基于鞅基的美式期权定价

这种方法的效率主要取决于下降方向的计算。当问题不是二次微分时，当前点处的梯度用作下降方向，但通常需要缩放，这使得步长α的选择成为确保快速数值收敛的关键问题。我们参考Boydet al[2003]对几个步长规则的全面调查。经过多次测试，我们发现Polyak[1987]提出的步长规则在我们的上下文α`=~Vmp，n（x`）中表现最好- v]~Vmp，n（x`）其中v]是我们正在寻找的美式期权的价格。在实践中，我们使用相关的欧式期权的价格，而不是v]，这使得α太大，并解释了数量因子γ的需要。欧洲价格的价值不需要非常精确。无论问题的规模如何，都可以在几秒钟内用几千个样本计算出一个合适且快速的近似值。1生成（G（1），Z（1）），（G（m），Z（m））m i.i.d.样品遵循（Z，G）定律；2倍← 0∈ 拉dp，n；3 ` ← 0, γ ← 1，d← 0，v← ∞ ;4而真正的do5计算v`+1/2←~Vmp，n（x）`- γα\'d\'）；6如果v`+1/2<v`then7 x`+1← x`- γα\'d\'；8 v`+1← v`+1/2；9D`+1← ~Vmp，n（x`+1）；10如果| v`+1-v`|v`≤ ε然后返回11 else12γ← γ/2 ;13 end14 endAlgorithm 1:对偶价格的样本平均近似为了更好地理解该算法的工作原理，需要注意的是，由于N（λ）线性依赖于λ，N（λ）=λ·λN（λ），因此值函数及其梯度都是同时计算的，没有额外的成本。所以~Vmp，n（x`+1）实际上不是在第9行上计算的，而是与第5行上的v`+1/2同时计算的。HPC方法。我们的方法针对具有数千个λ分量的大型问题。

这就需要设计一种可扩展的算法，能够使大多数集群架构具有数百个节点。在每次迭代中，~Vmp，nand的计算■Vmp，只不过是一种标准的蒙特卡罗方法，它继承了其令人尴尬的并行性。算法2中提出了一种基于主/从模式的分布式存储系统并行算法。在开始时，每个过程对一组m路径（第1-3行）进行采样。然后，在每次迭代中，主进程广播d`、x`、α`和γ的值（算法1的第7行）。有了这些新值，每个进程都会计算其对Vmp，n（x）的贡献`- γα\'d`）和~Vmp，n（x）`- γα\'d\'（第8-9行）和蒙特卡罗求和是通过两个简单的约化（第11行）得到的。然后，主进程测试移动是否允许，并为下一次迭代更新参数，或者如果算法不再足够移动，则返回解。与代码的其余部分相比，主进程执行的这一部分速度非常快，我们敢说，我们的算法中没有集中计算。此外，通信减少到四次广播，这保证了几乎完美的、非常好的可扩展性。通信的数量由功能评估的数量监控，功能评估的数量仍然很小（在10到20之间）。我们在第5.1节末尾的几个例子中研究了我们的算法在并行do2生成（G（1），Z（1）），…，中的效率，（G（m），Z（m））m i.i.d.样品遵循（Z，G）3-4 x定律← 0∈ 拉dp，n；5 ` ← 0, γ ← 1，d← 0，v← ∞ ;6而真正的do7广播x`，d`，γ，α`；8并行do9计算最大τ≤K≤n（Z（i）tk- N（i）k（x）`- γα\'d`）对于i=1。

，m10 end11减少上述贡献，以获得Vmp，n（x`- γα\'d`）和~Vmp，n（x）`- γα\'d\'）；12伏+1/2←~Vmp，n（x）`- γα\'d\'）；13如果v`+1/2<v`then14 x`+1← x`- γα\'d\'；15 v`+1← v`+1/2；16 d`+1← ~Vmp，n（x`+1）；17如果| v`+1-v`|v`≤ ε然后返回18 else19γ← γ/2 ;20-end21-endAlgorithm 2：并行实现的样本平均逼近双价格的复杂性研究。大部分计算时间用于计算鞅部分；记住，Cp的基数是由nd+pnd=（钕+磷）。。。（nd+1）p！。使用鞅只在期权进入货币后才开始，这使得我们只能在到期之前严格计算进入货币的路径上的鞅部分。根据产品的不同，这可能会节省大量计算时间。算法1中循环线3的一次迭代的复杂度与T}×nd+pnd！之前的[money中的路径]成正比！。在开始下降算法之前，一次性计算支付。值得注意的是，与优化部分相比，当模型维数或日期数增加时，其计算成本变得微不足道，最苛刻的计算是鞅分解的评估。5.申请表。1一些框架满足命题3.5Let（rt）的假设，即假设瞬时利率是确定性的。5.1.1多维Black-Scholes模型d中的看跌期权-三维布莱克-斯科尔斯模型∈ {1，…，d}dSjt=Sjt（（rt- δj）dt+σjLjdBt），其中W是一个布朗运动，其值为Rd，σt=（σt，…，σdt）是波动性向量，假设在任何时候都是确定的正的，δ=（δ，…，δd）是瞬时股息率向量，Ljis是定义为相关矩阵Γ的平方根的矩阵L的第j行，即Γ=LL。

