与交易总监Speed一起优化限额和市场订单的执行

为了便于演示，我们定义ψ（t，x）：=m（Vxx（t，x）+γ），A：=-2η- 2βα - (η+ η)α - （η+η）ψ（t，x）- 2η- 2β!.其中A是J w.r.t.v和L的Hessian矩阵，其对t和x的依赖性已被抑制。那么一阶条件就是=Vx+ηVx+η-毫米（Vxx（t，x）+γ）- ρσm！。此外，如果A对所有（t，x）都是负定义，那么最优执行问题有一个由这些一阶条件唯一确定的有限解。为了检查黑森函数的负不确定性，我们计算其特征值。特征方程为：- uI）=（2η+2β+u）（2η+2β- ψ（t，x）+u）- (η+ η- α)= 0.解对应于两个特征值u±，由u±=-η- η-β- β+ψ（t，x）±sψ（t，x）+η- η+ β- β+ (η+ η- α).对于u+<0，我们必须有ψ（t，x）<4（ηη+ββ+ηβ+ηβ+ηβ）- (η+ η- α） 2（η+β）=:C（3.3）对于所有（t，x），wh ich等同于条件（3.2）。接下来，既然你-≤ u+，u+<0表示u-< 0.因此，如果解决一阶条件的控制v和L产生HJB方程的解决方案v，使得（3.3）保持（或相当于（3.2）在重新排列后保持）重新排列，则最优清算问题有一个确定的最优解。此外，一阶条件具有唯一的解决方案。因此，存在唯一的全局最优控制。备注3.2我们将在第4节中考虑具有恒定不确定性（m=0）的特殊情况。然后，命题3.1中的条件（3.2）不再依赖于（t，x），可以简化为asC>0。在第4.1节中，我们讨论了这种情况的实际后果。正如我们将明确导出函数V的值一样，我们可以直接验证条件（3.2）。鉴于上述命题，我们知道在条件（3.2）下存在唯一的全局最优控制。我们现在开始查找这些控件。为了简单起见，我们用（t，x）。

这是由以下内容给出的：（t，x）=（2η+2β）（2η+2β）- ψ（t，x））- (η+ η-α).使用这种符号，一阶条件的解为*t=（m（Vxx+γ）+η- η- 2β- α） （Vx+η）- (η+ η- α） （mm（Vxx+γ）+ρσm）,L*t=（η）- η- α - 2β）（Vx+η）+2（η+β）（mm（Vxx+γ）+ρσm）.（3.4）代以（v）*, L*) 在HJB方程中，我们得到以下非线性偏微分方程：0=Vt+ux+m（Vxx+γ）+ρσm+βR+βR+（Vx+η）4（η+β）+2（α+β+β）- C2Vx+η+（η- η- α - 2β）（mm（Vxx+γ）+ρσm）2（α+β+β）- C,（3.5）根据终端条件V（t，x）=γ- βx、 二次终端条件表示ansatz V（t，x）=a（t）x+b（t）x+c（t）。只要系数函数解出以下一阶常微分方程组，Thisansatz将解方程（3.5）：0=a′（t）+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）a（t），a（t）=γ- β、 0=b′（t）+u+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）a（t）（b（t）+η），+（η）- η- α - 2β）（mm（2a（t）+γ）+ρσm）（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）a（t），b（t）=0,0=c′（t）+m（2a（t）+γ）+ρσm+βR+βR+2（α+β+β）- m（2a（t）+γ）4（η+β）（C）- m（2a（t）+γ））（b（t）+η）+（η）- η- α - 2β）（mm（2a（t）+γ）+ρσm）2（η+β）（C）- m（2a（t）+γ））（b（t）+η）+（η）-η- α - 2β）（mm（2a（t）+γ）+ρσm）8（η+β）（C）- m（2a（t）+γ）（2（α+β+β）- C） ，C（T）=0。（3.6）这些常微分方程可以用数值方法连续求解。分析策略是首先通过分离变量来求解a（t）。然后我们可以把a（t）插入b（t）的常微分方程中。由此产生的一阶线性非齐次常微分方程很容易求解。反过来，给定a（t）和b（t），第三十个数是可分离的，并通过积分直接求解。

