因子的随机选择在一个特定的时间内保持了相关结构

因此，对于订单四项，我们得到的金额超过4！=24项，即E[：BjmBjnBj′m′Bj′n′：：BjmBjnBj′m′Bj′n′：={j=j，j′=j′）{m=m，n=n}+{m=n，n=m}×{m′=m′，n′=n′}+{m′=n′，n′=m′}+{j=j′=j′}{m=m，n=m′}{m′=n，n′=n′}+{m′=n′，n′=n}+{j=j′=j′}{m=m，n=n′}{m′=n，n′=m′}+{m′=m′，n′=n}+{j=j′=j′}{m=n，n=m′}{m′=m，n′=n′}+{m′=n′，n′=m}+{j=j′=j′}{m=n，n=n′}{m′=m，n′=m′}+{m′=m′，n′=m}+{j=j′，j′=j}{m=m′，n=n′}+{m=n′，n=m′}×{m′=m，n′=n}+{m′=n，n′=m}+{j=j′=j′}{m=m′，n=m}{m′=n，n′=n′}+{m′=n′，n′=n}+{j=j′=j′}{m=m′，n=n}{m′=n′，n′=m}+{m′=m，n′=n′}+{j=j′=j′}{m=n′，n=m}{m′=m′，n′=n}+{m′=n，n′=m′}+{j=j′=j′}{m=n′，n=n}{m′=m，n′=m′}+{m′=m′，n′=m}. （39）因此，kXj′，j，j′，j=1E:BjmBjnBj′m′Bj′n′：BjmBjnBj′m′Bj′n′：= K{m=m，n=n}+{m=n，n=m}×{m′=m′，n′=n′}+{m′=n′，n′=m′}+{m=m′，n=n′}+{m=n′，n=m′}×{m′=m，n′=n}+{m′=n，n′=m}+ K{m=m，n=m′}{m′=n，n′=n′}+{m′=n′，n′=n}+{m=m，n=n′}{m′=n，n′=m′}+{m′=m′，n′=n}+{m=n，n=m′}{m′=m，n′=n′}+{m′=n′，n′=m}+{m=n，n=n′}{m′=m，n′=m′}+{m′=m′，n′=m}+{m=m′，n=m}{m′=n，n′=n′}+{m′=n′，n′=n}+{m=m′，n=n}{m′=n′，n′=m}+{m′=m，n′=n′}+{m=n′，n=m}{m′=m′，n′=n}+{m′=n，n′=m′}+{m=n′，n=n}{m′=m，n′=m′}+{m′=m′，n′=m}. （40）对于涉及Z′·Z的术语，我们还需要将该结果限制在m=m′或m=m′：dXm=1kXj′，j，j′，j=1E的情况下:BjmBjnBj′mBj′n′：BjmBjnBj′m′Bj′n′：= （k+k）{m′=m，n=n，n′=n′}+{m′=n′，m=n′，n}+{m′=n，m=n，n′=n′++{m′=n′，m=n，n′=n}+{m′=m，n=n′=n，n=n′，n=n+{m′=n，m=n′，n=n′=n，m=n′，n+{m′=n，m=n′=n，m=n′=n，n′=n，n′=n，n′=n，n′=n，n′+ 2K{m′=n，m=n，n′=n′}+{m′=n′，m=n，n′=n}+{m′=n′，m=n，n=n′}+{m′=n′，m=n′，n=n}.

