnd（s）+lnd（t+σ）<lnd（s+σ）+lnd（t）（7）∈ T与s>T≥ 0和每个σ>0。不等式（7）成立当且仅当ifln D（t）是严格凸的。命题5意味着，当贴现效用表示存在时，定义2的初始条件遵循第二个条件，因为Lnd（t）的严格凸性意味着Lnd（t）的凸性。一个直接的结果是，目前的偏见相当于严格的DI，如下所述：推论6。假设偏好顺序<允许折扣效用表示。当且仅当<显示出严格的DI时，它显示出当前的偏差。3.比较DI3。1由于有两个决策者，而且他们都越来越不耐烦，更多的DI和对数凸性就出现了。说其中一个比另一个更不耐烦是什么意思？这个问题的答案在于以下定义：定义3（参见[19]，定义2；[4]，定义1）。

我们说，<比<表现出更多的DI，如果每σ>0，每ρ，每s，t∈ T与0≤ t<s Andery x，x，y，y∈ 当y>X>0和y>X>0时，条件（X，t）~（y，s），（x，t+σ）~（y，s+σ+ρ）和（x，t）~（y，s）暗示（x，t+σ）4[] （y，s+σ+ρ）。毫不奇怪，在两种偏好关系都有折扣效用表示的情况下，（严格地）更多DI关系可以用相应折扣函数的对数的比较凸性来表示。由于ρ的符号在定义3中不受限制，它实际上适用于参展商减少或增加不耐烦的偏好。命题7（参见[19]，命题1）。设<和<是两个分别由（u，D）和（u，D）表示的折扣效用的偏好次序。以下条件是等价的：（i）偏好顺序<严格地显示出>大于>的DI；（ii）ln D（D）-1（ez））在z上是（严格）凸的(-∞, 0].证据见附录。我们遵循Prelec在[19]中对命题1的论证。对于更严格的DI情况，需要用严格凸性替换对数变换折扣函数的凸性。所需的调整并不重要，但我们提供了详细的证据，因为它澄清了Prelec原始版本中省略的一些细节[19]。注意，效用函数ua和udo的形式不影响偏好关系的比较性质。推论8。设<和<分别是折扣效用表示（u，D）和（u，D）的两个偏好关系，其中D（t）=δ和δ∈ (0, 1). 优先顺序<显示（严格）DI当且仅当其显示（严格）大于<。证据Prelec[19]证明了偏好关系是DI当且仅当其大于指数折扣函数。

我们证明了索赔的“严格”部分。因为D（t）=δ和δ∈ （0，1）我们已经-1（ez）=zlnδ≥ 0.根据命题7，对于<来说，严格地表现出比<更大的DI，这是必要的，并且能够满足ln D（D-1（ez））在z上是严格凸的(-∞, 0]. 然而，lnd（D-1（ez））=lndzlnδ= ln D（t），其中t=zlnδ∈ [0, ∞)当z取任意值时(-∞, 0]. 因此，lnd（D）的严格凸性-1（ez））在z上(-∞, 0]等价于[0]上t中lnd（t）的严格凸性，∞). 根据命题4，在[0]上，t中Lnd（t）的严格凸性，∞) 相当于显示出严格的DI。下面将使用以下符号：o如果数据和数据呈现相同的DI首选项，我们写D~是的如果DRE呈现的DI首选项比D多，我们写D<DID；o如果DRE比D严格地提供更多的DI首选项，我们就写D做根据Prelec[19]，以下推论刻画了来自同一DI类的任意两个折扣函数之间的关系。推论9（[19]）。对于任意两个折扣函数D和D，我们有D~仅当D（t）=D（t）c时，其中c>0是一个不依赖于t的常数。<D关系是一个偏序。事实上，“更多DI”和“严格更多DI”关系都是可传递的，这是在下面的命题中建立的。提议10。如果D<DID和D<DID，那么D<DID。如果D<D或D<D中至少有一个关系是严格的，则D做证据假设D<DID和D<DID。通过命题7，我们知道-1（ez）和ln D（D-1（ez））在z上是凸的(-∞, 0]. 定义hi=ln Difori∈ {1,2,3}，我们可以等价地表示ho H-1和ho H-1.凸面(-∞, 0].为了证明及物性，有必要证明lnd（D-1（ez））在z上是凸的(-∞, 0]，或相当于ho H-1是凸的(-∞, 0].设f=ho H-1和f=ho H-1.然后D-1（ez）= HH-1（z）= 啊-1.啊-1（z）= Fo f（z）=f（z）。根据这个假设，fand fare是凸函数。

