没有借贷或卖空的套利？

401].o 每个仓位都可以使用之前仓位的利润（无需借款）获得全额资金。累积交易量仍然是固定的，相当于φ的变化是固定的。事实上，定理2.7证明中的大多数理论论点都围绕着验证这两个要求是否确实得到满足而展开。我们现在介绍一些续集中需要的附加符号。为了所有人，y∈ R、 我们表示x∨ y:=max{x，y}和x+：=x∨ 如果X和Y是相同分布的随机变量，我们写Xd=Y。假设∈ 然后我们说，如果P（{P}），那么属性P（前提是它是“F-可测量的”）在a上保持P-a.s∩A） =P（A）。我们使用N:={1，2，…}的约定。作为准备，我们现在证明两个技术引理，它们将用于定理2.7的证明。引理3.1。让我们（yn）∞n=1是一个非负数序列→∞yn=0。假设有一天∈ (0, 1),∞Xn=1e-αnPk=1yk<∞. （3.2）如果我们设置β：=2α1+α并定义一个序列（xn）∞n=1of非负数byxn:=nYk=11+βyk，n∈ N，（3.3）然后∞n=1xn<∞ andxn<∞Xk=n+1xkyk<∞ 对任何人来说∈ N（3.4）证据。考虑一个序列（yn）∞n=1和α∈ （0，1）满足上述假设。确定β：=2α1+α和一个序列（xn）∞n=1（3.3）。很明显，对于所有n，n<0<α<β<1和0<xn6 1∈ N.根据定义（3.3），xn-1=（1+βyn）xn=xn+βxnyn，n>2。因此对于所有的n，n∈ 当N<N时，我们有βNXk=N+1xkyk=xn- xN。（3.5）IfP∞k=1xk<∞, 那么xk→ 0作为k→ ∞. 因此，我们可以采用N→ ∞在（3.5）中，得出每n∈ N、 xn<β-1xn=∞Xk=n+1xkyk<∞,因此，（3.4）成立。为了完成证明，还需要证明P∞k=1xk<∞.证明（yn）的假设∞n=1简化序列的可和性（xn）∞n=1，我们依赖于不等式log（1+x）>x/（1+x），它适用于所有x>0的情况。

（这个不等式可以用积分表示log（1+x）=Rx（1+y）证明）-1以及其中被积函数的单调性。）因此，对于所有的k>n>1，我们有-对数（1+βyk）6-γnβyk=-2γn1+αyk，其中γn:=1/（1+βsupm>nym）。自从limk→∞yk=0，这里γn%1为n→ ∞.特别是，存在n∈ N使得γN>（1+α）/2和对于所有k>N，乙烯具有-对数（1+βyk）6-αyk。将上述估计值用于表示xn=Qnk=1e- 因此，log（1+βyk）表明，对于所有n>n，0<xn6 xnexp-αnXk=n+1yk= xnexpαnXk=1yk经验-αnXk=1yk.所以（3.2）确保了，P∞n=1xn<∞.引理3.6。设B=（Bt）t∈[0,1]是标准布朗运动，且σ>0。如果我们确定一些∈ （0,1），ξn：=σBn-γ- σB（n+1）-γ+, N∈ N，那么对于任何大于0的α，E∞Xn=1e-αnPk=1ξk！<∞.证据根据布朗运动的自相似性，我们得到了任意n的ξnd=unB+∈ N、 式中：=σpn-γ- （n+1）-γ.中值定理在函数x7中的应用→ 十、-γ、 我们推导出γσ（n+1）-p6Un6γσn-p、 （3.7）p:=γ+1∈, 1..现在，让我们计算xα>0。根据托内利定理和随机变量ξ，ξ。，我们在这里∞Xn=1e-αnPk=1ξk=∞Xn=1EE-αnPk=1ξk=∞Xn=1nYk=1~n(-αun），（3.8）式中，式中：ε（u）：=E欧盟委员会+, U∈ R.由于P（B+>0）=1，E（B+）∞ P（B+>0）=>0，我们有c:=infv∈（0，ασ）EB+e-vB+EE-vB+∈ (0, ∞) .由詹森的不平等性，为美国∈ (0, ασ),φ(-u） =EeuB+e-uB+EE-uB+> 解释B+e-uB+EE-uB+!> exp（uc），这意味着nyk=1(-αuk）6 exp- cnXk=1uk, （3.9）对于任何n∈ N.使用（3.7）中的下界，我们可以估计任意N∈ N、 nXk=1uk>γσnXk=1（k+1）-p> γσZn+2x-pdx>cn1-p、 （3.10）其中c=c（γ，σ，p）>0是一个常数。现在请注意，对于任何指数θ>0，都存在一个常数c=c（θ）>0，使得ex>cxθ，x>0。

因此，应用（3.10）到（3.9），我们发现∈ N、 nYk=1(-α（uk）6 e-ccn1-p（cc）θcnθ（1）-p） 考虑到（3.8），仍然需要选择θ>1-p、 定理2.7的证明基于这样一个观察，即过程φ预期满足的性质（2.8a）和（2.8b）对时间变化和概率测度的等价变化具有鲁棒性。在定理2.7的假设下，我们可以将过程S表示为等价局部鞅测度下的时变布朗运动。因此，我们可以通过引理3.1和3.6证明（2.8a）和（2.8b）依赖于布朗运动的性质。定理2.7的证明。待构造过程φ的性质在过程S的正常数重标度下是明显不变的。通过重新缩放S，事件的可能性{supt∈[0，T]St6 1}可以任意接近1。特别是，我们可以假定，在不丧失普遍性的情况下监督∈[0，T]St6 1> 1.- P（hSiT>0），其中，根据假设，P（hSiT>0）为正，并且即使在过程被重新缩放后仍然如此。这意味着P（supt∈[0，T]St6 1，hSiT>0）>0，所以我们可以找到常数c>0，这样事件Ac:={supt∈[0，T]St6 1}∩ {hSiT>c}satifiesp（Ac）>0。让我们现在开始∈ （0，1），并引入停止时间ρn:=inf{t∈ [0，T]：hSit>cn-γ} ∧ T、 n∈ N由于过程S是连续的，其二次变化过程hSi也是P-a.S.连续的[6，定理17.5]。因此，我们在Ac上有P-a.s.，0.6ρ<·ρ<ρn<·ρ<·ρ<ρ<和ρn&ρas n→ ∞. 另外请注意，Hsiρn=cn-任意n的acn上的γP-a.s∈ N（3.11）我们还引入了随机变量szn:=（Sρn）- Sρn+1）+，n∈ N，这将有助于接下来的工作。现在让我们来看Q~ P是这样的，S是局部Q-鞅。

