基于鞅基的美式期权定价

，Gn）其中（α- I（r，q））ji=αji- 1j=q，i=r。在这个多维设置中，Malliavin导数算子实际上是梯度算子Dt=（Dt，…，Ddt）。证据从命题2.4中，我们知道≤ K≤ nE[Cp，n（F）|Ftk]=Xα∈A.d、 kp，nλαdYj=1bHαj（Gj，…，Gjn）。让r≤ k和t∈]tr-1，tr]。让我≤ Q≤ d、 Malliavin导数yieldsDqtE[Cp，n（F）|Ftk]=Xα的链式规则∈A.d、 kp，nλαDqtdYj=1bHαj（Gj，…，Gjn）=Xα∈A.d、 kp，nλαdYj=1，j6=qbHαj（Gj，…，Gjn）DqtbHαq（Gq，…，Gqn）=√hXα∈A.d、 kp，nλαdYj=1，j6=qbHαj（Gj，…，Gjn）bHαq-I（r）（Gq，…，Gqn）=√hXα∈A.d、 kp，n，αqr≥1λαbHα-I（r，q）（G，…，Gn）。备注2.7。条件期望保留了混沌扩展的性质。类似地，混沌展开式的Malliavin导数仍然是混沌展开式，Hencei是布朗增量的Hermite多项式。一个非零多项式的根是一个零测度集，而且由于布朗增量有一个连接密度，只要系数λα中的一个对于α是非零的，混沌展开的Malliavin导数几乎肯定是非零的∈ A.d、 kp，确认一下≥ 1点j∈ {1，…，d}。因为我，k∈ {1，…，n}，当i<k时，我们引入集合Ad、 i:kp，非定义为d、 kp，不适用d、 ip，n.Ad、 i:kp，n=nα∈ （Nn）d:kαk≤ p、 及1.≤ J≤ D` /∈ {i+1，…，k}，αj`=0o。（18） 3.利用维纳混沌展开和样本平均近似对美式期权定价在本节中，我们的目标是通过一个易于处理的优化问题来近似对偶价格（4）。

这涉及两种近似：第一，近似空间L(Ohm, FT，P）通过有限维向量空间；其次，用样本平均近似值替换期望值。双重价格写入infx∈L(Ohm,英尺，P）E“sup0≤T≤T（Zt- E[X |英尺]#。在这个优化问题中，我们用混沌扩展Cp，n（X）来代替X，它的无恒量项为E[X]=0，我们用离散时间最大值来逼近上确界。然后，我们面对一个有限维极小化问题，以确定子集Cp，ninfλ的最优解∈拉dp，n，λ=0Emax0≤K≤n（Ztk）- E[Cp，n（λ）|Ftk]）. （19） 在第3.1节中，我们证明了这个优化问题是凸的，有一个解（见Proposition 3.1），并收敛于美式期权的价格（见命题3.2）。此外，由于成本函数是可微分的，因此任何极小值都是梯度的零（参见Proposition 3.5），这使得推导算法更容易。为了提出一个完全可实现的算法，第3.2节给出了（19）的样本平均近似值，其中包括用蒙特卡罗求和代替期望值。我们在命题3.6中证明，当样本数趋于一致时，样本平均近似的解收敛到（19）的解。3.1随机优化方法≥ 1并定义随机函数vp，n（·，·；Z，G）：RAdp，n×{0，…，n}byvp，n（λ，k；Z，G）=Ztk-Xα∈A.dp，nλαEhbHdα（G，…，Gn）Ftki，借助命题2.1，随机函数vp，nca可以重写，n（λ，k，Z，G）=Ztk-Xα∈A.d、 kp，nλαbHdα（G，…，Gn）。（20） 我们考虑成本函数Vp，n:RAdp，n→ 由Vp定义的R，n（λ）=Emax0≤K≤nvp，n（λ，k；Z，G）（21）我们用infλ逼近（4）的解∈拉dp，n，λ=0Vp，n（λ）。

