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英文标题：
《More on hedging American options under model uncertainty》
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作者：
David Hobson and Anthony Neuberger
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The purpose of this note is to reconcile two different results concerning the model-free upper bound on the price of an American option, given a set of European option prices. Neuberger (2007, `Bounds on the American option\') and Hobson and Neuberger (2016, `On the value of being American\') argue that the cost of the cheapest super-replicating strategy is equal to the highest model-based price, where we search over all models which price correctly the given European options. Bayraktar, Huang and Zhou (2015, `On hedging American options under model uncertainty\', SIAM J. Financial Math ematics) argue that the cost of the cheapest super-replicating strategy can strictly exceed the highest model-based price. We show that the reason for the difference in conclusion is that Bayraktar et al do not search over a rich enough class of models.
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中文摘要：
本文的目的是在给定一组欧式期权价格的情况下，调和关于美式期权价格的无模型上界的两个不同结果。Neuberger（2007年，《美国选择的界限》）和Hobson and Neuberger（2016年，《美国价值论》）认为，最便宜的超级复制策略的成本等于基于模型的最高价格，我们搜索所有正确定价给定欧洲选择的模型。Bayraktar，Huang和Zhou（2015，《关于模型不确定性下的美国期权套期保值》，暹罗J.金融数学ematics）认为，最便宜的超级复制策略的成本可以严格超过基于模型的最高价格。我们证明了结论差异的原因是Bayraktar等人没有搜索足够丰富的模型类。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> More_on_hedging_American_options_under_model_uncertainty.pdf (101.4 KB)

2022-5-11 05:11:10 上传

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关键词：美式期权 不确定性 不确定 确定性 Mathematical

更多关于模型不确定性下的美式期权套期保值David Hobson Anthony NeubergerApril 112016摘要鉴于一组欧式期权价格，本说明的目的是调和关于美式期权价格无模型上限的两个不同结果。Neuberger（2007年，Bo unds on the American option）和Ho bson and Neuberger（2016年，the value of beingAmerican）认为，最便宜的超级复制策略的成本等于基于模型的最高价格，我们搜索所有正确定价给定欧洲选项的模型。Bayraktar，Huangand Zhou（2015，《关于模型不确定性下的美国期权套期保值》，SIAM J.Financial Mathematics）认为，廉价超复制策略的成本可以严格超过最高模型基准价格。Weshow得出结论，差异的原因是Bayraktar等人没有搜索足够丰富的模型类别。1概述我们的结果可以用一个简单的离散时间离散空间树来描述，我们在这个环境下工作。让我们∈ N是固定的时间范围，让X=（Xt）0≤T≤股票价格过程。我们假设Xtis被约束在Xtwhere（Xt）0中≤T≤这是一个由时间t指数化的潜在价格水平的家族。我们在贴现宇宙中工作，所有现金价值都是相对于债券计价的，我们假设普通欧洲看涨期权的价格是为X给出的，因此X的一个边际（而非联合边际）是特定的。设a={a（t，X）}{t∈{0,1，…T}，x∈Xt}是美国期权的非负支付函数。我们的目标是考虑付款的最便宜超级复制价格ψa，并将该价格与基于模型的最高价格Φa联系起来，在找到基于模型的最高价格时，我们将搜索限制在正确定价香草欧洲选项的模型上。

