多元Hawkes过程的统计意义

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英文标题：
《The statistical significance of multivariate Hawkes processes fitted to
  limit order book data》
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作者：
Roger Martins, Dieter Hendricks
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Hawkes processes have seen a number of applications in finance, due to their ability to capture event clustering behaviour typically observed in financial systems. Given a calibrated Hawkes process, of concern is the statistical fit to empirical data, particularly for the accurate quantification of self- and mutual-excitation effects. We investigate the application of a multivariate Hawkes process with a sum-of-exponentials kernel and piecewise-linear exogeneity factors, fitted to liquidity demand and replenishment events extracted from limit order book data. We consider one-, two- and three-exponential kernels, applying various tests to ascertain goodness-of-fit and stationarity of residuals, as well as stability of the calibration procedure. In line with prior research, it is found that performance across all tests improves as the number of exponentials is increased, with a sum-of-three-exponentials yielding the best fit to the given set of coupled point processes.
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中文摘要：
由于霍克斯过程能够捕捉金融系统中通常观察到的事件聚集行为，因此它在金融领域有很多应用。考虑到校准的霍克斯过程，值得关注的是与经验数据的统计拟合，尤其是对于自激和互激效应的精确量化。我们研究了具有指数核和分段线性外生因子的多元Hawkes过程的应用，该过程适用于从限额订单数据中提取的流动性需求和补货事件。我们考虑一个、两个和三个指数核，应用各种测试来确定拟合优度和残差的平稳性，以及校准程序的稳定性。与之前的研究一致，我们发现，随着指数数量的增加，所有测试的性能都会提高，三个指数之和会产生对给定耦合点过程集的最佳拟合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> The_statistical_significance_of_multivariate_Hawkes_processes_fitted_to_limit_or.pdf (676.05 KB)

2022-5-11 05:01:56 上传

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关键词：Hawk Exponentials Multivariate Quantitative significance

2016年4月14日23:16预印本˙002适用于限制订单数据的多变量Howkes过程的统计显著性Roger MARTINSDIETER HENDRICKS*威特沃特斯大学计算机科学与应用数学学院，约翰内斯堡，威特沃特斯2050，南非版本1.1（2016年4月14日）霍克斯过程在金融领域有很多应用，因为它们能够捕捉金融系统中通常观察到的事件聚集行为。考虑到经过校准的霍克斯过程，值得关注的是对经验数据的统计拟合，尤其是对自我和相互激励效应的准确量化。我们研究了具有指数核和分段线性外生因子之和的多元Hawkes过程的应用，该过程适用于从限额订单数据中提取的流动性需求和补货事件。我们考虑一个、两个和三个指数核，应用各种测试来确定残差的优度和平稳性，以及校准程序的稳定性。与之前的研究一致，我们发现，随着指数数量的增加，所有测试的性能都会提高，三个指数的asum对给定的耦合点过程集产生最佳效果。关键词：霍克斯过程；多元点过程；指数核；订单弹性1。引言Hawkes（1971）引入了一类具有随机强度向量的多元点过程，将事件发生聚类行为纳入耦合系统。最初的应用使用校准的霍克斯过程来测量地震和余震的条件强度，基于记录的数据（VereJones（1970），Ogata（1988，1999））。

在金融市场中，市场微观结构的实证研究强调了限额订单簿事件的明显聚集性，其中一些事件强度表现出依赖性行为（Biais等人（1995）、Gould等人（2013）、Abergel等人（2015））。考虑到单一事件类型及其对先前事件的时间依赖性，最简单的霍克斯过程是单变量的。这些模型包含一个外生或基线强度成分，对应于不受先前事件发生影响的事件强度，以及一个内源性强度成分，对应于发生的子事件的增加强度*通讯作者：迪特。hendricks@students.wits.ac.zaApril14，2016 23:16预印本˙0022 R.Martins，D.Hendricksafter a External parent event，从而捕捉人们通常期望的财务数据中的事件聚类。然后，多元霍克斯过程将其扩展到包括多种事件类型，我们进一步定义了一种事件类型的自激影响其自身类型的事件，以及一种事件的相互或交叉激发促成其他类型事件的发生。定义1.1。多元Hawkes过程考虑一个点过程N（t），使得p[4N（t）=1 | N（s）s≤t] =λ（t）4t+o（4t）和p[4N（t）>1 | N（s）s≤t] =o（4t）。对于多元点过程N（t）={Nr（t）：r=1，…，r}，r-变量相互激励的Hawkes过程的强度函数由λr（t）=ur（t）+tZ给出-∞RXr=1φr，i（t- u） dNi（u），其中ur（t）是事件类型φr的时间依赖性基线强度，i（t）是核函数，它对类型i的先前事件的依赖性进行编码，并满足以下条件（Bacry et al.（2015））：1）成分正向，即φr，i（t）≥ 每个1对应0≤ r、 我≤ R2）部件方面的因果关系，即。

