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英文标题：
《Optimal Execution of Limit and Market Orders with Trade Director, Speed
  Limiter, and Fill Uncertainty》
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作者：
Brian Bulthuis and Julio Concha and Tim Leung and Brian Ward
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the optimal execution of market and limit orders with permanent and temporary price impacts as well as uncertainty in the filling of limit orders. Our continuous-time model incorporates a trade speed limiter and a trader director to provide better control on the trading rates. We formulate a stochastic control problem to determine the optimal dynamic strategy for trade execution, with a quadratic terminal penalty to ensure complete liquidation. In addition, we identify conditions on the model parameters to ensure optimality of the controls and finiteness of the associated value functions. For comparison, we also solve the schedule-following optimal execution problem that penalizes deviations from an order schedule. Numerical results are provided to illustrate the optimal market and limit orders over time.
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中文摘要：
我们研究了市场和限价订单的最优执行，包括永久和临时价格影响，以及限价订单填写的不确定性。我们的连续时间模型包含一个交易速度限制器和一个交易者控制器，以更好地控制交易利率。我们建立了一个随机控制问题来确定交易执行的最优动态策略，并使用二次终端惩罚来确保完全清算。此外，我们还确定了模型参数的条件，以确保控制的最优性和相关值函数的有限性。为了进行比较，我们还解决了计划跟踪优化执行问题，该问题会惩罚与订单计划的偏差。数值结果说明了最优市场和限价订单随时间的变化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_Execution_of_Limit_and_Market_Orders_with_Trade_Director,_Speed_Limiter,.pdf (1.73 MB)

2022-5-11 05:34:47 上传

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关键词：speed SPE Quantitative Mathematical mathematica

与交易总监、限速器和填充不确定性Brian Bulthuis一起优化限额和市场订单的执行*Julio Concha+Tim LeungBrian Ward§2017年4月13日摘要我们研究了市场和限价订单的最佳执行，以及限价订单的永久性和暂时性价格影响以及填写的不确定性。我们的连续时间模型包含一个交易限速器和一个交易主管，以更好地控制交易对象。我们建立了一个随机控制问题来确定交易执行的最优动态策略，并用二次终端惩罚来确保完全清算。此外，我们还确定了模型参数的条件，以确保控制和相关价值函数的优化。为了进行比较，我们还解决了进度跟踪优化执行问题，该问题会惩罚与订单进度的偏差。数值结果说明了最优市场和限价订单随时间的变化。*KCG控股有限公司，纽约州纽约市，邮编10006。电子邮件：bbulthuis@kcg.com+KCG控股有限公司，纽约州纽约市，邮编10006。电子邮件：jconcha@kcg.com华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图98195。电子邮件：timleung@uw.edu.Corresponding著者§工业工程与运营研究（IEOR）系，哥伦比亚大学，纽约，NY1027。电子邮件：bmw2150@columbia.edu.1简介在美国市场上，机构投资者拥有或管理着大部分公开股票。对许多机构投资者来说，买卖股票的订单可能会很大。这样的大订单被认为是实施成本很高的，因为它们为购买（或出售）订单创造了巨大的即时需求（或供应）。大额买入（或卖出）指令可能会导致其他交易者提高（或降低）他们的成交价格，因为他们认为机构投资者的反向指令的价值发生了变化。