Neuber-ger[6]和Hobsonand-Neuberger[5]认为不存在二元性缺口，即Φa=ψa。Bayraktar等人[4]认为，基于模型的最高价格可能严格低于最佳超级应用策略的成本。本说明的目的是调和这些相互矛盾的主张。例句2。我们主要通过研究一个简单的例子来着手。设T=2，设X={2}，X={1,3}，X={0,2,4}。我们假设在X上交易了一整套Arrow Debreu证券，但请注意，假设存在一个到期日为2的Arrow Debreu证券（或一个到期日为2且为K的单一欧洲Call证券）是足够的∈ （0,4）），与鞅性质一样，一个非平凡的到期日-2导数的价格足以指定X的边际定律。假设这些安全系数X X的时间-2定律为beP（X=0）=；P（X=2）=；P（X=4）=。（1） 注意，根据鞅性质，我们必须有P（X=1）=P（X=3）。假设美式期权在集合{X=1}上有payoff 1，在集合{X=4}上有payoff 8，否则为payoff零。图1描述了这种情况。（2,4 2/5,8）（2,2,1/5,0）（2,0,2/5,0）（0,2,1,0）（1,3,1/2,0）pqr（1,1,1/2,1）图1：可能路径的空间，以及美国索赔的支付。图中节点处的标签由四个组成，其元素分别是时间、价格水平、节点概率和美国期权的支付。这里的节点概率相当于Arrow Debreu证券的价格。图中还标注了节点间转移的p、q、r、s、t、uare条件概率。2.2超级复制在这种情况下考虑以下超级复制策略：购买1股股票并持有至到期或行使美式期权，以先到者为准。

此外，在s et{X=4}上购买单位支付的Arrow Debreu证券，即如果价格过程在时间2处于价格水平4。这种策略的成本是2+4×=。很容易检查这是一种超级复制策略（例如，如果当X=1时，美式期权在t=1时行使，那么股票以1的价格出售，这足以覆盖期权义务，如果X=4，则有可能进行严格的超级复制）。因此，被定义为最便宜的超级复制策略的成本ψa最多为。（我们将在第2.4节的最后评论中指出，上述策略是最便宜的超级复制策略，ψa=）注意：成本最低的超级复制策略不一定是唯一的。2.3基于车型的最高价格：首次通过。允许OhmXbe是通过节点的路径集，F是价格过程X生成的自然过滤。mf是X的鞅模型空间。鞅模型∈ mf可以用一组（条件）概率（pt，i，j）{t=0,1；i∈Xt，j∈Xt+1}其中pt，i，j=PM（Xt+1=j | Xt=i）和上标M表示我们在模型M下取概率。

根据X是a的要求(Ohm十、 F，PM）-鞅我们推导出p0，2，j=对于j∈ {1,3}=X，如果我们设置（见图1）p1,3,4=p；p1,3,2=q；p1,3,0=r；p1,1,4=s；p1,1,2=t；p1,1,0=uwe从鞅条件中发现（q=3-4p，r=p-, t=1-4s，u=1+2s）当p和s受约束时≤ P≤和0≤ s≤.我们可以将鞅模型M参数化∈ 通过p和s编写MFP，并为wh ich p1,3,4=p和p1,1,4=s的模型编写Mp，SFO。对于Mp，s∈ 考虑基于模型的价格φa（Mp，s）=supτE[a（τ，Xτ）]。通过考虑时间1可能状态下的最佳运动决策，我们发现φa（Mp，s）=max{1，8s}+8p=4（p+s）+（1- 8s）+。让QF MFbe是这种形式的鞅模型的空间，X的法则符合Arrow Debreu证券规定的法则。然后形成∈ 我们必须有P+s=。下院议员，s∈ QF，φa（Mp，s）=+（1）- 8s）+。这是在可行的p，s上最大化的，在p=，s=，我们发现ΦaF:=supMp，s∈QFφa（Mp，s）=特别是，正如Bayraktar等人[4]在一个稍微复杂的样本中指出的，ΦaF<ψa.2.4基于模型的最高价格：第二次通过。因为ΦaF<ψathis提出了一个imm-mediate问题：是否存在二元性差距？事实上，答案是否定的，严格的不等式ΦaF<ψ是因为第2.3节和Bayr aktar等人[4]所考虑的模型集非常丰富。在他们的分析中，Bayraktar等人【4】密切关注Bouchard和Nutz【2】中的设置。但是，Bouchardand Nutz的一个隐含假设是，它足以处理规范过程和自然过滤。

