与交易总监Speed一起优化限额和市场订单的执行

所以即使η6=η，其中一个条件肯定成立（因为β，β，α>0，我们要么η<η，要么η<η）如果|η，另一个成立- η|与拉格朗日乘数的关系很小。例4.1在讨论买卖边界的一般性质之前，我们将考虑一种特殊情况。通常在实践中，u被假定为0，因为它是未知的。此外，设置η=0，买卖边界为sp（t）=（α+2β）ρσm（t- t） 2（η+β）C，t∈ [0，T]。当逆向选择条件ρm<0时，P（t）为负T∈ [0，T）并在T=T时增加到值0。因此，即使仓位变短，算法仍会继续卖出，并且只有在仓位实质上变为负值时才会买入。边界是时间的二次函数，如果u>0（或u<0），则边界是凸的（或凹的）直觉是，当仓位规模足够小时，交易者不必担心不清算，因为她有足够的时间来完全清算。为了进一步探索其形状性质，我们计算了p:p′（t）=-（Tcrit）- t） （α+β+β）u（η+β）C-（α+2β）ρσm2（η+β）C。通常，我们期望P（t）是时间的非增函数。为了理解什么时候会出现这种情况，让我们思考一下，假设u>0。那么，P（t）是非递增的≤ Tcrit+（α+2β）ρσm2（α+β+β）u（4.7）=T+（α+2β）ρσm（2β- γ） +2（η+β）Cu2u（α+β+β）（2β- γ).如果没有逆向选择效应，则ρm≥ 第二项是正的，所以P对于所有t都是不增加的∈ [0，T]。然而，如果存在不利的s选择，则ρm<0，并且第二项可能为负。但是只要|ρ|≤2（η+β）Cu（α+2β）σ（2β- γ） m,然后第二项是非负的，P（t）对于所有t都是不增加的。相反，根据要求，只要u6=0，边界就是二次的。否则，如果ρm<0（分别>0），P（t）是线性增加（分别减少）。

对于恒定的不确定性，ρm<0为我们提供了所需的逆向选择效应。参见例4。1了解更多详细信息。P对于所有t m都是非递减的，这意味着逆转了不等式（4.7），也就是t≥ Tcrit+（α+2β）ρσm2（α+β+β）u=T+（α+2β）ρσm（2β- γ） +2（η+β）Cu2u（α+β+β）（2β- γ). （4.8）为了确保P（t）对于所有t都是非递减的，我们将（4.8）的右侧从上方限定为0，并重新排列不等式以获得|ρ|≥2（η+β）Cu+2Tu（α+β+β）（2β- γ)(α + 2β)σ(2β - γ） m.在图4中，我们显示了不同参数值的买卖边界。作为β治理对非清算的影响，我们分析了增加β对边界的影响。在左面板中，我们发现选择ρ=-从之前的0.2开始，通常会导致cr降低P。由于更直观的情况是一个普遍变小的边界，我们还绘制了ρ接近零的这对边界。我们预计，与较小的β相比，较大的β将促使贸易商更频繁地下销售订单。下订单将使我们从清算中走得更远，因此边界预计会向下移动。实际上，这可以在图4的两个面板中看到。随着整体买入卖出边界向下移动，终值P（T）当然会下降，这可以被视为算法在时间T持有股票的目标。事实上，我们有p（T）=η2β- γ.我们可以直接看到，如果非液体离子惩罚系数β增加，目标P（T）接近0。

这与我们在图3中的讨论一致。为了产生逆向选择效应，我们需要ρ的绝对值更小。时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500Shares-200-150-100-50050Low BetaHigh BetaTime（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500Shares 1020304050607080low BetaHigh BetaHigh betafigura 4：当T=3600，β=5·10时，随着时间的推移，买入卖出股票-4β= 10-4,η= 0.05, γ = 2.5 · 10-7, η= η= 0.1, u = 10-6, σ = 5 · 10-3和m=16。6. 在左边，界元通常在增加（ρ=-0.2），而在右边，它通常是递增的（ρ=-0.0005). 我们在每个图中都有不同的β。低β等于10-3在本节中，高β是极限阶的0.1.5线性不确定性，我们考虑极限阶的线性不确定性。这相当于在有效不确定性模型中取M=0。我们讨论了解的一些性质和最优策略。5.1清算罚款和交易期限交易——我们首先写下最优性的条件以及a、b和c的ODE，它们是最优执行问题解决方案的特征。回想一下二阶条件：Vxx（t，x）<Cm-γ. 从二次ansatz来看，Vxxis独立于x，因此条件依赖于时间。因此，我们发现，在以数值或其他方式求解a（t）的常微分方程时，我们必须检查sup0≤T≤Ta（t）<C2m-γ、 对于特定的问题参数集。为此，让我们看看a、b和c的常微分方程。在这种情况下，它们求解系统：0=a′（t）+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）a（t），0=b′（t）+u+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）a（t）（b（t）+η）0=c′（t）+βR+βR+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）4（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）（b（t）+η）。a（t）可用隐式方程。然而，有一个明确的解决方案更具启发性。

