基于鞅基的美式期权定价

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英文标题：
《Pricing American options using martingale bases》
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作者：
J\\\'er\\^ome Lelong
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this work, we propose an algorithm to price American options by directly solving the dual minimization problem introduced by Rogers. Our approach relies on approximating the set of uniformly square integrable martingales by a finite dimensional Wiener chaos expansion. Then, we use a sample average approximation technique to efficiently solve the optimization problem. Unlike all the regression based methods, our method can transparently deal with path dependent options without extra computations and a parallel implementation writes easily with very little communication and no centralized work. We test our approach on several multi--dimensional options with up to 40 assets and show the impressive scalability of the parallel implementation.
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中文摘要：
在这项工作中，我们提出了一个算法来定价美式期权直接解决双重最小化问题由罗杰斯介绍。我们的方法依赖于通过有限维维纳混沌展开来逼近一致平方可积鞅集。然后，我们使用样本平均近似技术来有效地解决优化问题。与所有基于回归的方法不同，我们的方法可以透明地处理路径相关的选项，而无需额外的计算，并且并行实现易于编写，只需很少的通信和集中的工作。我们在多达40个资产的几个多维选项上测试了我们的方法，并展示了并行实现令人印象深刻的可伸缩性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Pricing_American_options_using_martingale_bases.pdf (595.15 KB)

2022-5-11 05:19:00 上传

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关键词：美式期权 期权定价 Applications Quantitative Optimization

基于鞅basesJér^ome Lelong的美式期权定价*法国格勒诺布尔阿尔卑斯大学让·昆茨曼实验室。杰罗姆。lelong@imag.frSeptember在这项工作中，我们提出了一种算法，通过直接求解罗杰斯[2002]提出的对偶极小化问题来为美式期权定价。我们的方法依赖于通过有限维维纳混沌展开逼近一致平方可积鞅集。然后，我们使用样本平均近似技术来有效地解决优化问题。与所有基于回归的方法不同，我们的方法可以透明地处理路径相关的选项，而无需额外计算，并行实现只需很少的通信和非集中化的工作就可以轻松编写。我们用多达40个资产在几个多维选项上测试了我们的方法，并展示了并行实现令人印象深刻的可伸缩性。关键词：美式期权，对偶，斯奈尔包络，随机优化，样本平均逼近，高性能计算，维纳混沌展开。AMS主题分类：62L20、62L15、91G60、65Y05、60H071简介随着维度的增加和支付变得复杂，美式期权的定价很快变得具有挑战性。许多人通常通过考虑其动态规划原理公式Tilley[1993]、Carrier[1996]、Tsitsiklis and Roy[2001]、Longstaff and Schwartz[2001]、Broadie and Glasserman[2004]和Bally and Pages[2003]来解决这个问题。在如此广泛的文献中，实践者似乎提到了Longsta off和Schwartz[2001]提出的迭代最优政策方法，该方法在许多情况下都非常有效。然而，这种方法无法处理真正的路径依赖选项。

求解动态规划原理需要计算一个条件期望，这个条件期望最终被处理为回归*该项目得到了能源市场金融研究中心（www.fime-lab.org）的支持。本文介绍的高性能计算是使用CIMENT基础设施的Frogy平台进行的(https://ciment.ujf-grenoble.fr)由罗恩阿尔卑斯地区（授予CPER07_13 CIRA）和Equip@Meso阿韦尼项目投资项目（参考ANR-10-EQPX-29-01），由国家研究院监督。技术。众所周知，这些技术可以避免维数灾难：全局回归方法会导致高维线性代数问题，而局部方法则会导致域数随维数而膨胀。尽管这种技术有许多并行实现（例如，见Dung Doan等人[2010]，Abbas Turkiet等人[2014]），但我们无法期望获得完全可伸缩的算法。在这项工作中，我们遵循罗杰斯[2002]和戴维斯和卡拉萨斯[1994]提出的双重方法，该方法可以自然地处理路径相关选项。为了使其可实现，我们需要一致可积鞅集的智能和有限维近似。我们选择了一组截断的维纳混沌展开式，它在我们的问题中有一些神奇的特征：它将优化问题正则化，并且精确计算其条件期望是简单的。然后，定价问题归结为有限维、凸和可微分的优化问题。