由于短期流动性需求而产生的额外实施成本的影响通常被称为市场影响。从业人员通常认为，这是一种跟踪、避免或最小化的重大成本。缓慢的交易通常会随着时间的推移对需求/供应产生最小的影响，从而降低市场影响。然而，这种策略使经纪人面临股票价格变动的风险，以及无法完成所有预期股票单位的买卖。因此，许多算法交易者的目标是决定如何在策略上交易机构交易的成本和风险。在本文中，我们分析了一个连续时间随机模型的最优执行，同时使用市场和限制订单。我们的pap扩展了Almgren和Chriss（2000）的基本市场影响模型，包括不确定利率的限价订单，以及惩罚过大交易率的限速器。与Almgren和Chriss（2000）不同，我们的模型有两种订单类型，它们可能有负面迹象（即在购买计划中提交销售订单，反之亦然）。因此，我们需要考虑如何使交易迹象保持积极。此外，我们还构造了惩罚，以在期望的完全清算方向上驱动最优交易率。具体而言，我们包括一项非清算的最终罚款，以及一项名为交易主管的罚款，以推动市场交易利率，并限制订单朝着同一方向。综合起来，这三种惩罚（非清算、交易主管和限速器）迫使算法进行完全清算，同时调整交易率的大小。我们的主要目标是研究如何在一段时间内优化分配主动（市场）和被动（限制）订单。市场订单的积极性意味着它们往往具有更高的市场影响力。

另一方面，限价订单在价格和市场影响方面成本较低，但它们不太可能兑现。fill不确定性被建模为限额订单交易的一个函数，并反映在与股票价格过程相关的额外差异项中。在我们的框架下，最优清算问题被转化为一个随机最优控制问题。相关的非线性HJB方程可以简化为线性微分方程组。根据SEC专员路易斯·A·阿吉拉尔（Luis A.Aguilar）的报告，2010年，约67%的美国股票市值由机构投资者持有/管理，而1950年为8%。资料来源：https://www.sec.gov/News/Speech/Detail/Speech/1365171515808.We然后研究常数和线性不确定性的特殊情况，检验解的性质，并分析相应的显式优化策略。在我们的结果中，我们刻画了交易者的买卖边界，这是一个时间确定性函数，控制订单类型为非负时。我们还考虑了一个替代模型来合并abenchmark交易计划，并证明了你的模型能够生成与任何给定计划密切相关的最优策略，同时最小化交易成本。这使我们能够理解在遵循课程和追求利润之间的权衡，从而评估偏离计划的可能性。在整篇论文中，我们提供了数值结果来说明在各种情况下的最优清算策略。在我们的发现中，我们明确推导了交易利率，并进一步研究了在交易范围内非负的条件。此外，我们还介绍了订货计划的临界时间跨度。

如果交易期限超过了这个临界时间，交易者就有太多的时间来探索股票交易中的有利机会。这导致了一个有趣且直观的交易效果：非清算罚款必须增加，以防止交易员利用时间探索无限利润，导致过度交易。在Almgren和Chriss（2000）中，有许多关于具有类似基本设置的最优清算的相关研究，尽管近年来，同时使用市场指令和限制指令的清算仅处于算法交易文献的前沿。Cheng等人（2017）最近的一篇论文扩展了Almgren-Chriss框架，将单一订单类型的不确定订单填充包括在内。我们的论文扩展了他们的模型，包括市场和限价订单，以及指导交易方向和限价订单规模的附加约束和惩罚。在有限不确定性的情况下，我们的框架将他们的模型作为特例，我们的最优市场订单率与他们的一致。Cartea和Jaimungal（2015）提出了一个模型，用于市场和限价订单的最佳执行，该模型使用跳跃过程和最优多重停止来确定最优市场订单投放时间。他们也会惩罚与时间表的偏差。关于时间表遵循的具体例子，我们参考了Cartea和Jaimungal（2016）最近的一项研究，该研究得出了一个遵循批量加权平均价格（VWAP）时间表的封闭式最优策略。我们的论文也与关于最优做市商问题的文献有关。做市包括同时确定阿斯托克的价格和数量。