此外，我们假设L是下三角形。显然，对于每个t，随机向量都是D1,2的一个元素。看跌篮子期权的收益记为φ（St）=K-Pdi=1ωjSjt+其中ω=（ω，…，ωd）是实值权重向量。函数φ是Lipschitz连续的，因此φ（St）∈ D1,2对于所有t.此外，对于s≤ t和q∈ {1，…，d}，我们在集合{φ（St）>0}Dqsφ（St）=dXj=1ωjSjtσjLj，q.特别是对于q=d，我们得到Ddsφ（St）=ωdSdtσdLd，d.Let 1≤ K≤ n和F是非零和Ftk-可测元素-1，n，即F=Xα∈A.d、 金伯利进程-1，nλαbHdα（G，…，Gn）对于某些λ∈ 拉dp，n.让1≤ R≤ k、 PT∈]tr-1，tr]，滴滴涕φ（Stk）+F=0 |φ（Stk）>0= PT∈]tr-1，tr]，ωdSdtkσdtLd，d+F=0 |φ（Stk）>0≤PT∈]tr-1，tr]，ωdSdtkσdtLd，d+F=0P（φ（Stk）>0）。（27）如果p=1，则F是确定性非零常数。在这种情况下，分子消失了，因为sdtkha是一个密度。假设p≥ 2，那么F是一个全局阶为p的多元多项式-1.≥ 1.然后我们可以找到∈ {1，…，k}，q∈ {1，…，d}和α使得αq`≥ λα6=0。设^G为（Gji，1）生成的西格玛代数≤ 我≤ k、 一,≤ J≤ d、 （i，j）6=（`，q））。PT∈]tr-1，tr]，ωdSdtσdtLd，d+F=0= EhPT∈]tr-1，tr]，ωdSdtσdtLd，d+F=0 | Gi、 在^G条件下，随机变量ωdSdtσdtLd，d+F只依赖于Gq`。考虑x的代数方程∈ Ra ebx+c=P（x）（28），其中（a，b，c）∈ R、 a6=0，b6=0，P是P次多项式- 1.≥ 1.Letf（x）=a ebx+c-P（x），f（P）（x）=abpebx+c。显然，f（P）永远不会消失，这确保了f最多有P个不同的根。因此，我们推断，对于任何t∈]tr-1，tr]，PωdSdtσdtLd，d+F=0 | G= 0.将该结果与（27）相结合，证明等式（26）在该设置中成立。5.1.2多维BlackScholes模型中篮子最小值的看跌期权我们使用上一示例的符号。