在接下来的几节中，我们将通过解析或数值方法来求解这些方程，从而给出解决方案和相关的交易策略。假设V（t，x）=a（t）x+b（t）x+c（t），我们现在可以简化二阶条件（3.2），并用a（t）和模型参数表示：2ma（t）<c- γm，（t，x）。此时，a满足隐式方程，因此不可能进一步简化条件。然而，在恒定的不确定性下，当m=0时，它将显著简化。线性不确定性模型还将考虑a（t）的解析解。3.1数值说明在显示模型的数值实现之前，我们讨论参数选择。在本文中，我们考虑的是将在几个小时内以极高的速度执行的交易。因此，将秒作为时间间隔是有意义的，我们在所有模拟中使用t=3600秒。对于其他参数，我们假设每天6.5个交易小时，每年252个交易日，并选择与Almgren和Ch riss（2000）中发现的参数值大小相同的参数值：S=40美元/股，x=10000股，σ=0.005（$/股）/秒。0.5, u = 10-6美元/股/秒。，γ = 2.5 · 10-7美元/股，η=0.05美元/股，η=0.1美元/股/秒，η=0.08（$/股）/（股/秒）。请注意，以每天6.5个交易小时和每年252个交易日折算，我们发现σ和初始股价的值相当于大约30%的年波动率。u的值相当于大约15%的年增长率。一个小的相关值，ρ=-选择0.2，以及曼德m的正值，将不利选择效应包括在内。不确定度参数选择为m=pxT-0.5，m=p√一些（无单位）常数的T和p。

如果我们想要比较常量和线性不确定性模型，那么p=p对应于Br Ownian运动驱动xt上的类似系数。这是因为我将乘以Lt，它大致是x/T。在恒定或线性不确定度下，我们设置p=p=0.1，而在有效不确定度下，我们选择p=p=0.05，以减小两个分量之间的不确定度。最终清算罚款为β=10-3美元/股。对于限速器，我们选择β=5·10-4美元/股/秒，β=10-4美元/股/秒。这些都是小额罚款，因此不会过度降低交易速度，与终端清算罚款的顺序相同。最后，贸易主管罚款被选择为α=0.15。在接下来的章节中，我们将找到α的容许区间。对于上述参数值，0.15位于区间中间，就在中间偏左的位置，因此不会过度鼓励高交易速度。在整个数值模拟过程中，这些将是基线参数。我们通过改变数值样本中的这些基线值来强调每个参数的影响。在图1中，我们绘制了极限订单中具有恒定不确定性、线性不确定性和零不确定性的模型的交易率。为了确保公平比较，生成资产动力学的布朗运动和位置不确定性在所有模拟中都是相同的。只有交易利率的函数形式发生变化。请注意，这两个比率对所有三个模型都是正的。此外，这些策略主要由限价指令控制。在实践中，这是因为限价订单往往影响较小，成本较低。事实上，这是选择的参数。在大多数情况下，在1小时销售计划的整个生命周期中，在没有不确定性的情况下，交易率几乎是恒定的，在不确定性的情况下保持相当稳定。

当我们接近执行期时，利率变得更加不稳定：算法对小动作做出反应，以利用低成本机会清算资产。然而，在交易的整个生命周期内，线性不确定性交易率通常比恒定不确定性交易率更稳定、更低。要了解这一点，请注意，线性不确定性可以通过选择Lt=0来避免，但在恒定确定性的情况下，这是不可能的。从这个意义上讲，线性不确定性模型的不确定性比美国常数不确定性模型小。这有助于解释交易价格的顺序。随着不确定性减少到无不确定性，未来更加可预测，因此交易者不需要过度交易。最后，请注意，线性和恒定不确定性下的交易率往往会在接近尾声时显著上升。原因是，非清算罚金主导了所有其他成本，因此，交易速度加快，以实现完全清算。同样，即使在这个高度波动的时期，林耳不确定性也会导致交易率低于恒常不变的确定性。有趣的是，在线性不确定性下，在接近交易周期结束时，观察到市场订单率首次超过了限制订单率。在不断的不确定性下，同样的情况不会发生。这是因为在线性不确定性限制下，可以通过避免下此类订单来消除订单的不确定性，而想要实现完全清算的交易者会转向没有完全不确定性的市场订单。我们的方法鼓励交易率的非负性，在大多数卖出计划中，交易者倾向于保持VT>0和Lt>0。然而，总的来说，情况并非如此，交易利率有可能为负。