如果t<0，则φr，i（t）=0表示每1≤ r、 我≤ R3）每个分量都属于L-可积函数的空间。点过程N（t）和强度向量λ（t）共同描述了霍克斯过程。Bacry等人（2015年）提供了一篇全面的综述文章，重点介绍了霍克斯流程在金融领域的许多应用。Bowsher（2005）考虑了第一个应用程序之一，该应用程序使用股票交易价格和中期报价变化时间的双变量点过程来模拟纽约证券交易所的波动性聚集。使用霍克斯过程研究的一个关键现象是金融市场的内生性（Filimonov和Sornette（2012年、2013年）、Hardimanet al.（2013年）、Hardiman和Bouchaud（2014年））。实证观察表明，在某些情况下，市场价格变化过快，无法严格归因于相关信息的流动，因此无法在经典经济理论中进行解释（Bowsher（2005））。通过考虑外源性母事件与内源性事件的比率，有可能获得市场反应的度量（Filimonovand Sornette（2012））。Degryse等人（2005年）、Large（2007年）、Bacry和Muzy（2014a）使用多变量霍克斯过程来量化限额指令簿（LOB）的弹性，即：。2016年4月14日23:16预印˙002流动性需求事件后，多元Hawkes过程的统计意义适用于限制订单数据3的报价补充属性。

通过从limitorder book中描述和提取关键流动性需求和补货事件，并使用适当的内核选择对事件的时间依赖性进行编码，Large（2007）声称可以使用校准的Hawkes过程来计算流动性需求事件后报价补货的概率和预期半衰期。我们确定了关键的积极流动性需求和补充事件，列举了经验事件点过程，用于模型校准和银行弹性的量化。本文的主要研究是为多变量Hawkes过程找到一个核心，该过程对从约翰内斯堡证券交易所（JSE）提取的经验数据具有重要意义。我们注意到，这项工作与Lallouache和Challet（2016）的精神非常一致，但我们正在确定符合观测事件数据的多变量Hawkes过程的统计意义。本文的工作如下：第2节描述了从限额指令簿数据中提取的关键流动性需求和补充点过程，这些过程用于校准霍克斯过程。第3节重点介绍了一些可用于对系统事件之间的时间依赖性进行编码的候选术语。第4节讨论了使用本分析中使用的经验和核时似然函数的推导。第5节讨论了模型校准程序和实施。第6节讨论了残差的分布和平稳性测试，以评估每个模型对所提供数据的拟合优度。第7节讨论了该分析的数据和结果，第8节提供了一些结论。2.使用滴答数据列举经验事件点过程典型的限额订单（LOB）事件包括交易、新报价、报价修改和报价取消（Abergel等人（2015））。

根据byLarge（2007）和Biais等人（1995）的建议，并考虑到我们数据的性质，我们定义了4种关键的积极流动性需求和补货事件类型，这些类型将用于描述订单弹性：o类型1：在两个流动性需求事件中的第一个事件中移动影响的买入交易，我们将积极的买盘交易定义为：交易价格高于最优惠价格，或等于最优惠价格，但交易量高于当前最优惠价格。这类交易被认为是激进的，因为它们实质上改变了限价指令簿的形状，推高了最优惠价格，扩大了价差，消除了流动性。正式地说，通过预先呈现交易价格、A最受欢迎的产品以及VP、VAtherevieve卷，我们将此活动类型表示为2016年4月14日23:16预印本˙0024 R.Martins，D.Hendrickslimit订单活动的以下子集：（P>A）∪（P=A）∩ （副总裁）≥ （弗吉尼亚州）o 第二种是激进抛售交易，交易价格低于当前最佳出价，或者与最佳出价相等，但交易量大于最佳出价时的可用交易量。类似地，这种交易被认为是侵略性的，因为它通过压低最高价、扩大价差和消除流动性来改变限额指令簿的结构。参考上述符号，仅补充B指的是最佳可用EBID价格，我们正式将激进抛售交易描述为以下子集：（P<B）∪（P=B）∩ （副总裁）≥ （VB）o 类型3：报价之间的出价在两个恢复性事件中的第一个事件中，积极出价是当前最佳出价和较低出价之间的出价。

它被认为是激进的，因为它改变了限额订单簿的结构，推高了最佳出价，减少了铺展，并通过更具竞争力的价格和增加的数量提供了流动性。和B*作为传入的投标报价，以及当前的最佳报价，我们使用与之前类似的符号正式描述了激进投标，如下子集：（B）*> Bp）o类型4：报价之间的差异在两个弹性事件中的第二个事件中，积极的报价被定义为当前最佳报价和有效报价之间的有效报价，被认为是积极的，因为它缩小了当前最佳报价和有效报价之间的差距，提供了流动性。用一个*作为即将推出的有效报价，以及即将推出的最佳报价，我们正式将积极的有效报价描述为以下子集：（A）*< Ap）虽然对我们的LOB弹性研究并不重要，但为了完整性，我们还确定并分类了以下被动事件类型：o类型5：被动买入交易这些买入交易不会对LOB流动性产生负面影响，因为它们不会影响当前的利差。如果P是交易价格，A是主要报价，VP和VAT是各自的交易量，被动购买交易将被分类为：（P=A）∩ （VP<VA）2016年4月14日23:16预印本˙002多元霍克斯过程的统计意义适用于限制订单数据5o类型6：被动卖出交易这些卖出交易不会对LOB流动性产生负面影响，因为它们不会影响当前利差。如果P是交易价格，B是主导报价，Vp和Vb是各自的交易量，被动卖出交易将被分类为：（P=B）∩ （VP<VB）o 第7类：被动报价这些报价是以高于1级的水平进入LOB的报价，因此不会影响现行价差。