优化问题是使用样本平均近似法解决的（见Rubinstein和Shapiro[1993]），这可以通过并行计算轻松有效地实现。我们定义了一些有限的时间范围T>0和一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P），其中（英尺）0≤T≤这应该是d的自然强化过滤-在这个空间上，我们考虑了一个适应过程（St）0≤T≤RDD建模中的两个值——维度基础资产。资产数量d可以小于布朗运动的维数d，以涵盖随机波动率模型或随机利率的情况。我们假设短期利率是由适应过程（rt）0建模的≤T≤t为R+中的值，P为相关的风险中性指标。我们考虑了一个适应的支付过程Z，并介绍了它的贴现值过程Zt=e-RtrsdsZt0≤T≤T、 我们假设Z的路径是右连续的∈[0，T]| Zt |∈ L.过程Z显然可以采用简单形式（φ（St））t≤t但它也取决于到目前为止的整个路径。因此，我们的框架透明地包含路径依赖选项，使用回归技术处理这些选项要困难得多。我们认为，如果在时间t行使，美式期权向其持有人支付zt。标准套利定价理论将美式期权的贴现时间t值定义为beUt=esssupτ∈TtE[Zτ| Ftk]（1），其中TTF表示F的集合-值为[t，t]的停止时间。Z的可积性质确保U是类（D）的上鞅，因此有Doob–MeyerdecompositionUt=U+M？T- A.t（2）M在哪里？鞅在零和a处消失吗？是一个可预测的可积递增过程，也在零处消失。用我们对Z，M的假设？是平方可积的。

罗杰斯[2002]发现了美式期权在时间0时的价格的另一种表示形式，即以下优化问题的最小值lemu=infM∈他喝多了≤T（Zt- Mt）#=E“支持≤T（Zt- Mt） #（3）其中H表示平方可积鞅集在零处消失。到达极限的鞅称为最优鞅。由于对偶价格问题是一个凸极小问题，所以所有最优鞅的集合都是h的凸子集。在达到（3）中极限的鞅中，有些鞅实际上满足了路径等式支持≤TZt- Mt=U。这些鞅被称为绝对最优。在（3）中，任何确定的最优鞅都会达到下界，但并非所有的最优鞅都确定是最优的。关于最优鞅的详细特征，我们参考Schoenmakers等人[2013]。总之，Jamshidian[2007]证明了连续区域内的确定最优鞅的唯一性，即对于任意确定最优鞅M和任意最优策略τ（Mt）∧τ） t=（M？t）∧τ） 助教。s、 使用双重表示法（3）最著名的方法可能是Andersen和Broadie[2004]的原始-双重方法，该方法在很大程度上依赖于最佳行使政策的知识。先验知识可以采用嵌套蒙特卡洛模拟的形式，如Schoenmakers[2005]和Kolodko and Schoenmakers[2004]所述。为了避免这种困难，罗杰斯[2010]解释了如何构造一个好的鞅。在维纳框架下，Belomestny等人[2009]通过依赖鞅表示定理来构建好的鞅来研究这种方法。

当尝试实际使用双重公式（3）时，第一个困难是找到一个足够丰富但有限维的手部近似值，然后我们面临一个有限但潜在的高维最小化问题（处理这种方法的一种方法见下文[2013]）。最小化问题（3）可以等价地表示为asU=infX∈L(Ohm,英尺，P）E“sup0≤T≤T（Zt- E[X | Ft]）#（4）式中(Ohm, FT，P）是平方可积FT的集合- 均值为零的随机变量。在这项工作中，我们建议使用截断维纳混沌展开作为L的有限维近似(Ohm, 英国《金融时报》，第页）。由于维纳混沌与林纳积正交，条件期望E[X | Ft]的计算变得简单，并归结为在混沌展开中删除一些项，这使得我们的方法非常方便。基于这种近似，我们提出了一种可扩展的算法，并研究了其收敛性。本文从第二节介绍维纳混沌展开及其一些有用的性质开始。然后，我们可以在第3节中发展我们工作的核心，在该节中，我们将解释如何通过有限维优化问题的解来近似美式期权的价格。首先，我们分析了优化问题的性质，以证明其解对美式期权价格的收敛性。其次，我们研究了它的样本平均近似，使问题易于处理，并证明了它的收敛性。基于所有这些理论结果，我们在第4节介绍了我们的算法，并讨论了它在分布式存储体系结构上的并行实现。最后，第5节给出了一些数值例子。表示n的符号≥ 1，0=t<t<··<tn=t是一个[0，t]令人满意的时间网格→∞sup0≤K≤N-1 | tk+1- tk |=0.o为了n≥ 1，离散时间过滤G由Gk=σ（Bti+1）定义-Bti，i=0。