请注意，随着两个递减函数的组合h的增加，fis增加-1.实际上，h=ln Dis是严格递减函数，与Dis严格递减一样，h-1是一个递减函数，是递减函数h的倒数。引理1则意味着f（z）=fo f（z）=lndD-1（ez）是凸的，如果fi对于某些i是严格凸的，则f是严格凸的∈ {1,2}.3.2时间偏好率和DII指数在这一节中，我们假设D是两次连续可微的。时间偏好率r（t）定义如下：r（t）=-D（t）D（t）。下面的引理将DI性质与r（t）的行为联系起来。引理11。设<是一个与DU表示（u，D）的偏好关系，其中D是连续可微的。然后，下列条件是等价的：（i）偏好关系（严格地）表现为DI；Takeuchi[26]包含了一个相关的结果。他的推论1说，当且仅当偏好表现出减少（增加）的不耐烦时，危害函数正在减少（增加）。Takeuchi的危险函数h（t）对应于我们的时间偏好率r（t）。然而，Takeuchi没有分析严格减少不耐烦的案例。（ii）时间偏好率r（t）在[0]上（严格地）减小，∞).证据假设r（t）在[0]上递减，∞). 这相当于tor（t）=-D（t）D（t）- （D（t））D（t））=（D（t））- D（t）D（t）D（t）≤ 0.或者，DD- （D）≥ 这个不等式等价于D的对数凸性，根据命题4，这意味着偏好顺序表现为DI。为了证明严格微分偏好和严格递减时间偏好的等价性，回想一下连续微分函数r:r+→ R严格递减当且仅当R（t）≤ 0表示所有t，且集合{tr（t）=0}不包含非平凡区间[25,23]。

如果函数v在开区间I上可微 R、 那么vis在I上严格凸当且仅当vis在I上严格增加[23]。假设r（t）在[0]上严格递减，∞). 让我 R+是一组t值，使得R（t）<0。然后D（t）D（t）- [D（t）]>0表示所有t∈ 由于R+\\M不包含非平凡区间，R（t）严格递减等价于D严格对数凸。Prelec[19]提出了一种测量可适当区分贴现函数的贴现水平的方法。由于更多的DI偏好具有更为对数凸的折扣函数，自然标准将是折扣函数对数凸性的某种度量。Arrow-Pratt系数是一个函数凹度的度量，可以用于此目的。事实上，时间偏好率r（t）是不变的≤ 0，这与普拉特[18]中降低风险规避的概念非常相似。回想一下，D是一个两次连续可微分函数。相关冲击率IR（D）定义如下：IR（D）=-DD.D的DI指数，表示为IDI（D），是不耐烦率和时间偏好率之间的差异：IDI（D）=IR（D）- r（D）=-DD--DD.注意IDI（D）（t）=-r（t）r（t）=-ddtln[r（t）]。（8） Prelec[19]证明了如果<和<都具有具有两次连续可微折扣函数的DU表示，并且分别证明了<比<如果且仅当IDI（D）表现出更多的DI≥ 间隔[0，∞). 下面的命题加强了这个结果。提议12。设<和<分别具有折扣函数Dand和D的DU表示，其中Dand可以连续两次微分。那么参考顺序<比<当且仅当IDI（D）严格地表现出更多的DI≥ 在区间[0，∞) 而且{t|IDI（D）（t）=IDI（D）（t）}不包含非平凡区间。证据

Prelec的[19，命题2]证明应用了Arrow-Pratt系数[18]，该系数用于比较函数的凹性。普雷克的论点不能直接适用于严格凹性的情况。因此，我们直接改编普拉特[18]的原始论证。回想一下，Dis严格地比Dif更凸，并且仅当[0]上的ln（D）严格地比ln（D）更凸，∞). 设h=ln（D）和h=ln（D），则直接递推函数。函数严格来说比hon凸(-∞, 0]当且仅当存在严格凸变换f，使得h=f（h），或等价地，hH-1（z）是严格凸的(-∞, 0].h的一阶导数H-1（z）is:dhH-1（z）dz=hH-1（z）HH-1（z）. （9） 我们需要证明表达式（9）是严格递增的。注意，h-1（z）是严格递减的，因为他严格递减。因此，当且仅当h（x）时，（9）严格增加h（x）是严格递减的。如果且仅当iflog满足后者h（x）h（x）（10） 严格减少（因为log（x）严格增加）。（10）的第一个导数是：h（x）h（x）·h（x）h（x）- h（x）h（x）[h（x）]=h（x）h（x）-h（x）h（x）因此（10）是严格递减的当且仅当且仅当h（x）h（x）-h（x）h（x）≤ 还有布景十、h（x）h（x）-h（x）h（x）=0不包含非平凡间隔。注意：hihi=DiDi-滴滴。因此，h（x）h（x）-h（x）h（x）≤ 0相当于-DD--DD≥ -DD--DD.这意味着D如果且仅当IDI（D）≥ [0]上的IDI（D），∞), 而且{t|IDI（D）（t）=IDI（D）（t）}不包含非平凡区间。从命题12，引理11和（8）可以得出，<is DI当且仅当IDI（D）≥ 0on[0，∞), 且<严格为DI当且仅当IDI（D）≥ [0]上的0，∞) 而且{t|IDI（D）（t）=0}不包含非平凡区间。请注意，对于指数discount函数，DI的索引等于零。下面的例子说明了广义双曲函数的DI指数。

