在线参数修正的最优交易

请注意，总股数是在30秒之前购买的，因此在此日期之后，优先股不再发生变化。在图5中，我们绘制了价值函数的对数减去购买totalshares而不产生影响的成本5.10（类似于执行差额），即利息的差异。图3：α在时间0s（顶部）、30s（左侧）和55s（右侧）的演变（mν，X），对于σΓ=5.10-4.图4：α（顶部）、σγ（左侧）、mγ（右侧）随时间的演化。黑色十字和黑色实线：γ的真实值为5.10-2.红色圆圈和红色虚线：Γ的真实值为5。10-2前5秒，然后跳到5.10秒-4.图5：顶部：ln（v）- 5.10关于（x，m~n）的σΓ=5.10-4和t=0。底部：ln（v）- 5.10关于（x，mγ）=（0,2.10-2） t=0.4.2随机执行时间：应用于使用LimitOrder的策略在本节中，我们考虑一个限价订单交易模型。Xnow代表中间价格（参考价格），在两次交易之间，动态xt=σdWt。（4.2）订单的形式为（`，β），其中`是我们在执行前准备等待的最长时间，而β是发送限价订单的价格。为简单起见，每一支股票相当于购买一股。我们假设执行时间θ服从参数ρ（Γ，Xτ）的指数分布- β） ，给定时间τ的信息。只有在θ：=τ+`∧ θ.因此，给定φ=（τi，`i，βi）i的阶数≥1，根据toX=Xθion[θi，τi+1）Xθi=Xτi购买的股票数量-+ 1{θi≤`i} 式中，θi:=τi+`i∧θi.每个θi服从参数ρ（Γ，Xτi）的指数分布-βi）给定Fz，m，φτi-. 与前面的模型一样，Xis限制为{0，…，N}。

购买股票的总成本xofb具有动态X=Xθion[θi，τi+1）Xθi=Xτi-+ βi{θi≤`i} 。我们想要最大化-E分机[φ]+1.02（北）-XT[φ]+5.10（N-XT[φ]）∧ C,其中1.02是最佳ask（保持不变），5.10是影响系数。这相当于即时清算剩余股份的成本（N- x） +在T。该模型是[2]、[16]、[18]的一个版本，另见[17]。直接计算表明，前一过程M根据toM=Mθion[θi，τi+1）Mθi=M（Mτi）演化-; Zθi，Zτi-, αi）1{θi≤`i} +M（Mτi）-; Zθi，Zτi-, αi）1{θi>`i}，其中m（m；t，x，t，x，l，b）[b]：=RBρ（u，x- b） e-ρ（u，x）-b） tdm（u）RR+ρ（u，x）- b） e-ρ（u，x）-b） tdm（u）暗池策略也可以类似地考虑，在这种情况下，β更愿意描述交易平台的选择图6：Solid:u=0.8。虚线：u=0.3和m（m；t，x，t，x，l，b）[b]：=RBe-ρ（u，x）-b） ldm（u）RR+e-ρ（u，x）-b） ldm（u）适用于所有Borel集b。如果M是有限个Dirac质量的凸包，则可以显式计算与M相关的权重。这里，映射ψ（t，x，m）=N- X说明了[4]中提供的条件，以确保假设3.1成立。我们现在考虑一个数字说明。我们取C=10。时间范围为T=15分钟。为简化起见，我们将参考中间价设为x≡ 1（即σ=0）并限制为`=1，即每分钟发送一个订单。我们取N=10。你可以发送B范围内的限价订单：={0.90,0.92,0.94,0.96,0.98}。至于执行时间的强度，我们使用[16]中的指数形式：ρ（u，x-b） =λ（u）e-20(0.98-b） 其中λ（u）=- ln（1）- u） 。这意味着在一分钟内以0.98的价格执行的概率是u。订单每分钟发送一次，但我们使用一个时间网格，以便考虑到它可以在最大时间长度之前执行。原始先验由u=0.3和u=0.8的两个狄拉克质量支撑。