K-1） 所有人1≤ K≤ n、 而Gis则是琐碎的西格玛代数。显然，Gk FTKforall0≤ K≤ n、 o1年≤ Q≤ d、 I（r）∈ {0，1}表示向量（0，…，0 |{z}r）-1, 1, 0, . . . , 0 |{z}n-r） .o一个人≤ Q≤ d、 和1≤ R≤ n、 I（r，q）∈ 除指数（r，q）等于1.2维纳混沌展开的分量外，所有分量都等于0。为了清晰起见，我们首先给出了d=1（即B是实值布朗运动）情况下的维纳混沌展开。2.1维迭代随机积分方法的一般框架。对于确定性函数序列（fn）n≥1hn[0，T]n-→ R和R[0，T]n|fn（T）| dt<∞, 我们通过（V（f）=RTf（t）dBtVn（fn）=RTRtn来定义迭代随机积分。Rtfn（tn，…，t）dBt。dBtn， N≥ 2（5）集合{Vn（f）：f∈ L（[0，T]n）}是L的一个子空间(Ohm, FT，P），其闭包通常被称为n阶维纳混沌。我们从Nualart[1998]知道，任何平方可积、实值和FT- 可测随机变量F可以展开为一系列迭代的随机积分SF=E[F]+Xn≥1Vn（fn）（6）其中确定性函数（fi）i≥1.它们是对称的。我们定义了p阶的混沌展开≥ 1 asCp（F）=E[F]+pXn=1Vn（fn）（7），对应于将等式（6）中的和截断为p项。例如，对于p=2，C（F）只涉及一个维纳积分和一个二重随机积分，除了常数项E[F]。埃尔米特多项式法。维纳混沌展开的迭代随机积分方法不适用于实际，不能推广到多维布朗运动。希望这个展开式可以用厄米多项式来表示。让我来看看-由h（x）=1定义的厄米多项式；嗨（x）=(-1） iex/2didxi（e）-x/2），对我来说≥ 1.（8）它们满足所有整数i，Hi=Hi-1与公约H-1= 0.

我们记得，如果（X，Y）是一个随机法向量，E[X]=E[Y]=0，E[X]=E[Y]=1E[Hi（X）Hj（Y）]=i！（E[XY]）ii=j.（9）对于所有i≥ 0，我们定义spacesHi=（hiztftdbtbt！：f∈ L（[0，T]）（10），其Lclosure对应于i阶维纳混沌。我们考虑由T<T<tnfi（t）=1]ti-1，ti]（t）/pti- 钛-1，i=1，n、 （11）对于（fi）i的选择，ZTfi（t）dBt=Bti- Bti-1.√钛- 钛-1=Gi。注意，随机变量Giare i.i.d.遵循标准正态分布。我们完成这n个函数f，fn引入L（[0，T]）的正交基，并引入基于LCp，n（F）=Xα的p阶截断混沌展开式∈美联社，n.Yi≥1Hαi（Gi）（12），其中Ap，n={α∈ Nn:kαk≤ p} kαk=Pi≥0αi.利用方程（9），我们推断上述分解的系数由λα=EhFQi唯一确定≥1Hαi（Gi）i气≥我！. （13） 通过引入为任何多指数α=（αi）i定义的广义埃尔米特多项式，可以更清楚地改写该公式≥1.∈ NNbHα（x）=Yi≥1Hαi（xi），对于x∈ 注册护士。（14） 用这种表示法，方程（12）变成Cp，n（F）=Xα∈Ap，nλαbHα（G，…，Gn）。提议2.1。设F是L中的实值随机变量(Ohm, FT，P）并让k∈{1，…，n}和p≥ 0E[Cp，n（F）|Ftk]=Xα∈Akp，nλαbHα（G，…，Gn）与Akp，n={α∈ Nn:kαk≤ p、 α`=0` > k} 。证据取式（12）中的条件期望导致toE[Cp，n（F）|Ftk]=Xα∈Ap，nλαkYi=1Hαi（Gi）EnYi=k+1Hαi（Gi）Ftk. （15） 由于时间之后的布朗增量tkare独立于Ftkand，因此E相互独立Qni=k+1Hαi（Gi）|Ftk=Qni=k+1E[Hαi（Gi）]，当asPni=k+1αi>0时为零。因此，等式（15）中的和被减少为多个指数α集合上的和∈ Ap，n对于所有i>k，αi=0，这正是setAkp，n的定义。备注2.2。