稍后，在第4.2节中，我们将展示在特殊情况下可以保证非负交易率。时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500交易率（股份/秒）0.511.522.533.544.55总计限制订单市场订单（a）时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3500交易率（股票/秒）0.511.522.533.544.55TotalLimit Orders市场订单（b）时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3500交易率（股份/秒）0.511.522.533.544.55TotalLimit Orders Market Orders（c）图1：在（a）恒定不确定性（m=16.\'6），（b）线性不确定性（m=6）和（c）无不确定性下的最优交易率的样本路径。最终持仓量分别为217.25203.39股和168.75股。参数为x=10000，T=3600，β=10-3, η= 0.05, γ = 2.5 · 10-7, α = 0.15, β= 5 · 10-4, β= 10-4, η= 0.1,η= 0.08, ρ = -0.2, u = 10-6，σ=0.005。时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500交易率（股份/秒）00.511.522.533.54总订单限额市场订单时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3500交易率（股票/秒）00.511.522.533.54总市场订单Slimit Orders图2：在以下参数下的e模拟的最优交易率：x=10000，T=3600，β=10-3, η= 0.05, γ = 2.5 · 10-7, α = 0.15, β= 5 · 10-4,β= 10-4, ρ = -0.2, u = 10-6，σ=0.005，m=8。\'3和m=3。左边η=0.1，η=0.05，右边η=0.05，dη=0.1。最终持仓量分别为68.5384股和80.2371股。接下来，我们看一下图2中的市场影响效果。我们根据市场影响系数（η，η）的不同值显示了模拟交易。在左侧面板上，市场指令具有更高的临时市场影响（η=0.1，η=0.05），而在右侧，限价指令具有更高的临时市场影响（η=0.05，η=0.1）。

如两个场景所示，订单类型的交易率较高，市场影响成本较低。实际上，市场订单预计会对市场产生更大的影响，因此η>η是更现实的设置。股票持有量随时间变化的示例路径如图3所示。我们的交易策略似乎遵循时间加权平均价格（TWAP）策略。这一点在随时间推移的线性和递减路径中很明显。TWAP策略寻求在整个时间内持续交易，以使平均实现价格为执行期间的时间加权p价格。持有量的线性路径表明总交易率近似恒定。与TWAP不同，最优策略似乎有一个非零的xT终端目标。β越高，交易者卖出的速度越快，仓位越接近于零。此外，位置通常在减少，但我们注意到，即使vt>0，lt>0，由于布朗运动，xT也可能暂时增加。时间（秒）0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500020004000600080000012000Low BetaHigh BetaFigure 3：具有不同非清算罚金的股票持有的样本路径。参数为：x=10000，T=3600，η=0.05，γ=2.5·10-7, α = 0.15, β= 5 · 10-4,β= 10-4, ρ = -0.2, u = 10-6，σ=0.005，η=0.1，η=0.08，m=8。\'3和d m=3。β的低值为10-4高值为0.1。最终位置为1546.0197和5。分别为3967。4.极限订单的恒定不确定性在本节中，我们讨论了在极限订单的恒定不确定性下我们模型的一些性质。回想一下，持续的不确定性意味着总仓位，但它受到不确定性的影响，而不仅仅是由于限价订单的交易。

由于股票持有的风险无法避免，在选择市场和限价指令时，需要在显性市场影响成本和各种隐性成本之间进行权衡。后者的成本包括交易主管设定的交易罚款和第2节讨论的限速器。查看本节的另一种方式是，VT可以是一个交易所的交易汇率，而LTI是另一个交易所的交易汇率。就市场影响而言，这两个交易场所的交易成本不同，总头寸受到风险的影响，由持续的不确定性来衡量。4.1交易方向速度交易首先，我们必须检查（3.2）中的二阶条件。因为我们有m=0，所以不等式简化为C>0，或者等价（η+η）- α)- 4(ηη+ ββ+ ηβ+ ηβ) < 0.（4.1）由于η和η是根据市场数据推断的外生参数，条件（4.1）成为对拉格朗日乘数α、β和β的限制。假设我们乘以β和β。（4.1）的左边是α的凸二次函数。因此，有两个根，如果α在它们之间，最优控制问题有一个由一阶条件唯一给出的有限解。该结果在α：α的容许范围内∈η+ η- 2pη+ββ+ηβ+ηβ，η+η+2pηη+ββ+ηβ+ηβ.这导致了我们的第一次贸易。交易员主管的拉格朗日乘数α确保我们的订单类型朝着同一个方向。另一方面，拉格朗日乘数β和β往往会降低VT和LTP的值，因为较高的值可参考的较少。然而，增加βi会使α的允许间隔变长。特别是，当βi=0时，区间为η+ η- 2.√ηη, η+ η+ 2√ηη. 由于一组数字的算术平均值大于其几何平均值，左端点为正，这是一个无效的选择。然而，如果βi足够大，则区间可能包括α=0。