很明显，Q（Ac）>0。根据Dambis–Dubins–Schwarz定理[6，定理18.4]，存在一个标准布朗运动B=（Bt）t>0，定义在一个扩展上Ohm,\'F，\'Q关于(Ohm, F、 Q），这样缩放的布朗运动Bt：=√cBt，t>0，满意度t=S+Bc-1hs对于所有t∈ [0，T]\'Q-a.s。然后，根据（3.11），序列ξn:=（Bn-γ- B（n+1）-γ)+= (√cBn-γ-√cB（n+1）-γ） +，n∈ N，satis fieszn=ξN＠Q-a.s.对任何N∈ N（3.12）将引理3.6应用于随机变量ξ，ξ。带σ=√然后使用质量（3.12），我们推断出，对于任何α∈ (0, 1),∞Xn=1e-αnPk=1Zk<∞ （3.13）Q-a.s.在Ac上，因为随机变量Z，Z。在原始空间中定义(Ohm, F），条件（3.13）也适用于Ac上的Q-a.s，因此适用于ACA上的P-a.s（由于Q的关系）~ P） 。我们现在用φt定义φ的过程：=∞Xn=1Hn{Zn>0}∩Ac（ρn+1，ρn]（t），t∈ [0，T]，（3.14），其中hn:=nYk=11+Zk，n∈ N（注意，在（3.14）中，对于固定t，最多有一个求和为非零，这消除了对随机和收敛性的担忧。）由于（3.13）包含P-a.s.onAc，所以带有α=的引理3.1确保了P∞n=1Hn<∞ Ac上的P-a.s.，这反过来意味着过程φ为P-a.s.c`agl`ad，且φ=0的变化有限。因此，根据[13，定理1.2.3和1.2.13]，对于任何t∈ [0，T]，由ztφudSu给出=∞Xn=1Hn{Zn>0}∩Ac（圣∧ρn- 圣∧ρn+1）。让n∈ N和t∈ （0，T.），然后我们在Ac上有P-a.s∩ {ρn+1<t6ρn}，ZtφudSu=∞Xk=n+1Hk{Zk>0}（Sρk- Sρk+1）+Hn{Zn>0}（St- Sρn+1）=∞Xk=n+1HkZk- Hn{Zn>0}Sρn+1+φtSt。再次调用（3.13）在Ac上保持P-a.s.的事实，引理3.1和α=意味着∞Xk=n+1HkZk>Hn>Hn{Zn>0}Sρn+1P-a.S.在Ac上，其中第二个不等式从Ac开始 {supt∈[0，T]St6 1}。另外注意ztφudSu=∞Xk=1HkZk>∞Xk=2HkZk>H>0=交流上的φtStP-a.s∩ {ρ<t}。因此，ZtφudSu>φStP-a.s。

在Ac上∩ {ρ<t}，并且由于这个过程RtφudSuT∈[0，T]是连续的，（φtSt）T∈[0，T]是c\'agl\'ad，我们发现ZtφudSu>φtst对于所有t∈ （ρ，T]> P（Ac）>0，所以我们建立了（2.8b）。还有待观察ztφudSu=0=φtSt，P-a.s.开启Ohm \\ 当t6ρ时，也会出现（2.8a）。确认J.Lukkarinen的研究得到了芬兰研究院分析与动力学研究卓越中心（项目271983）和一个研究院项目（项目258302）的部分支持。M.S.Pakkanen感谢CREATES（DNRF78）的部分支持，该项目由丹麦国家研究基金会、奥胡斯大学研究基金会（项目“商品市场的随机和经济计量分析”）和芬兰科学院（项目258042）资助。参考文献[1]J.Amendinger、P.Imkeller和M.Schweizer（1998）：内幕人士的额外对数效用。随机过程。阿普尔。75(2), 263–286.[2] T.比约克（2009）：连续时间套利理论，第三版，牛津大学出版社，牛津。[3] T.Bj？ork和H.Hult（2005）：关于Wick乘积和分数BlackScholes模型的说明。金融斯托奇。9(2), 197–209.[4] F.Delbaen和W.Schachermayer（1994）：资产定价基本理论的一般版本。数学安。300(1), 463–520.[5] N.Hirschey（2016）：高频交易者是否预期买卖压力？预印本，可从以下网址获得：http://ssrn.com/abstract=2238516[6] O.Kallenberg（2002）：现代概率的基础，第二版，斯普林格，纽约。[7] F.Longstaff（2001）：最优投资组合选择和非流动性证券的估值。牧师。财务部。螺柱。14(2), 407–431.[8] J.Lukkarinen和M.S.Pakkanen（2013）：关于Riemann–Stieltjes积分的正性。公牛奥斯特。数学Soc。87(3), 400–405. [更正，Bull.Aust.Math.Soc.89（3），524-524（2014）。][9] 皮科夫斯基和我。

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