看跌期权对最小d资产的支付φ（St）=（K- minj（Sjt））+。通过d上的归纳可以证明函数x∈ Rd7-→ minj（xj）是1-利普希茨为1-因此，由于正部分函数也是Lipschitz，所以payoff函数φ是Lipschitz。然后，[Nualart，1998年，命题1.2.4]得出了所有t∈ [0，T]，φ（St）∈ D1,2和所有q∈ {1，…，d}，Dq（φ（St））=dXj=1xjφ（St）Dq（Sjt）=dXj=1xjφ（St）SjtσjLj，q.选择矩阵L，Dd（φ（St））=xdφ（St）SdtσdLd，d=-SdtσdLd，dφ（St）>0minj（Sjt）=Sdt。让我≤ K≤ n和F是非零和Ftk-可测元素-1，n.为1≤ R≤ k、 PT∈]tr-1，tr]，滴滴涕φ（Stk）+F=0 |φ（Stk）>0= PT∈]tr-1，tr]，-SdtσdLd，d+F=0 |φ（Stk）>0，minj（Sjt）=SdtPminj（Sjt）=Sdt+ PT∈]tr-1，tr]，F=0 |φ（Stk）>0，minj（Sjt）6=SdtPminj（Sjt）6=Sdt显然，上述和中的第二项是零，因为F有密度。因此，PT∈]tr-1，tr]，滴滴涕φ（Stk）+F=0 |φ（Stk）>0≤PT∈]tr-1，tr]，-SdtσdLd，d+F=0P（φ（Stk）>0）。我们的结论与看跌篮子期权的情况相同。5.1.3 Heston模型中的看跌期权Heston模型可写为St=St（rtdt+√σt（ρdWt+q1- ρdWt）dσt=κ（θ）-σt）dt+ξ√σtdWt。对于s≤ t、 DsSt=Stp1- ρ√σt.有条件地，在W上，DsStwrites作为ebWt+C，我们可以展开与（28）之后相同的推理。5.2数值实验在这一部分中，我们展示了从算法1中描述的方法的顺序实现中获得的结果。这些计算是在一台标准笔记本电脑上进行的，该笔记本电脑配有2.9 Ghz的英特尔Corei5处理器。对于每个实验，我们报告使用算法1along获得的价格及其计算时间和标准偏差。5.2.1 Black-Scholes模型中的示例我们认为-第5.1.1节所述的尺寸布莱克-斯科尔斯。

为了选择参数的简单性，我们决定在所有资产之间使用相同的相关性，这相当于考虑以下简单的Γ结构。Γ =1 ρ . . . ρρ 1...............ρρ . . . ρ 1（29）式中ρ∈] - 1/（d）- 1） ，1]确保Γ为正定义。Black-Scholes模型中的篮子选项。我们考虑第5.1.1节中所述的几类债券的看跌期权。我们在表1中报告了用我们的方法得到的m=20000的价格。最后一列参考价格对应于Schoenmakers等人[2013]在相同示例中报告的价格。根据作者的说法，这些参考价格是在几分钟内获得的，而在这里，我们设法在几秒钟内获得类似的价格。我们可以看到，一个二阶混沌展开，p=2，已经给出了非常精确的结果，在十分之几秒之内，对于一个5-6个日期的维度问题，这证明了我们的方法令人印象深刻的效率。p n Sprice标准差时间（秒）参考价格2 3 100 2.27 0.029 0.17 2.173 3 100 2.23 0.025 0.9 2.172 3 110 0.56 0.014 0.07 0.553 110 0.53 0.012 0.048 0.552 6 100 2.62 0.021 0.91 2 2.433 6 100 2.42 0.021 14 2.432 6 110 0.61 0.012 0.33 0.613 6 110 0.55 0.008 10 0.611表1：参数为3的看跌期权价格，r=0.05，ρ=100，K=0，δ=0，δ=0，δ=0，δ=0，ωj=1/d.A调用Black-Scholes模型中d资产的最大值。在Black-Scholes模型中，我们考虑了d资产最大值上的acall期权。如前一个例子所示，最后一列参考价格对应于Schoenmakerset等人[2013]在相同例子中报告的价格。毫不奇怪，计算时间随着维数n×d和阶数p的增加而显著增加。

二阶展开式为篮子期权提供了非常精确的结果，但它只给出了最大d资产的看涨期权的大致上界。考虑三阶展开式p=3需要更长的时间，但使我们能够得到非常严格的上界。在Black–Scholes模型中，几何篮子选项几乎不可行，因为几乎没有高维美国和p m Sprice标准开发时间（秒）参考价格22.20,000 90 10.18 0.07 0.4 8.152 3.20,000 90 8.5 0.05 4.1 8.152 2.20,000 100 16.2 0.06 0.54 14.012 3.20,000 100 14.4 0.06 5.6 14.015 2 20,000 90 21.2 0.09 2 16.775 3 3 40,000 90 16.3 0.05 210 16.775 2 2 20,000 100 30.7 0.09 3.09 3.4 26.345 3 40,000 100 26.0.05 207 26.342：在DASSET=0.05的最大参数下的看涨期权的价格，ρ=0.05，σj=0.2，δj=0.1，n=9。期权可以在合理的时间内准确定价。例外情况是带有payoff（K）的几何构型- （Qdj=1Sjt）1/d）+用于看跌期权。