（22）我们引入了一组随机指数，其路径最大值为di（λ，Z，G）=0≤ K≤ n:vp，n（λ，k；Z，G）=max`≤nvp，n（λ，`；Z，G）. （23）提案3.1。最小化问题（22）至少有一个解。证据由于线性函数的上确界是凸的，随机函数λ7-→马克斯≤nvp，n（λ，tk，Z，G）几乎肯定是凸的。Vp的凸性来自于期望的线性。让我们证明Vp，n（λ）→ ∞ 当|λ|→ ∞. 注意Vp，n（λ）≥ E[（Cp，n（λ））-] ≥E[|Cp，n（λ）|]，其中我们使用了|x |=2x-+ x和E[Cp，n（λ）]=0。E[|Cp，n（λ）|]=|λ|E[|Cp，n（λ/|λ|）|]≥ |λ| infu∈拉dp，n，|u|=1E[|Cp，n（u）|]。通过一个标准的连续性论证，达到了极限。此外，严格说来，这是积极的，否则就会存在∈ 拉dp，nw的|u|=1 s.t.E[|Cp，n（u）|]=0。运用家庭的理论Hdαα∈A.dp，n，我们会立即推断出u=0。因此，我们证明了Vp，n（λ）→ ∞ 当|λ|→ ∞. Vp的整体增长，再加上它的凸性，产生了最小化问题（22）的解的存在性。命题3.1确保了λ]p，n（λ]p，n）=infλs.t.λ=0Vp，n（λ）的存在。（24）此外，Vp，n（λ]p，n）=0。这种最优解的特征对于实际设计一种算法至关重要。提议3.2。当p和n趋于一致时，极小化问题（22）的解Vp，n（λ]p，n）收敛。证据我们引入了M？Tand用λ表示其系数？p、 n，即Cp，n（mt）=Cp，n（λp，n）。显然，美国≤ Vp，n（λ]p，n）≤ Vp，n（λ？p，n）。

然后，我们得到以下结果≤ Vp，n（λ]p，n）- U≤ Vp，n（λ？p，n）- U=Emaxk（Ztk）- E[Cp，n（λ？p，n）|Ftk]）- maxk（Ztk）- M（tk）≤ E马克斯Mtk- E[Cp，n（λ？p，n）|Ftk]≤ E马克斯基MT- Cp，n（λ？p，n）|Ftki≤东南方马克斯基MT- Cp，n（λ？p，n）|Ftki≤ 2公里？T- Cp，n（M？T）k（25），其中最后一个上界由Doob不等式产生。请注意，该界不依赖于λ]p，n。当p，n趋于一致时，收敛结果来自[Briand and Labart，2014，引理2，引理19]。备注3.3。请注意，如果在一系列不等式（25）中，我们去掉了第二个不等式，那么我们最终会得到0≤ Vp，n（λ]p，n）- U≤ 2.MT- Cp，n（λ]p，n）, 根据混沌扩展的定义，哪个大于2km？T- Cp，n（M？T）k.推论3.4。考虑Bermudean期权，行使日期为t，折扣付款的tnand（Ztk）被认为是G-改编。然后，当p变为整数时，Vp，n（λ]p，n）收敛于伯穆德期权的价格。证据让^uk成为当时的价格-关于伯穆德安选项。这个序列（^Uk）是一个允许Doob-Meyer分解的序列（^Uk=^U+^Mk）-^akm是asquare可积（Gk）k-鞅和^A是过滤的一个可预测的增长过程。当时的价格-Bermudean选项的0也会写入^U=infX∈L(Ohm,Gn，P）Emax0≤K≤n（Ztk）- E[X | Gk]）.显然，Cp，n（λ）∈ L(Ohm, 对于任何λ，Gn，P），使得λ=0，而且Vp，n（λ]P，n）≥然后，通过复制（25）中的步骤，我们得到0≤ Vp，n（λ]p，n）-^U≤ 2.^Mn- Cp，n（^Mn）.我们从备注2.5中推断，当p趋于完整时，该上界变为零。大多数凸优化算法主要依赖于代价函数的梯度。通过证明Vp几乎在所有地方都是可区分的，这意味着Vp，n（λ]p，n）=0。提案3.5。让p≥ 1.假设1.≤ R≤ K≤ NF-Ftk- 可测量的，F∈ 内容提供商-1，n，f6=0， Q∈ {1, . . .