允许显式解的一个条件是2（α+β+β）=C。尽管这似乎是任意的，但我们可以自由选择3个外生拉格朗日乘子，所以施加这个条件并不太难。有了这个限制，我们将a（t）的方程简化为0=a′（t）+a（t）η+β，终端条件a（t）=γ-β. 这导致了显式解a（t）=-(η+ β) (2β - γ） 2（η+β）+（T- t） （2β- γ). （5.1）接下来，我们求解b（t）。将b（t）的方程除以a（t）（同样有效，因为a（t）<0t） 安德烈，我们有-ua（t）=b′（t）a（t）+b（t）+ηη+β。插入（5.1）中的a（t）表达式并回忆（4.4），我们到达了DDTb（t）+ηa（t）=2u2β - γ+u（T- t） η+β==> b（t）=-η-a（t）2η2β - γ+2u（T- t） 2β- γ+u（T- t） 2（η+β）.这样，c（t）就可以通过对相关ODE的直接积分来计算。然而，这个解决方案在我们的分析中并不有用。使用（5.1），我们可以表达确保价值函数完整性的条件（3.2）-(η+ β) (2β - γ） 2（η+β）+T（2β）- γ） <C- γm2m。（5.2）同样，我们假设2β>γ。如果C≥ γm，（5.2）的左侧为负值，而右侧为非负值，因此条件成立。另一方面，如果C<γm，我们必须有<4m（η+β）（β）- γ） +2（η+β）C（γm）- C） （2β- γ） ：=Tmax。（5.3）换句话说，我们将一个预定条件（3.2）转换为地平线T的上限。这意味着价值函数有一个确定的最大交易期限。给定固定的T>0，我们可以将条件（5.3）转化为β的下限，即β>γ-C2m>γ。

（5.4）事实上，条件（5.4）比原始条件更严格：β>γ/2。同时，最大视界Tmax以β为单位增加，即，Tmaxβ=β4m（η+β）（β- γ） +2（η+β）C（γm）- C） （2β- γ)=4(η+ β)(2β - γ)> 0.这表明，更高的非清算罚款系数β允许更长的可接受交易期限TMAX，因为交易者有充分的动机实现完全清算，而不是进行利润交易。然而，最大期限有一个有限的限制。事实上，作为β→ ∞, Tmax→ 2m（η+β）/（γm）- C） 。让我们通过对β施加条件来不同地考虑贸易效应。从方程（5.2）开始，我们得到-η+β+C- γm2mTβ -γ<C- γm2m（η+β）。β的系数-γ必须是正的。如果它是非正的，那么f表示η>0和β>0都意味着C<γm（必须严格，否则，系数将是正的），因此不等式的右边是负的。然而，在考虑了负号之后，左边的sid e将是非负的，因此如果这个系数是非正的，那么条件就不能成立。因此，我们可以将条件（5.2）改写为β>γ-（C）- γm）（η+β）2m（η+β）+（C）- γm）T。我们上面的讨论表明，第二项的分母为正并不一定需要C≥ γm（差可以是负的，只是不太负），所以这不是一个微不足道的条件。再加上之前对β的限制，我们得到了β>γ+（γm）- C） （η+β）2m（η+β）+（C）-γm）T+.从这个条件中，我们可以看出，必须对交易者处以足够高的清算罚款。如果没有，她将在交易期内花时间从其他机会中获利，到t=t时，她不需要完全清算资产。