简单的计算表明，这个价格是d-维度选项等于1-带参数^S的尺寸选项=dYj=1Sj1/d；σ=dsXi，jσiσjΓij；^δ=ddXj=1δj+（σj）-(^σ).表3总结了示例中使用的对应值。d Sσρ^S^σ^δ2 100 0.2 0 100 0.14 0.0110 100 0.3 0.1 100 0.131 0.03640 100 0.3 0.1 100 0.105 0.039表3：δj=0的几何选项参数对应表。dσjρpm价格标准开发时间（秒）1-d价格2 0.2 0 2 5000 4.32 0.04 0.018 4.202 0.2 0 3 5000 4.15 0.04 1.3 4.2010 0.3 0.1 1 1 5000 5.50 0.06 0.12 4.6010.3 0.1 2 20000 4.55 0.02 17 4.6040 0.3 1 10000 4.4 0.03 1 1 3 3 3.6940 0.3 0.1 2 20000 3.61 0.02 170 3.69表4：参数为T=1、r=0.0488（对应于5%年利率）的几何篮子看跌期权价格，K=0.9。1-d价格的计算采用了数千步的树形方法。我们可以在表4中看到，对于一个包含10项基础资产的期权，二阶近似在几秒钟内给出了非常准确的结果，这证明了我们方法的有效性。我们无法克服维数的诅咒，这会减慢大型问题的算法速度。对于40种资产的期权，我们在3分钟内获得了一个高达3%的相对误差的价格，这对于这样一个高维问题来说是非常快的。混沌展开中涉及的项的数量可能会变得非常大：对于d=40和p=2，p，n中有65340个元素。即使我们不是在线性代数框架中工作，建议确保样本平均近似中使用的样本数m大于优化问题中的自由参数数。当m变得太小时，我们可能会面临过度拟合现象，因为与样本平均近似值中包含的信息相比，参数数量太多。

这可能解释了为什么p=2、d=40和m=40的价格比真实价格略低。在下一段中，我们将在这个特定示例上测试算法2的可伸缩性，以获得更多样本。5.2.2并行算法的可扩展性我们认为-表4研究了p=2的维度几何看跌期权，并测试了m=200000的并行实现的可伸缩性。这些测试在ABULX DLC超级计算机上运行，该计算机包含190个节点，共有3204个CPU核。我们在表5中报告了使用1到512个核的可伸缩性研究结果。尽管在这台超级计算机上有两个级别的并行性，但我们使用的是纯MPI实现，没有任何多线程编程的参考。我们本可以使用两个级别的并行性稍微提高效率，但结果已经足够令人信服，并且不能证明需要两个级别的方法，这使得实现更加微妙。顺序算法在一小时四分之一的时间内运行，而使用512个核，我们可以将计算时间缩短到十几秒，这相当于a0。6.效率。考虑到在512核上运行所需的墙时间如此之短，将电子效率保持在这一水平代表着一项伟大的成就。请注意，对于128个内核，代码运行时间为一分钟，效率为四分之三。

这些实验证明了我们算法的可伸缩性#处理时间（秒）效率1 4365 12 2481 0.994 1362 0.9016 282 0.8432 272 0.7564 87 0.78128 52 0.73256 34 0.69512 10.7 0.59表5：算法2在40-上文描述的dimensionalgeometric看跌期权，T=1，r=0.0488，K=100，σj=0.3，ρ=0.1，δj=0，n=9，p=2.6结论我们提出了一种纯对偶算法，用一些随机优化工具计算美式或百慕大期权的价格。我们算法的出发点是利用维纳混沌展开来建立一个有限维的鞅向量空间。然后，我们依靠样本平均近似值来有效地优化展开系数。我们的算法非常快速：对于5维以下的问题，在几秒钟内就能得到一个价格，这与现有的纯对偶方法相比是一个巨大的改进。对于高维问题，我们可以使用非常可扩展的并行算法来处理非常高维的问题（40个基础资产）。我们可以透明地处理复杂的路径相关支付，而不需要任何额外的计算成本。然而，在这项工作中，我们仅限于布朗环境，通过引入泊松混沌展开，我们的方法可以很容易地扩展到跳跃扩散模型，这与Charlier多项式有关（见Geiss和Labart[2016]）。我们相信，我们的方法可以通过巧妙地减少混沌扩展中的项数来改进，而混沌扩展的计算集中了大部分的工作。参考文献。阿巴斯·图尔基、S·维亚尔、B·拉佩尔和P·梅西尔。使用蒙特卡罗模拟对图形处理单元上的衍生产品进行定价。《并发性与计算：实践与经验》，26（9）：1679-16972014。安徒生和布罗迪。多维美式期权定价的原对偶模拟算法。