（41）然后我们可以收集这里需要的三个术语，它们是dxm，m=1kXj′，j，j′，j=1E:BjmBjnBj′mBj′n′：BjmBjnBj′mBj′n′：= k（k+1）n=n，n′=n′}+{n′=n′，n=n}+{n=n，n′=n′}+{n′=n，n′=n}+d{n=n′，n=n′，n′=n}+{n=n′，n′=n}+{n=n′，n=n′+{n=n′，n=n′，n=n+ 2K{n=n，n′=n′}+{n′=n，n′=n}+{n′=n，n=n′}+{n′=n′，n=n}= [（d+2）k（k+1）+4k]{n=n，n′=n′}+2k（k+1）{n′=n，n′=n}+[（d+2）k（k+1）+4k]{n=n′，n′=n}，（42）dXm，m，m′=1kXj′，j′，j=1E:BjmBjnBj′mBj′n′：BjmBjnBj′m′Bj′n′：= k（k+1）d{n=n，n′=n′}+{n=n}+{n′=n′}+{n′=n}+d{n=n′，n′=n}+{n′=n}+{n=n′+{n′=n}+ 2K{n′=n′}+{n′=n}+{n=n′}+{n=n′}+{n=n}, （43）和dxm，m′，m，m′=1kXj′，j，j′，j=1E:BjmBjnBj′m′Bj′n′：BjmBjnBj′m′Bj′n′：= Kd{n=n，n′=n′}+d{n=n}+d{n′=n′}+1+d{n=n′，n′=n}+d{n=n′}+1+ K3d{n′=n′}+3d{n′=n}+3d{n=n′}+3d{n=n}++2+d{n=n′，n′=n}+d{n′=n′，n=n′，n=n}. （44）这个庄园ddXn′，n=1vn′undXm=1kXj′，j=1:BjmBjnBj′mBj′n′：-dXn′，n=1vn′undXm′，m=1kXj′，j=1:BjmBjnBj′m′Bj′n′：= dk[（d+2）（k+1）+4]|u | v |+（u·v）[（d+2）（k+1）+4+2（k+1）]+ dk（k+1）（|u | v |+（u·v））- 2dk（k+1）（|u | v |+（u·v））=dk[（dk+d+k+5）| u | v |+（dk+d+3k+7）（u·v）]。（45）将该项与（38）相加，并将结果乘以ad-2（d）- 1)-2yieldsVar（C）=E[（C-E[C]）]=ad（d- 1） dkh（2k+d+1）|u | v |+（dk+d+k+5）|u | v |+[（2k+d+1）+2D+2+4（2k+d）]（u·v）+（dk+d+3k+7）（u·v）i=a（d）- 1） kh（4k+d+5DK+5k+3d+6）|u | | v |+（4k+d+5DK+15k+9d+10）（u·v）i≤a（d）- 1） 2k | u | v |（4k+d+5DK+10k+6d+8）=a2kσuσv（4（k+d）- 三维- 3DK+10k+6d+8）。（46）如果d≥ 4.我们有-3d- 3dk+10k+6d+8≤ 0代表所有k≥ 1.因此，对于d≥ 4，上界可以简化为定理中给出的形式，即thenVar（C）≤ a8k（k+d）σuσv.（47）这是定理的证明。注A.3（46）中的确切界限也可以用其他方式近似。

选择推论中的正规化，a=1/（k（d+k）），并假设d>> k、 我们得到了估计的Var（C）。2σuσv/k，前置因子从8减少到2。当k>> d、 备注A.4关于矩阵元素之间的相关性（e被视为i.i.d.）快速衰减的假设对于上述现象的发生非常重要。然而，每个矩阵元素分布的精确统计数据所起的作用要小得多。对于实例e，考虑代替高斯N（0，1）-分布的矩阵元素，将它们从具有高达四阶矩的其他分布中提取出来。例如，假设每个B=BJMH的分布均为零，E[B]=0，方差c=E[B]，第四个累积量c=κ[B，B，B，B]。如下图所示，理论中前三项的结果变化是引入了总体尺度，并且对b:=c/c的依赖性相对较弱，b的分布的峰度过大。明确地说，我们得到的不是等式（22），而是[：BjmBjn:：Bj′m′Bj′n:]=c{j′=j，m′=m}{j′=j，n′=n}+{j′=j，n′=m}{j′=j，n=m′}+b{j′=j，m′=m=n=n′}. （48）因此，我们得到[（Pu）m]=cakum，（49）Cov（（Pu）m，（pv）m′）=cak{m′=m}u·v+um′vm+b{m′=m}umvm, （50）并追溯上述证明的必要步骤，因此yieldsVar（（pu）m）=cak|u |+（1+b）嗯, （51）c-2E[CP u，Pv]=ak（d+k）Cu，v+akduuuv+akb1.-DCu，v+dd- 1uuuv. （52）因此，对于以uu=0=uvis为中心的时间序列，保持平均协方差的标度由a=cpk[d+k+b（1）给出- 1/d）]。（53）因此，改变分布的主要效果是一个相当明显的标度，它对应于将B的方差标准化为1。第四个累积量的影响不大，但至少与k和d一样大。

第三个累积量在上述计算中不起作用；然而，它会影响CP u，Pv的方差值。事实上，Var（CP u，Pv）的计算中引入了很多新项。然而，只要高阶累积量与k和d不可比，所有这些仍然被认为是高斯贡献的次优势。在上面的显式示例中，每个高阶累积量都应该引入新的限制，以减少在定理证明中计算的配对部分所产生的组合因子。