特别是，她将遵循一种策略，利用模型中远远超过非清算成本的利润。从数学上讲，β的这个条件保证了最优清算问题的值函数的完整性。5.2在有限不确定度L限制下，在线性不确定度的情况下，可以设置Lt=0并忽略极限顺序的不确定度。相反，一个大的线性不确定性应该促进几乎没有限制的订单。直观地说，如果限价订单有有限的不确定性，那么我们预计它们不会被利用。为了证明这一点，我们首先将极限设为m→ ∞ 在方程（3.6）中，m=0。为简单起见，我们还取u=0。极限常微分方程组为0=a′（t）+a（t）η+β，0=b′（t）+a（t）（b（t）+η）η+β，0=c′（t）+βR+βR+（b（t）+η）4（η+β），终端条件为a（t）=γ- β、 b（T）=0，c（T）=0。我们之前已经在第5.1节中解决了a（t）的ODE。因此，关于a（T）的上确界的最优性条件是相同的，因为m→ ∞, 我们永远不会有C≥ γm。因此，有一个条件，换句话说，如果C≥ γm，那么（考虑负号），下限严格小于γ。我们已经要求β>γ，所以在这种情况下，额外的条件是微不足道的。如果m6=0，则c的常微分方程是不同的，但本节中接下来的所有内容对于a和b仍然适用。由于常微分方程的解实际上是一个积分，我们正在交换极限和积分，并且必须证明该开关是正确的。a（t）常微分方程的隐式解法是-九龙区-a（T）|+Kln | z-a（t）|+Kln | a（t）|-九龙（t）|-Ka（T）+Ka（T）=-z（T）- t） ，其中K=K=z-zz，K=zz，z=2（α+β+β）-γm2m，z=C-γm2m，z=η+β。极限解为m→ ∞ 正是a的上述常微分方程的解。b的闭式解isb（t）=-η+a（t）hRTtua（s）ds-2η2β-γi。

如果u=0，那么我们可以取极限，当u=0和m时，从最后一部分得到b（t）的溶液→ ∞.当m→ ∞. 该极限指示ST<4（η+β）（β- γ)γ(2β - γ).我们可以用非清算罚金的下限来表示：β>γ+γ(η+ β)2(η+ β) - γT+.假设最优性条件成立，那么我们从一阶条件生成的解就是随机控制问题的唯一优化器。请注意，隐式地说，现在β必须大于γ，因为右边的边界甚至是正的。接下来我们考虑贸易。看等式（3.4），我们让m→ ∞. 当我们那样做的时候，我*T→ 0，惠列夫*T→ -Vx+ηη+β=xt-ηη+ β2β - γ2（η+β）+（T- t） （2β- γ).因此，在有限不确定性的情况下，策略是只放置市场订单。有趣的是，有限不确定性极限正是Ch Cheng等人（2017）在恒定不确定性的情况下（回想之前，这并不取决于m）。当η=0和β=0时，我们得到了该论文附录中给出的最佳交易率。6.进度计划在本节中，我们将母公司订单计划纳入订单安排问题。交易方既有市场指令，也有限价指令可供使用，现在有了一个时间决定调度函数，Q（t）d在交易周期内定义[0，t]。我们假设Q（t）是一个非负、非递增、有界的时间连续函数，初始值Q（0）=x。交易者寻求尽可能接近地跟踪Q（t）。具体地说，我们希望在t时刻，我们持有的股票数量Xt始终接近Q（t）∈ [0，T]并且不仅在终端时间T。

为了避免冲突目标，我们将Q（T）=0设为full liquisition的时间表。为了使Xt接近Q（t），我们考虑了formRTλ（u，xu）的惩罚- Q（u））du，其中λ（t，y）是在y=0时全局最大值为0的函数，T∈ [0，T]。由于λ（t，y）在0处的全局最大值为0，优化器应选择订单类型，以保持xt-Q（t）接近或等于0。此外，惩罚期限总是累积偏差。值得注意的是，只要xt>ηη+β，交易率就不是负的。T∈ [0，T]甚至可能由于其时间参数而更加强调某些时间。例如，λ（t，y）可以在t中为所有y增加，那么早期的偏差是允许的，但是当我们接近终端时间时，调度程序将被迫将XT推近Q（t）。从今往后，我们让λ（t，y）=-w（t）yso，与上述/以下的偏差受到同等惩罚，惩罚方式与终端笔相同。我们假设w（t）是时间的非负连续函数。此外，我们假设w（t）在区间[0，t]上有界。现在，我们将最大化之前定义的预期补偿PNL的总和，以及预期的累计偏差。值函数isV（t，x）：=sup（vt，Lt）0≤T≤TE\'f（x）+γxT+ZTt[g（xu，Lu，vu）+λ（u，xu- Q（u））]duxt=x-γx。然后我们得出结论，VS满足以下非线性HJB PDE问题：Vt+supv，L-（v+L）Vx+m（L）Vxx+g（x，v，L）+ λ（t，x）- Q（t））=0（t，x）∈ [0，T）×R，V（T，x）=f（x）+γx，x∈ R.与前面的章节一样，可以执行相同的优化，以得出最优tradingrates v*我呢*, 值函数将是相同的二次型：V（t，x）=a（t）x+b（t）x+c（t）。然而，非均匀项λ（t，x-Q（t））将影响r esultingODEs的解决方案。