做市商以持有头寸的风险换取差价。Avellaneda和Stoikov（2008）运用差异定价技术，为规避风险的投资者在一定时期内的交易找到最佳报价。Guilbaud和Pham（2013）通过限制订单的最优安排以及使用市场订单平衡库存风险来研究做市商问题。在这些研究中，对订单的迹象没有限制，因为做市商通常同时下买卖订单。关于算法交易和市场微观结构的更多相关研究，请参阅Lehalle和Laruelle（2013）以及Cartea等人（2015）的著作。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们建立了一个销售计划下最优订单执行的随机控制问题。在第3节中，我们在充分不确定性的假设下解决了这个问题。然后，我们在第4节和第5节分别讨论了常数不确定性和线性不确定性下的解和交易场景的一些重要性质。在第6节中，我们调整了我们的模型，以惩罚那些偏离预先规定的持股计划的策略。第7节总结全文。2.最佳订单类型选择在本文中，我们从销售计划的角度出发。买房计划的数学是完全相似的。我们首先给出了最优执行模型的公式，然后推导出最优策略。我们将在第4节和第5节分别在常数和线性极限阶不确定性下进一步讨论它们的性质。在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）和有限的交易期限[0，T]。我们的模型包括两个随机控制：（i）市场订单的交易率vt和（ii）限价订单的交易率Lt随时间t的变化∈ [0，T]。

交易员的股票持有量（用xtat时间t表示）被交易率vt和Lt耗尽。为了捕捉限价指令的不确定性，有一个附加的离散项m（Lt）dZt，其中m是限价指令交易率的确定函数，Z是标准布朗运动。准确地说，交易员的头寸满足SDE:dxt=-vtdt+(-Ltdt+m（Lt）dZt）。（2.1）股票价格和交易价格遵循Almgren和Chriss（2000）动力学的广义版本：dSt=γdxt+udt+σdWt，eSt=St+h（vt，Lt）。（2.2）换句话说，价格S遵循带漂移μ的算术布朗运动∈ R和波动率σ>0，以及系数γ>0的线性永久性影响。交易价格反映了暂时影响h（vt，Lt），它是市场和限价指令当前交易率的函数。当我们寻求封闭形式的解决方案时，我们假设临时影响是有效的，即h（vt，Lt）=-η- ηvt- ηLt，常数η，η，η>0。两个标准布朗运动Z和W与一个即时相关参数ρ相关∈ (-1, 1). 投资者的信息流由（Z，W）生成的过滤F进行调整，所有可接受的策略都必须是F适应的。我们通常期望ρm（L）<0，只要L≥ 0.此参数符号选择将产生逆向选择效应，这在算法交易模型中经常被考虑。例如，当股票价格在出售后上涨时，逆向选择是一种隐含成本。交易者在卖出股票之前最好等待价格上涨，因为那样她就会意识到额外的利润。要看到这一点，首先考虑ρ>0的情况。那么，如果Zt>0是在一个小的时间段内观察到的t、 我们通常会看到Wt>0，因此St>0，股票价格上涨。

为了使模型包含一个dverse选择效应，我们希望交易者在限价订单中进行超额销售。如果m（Lt）<0，则会发生这种情况，对于m（Lt）Zt<0和xt<0。反转符号并以ρ<0开始，我们发现我们需要m（Lt）>0xt<0。这两种情况可以用限制条件ρm（L）<0来概括。在我们的实现中，我们将选择满足这个逆向选择标准的参数，尽管我们的模型在不成立时也可以工作。作为标准绩效指标，任何交易策略的盈亏（PNL）定义为∏t:=xT（ST- S） +ZTs-伊苏dxu=xTST- xS-中兴通讯社。（2.3）第（2.3）项中的前两项衡量了以股票价格衡量的投资组合公允价值的变化。第三项是交易的收入/成本：它衡量每个时间点的头寸变化乘以当时的交易价格。在出售计划中，出售股份的最小金额（以-dxt）倾向于阳性。因此，综合-RTESUDXUCA可以被解释为销售收入。当我们插入方程（2.1）和（2.2）给出的动力学时，PNL变成∏T=γxT- 十、+ZThuxu+ρσm（Lu）+γm（Lu）+h（vu，Lu）（vu+Lu）idu+ZTσxudWu-ZTh（vu，Lu）m（Lu）dZu。（2.4）我们还包括三个模型特征：（i）二次终端惩罚，（ii）交易主管，以及（iii）交易限速器。首先，我们必须确保头寸得到实际清算。为此，我们增加了一个二次惩罚项“f（x）=-βx，所以任何不完全液化的东西都是不可取的。这与Cheng等人（2017年）的研究结果相同。第二种惩罚是为了惩罚同时下买方市场订单和卖方订单（反之亦然）。这样的订单安排就好像交易者在向自己购买/出售股票。这种处罚被称为贸易主管。