我们稍后将利用这些信息。例1。函数D（t）=（1+ht）-当h>0且α>0时，α/h被称为广义双曲贴现函数。对于这个函数，我们有：r（t）=α（1+ht）-1和IR（D）（t）=（α+h）（1+ht）-1.因此，IDI（D）（t）=h（1+ht）-1.如果D（t）=（1+ht）-α/手D（t）=（1+ht）-α/hare两个广义双曲折扣函数，然后D<DI[如果且仅如果≥ [>]h。因此，参数h可用于衡量广义超字母折扣函数的DI程度，而参数α对IDI（D）没有影响。我们称之为双曲线贴现率。α=h>0的广义双曲贴现函数的特例称为比例双曲贴现函数。4折扣函数的混合如引言所述，在某些情况下，需要计算折扣函数的凸组合（混合）。4.1两种情况第一种情况是，当一组决策者具有不同的贴现函数，并且需要构造社会贴现函数时，可以使用贴现函数的凸组合。自然选择是平均个体之间的折扣函数，这相当于当所有代理具有相同的效用函数时平均折扣效用。这种方法已广泛应用于有关时间偏好的现有文献（[11]）。实际上，假设我们有一组代理M={1，…，M}。假设agenti具有DU表示（u，Di）的时间首选项。因此，所有代理都具有相同的性质，<is II当且仅当IDI（D）≤ [0]上的0，∞) 严格地说，当且仅当IDI（D）≤ [0]上的0，∞) 而且{t|IDI（D）（t）=0}不包含非平凡区间。瞬时效用函数。

然后我们定义了集体（效用）效用函数^u（x）=mu（x），时间t的集体总效用为^u（x，t）=mXi=1Di（t）u（x）=mmXi=1Di（t）！^u（x）。因此，我们得到了集体折扣函数D=mPmi=1Di。在第二种可能的情况下，Sozou[24]和Weitzman[27]讨论了一个单一的决策者，她的贴现函数存在一些不确定性。例如，可能存在无法存活到任何给定时间t的可能性，该时间t由具有不确定（恒定）危险率的asurvival函数描述[24]。然后，该决策者的预期贴现函数可以计算为可能最终产生的不同贴现函数的加权平均值。如果贴现函数与概率pi一致，那么决策者的预期效用是^U（x，t）=mXi=1piDi（t）U（x）=mXi=1piDi（t）！u（x）。确定性等价折扣函数将为D=Pmi=1piDi。在这两种情况下都会出现同样的问题：如果所有的分量折扣函数都表现出DI，那么是否有可能对不同折扣函数的凸组合与其分量相比的行为得出一些结论？4.2折扣函数与减少不耐烦的混合给定一组折扣函数{D，D，…，Dn}，我们定义了它们的混合asD=nXi=1λiDi，其中0<λi<1表示所有i，pni=1λi=1。

请注意，我们定义了一种混合物，使每种混合物的重量都严格为正。我们首先讨论与折扣函数混合相关的一些已知结果。Jackson和Yariv[11]得出了一个最新的结果，他们证明，如果一个群体中的所有决策者都有指数折扣函数，但他们并非都有相同的折扣因子，那么他们的集体折扣函数一定存在偏差。几位作者（例如[20]和[22]）也指出，时间偏好与风险偏好有很大的相似性，风险理论的一些结果与跨期选择相关。普拉特[18]表明，在线性组合下，风险厌恶程度的降低是保持不变的。正如第3.2节所观察到的，减少风险规避类似于非减少时间偏好率，或贴现函数的DI。因此，普拉特的结果可以转化为我们的时间偏好框架，如下所示：命题13（参见[18]，定理5）。让<、<、<n具有两次连续可微折扣函数D，分别是Dn。假设<，<<纳尔·迪。LetD=nXi=1λiDi，是D，…，的混合物，Dn。那么D就是DI。当且仅当{t | r（t）=r（t）=…=rn（t）和r（t）=r（t）=…=rn（t）=0}不包含非平凡区间时，它是严格的DI。证据根据时间偏好率的定义，Di=-对于alli=1，n、 D的时间偏好率为：r=-DD=-Pni=1λiDiD=nXi=1λiDiDri。通过引理11，为了证明D展示DI，我们必须证明r（t）≤ 0:r=nXj=1λjDjPni=1λiDi- λjDjPni=1λiDiDrj+nXj=1λjDjDrj。重新排列和替换Di=-我们得到：r=nXj=1λjdrj+QD，其中q=-nXj=1“λjrjDjnXi=1λiDi- λjDjnXi=1λiriDi#rj这是D，D。