相应的一分钟内被执行的概率如图6所示。我们的时间步长相当于15秒，因此，如果前一个命令在最大1分钟时间长度之前执行，控制器每15秒就可以启动一个新命令。在图7中，我们绘制了后一种情况下获得的值函数与1分钟时间步长（在这种情况下，新订单不能在1分钟前重新启动）之间的差异（以对数表示）。显然，提前发布新订单的可能性是一个优势。在图8中，我们绘制了t=0和t=7.5分钟时的最佳策略。正如预期的那样，当Γ=0.8的概率较高时，算法更具攻击性。图7在图9中，我们绘制了一条模拟路径。红色和黑色的线和点对应于手头的随机变量的相同实现，但用于不同的实际值。黑色对应于最有利的情况，在前7.5分钟，红色对应于γ=0.8，在剩余时间，红色对应于γ=0.3。初始先验值为P[Γ=0.8]=9%。同样，该算法很好地适应了对真实参数的冲击。我们还发现，当处于有利情况的先验概率较高时，它更具攻击性。图8：顶部：t=0。底部：t=7.5分钟图9：黑色十字和实线：Γ=0.8。红色圆圈和虚线：在7.5分钟之前和之后，γ=0.8。x轴=以分钟为单位的时间。。参考文献[1]R.阿尔姆格伦和J.洛伦兹。具有每日周期的贝叶斯自适应交易。《交易日志》，1（4）：38-462006。[2] M.阿维拉内达和S.斯托伊科夫。在限价指令簿中进行高频交易。量化金融，8（3）：217-2242008。[3] E.Bacry和J.-F.Muzy。价格和交易高频动态的霍克斯模型。《定量金融》，14（7）：1147-11662014。[4] N.巴拉德尔、B.布沙尔和N.-M。

该死。不确定性和贝叶斯参数调整下的最优控制。哈尔预印本，2016年。[5] 巴勒斯。介绍一阶hamilton–jacobi方程的粘性解理论及其应用。汉密尔顿-雅可比方程：近似、数值分析和应用，第49-109页。斯普林格，2013年。[6] G.巴勒斯和P.E.苏加尼迪斯。完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。在1990年的《决策与控制》中。，第29届IEEE4会议记录。IEEE，1990年。[7] 本苏桑。部分可观测系统的随机控制。剑桥大学出版社，2004年。[8] B.布查德、M.邓和C.-A.莱哈勒。交易算法的最优控制：一般脉冲控制方法。暹罗金融数学杂志，4:404–4382011。[9] J-P.布乔德。价格影响。《定量金融百科全书》，2010年。[10] X.布罗克曼、E.塞里埃、J.科克尔科伦和J.-P.布沙德。影响不公平市场的缓慢衰退。arXiv预印本arXiv:1407.33902014。[11] F.卡米利和M.法尔肯。差分过程最优控制的近似方案。《数学建模与分析》，29（1）：97-1221995年。[12] 卡米利和雅各布森。积分-偏微分Milton-jacobi-bellman方程的有限元格式。暹罗数值分析杂志，47（4）：2407-24312009。[13] S·德拉特、C·Y·罗伯特和M·罗森鲍姆。从理论流量估算有效价格：布朗-考克斯过程方法。《随机过程及其应用》，123（7）：2603–26192013。[14] T.E.邓肯和B.帕西克·邓肯。连续时间随机系统的自适应控制。国际自适应控制和信号处理杂志，16（5）：327-340，2002年。[15] D·伊斯利和N·M·基弗。

控制参数未知的随机过程。计量经济学：计量经济学学会杂志，1045-10641988页。[16] O.盖恩特、C.-A.莱哈勒和J.费尔南德斯·塔皮亚。带限制指令的最优投资组合清算。暹罗金融数学杂志，3（1）：740–7642012。[17] O.盖恩特、C.-A.莱哈勒和J.费尔南德斯·塔皮亚。应对库存风险：做市商问题的解决方案。数学与金融经济学，7（4）：477–5071013。[18] T.Ho和H.R.Stoll。交易和收益不确定性下的最优经销商定价。金融经济学杂志，9（1）：47-731981。[19] S.Laruelle，C.-A.Lehalle和G.PagèS.流动性池中订单的最优分割：一种随机算法方法。暹罗金融数学杂志，2（1）：1042-10761011。[20] S.Laruelle，C.-A.Lehalle和G.PagèS.限价订单的最佳过账价格：通过交易学习。数学与金融经济学，7（3）：359–403，2013年。[21]C.-A.莱哈勒和S.拉鲁埃尔。实践中的市场微观结构。世界科学出版有限公司，2013年。[22]M.罗森鲍姆。估算统计财务的问题。PhDthesis，ENSAE ParisTech；巴黎东部大学，2007年。