目标是鼓励订单具有相同的符号或等效符号vtLt≥ 0.结合非清算罚款，我们预计只有选择≥ 0，中尉≥ 0.我们引入了惩罚积分αvuLudu，以及拉格朗日乘子α≥ 0.我们还添加了一个限速器，以防止交易员在任何一种订单类型下交易过快。假设管理层分别为市场订单和限制订单设置了两个交易速度上限r，r>0。要鼓励交易员满足这些约束条件：-R≤ 及物动词≤ 兰德-R≤ 书信电报≤ r、 对于所有的t，或相当于vt≤ r=：兰特≤ r=：r，我们引入了术语RTβ（r-vu）+β（R）-Lu）du，用拉格朗日乘数β，β≥ 0.在其他类别的交易问题中也发现了二次惩罚的使用，如通过约束条件下的风险最小化进行套期保值（例如，见Lee（2008））。结合这三个特征，利用方程（2.4），我们现在编写补偿PNL asb∏T=∏T+ZTαvuLu+β（R- vu）+β（R）- （陆）du+-f（xT）=γxT- 十、+\'f（xT）+ZTσxudWu-ZTh（vu，Lu）m（Lu）dZu+ZTg（xu，vu，Lu）du，（2.5）我们定义的“f（x）=-βx，g（x，v，L）=ux+ρσm（L）+γm（L）+h（v，L）（v+L）+αvL+β（R）- v） +β（R）- 五十） 。（2.6）交易员的目标是通过选择市场和限价订单的交易价格，最大限度地提高补偿PNLb∏Tin（2.5）的预期。

这导致了值函数v（t，x）：=sup（vu，Lu）t≤U≤TE\'f（xT）+γxT+ZTtg（许、陆、武）杜xt=x-γx.（2.7）我们将研究与随机控制问题（2.7）相关的非线性HJB PDE问题：Vt+supv，L-（v+L）Vx+m（L）Vxx+g（x，v，L）= 0，（t，x）∈ [0，T）×R，V（T，x）=f（x）+γx，x∈ R、 （2.8）求解价值函数V和相应的最优交易策略。3.限价指令的不确定性当限价指令交易率中的完全不确定性函数为确定函数时，我们给出了随机控制问题（2.7）的解析解。在接下来的章节中，我们将分析具有常数不确定性和线性不确定性的特殊情况，并强调它们的不同特征。根据我们的模型公式，我们现在将所有不确定性和临时价格影响设为有效因素：m（L）=m+mL和h（v，L）=-η- ηv- ηL.在这种情况下，（2.8）中的HJB PDE问题变成svt+ux+m（Vxx+γ）+ρσm+βR+βR+supv，LJ（t，x，v，L）= 0，（3.1）表示所有（t，x）∈ [0，T）×R，终端条件为V（T，x）=γ- βx或所有x∈ R.请注意，（3.1）中的J定义为asJ（t，x，v，L）：=-（v+L）Vx+（m+mL）Vxx+g（x，v，L）- ux-m（Vxx+γ）- ρσm-βR- βR=（-η- Vx+mm（Vxx+γ）+ρσm）L+-η- β+m（Vxx+γ）L(-η- Vx）v+(-η- β） v+（α）- η-η） 式中，g（x，v，L）在（2.6）中定义。命题3.1在有效不确定性模型下，如果值函数V（t，x）满足二阶条件：mVxx（t，x）<C- γm，（t，x），（3.2），其中c：=4（ηη+ββ+ηβ+ηβ）- (η+ η- α） 2（η+β），则最优清算问题具有有限最优且存在唯一的全局最优控制（v*, L*).证据（3.1）中的函数J是v和L中的二元四次函数，因此（3.1）中的上确界的一阶条件是一对线性方程组。