，d}s.t.P(T∈]tr-1，tr]，DqtZtk+F=0 | Ztk>0）=0。（26）那么，函数Vp，nis在所有点λ都是可微分的∈ 拉无零分量及其梯度的dp、NW副总裁，nis由Vp，n（λ）=EEhbHd（G，…，Gn）|Ftii |{i}=i（λ，Z，G）.我们请读者参考第5.1节，详细讨论满足哪种模型和支付条件（26）。证据我们已经知道函数Vp是凸的。此外，对于所有Z和G，函数λ7-→ 马克斯≤nvp，n（λ，k，Z，G）的次微分如下所示：xi∈I（λ，Z，G）βiE[bHd（G，…，Gn）|Fti]：βi≥ 0，β-iFT- 可测量的s.t.Xi∈I（λ，Z，G）βI=1然后，次微分的表达式n（λ）由Bertsekas[1973]提出。Vp，n（λ）=Exi∈I（λ，Z，G）βiE[bHd（G，…，Gn）| Fti]: βi≥ 0，β-iFT- 是的。，Xiβi=1.对于任何不含零分量的λ，证明集合I（λ，Z，G）几乎肯定减少为一个值是很有帮助的，因为在这种情况下，次微分Vp，n（λ）包含一个单数元，它就是梯度。平心而论{ti6=tk；vp，n（λ，i；Z，G）=vp，n（λ，k；Z，G）}=[i<k≤n{vp，n（λ，i；Z，G）=vp，n（λ，k；Z，G）}，证明任何i<k≤ n、 P（vp，n（λ，i，Z，G）=vp，n（λ，k，Z，G））=0。Fixi<k并设置Xλ=vp，n（λ，k，Z，G）- vp，n（λ，i，Z，G）。根据[Nualart，1998，Theorem2.1.3]，证明kDXλkL（[0，T]）>0是有效的。a、 s以确保Xλ相对于R上的勒贝格测度是绝对连续的，因此几乎肯定是非零的。因为kDXλkL（[0，T]）=RT | DtXλ| dt≥Rtkti | DtXλ| dt≥任意q的Rtkti（DqtXλ）dt∈ {1，…，d}。对于t∈ [0，T]和1≤ Q≤ d、 Xλ的Malliavin导数由dqtxλ=Dqt（Ztk）给出- Zti）- DqtXα∈A.d、 kp；nλαbHdα（G，…，Gn）-Xα∈A.d、 知识产权；nλαbHdα（G，…，Gn）= Dqt（Ztk）- Zti）- DqtXα∈A.d、 i:kp；nλαbHdα（G，…，Gn）.很明显，w.p.1。对于所有t>tk，DqtXλ=0。

因此，{DqtXλ=0T∈ [0，T]a.e.]\\i<r≤k{DqtXλ=0T∈ [tr-1，tr]a.e.}。从命题2.3，我们可以推导出i<r≤ k、 和t∈]tr-1，tr]DqtXλ=Dqt（Ztk）+√hXα∈A.d、 i:kp；n、 αqr≥1λαbHdα-I（r，q）（G，…，Gn）。利用算子D的局部性，我们知道a.s Dqt（φ（Stk））对于所有t=0∈]tr-集{φ（Stk）=0}上的1，tr]。因此，我们可以写(T∈]tr-1，tr]，DtXλ=0）=P√hXα∈A.d、 i:kp；n、 αqr≥1λαbHdα-I（r，q）（G，…，Gn）=0，φ（Stk）=0+ P(T∈]tr-1，tr]，DtXλ=0 | Ztk>0）P（Ztk>0）。由于λ的所有分量都不是零，√hPα∈A.d、 i:kp；n、 αqr≥1λαbHdα-如果p=1，I（r，q）（G，…，Gn）是一个非零常数，或者由于注释2.7，它有一个绝对连续的密度。在这两种情况下，它都是Cp的非零元素-1、nandP√hXα∈A.d、 i:kp；n、 αqr≥1λαbHdα-I（r，q）（G，…，Gn）=0= 0.为了处理另一个术语，我们选择一个q∈ {1，…，d}作为命题的假设（见（26）），它产生了P(T∈]tr-1，tr]，DqtXλ=0 | Ztk>0）=0。因此，我们推导出kdxλkL（[0，T]）≥Ztrtr-1（DqtXλ）dt>0a.s.这是证明的结论。3.2样本平均近似值从（25）的角度来看，我们可以通过求解最小化问题（22）来近似UB，该问题至少包含一个解λ]p，n，即Vp，n（λ]p，n）=infλ∈A.dp，n，λ=0Vp，n（λ），其中由（21）定义的Vp，nde是一个期望值，几乎不可处理。为了实际解决这个问题，通常使用两种不同的方法。要么使用随机算法，要么用样本平均近似值代替期望值。在这项工作中，我们针对大型问题，将可伸缩性作为主要需求。随机算法固有的序列性质使我们更喜欢样本平均近似法。