引用Acciaio等人[1]：“显而易见的方法是将协调过程本身是鞅的所有概率测度视为可容许鞅测度。”这与寻找超级套期保值和路径依赖（欧洲风格）支付价格的稳健边界（如[1]和[2]中的情况）无关，但这并不适用于美式期权。对于美式期权，我们必须考虑这样一种情况，即在期权启动后，基本期权的动态信息已经到达。此类信息可能会影响代理人的行权决定，从而影响美式期权的价值。考虑“M”，它是模型M、0和M的混合体，因此权重被放置在M、0和M上，。单独而言，M、0和M都不是QF的一个元素，但对于混合模型P＠M（X=4）=PM，0（X=4）+PM，（X=4）=×+++=因此，M与给定的价格一致。如果期权持有者在决定是否在t=1时行使期权之前，能够了解M、0或M中的哪一个描述了价格动态，那么他可以利用这些信息来重新确定他的止损规则，并获得更高的预期收益。为了描述了解价格动态的想法，我们需要扩展模型的概念，使其超越概率度量的概念(Ohm十、 F）。在稳健定价的背景下，我们得到了价格过程的1个边际规律，但我们没有得到潜在的概率空间。因此，我们将模型M定义为过滤概率空间(OhmM、 GM，GM=（GMt）t，PM）支持随机过程XM（即XMisGM调整），其中XM是价格过程。

鞅模型就是一个模型(OhmM、 GM，GM=（格林尼治标准时间，下午）表示XMA是(OhmM、 GM，PM）-鞅，一致性模型是一个鞅模型，使得pmi下的XM定律与给定的欧式期权价格一致，或者在我们的例子中，使得PM（XM=j）的概率与（1）中给出的概率一致。关键的一点是，样本空间不仅需要是通过树节点的路径集（或者只需要与树中的路径1-1对应），而且过滤可以严格大于价格过程的自然过滤。设M是所有鞅模型的空间，Q是所有相容模型的空间。Th en MF M和QF 问：现在，我们想描述一个模型，它能为美式期权获得最高一致的基于模型的价格。允许Ohm*= OhmX×{0，1}={（ωX，y）}当eωXis是通过树的路径时，即ωX=（X，X，X）与X=2，X∈ {1,3}=x和x∈ {0,2,4}=X。设X=（Xt）t=0,1,2b为第一坐标过程，因此Xj（ωX，y）=xjan，并设y为伯努利随机变量，使得y（ω，y）=y。最后，设Hbe为平凡；对于t=1，设Ht=σ（Y，Xs；s）≤ t） )；letH=（Ht）0≤T≤让我*做M型*= (Ohm*, H、 H，P*) 当X和Y在P下独立时*, P*（Y=0）==1- P*（Y=1）和P*（X=3）=P*（X=1）=与P一起*（X=k | X=j，Y）=I{Y=0}PM，0（X=k | X=j）+I{Y=1}PM，（X=k | X=j）。在模型M中*期权持有人在时间1了解动态是由M、0还是M控制，以及时告知其是否行使美式期权的决定。以X=1和Y=0为条件，使转换概率与M相同，0在t=1时行使是最佳的，美式期权的收益为1。在X=1和Y=1的条件下，如果转移概率与M相同，则最好不使用att=1，期权的预期收益为2。