这一讨论揭示了在选择内生参数α、β和β时，过度降低贸易速度和正确设置贸易方向之间有趣的权衡。总之，除非限速器足够严格，否则贸易主管不能太强或太弱。4.2最佳策略我们现在考虑相关的交易策略。首先，我们必须求解ODE系统：0=a′（t）+2（α+β+β）（η+β）Ca（t），0=b′（t）+u+2（α+β+β）（η+β）Ca（t）（b（t）+η）+（η）- η- α - 2β）ρσm（η+β）Ca（t），0=c′（t）+m（2a（t）+γ）+ρσm+βR+βR+（α+β+β）2（η+β）c（b（t）+η）+（η）- η- α - 2β）ρσm2（η+β）C（b（t）+η）+（η）- η- α - 2β）ρσm8（η+β）C（2（α+β+β）- C） ，终端条件a（T）=γ- β、 b（T）=c（T）=0。通过分离变量，我们得到了a（t）：a（t）=-(η+ β) (2β - γ） C2（α+β+β）（2β- γ） （T）- t） +2（η+β）C。除了fort=t+（η+β）C（α+β+β）（2β）之外，函数a（t）在任何地方都有很好的定义- γ） =:Tcrit。（4.2）假设我们选择β较大，以惩罚非清算，具体来说，让我们考虑β>γ。然后，（4.2）中的第二项为正，Tcritis从未达到，因为它超出了销售计划的执行范围T。有了这个定义，a（t）简化为a（t）=-（η+β）C2（α+β+β）（Tcrit）- t） 。自从，t∈ [0，T]（[0，Tcrit]，我们得出a（T）<0f或T∈ [0，T]，哪个imp表示Vxx（T，x）<0表示所有（T，x）∈ [0，T]×R.为了求解f或b（T），我们将第二个ODE除以a（T），然后重新排列得到b′（T）a（T）+2（α+β+β）（η+β）C（b（T）+η）=-ua（t）-(η- η- α - 2β）ρσm（η+β）C.（4.3）通过使用乘积ru le后跟a（t）的常微分方程，我们得到以下等式：滴滴涕b（t）+ηa（t）=b′（t）a（t）-（b（t）+η）a′（t）a（t）=b′（t）a（t）+2（α+β+β）（η+β）C（b（t）+η）。（4.4）定义（t）：=（α+β+β）u（η+β）C（Tcrit）- （t）- （Tcrit）- （T）-(η- η- α - 2β）ρσm（T- t） （η+β）Cto是（4.3）中从t到t的右手边函数的积分。

然后，b（t）被明确地分解如下：滴滴涕b（t）+ηa（t）= -ua（t）-(η- η- α - 2β）ρσm（η+β）C==> b（t）=-η- a（t）2η2β - γ+b（t）.最后，c（t）可以通过直接积分来计算。由于积分相当复杂，我们不需要它的闭式表达式，所以我们省略了它。直接计算表明，最优交易率为*t=（η）- η- 2β-α） （2a（t）xt+b（t）+η）2（η+β）C，L*t=（η）- η- α - 2β）（2a（t）xt+b（t）+η）2（η+β）C.注意，最佳交易策略在任何时间t都是有效的。我们将在下一节研究交易率的符号。4.3买卖双方在本节中，我们描述了保证交易利率为非负且不确定的性质。当然，最佳交易率应该是非负的，因为这意味着交易策略不违背全面抛售计划。至少，如果一个订单利率是非正的，那么另一个应该是非正的，以避免同时买卖订单。为了简单起见，我们假设η=η≡ η.那么最优交易率是V*t=(-2β- α） （2a（t）xt+b（t）+η）2（η+β）C，（4.5）L*t=(-2β- α） （2a（t）xt+b（t）+η）2（η+β）C.（4.6）因此v*t、 L*t> 0当且仅当2a（t）xt+b（t）+η<0，或等价于2a（t）xt- a（t）2η2β - γ+b（t）< 0.由于所有t的a（t）<0，这给出了作为时间确定性函数的下界，在该下界上，（4.5）和（4.6）中导出的最优策略同时下销售订单，在该下界下，最优订单策略同时下购买订单。明确地说，条件是xt>（Tcrit）-t） （α+β+β）u2（η+β）C-（Tcrit）- T）（α+β+β）u2（η+β）C+（α+2β）ρσm（T- t） 2（η+β）C+η2β- γ.我们把右边的下边界称为买卖边界，用P（t）表示。如果η为，本节中的结果仍然成立- η<2β+α和η- η< 2β+ α.