此外，我们更感兴趣的是最小值函数，而不是它的最小值。与随机算法不同，标准优化算法同时提供这两种函数。我们引入了Vp的样本平均近似值，由Vmp定义，n（λ）=mmXi=1max0≤K≤nvp，n（λ，k；Z（i），G（i））式中（Z（i），G（i））1≤我≤来自（Z，G）分布的母马i.i.d样本。对于足够大的m，Vmp，从Vp的平滑度来看是九分之一，nand尤其是凸的，在没有零分量的任何点上都是可微的。然后，我们很容易从命题3.1推断出存在λmp，nsuch thatVmp，n（λmp，n）=infλ∈拉dp，n，λ=0Vmp，n（λ），而且Vmp，n（λmp，n）=0。当m趋于完整时，研究Vmp，n（λmp，n）的收敛性的主要困难来自集合RA的非紧性为了避免这个问题，我们采用Jourdain and Lelong[2009]中使用的技术来处理非严格凸问题。提议3.6。当m时，序列Vmp，n（λmp，n）收敛于a.s.到Vp，n（λ]p，n）→ ∞. 此外，λmp和（22）中的最小凸集之间的距离收敛到零，asm则收敛到零。证据随机函数λ∈ 拉dp，n7→ max0≤K≤nvp，n（λ，k；Z，G）是a.s.连续的。对于∧>0，sup |λ|≤∧max0≤K≤nvp，n（λ，k；Z，G）≤ max0≤K≤nZtk+sup |λ|≤∧max0≤K≤nXα∈A.dp，nλαEhbHdα（G，…，Gn）Ftki≤ max0≤K≤nZtk+λsup |λ|=1max0≤K≤nXα∈A.dp，nλαEhbHdα（G，…，Gn）Ftki≤ max0≤K≤nZtk+max0≤K≤nXα∈A.dp，nEhbHdα（G，…，Gn）Ftki≤ max0≤K≤nZtk+λXα∈A.dp，nmax0≤K≤嗯伯克希尔哈撒韦dα（G，…，Gn）Ftki≤ max0≤K≤nZtk+λXα∈A.dp，nnXk=0Eh伯克希尔哈撒韦dα（G，…，Gn）Ftki。上述不等式的右边是可积的。我们应用[Rubinstein and Shapiro，1993，引理A1第2章]来推断a.s。

Vmp，n局部一致收敛于Vp，n。根据命题3.1的证明，存在∧>0，使得γ=infλ-λ] p，n≥∧Vp，n（λ）- Vp，n（λ]p，n）>0。Vmp，nto-Vp的局部一致收敛保证了 γ∈ N*, M≥ mγ，λs.t。λ - λ] p，n≤ Λ,Vmp，n（λ）- Vp，n（λ）≤γ.为了我≥ mγ和λ使得λ - λ] p，n≥ λ，我们利用Vmp，n，thatVmp，n（λ）的凸性推导出-Vmp，n（λ]p，n）≥λ - λ] p，nΛVmp，nλ] p，n+λ- λ] p，nλ - λ] p，n- Vmp，n（λ]p，n）≥λ - λ] p，nΛ副总裁λ] p，n+λ- λ] p，nλ - λ] p，n- Vp，n（λ]p，n）-2γ≥γ.自Vmp，n（λmp，n）- Vmp，n（λ]p，n）≤ 0，我们得出结论，上述不等式不适用于λmp，n，这证明了λmp，n- λ] p，n< 对于m∧≥ mγ。因此，对于m≥ mγ，非紧集{λ，有充分的条件使Vmp最小化：λ - λ] p，n≤Λ}. 现在，我们可以应用[Rubinstein and Shapiro，1993，第2章的定理A1]来证明当m趋于完整时，Vmp，n（λmp，n）收敛于Vp，n（λ]p，n）a.s。在Rubinstein和Shapiro[1993]中定理A1的证明之后，我们讨论了命题的第二个断言。虽然Vmp，nis不是二次可微的，经典的样本平均逼近中心极限定理也不能应用，但我们可以研究Vmp，n（λmp，n）的方差，并得到一些渐近界。在陈述我们的结果之前，我们先介绍λ∈ 拉dp，n，表示0的符号mk（λ）=E[Cp，n（λ）|Ftk]≤ K≤ n、 我们用M（i）k（λ）表示使用样本G（i）计算的值。提案3.7。假设λ]p，nis唯一。那么，mmXi=1max0≤K≤新西兰（i）tk- M（i）k（λmp，n）- Vmp，n（λmp，n）是Var（maxk）的收敛估计≤0≤nZtk-Mk（λ]p，n））并且如果λmp，nis有界，limm→∞m VarVmp，n（λmp，n）= Var（maxk）≤0≤nZtk- Mk（λ]p，n））。证据我们知道Vmp，n（λmp，n）收敛于a.s.到Vp，n（λ]p，n）。在命题3.6的开头，我们可以很容易地证明a.s。