具体来说，我们有O-DE系统：0=a′（t）+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）a（t）- w（t），0=b′（t）+u+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）a（t）（b（t）+η）+（η）- η- α - 2β）（mm（2a（t）+γ）+ρσm）（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）a（t）+2w（t）Q（t），0=c′（t）+m（2a（t）+γ）+ρσm+βR+βR+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）4（η+β）（C）- m（2a（t）+γ））（b（t）+η）+（η）- η- α - 2β）（mm（2a（t）+γ）+ρσm）2（η+β）（C）- m（2a（t）+γ））（b（t）+η）+（η）- η- α - 2β）（mm（2a（t）+γ）+ρσm）8（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）（2（α+β+β）- C）- 终端条件为a（t）=γ的w（t）Q（t）- β、 b（T）=c（T）=0。时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350002000400060008001000012000二次计划线性计划无惩罚图5：对计划的改进，伴随着小的、时间一致的惩罚（t）=10-4.t、 其他参数为x=10000，t=3600，β=5·10-4, β= 10-4,η= 0.05, γ = 2.5 · 10-7, η= 0.1, η= 0.08, u = 10-6, σ = 0.005, ρ = -0.2，m=8。\'3，m=3。叠加的是未启用的时间序列（蓝色）、目标为GTWAP的时间序列（红色）和目标为Q（t）=xh1的时间序列-tTi、 在实践中，交易者可能会被指导遵循阿尔姆格伦和克里斯（2000）中的时间确定时间表。我们的模型允许交易者定量评估偏离计划的成本。这里，我们举例说明了考虑进度偏差惩罚的市场和限时订单的分配。图5显示了交易员在三种情况下的持股情况：（i）由Q（t）=xh1定义的二次计划-tTi、 和（ii）线性计划Q（t）=x1.-tT, （iii）没有时间表（我们设定w（t）≡ 0). 正如我们所见，交易者的头寸在整个交易周期内持续跟踪时间表，即使有一个小的恒定惩罚系数w（t）=10-4.

与线性计划相比，二次计划对于一家希望在销售计划结束时开始缓慢交易并最终加速交易的机构非常有用。我们发现我们的模型能够处理复杂的非线性股票持有时间表。我们在图6中分析了对交易率的影响。在左边的面板上，没有偏离线性时间表的惩罚，而在右边，我们对偏离线性时间表的行为给出一个小的惩罚。我们发现，笔化分配者的交易速度更快，对价格变动的反应也更快。实际上，在esell项目结束之前，非处罚交易利率非常稳定，且处罚交易利率随时间变化。相比之下，非处罚案例（右图）中的总交易率在相对较小的范围内波动。在受处罚的情况下，随着时间的推移，会使用更多的市场订单，但当取消授权时，情况正好相反。时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000.51.52.5总限价订单市场订单时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3500-2总市场订单限价订单图6：有处罚和无处罚的交易率比较。在左边，没有授权，在左边，我们用恒定的权重W（t）=10惩罚与线性时间表的偏差-4.其他参数为x=10000，T=3600，β=5·10-4, β= 10-4,η= 0.05, γ = 2.5 · 10-7, η= 0.1, η= 0.08, u = 10-6, σ = 0.005, ρ = -0.2，m=8。\'3，m=3。最终排名分别为190.4408和94.4218。7.总结性评论通过加入一些新功能，我们的订单安排模型可以更好地控制交易问题。例如，交易限制器和主管控制交易的速度和方向。此外，多重处罚会导致一些交易。