多元Hawkes过程的统计意义

结合第6节中的拟合优度测试，这证实了我们的数据中观察到的事件强度的驱动因素似乎比较少的指数核所显示的更高的归因于自我和交叉兴奋效应，如三指数核所捕获。2016年4月14日23:16预印˙002多元霍克斯过程的统计意义适用于限制订单数据179上午10点上午11点中午1点下午2点下午3点下午4点。010.020.030.04时段开始时间基线强度GRT 01-九月-2013年至27日-九月-20139上午10点上午11点中午1点下午2点下午3点4点。010.020.030.04时段开始时间基线强度GRT 30-九月-2013至31-十月-2013年图。8.所有事件的平均每小时基线强度蓝线表示每小时的平均值，误差条反映了样本中各天的变化。上午9点中午2点上午9点中午2点上午9点中午2点。010.020.030.04时段开始时间基线强度GRT 01-九月-2013年至27日-九月-2013年M=1M=2M=39:00正午2:00上午9:00正午2:00上午9:00正午2:00。0050.010.0150.020.025周期开始时间基线强度GRT 30-九月-2013至31-十月-2013年图。9.内核的基线强度。交易日分为三个时段（上午、中午、下午），具有分段线性强度。彩色线对应于给定时期的平均外生强度，针对每个内核进行校准，误差条反映日常变化。2016年4月14日23:16预印本˙00218 R.Martins，D.HendricksBranching Ratios回顾等式4.1给出的分支比率定义，我们观察了根据图10中校准参数计算的自激分支比率，其汇总统计数据见表7和表8。直观地说，投标和报价的分支比率更高，在这两个数据集中，每天的事件远远多于交易。

和异源强度一样，我们发现第二个数据集具有较低的分支比率，对应于较低的事件率。奇怪的是，我们观察到，与随指数数量减少的异源强度相反，随着指数数量的增加，分支梯度实际上会增加；由此我们推测，增加模型中指数的数量可以使我们获得更多的个体自我和相互激励效应，从而减少被外部因素吸收的效应强度。事件1事件2事件3事件4M平均Std平均Std平均Std平均Std平均Std 1 0.2158 0.0826 0.1703 0.0626 0.3990 0.0939 0.4377 0.14892 0.2911 0.0972 0.2430 0 0.0753 0.4179 0.1212 0.4756 0.14163 0.3055 0.0863 0.2801 0.0740 0.4320 0.1184 0.4938 0.1347表7。分支比率统计，2013年9月1日至2013年9月27日。显示数据集中每天计算的每个事件分支比率分布的平均值和标准偏差（std）。事件1事件2事件3事件4M平均Std平均Std平均Std平均Std平均Std平均Std 1 0.1705 0.0985 0.2003 0.0744 0.3212 0.1186 0.3413 0.12232 0.2346 0.1135 0.1941 0.0720 0.3724 0.1130 0.3897 0.10483 0.2821 0.1080 0.2520.0965 0.3860 0.0996 0.4256 0.1102表8。分支比率统计，2013年9月30日至2013年10月31日GRT。显示数据集中每天计算的每个事件分支比率分布的平均值和标准偏差（std）。4月14日，2016年23:16预印本˙002多变量霍克斯过程的统计意义适用于限制订单数据1900.10.20.30.40.50.60.70.8买卖交易出价出价出价渐进事件类型分支比率M=1M=2M=3（a）GRT 2013年9月1日至201300.10.20.30.40.50.6买卖交易出价出价渐进事件类型分支比率M=1M=3（b）GRT 2013年9月30日2013年至10月31日。10