在X=3的条件下，在t=1时等待是最优的，期权的预期收益为6。期权的无条件预期收益为××1+××2+×6=尤其是基于模型的期权价格φa（M*) 是我们有≥ ψa≥ Φa:=su-pM∈Mφa（M）≥ φa（M）*) =其中，第一个不平等源于第2.2节中给出的以成本为代价的自我复制策略的存在，第二个平等源于弱势，第三个不平等源于以下事实：*= (Ohm*, H、 H，P*)这是一个一致的模型。因此，整个过程都是相等的，ψa=Φai。e、 最便宜的超级应用策略的成本等于基于模型的最高价格。此外，如第2.2节所述，其中给出的策略是最便宜的超级应用策略，模型(Ohm*, H、 H，P*) 提供基于型号的最高价格。2.5讨论[5]中指出，美式期权的全部价值源于期权持有人根据新信息调整策略的能力。在事件风险的情况下尤其如此。如果价格动态取决于美式期权有效期内未来某个时间的某个事件，那么期权持有人可以根据该事件的结果调整其行权策略。排除这种可能性，例如，通过在自然过滤中工作，得出美式期权的潜在价值。在我们的模型概念下，所有鞅模型的集合和所有一致模型的集合都是巨大的。Hobsonand Neuberger[5]的贡献之一是证明，有可能将注意力限制在一类更小的模型上，这类模型是通过使用第二个过程（称为制度过程）来扩充公共过程而产生的。

搜索与一组欧洲选项一致的基于模型的最高价格，可以简化为搜索此类产品。在我们完成本说明的同时，我们注意到邓甘丹[3]的一篇论文，他也考虑了美国期权在商业背景下的真实性问题。他们在离散时间内工作，但允许f或连续的欧式期权价格，并证明了一个对偶定理，以表明在广泛的美式支付类别中存在无差别。他们的许多结果反映了[5]的结果，但在更一般的情况下。此外，他们还引入了弱公式（即supM）的概念∈Mφa（M））和强公式（supM∈MFφa（M）），并表明这些通常会导致不同的价格界限。在金融环境中，起点是欧式期权价格，而不是概率空间或概率空间集，因此我们的论点是，它是适用于无模型定价的弱公式。Bayraktar等人[4，方程（3.4）]给出了最高模型价格的另一种表示形式，如（简化到我们示例的设置）~ΦaF=infβ∈RsupMp，s∈MFsupτEMp，sa（τ，Xτ）- βI{X=4}-其中τ是F-停止时间。然后，我们用A={（p，s）发现：≤ P≤, 0≤s≤}■ΦaF=infβsup（p，s）∈A.φa（Mp，s）- βp+s-= infβmax+β;+β;+β+β其中，我们使用目标函数的凸性将A上的优化导出为A角上的优化。我们发现β=4，ΦaF==ψA。对于（p，s）=（，0）和（p，s）=（，），在β=4处达到最大值，因此这种方法是从第2.4节中的混合模型的成分中挑选出MFF中的模型。Bayraktar等人[4]还证明了subh-edging问题和最低模型价格的结果。

他们证明了[4，定理2.1]，在一致模型下，次级套期保值价格等于最低价格，即使注意力局限于MF类。3结论斯努伯格[6]和霍布森与纽伯格[5]表明，在美式期权设置中，将注意力限制在模型上是不够的，因为样本空间是价格过程的候选路径集，而过滤是价格过程的自然过滤。我们用这个事实来解释[6,5]和Bayraktar等人[4]的结果之间的明显矛盾。Bayraktar等人密切关注Bouch ard和Nu tz[2]的工作，他们考虑了欧洲风格的路径依赖性主张，并致力于规范过程和自然过滤。因此，当Bayraktar等人计算出一个最高的模型价格时，他们认为模型的空间不够丰富，无法充分体现美国产品的全部价值。参考文献[1]Acciaio，B.，M.Beiglb–ock，F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学金融。出现日期：DOI:10.1111/ma fi.12060 2015。[2] Bouchard，P.和M.Nutz。非支配离散时间模型中的套利和对偶。《应用概率年鉴》25（2），823-859，2015年。[3] 邓朔清和谭小璐。美式期权非支配离散时间模型的对偶性。预印本。[4] Bayraktar E.，Y.Huang和Z.Zhou。在模型不确定性下对美式期权进行套期保值。《暹罗J.金融数学》6（1），425-447，2015年。[5] 霍布森、D.G.和A.纽伯格。关于成为美国人的价值。预印本。[6] Neuberger，A.限制了美国的选择。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=966333 orhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.9663332007