如果B*是传入的投标报价，而Bp是现行的投标报价，被动投标报价将被分类为：（B）*< Bp）o第8类：被动卖出报价这些是以高于1级的水平进入LOB的有效报价，因此不会影响当前价差。如果*如果收益报价和API是主流报价，则被动报价将被归类为：（A）*> Ap）图1、2和3显示了4种关键事件类型的实测经验强度，展示了典型上午、中午和下午时段的事件聚集和相互激发。09:30 09:45 10:00 10:15 10:30-1012345 SBKJ的标准化强度。J 2013年9月25日（料仓宽度=5分钟）标准化强度时间类型1事件类型2事件类型3事件类型4事件图。1.在一个上午期间，4种关键事件类型的SBK的经验事件强度，证明了事件聚集和相互激发。点表示事件的到达时间，线表示5分钟的事件强度。2016年4月14日23:16预印本˙0026 R.Martins，D.Hendricks13:00 13:15 13:30 13:45 14:00-101234567 SBKJ的标准化强度。J 2013年9月25日（料仓宽度=5分钟）标准化强度时间类型1事件类型2事件类型3事件类型4事件图。2.午间4种关键事件类型中每种SBK的经验事件强度，表明事件聚集和相互激发。点表示事件的到达时间，线表示5分钟的事件强度。15:00 15:15 15:30 15:45 16:00-1.-0.500.511.522.533.54 SBKJ的标准化强度。J 2013年9月25日（料仓宽度=5分钟）标准化强度时间类型1事件类型2事件类型3事件类型4事件图。3.下午期间4种关键事件类型中每种SBK的经验事件强度，表明事件聚集和相互激发。

点表示事件的到达时间，线表示5分钟的事件强度。3.编码时间依赖性的候选核已经提出了若干核来建模事件的时间依赖性，这些核由应用程序或建模数据的动态所通知（Hardimanand Bouchaud（2014））。原则上，任何满足定义1.1中条件的内核都可以使用，但金融应用通常会考虑四种候选内核（Large（2007）、Bacry等人（2015）、Lallouache和Challet（2016））：4月14日，2016 23:16预印本˙002多元Hawkes过程的统计意义适用于限制订单数据7o指数之和：φM（t）=MXi=1αie-t/τi其中M是指数的个数，αi是Ith核的振幅，τi是Ith核的时间尺度。分支比计算为n=MPi=1αiτi.o近似幂律：φM（t）=nZM-1Xi=1a-(1+)ie-式中，ai=τmi，M是近似范围，M是其精度。Zis的定义如下：∞RφM（t）dt=n，n是分支比， 是尾指数，τ是最小的时间尺度具有短滞后截止的近似幂律（Hardiman等人（2013））：φM（t）=nZM-1Xi=1a-(1+)ie-泰- 硒-助教-1.其中，定义与近似幂律相同，加上比τ短的滞后的平滑指数下降。S的定义为φM（0）=0.oLallouache-Challet幂律和指数（Lallouache-Challet（2016））：φM（t）=nZM-1Xi=1a-(1+)ie-泰+贝-tτ这是一个近似幂律，带有一个附加的指数项，具有自由参数b和τ。

这使得时间尺度的结构更加自由。我们将考虑指数核之和，因为这将允许我们通过测量特定流动性需求/补货事件对的分支比率，以及补货的预期半衰期，来量化限制订单簿（LOB）弹性。Large（2007）使用了一个2指数核来量化LOB弹性，但目前尚不清楚两个指数是否适合我们的eventsdataset。因此，考虑到数据集中列举的事件过程，我们将研究M=1、2和3的优度，以确定内核的适当形式。我们注意到，最近的研究考虑了有效的非参数校准程序，用于估计对称Hawkes过程的分支比（Bacry等人（2012），Bacry和Muzy（2014b））。虽然我们已采取措施促进校准程序的稳定性（在第5节中讨论），但2016年4月14日23:16预印本˙0028 R.Martins，D.Hendricks进一步的研究应考虑这些非参数估计器的应用，以及它们在应用于从JSE LOB提取的数据时捕获完整模型结果的能力。4.推导具有指数核之和的最大似然估计，我们将考虑Lallouache和Challet（2016）中的阐述，并将其扩展到多元情况。指数核之和定义为φM（t）=MXi=1αie-t/τi.M项指的是每个事件类型要求和的指数的数量，α是单个指数的未标度强度，τ指的是与一个指数的强度相关联的特定指数，与通常呈现的β相反，β指的是τ的乘法逆，即衰减。重要的是，我们注意到，特定事件类型的分支比n表示为sn=MXi=1αiτi。