按核划分的分枝比率的盒状图和须状图。水平黑线表示中间值，方框边缘表示四分位数，胡须表示最远的非外围数据点，红色圆圈表示异常值。半衰期回顾等式4.3给出的半衰期定义，我们观察了根据图11中校准参数计算的半衰期，表9和表10也给出了它们的汇总统计数据。我们注意到，计算出的半衰期似乎随着每个数据集中内核数量的增加而增加。考虑到3指数核的优越性，如第7节所示。2.2，这表明自激和互激效应的持续时间可能比其他模型公式下的明显时间长。如果我们比较表9和表10中的两个数据集，我们注意到，在第二个阶段，所有事件类型的半数存活率都显著较高，具有更高的可变性。我们注意到，2013年9月30日，约翰内斯堡证券交易所的交易费用结构发生了重大变化，以前与交易所相关的交易成本成本被基于价值的成本所取代，从而降低了小额交易的有效成本（JSE（2013a，b，2014））。这似乎显著改变了极限指令簿中各种事件类型的活动，尤其是自激和互激效应的衰减时间。长期研究应该从可靠性的角度研究观察到的限价指令簿动态变化的驱动因素。2016年4月14日23:16预印本˙00220 R.Martins，D.HendricksEvent 1事件2事件3事件4M平均Std平均Std平均Std平均Std平均Std平均Std 1.8904 4.9476 0.4765 1.5974 2.1506 2.1701 2.1929 3.70942 16.4678 24.3440 7.9023 9.5129 7.3177 5.7793 10.6777 10.17563 22.1760 27.4824 16.4143 14.9053 15.1500 10.0538 18.3472 11.1086表9。半衰期统计，GRT 2013年9月1日至2013年9月27日。

显示数据集中每天计算的每个事件半衰期（以秒为单位）分布的平均值和标准偏差（std）。事件1事件2事件3事件4M平均Std平均Std平均Std平均Std平均Std 1 0.5612 0.9662 1.3043 2.5518 1.2565 1.4263 1.9951 3.40892 38.1799 149.2049 2.4064 4.4341 13.3515 19.9383 13.5566 17.52313 56.0999 104.3957 43.6318 125.2765 28.2081 36.7412 35.8443 64 64.7057表10。《半衰期统计》，GRT 2013年9月30日至2013年10月31日。显示数据集中每天计算的每个事件半衰期（以秒为单位）分布的平均值和标准偏差（std）。买卖买卖买卖出价出价优惠事件类型一半-寿命M=1M=2M=3（a）GRT 2013年9月1日至2013年9月27日买卖买卖买卖买卖出价出价优惠事件类型一半-寿命M=1M=2M=3（b）GRT 2013年9月30日至10月31日图。11.按内核划分的半衰期的盒须图。水平黑线表示中间点，方框边缘表示四分位数，胡须表示最远的非外围数据点，红色圆圈表示最远的数据点。8.结论本文的关键调查是确定多变量霍克斯过程的统计意义，该过程适用于限制从约翰内斯堡证券交易所（JSE）获得的订单簿数据。考虑到使用分段线性外生因子和一、二、三个指数核来控制的模型规格，2016年4月14日23:16预印本˙002多元Hawkes过程的统计意义适用于限制订单数据21强度的内生性，我们测试了校准模型的残差，以评估其分布和平稳性。

我们发现，三个指数核的总和对四变量霍克斯过程的效果最好，该过程根据从JSE限额订单簿数据中提取的关键流动性需求和补货事件进行校准。这有助于使用流动性补充强度的校准幅度和时间尺度参数对订单弹性进行更准确的量化。确认本研究部分基于南非国家研究基金会（授权号89250）支持的研究。本文的结论是作者的责任，NRF对此不承担任何责任。作者感谢黛安娜·威尔科克斯和蒂姆·格比的评论和建议。参考资料：阿伯格尔，F.，阿南，M.，查克拉博蒂，A.，杰迪，A.，托克，I.，2015年。限制订购书籍。工作文件。URL http://fiquant。妈妈。ecp。fr/wp content/uploads/2015/10/Limit Order BookModeling。pdfBacry，E.，Dayri，K.，Muzy，J.，2012年。symmetrichawkes过程的非参数核估计。高频金融数据的应用。《欧洲物理学杂志》B 85（157）。Bacry，E.，Mastromatteo，I.，Muzy，J.，2015年。Hawkes处理财务问题。市场微观结构和流动性1（1）。Bacry，E.，Muzy，J.，2014a。价格和交易高频动态的霍克斯模型。定量金融14（7），1147-1166。Bacry，E.，Muzy，J.，2014b。霍克斯过程的二阶统计特征和非参数估计。工作文件。统一资源定位地址http://arxiv.org/pdf/1401.0903.pdfBiais，B.，Hillion，P.，Spatt，C.，1995年。巴黎证券交易所限价指令簿和指令流的实证分析。《金融杂志》501655-1689。Bowsher，C.，2005年。连续时间的证券市场事件建模：基于强度的多变量点过程模型。《计量经济学杂志》141（2），876-912。达索斯，A.，赵，H.，2013年。具有指数衰减强度的霍克斯过程的精确模拟。