由于E[Cp，n（F）|Ftk]中出现的和被减少为多个指数α集合上的和∈ Akp，n，它实际上只取决于前k个增量（G，…，Gk）。我们可以很容易地检查E[Cp，n（F）|Ftk]实际上是由F在第一个k布朗增量上的混沌展开给出的。因此，计算条件期望可以简单地归结为下降项。虽然这看起来是一种天真的方式，但在我们的环境中确实是正确的。提议2.3。设F是L中的实值随机变量(Ohm, FT，P）并让k∈{1，…，n}和p≥ 1.无论如何∈]tr-1，tr]与1≤ R≤ k、 DtE[Cp，n（F）|Ftk]=√hXα∈Akp，n，αr≥1λαbHα-I（r）（G，…，Gn）其中α- I（r）=（α，…，αr）-1，αr- 1，αr+1，αn）。证据从命题2.1中，我们知道≤ K≤ nE[Cp，n（F）|Ftk]=Xα∈Akp，nλαbHα（G，…，Gn）Let r≤ k和t∈]tr-1，tr]。Malliavin导数yieldsDtE[Cp，n（F）|Ftk]=Xα的链式规则∈Akp，nλαDtkYi=1Hαi（Gi）！DtkYi=1Hαi（Gi）=kYi=1，i6=rHαi（Gi）Hαr（Gr）=1αr≥1kYi=1，i6=rHαi（Gi）Hαr-1（Gr）=1αr≥1bHα-I（r）（G，…，Gn）。2.2多维混沌展开在上一节中，我们解释了如何用布朗增量的厄米多项式的有限和来近似由一维布朗运动生成的西格玛场可测量的随机变量。在本节中，我们将回到最初的多维设置，如第1节所述。过程B是一个以Rd为值的布朗运动。将Hermite多项式展开式推广到更高维环境的关键思想是考虑在L（[0，T]，Rd）张量基础上计算的Hermite多项式的张量积。考虑函数（hi）i，其值由Hji（t）=]ti定义-1，ti]（t）√嘿，i=1，n、 j=1，其中（e，…，ed）表示Rd的规范基- 第四阶维纳混沌Cp，定义为dYj=1bHαj（Gj。

，Gjn）：α∈ （Nn）d，kαk≤ P其中kαk=Pni=1Pdj=1αj和Gji=Bjti-Bjti-1.√h、 利用布朗增量的独立性和Hermite多项式的正交性，给出了平方可积随机变量F的混沌展开式，即Cp，n（F）=Xα∈A.dp，nλαbHdα（G，…，Gn），其中bhdα（G，…，Gn）=dYj=1bHαj（Gj，…，Gjn）α ∈ （Nn）dAdp，n=nα∈ （Nn）d:kαk≤ 阿宝。（16） 我们用一个明显的滥用符号来表示λ∈ 拉dp，n，Cp，n（λ）=Xα∈A.dp，nλαbHdα（G，…，Gn）。我们还介绍了在时间tkA之后截断的多个索引集d、 kp，n=nα∈ A.dp，n:J∈ {1，…，d}，` > k、 αj`=0o。（17） 我们引入集合Cp，由Cp定义，n=nF∈ L(Ohm, FT，P）：F=Cp，n（F）a.s.o.我们可以很容易地推导出命题2.1，命题2.4的多维对应物。设F是L中的实值随机变量(Ohm, FT，P）并让k∈{1，…，n}和p≥ 0E[Cp，n（F）|Ftk]=Xα∈A.d、 kp，nλαbHdα（G，…，Gn）。备注2.5。离散时间序列（E[Cp，n（F）|Ftk]）0≤K≤nis当然适用于过滤（Ftk）k，但也适用于较小的过滤（Gk）k。当模拟随机变量F时，该特性起着至关重要的作用∈ L(Ohm, 我们从[Nualart，1998，Theorem1.1.1]中了解到，在这种情况下→∞Cp，n（F）=L中的F-感觉该结果适用于固定值n。如果F仅为FT-可测量而非Gn-可测量的，我们需要输入F∈ D1.2获得跛行→∞,N→∞Cp，n（F）=F。在后一种情况下，需要让n进入单元以恢复F。提议2.6。设F是L中的实值随机变量(Ohm, FT，P）并让k∈{1，…，n}和p≥ 1.对于t>tk，DtE[Cp，n（F）|Ftk]=0。尽管如此，t∈]tr-1，tr]与1≤ R≤ k、 q=1，d、 DqtE[Cp，n（F）|Ftk]=√hXα∈A.d、 kp，n，αqr≥1λαbHdα-I（r，q）（G。