随机函数序列ζm:λ7→ ζm（λ）=mPmi=1max0≤K≤新西兰（i）tk- M（i）k（λ）局部一致收敛于函数λ7→ E[（max0≤K≤nZtk- Mk（λ））]。我们已经看到，对于足够大的m，我们可以假设已经在紧约束下解决了优化问题。因此，我们推导出mpmi=1max0≤K≤新西兰（i）tk- M（i）k（λmp，n）将a.s.收敛到E[（max0≤K≤nZtk-Mk（λ]p，n））]。这证明了该命题的第一个陈述。作为变量Vmp，n（λ]p，n）= M-1Var（maxk≤0≤nZtk- Mk（λ]p，n）），计算起来很有效Vmp，n（λmp，n）- Vmp，n（λ]p，n）≤mmXi=1E马克斯M（i）k（λmp，n）- M（i）k（λ]p，n）≤mmXi=1Eλmp，n- λ] p，n马克斯EhbHd（G（i），G（i）n）|Ftki≤Eλmp，n- λ] p，n1/2E伯克希尔哈撒韦d（G（i），G（i）n）1/2我们使用了Cauchy-Schwartz不等式和Doob极大不等式。然后，我们得出结论：Vmp，n（λmp，n）- Vmp，n（λ]p，n）在Lifλmp中收敛到0，nis有界。因此，林姆→∞变量Vmp，n（λmp，n）- 变量Vmp，n（λ]p，n）= 0命题3.7使我们能够像标准蒙特卡罗估值器一样在线监测估值器的方差。尽管Vmp，n（λmp，n）中涉及的项不是独立的，但经典的方差估计给出了正确的结果。在实践中，我们不应该担心命题中使用的有界条件，因为我们从命题3.6的证明中知道，对于足够大的m，我们可以在不改变其结果的情况下对优化问题施加紧约束。因此，我们可以实用地依赖于所提出的方差估计。4.算法优化算法需要反复计算Vmp，因此截断混沌展开，随着维数和/或p的增加，截断混沌展开成为我们方法中最耗时的部分。

通过考虑稍加修改的鞅，可以节省大量计算时间，而鞅只在期权第一次投入资金时才开始计算。4.1改进的鞅集通过τ=inf{k确定期权首次进入货币的时间≥ 0:Ztk>0}∧ n、 哪个是F- 停止时间，成为一个G- 序列（Ztk）停止时的停止时间- 改编。考虑鞅只在期权进入货币后才开始，我们定义k（λ）=kX`=1（M`（λ）- M`-1(λ))1`-1.≥τ=（Mk（λ）- Mτ（λ））1k>τ=Mk（λ）- Mk∧τ（λ）我们很容易检查N（λ）是a（Ftk）0≤K≤N- 鞅。从罗杰斯[2002]提出的证据可以清楚地看出，在百慕大期权的双重价格（见（3））中，最大值可以被压缩到随机区间[τ，n]。因此，考虑λ是足够的∈拉dp，n，λ=0E最大τ≤K≤n（Ztk）- Mk（λ））.利用Doob的停止定理，我们得到，对于任何固定的λ，E最大τ≤K≤n（Ztk）- Mk（λ））= E最大τ≤K≤n（Ztk）- （Mk（λ）- Mτ（λ）））= E最大τ≤K≤n（Ztk）- Nk（λ））.我们从这个等式推导出，在任意一组鞅M（λ）或N（λ）上最小化都会导致相同的最小值，并且这两个问题具有相同的性质，这就是为什么我们在理论研究中没有考虑现金条件的原因。然而，从实用的角度来看，考虑鞅集合Nλ要有效得多。在我们的数值例子中，我们修改了Vp，nand Vmp，以考虑这一改进，并考虑了∧Vp，n（λ）=E最大τ≤K≤n（Ztk）- Nk（λ））和∧Vmp，n（λ）=mmXi=1maxτ≤K≤n（Z（i）tk- N（i）k（λ））。从期权第一次投入资金时开始使用鞅的想法实际上是欠罗杰斯[2002]的。虽然他没有太多的讨论，但在他处理的例子中，这是他的选择。4.2我们的算法实现为了实际计算Vmp，n的最大值，我们建议使用梯度下降算法，见算法1。