概率论中的电子通信18（62），1-13。Degryse，H.，deJong，F.，Ravenswaaij，M.，Wuyts，G.，2005年。激进的指令和限制指令市场的可靠性。财务回顾9（2），201-242。恩格尔，R.，罗素，J.，1998年。自回归条件持续时间：不规则间隔事务数据的新模型。《计量经济学》6611271162。菲利莫诺夫，V.，索内特，D.，2012年。量化金融市场的反应：预测金融崩溃。物理回顾E 85（5），1065-1073。菲利莫诺夫，V.，索内特，D.，2013年。hawkesself激发点过程模型中的明显临界性和校准问题：应用于高频金融数据。工作纸。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1308.6756GouldM.波特M.威廉姆斯S.麦克唐纳M.芬恩D.豪森S.2013。我点书。工作文件。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1012.0349April2016年12月14日23:16预印本˙00222 R.Martins，D.HendricksHardiman，S.，北伯科特，布肖德，J.，2013。金融市场的关键反应：ahawkes过程分析。《欧洲物理学杂志》B86（10），1-9。哈迪曼，S.，布沙德，J.，2014年。自激发Hawkes过程的分支比近似。工作文件。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1403.5227Harvey，M.，亨德里克斯，D.，盖比，T.，威尔科克斯，D.，2016。费用重组下小交易量的预期价格影响偏差。工作文件。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1602.04950Hawkes，A.，1971年。一些自激和互激点过程的光谱。Biometrika 58（1），83-90。JSE，2013a。股票市场价格表（检索日期：2016年2月1日）。统一资源定位地址http://tinyurl.com/gqya25yJSE，2013b。Jse股票市场交易计费模式方法变更通知，Jse市场通知第136号（检索日期：2016年2月1日）。统一资源定位地址http://tinyurl.com/hvht39jJSE, 2014.

股票市场价格表2014 v1。1（检索日期：2016年2月1日）。统一资源定位地址http://tinyurl.com/jdlt38xKolmogorov，A.，1933年。这是一个经验决定论。G.伊斯特。意大利。Attuari 4，83-91。奎托夫斯基博士，菲利普斯，P.，施密特，P.，申，Y.，1992年。根据单位根的选择检验平稳性的无效假设。《计量经济学杂志》54（1-3），159-178。拉鲁阿奇，M.，哥伦比亚特区查勒特，2016年。霍克斯过程的统计意义局限于财务数据。定量金融16（1），1-11。拉格，J.，2007年。测量电子限额订单簿的弹性。金融市场杂志10，1-25。刘易斯，P.，谢德勒，G.，1979年。通过细化模拟非齐次泊松过程。海军研究后勤季刊26（3），403–413。林郑，G.，博克斯，G.，1978年。在时间序列模型中缺乏fit的度量。生物计量学65（2），297-303。马丁，R.，2015年。相互激励的霍克斯过程对jse数据的统计意义。AMF荣誉项目，威特沃特斯兰德大学，比亚迪的监督。亨德里克斯。Mazibuko，K.，2014年。量化大型交易后jse限额订单簿的弹性。AMF荣誉项目，威特沃特斯兰德大学，由D.亨德里克斯监督。绪方，纽约州，1988年。地震发生的统计模型和点过程的残差分析。《美国统计协会杂志》83（401），第9-27页。绪方，纽约州，1999年。通过点过程建模进行地震活动性分析：综述。纯地球物理和应用地球物理155（2），471-507。T.小崎，1979年。霍克斯自激点过程的极大似然估计。《统计数学研究所年鉴》31（1），145–155。斯米尔诺夫，北卡罗来纳州，1948年。估算经验分布优度的表。《数理统计年鉴》19279-281。维尔·琼斯，哥伦比亚特区，1970年。地震发生的随机模型。

皇家统计学会杂志，B辑（方法学）32（1），1-62。