没有借贷或卖空的套利？

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英文标题：
《Arbitrage without borrowing or short selling?》
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作者：
Jani Lukkarinen, Mikko S. Pakkanen
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We show that a trader, who starts with no initial wealth and is not allowed to borrow money or short sell assets, is theoretically able to attain positive wealth by continuous trading, provided that she has perfect foresight of future asset prices, given by a continuous semimartingale. Such an arbitrage strategy can be constructed as a process of finite variation that satisfies a seemingly innocuous self-financing condition, formulated using a pathwise Riemann-Stieltjes integral. Our result exemplifies the potential intricacies of formulating economically meaningful self-financing conditions in continuous time, when one leaves the conventional arbitrage-free framework.
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中文摘要：
我们证明了一个交易者，一开始没有初始财富，不允许借钱或卖空资产，理论上可以通过持续交易获得正财富，前提是她对未来资产价格有完美的预见，这是由连续半鞅给出的。这种套利策略可以构造为一个满足看似无害的自筹资金条件的有限变分过程，该过程使用路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分来表示。我们的结果举例说明了当一个人离开传统的无套利框架时，在连续时间内制定有经济意义的自筹资金条件的潜在复杂性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Arbitrage_without_borrowing_or_short_selling?.pdf (470.75 KB)

2022-5-11 06:09:56 上传

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关键词：Mathematical Conventional economically Differential Applications

没有借贷或卖空的套利？贾尼·卢卡里宁*Mikko S.Pakkanen+2016年10月4日摘要我们表明，一个没有初始财富且不允许借钱或卖空资产的交易者，在理论上能够通过持续交易获得正财富，前提是她对未来资产价格有完美的预见，这是由连续半鞅给出的。这种套利策略可以被构造为一个有限变化的过程，满足看似无害的自我融资条件，使用路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分公式。我们的结果举例说明了当一个人离开传统的无套利框架时，在连续时间内制定具有经济意义的自我融资条件的潜在复杂性。关键词：卖空、自我融资条件、套利、Riemann–Stieltjes积分、随机积分、半鞅2010数学主题分类：60H05、90G10、60G44JEL分类：C22、G11、G141简介常识表明套利策略——从数学金融的意义上讲，不涉及初始财富——应该需要卖空或获得信贷——这是一个明显的预算限制。事实上，在现实世界中，以及在离散时间模型中，我们可以区分战略规定的风险资产的第一位。如果这个职位不短，就必须由借来的钱来提供资金。

然而，在持续交易的情况下，可能不存在任何“第一位置”，因为投资组合的组成可以随时间自由变化，因此，如果不进行卖空或借贷，就不可能有任何风险策略，这一点在先验上是不明确的。自我融资条件是动态交易策略的一个重要方面。它们应该被视为执行一致会计的一种手段：所有利润都来自交易*赫尔辛基大学数学与统计系，芬兰赫尔辛基奥皮斯托FI-00014邮政信箱68。电子邮件：jani。lukkarinen@helsinki.fi+英国伦敦皇家学院南肯辛顿校区数学系，以及丹麦奥胡斯大学数学系。电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.ukmust并从货币市场账户中扣除所有交易成本。不连续时间、自我融资条件采用随机积分表示；例如，参见比约克[2，第6.1和6.2节]。特别是，对于自适应策略，当价格过程是半鞅时，可以使用它。然而，积分的选择是一个相当微妙的问题，因为并非所有的随机积分都适用于有经济意义的自我融资条件。（例如，Bj¨orkand Hult[3]的论文记录了在自我融资条件下使用Skorohodintegrals和Wick产品时产生的一些可解释性问题。）在任何情况下，任何良好的自我融资条件至少都应该排除没有卖空或借贷的套利策略。毕竟，这种能够创造财富的交易策略不应该是自我融资的。除了It^o积分外，路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分（参见，例如，里加[10]、萨洛佩克[11]或索蒂宁和瓦尔凯拉[12]）通常被视为一种“安全”的方法，可以模拟合理的自我融资条件。

原因是多方面的：与It^o积分一样，Riemann–Stieltjes积分可以透明地作为Riemann和的极限来获得，它反映了简单交易策略的自然自融资条件。此外，只要存在相应的It^o积分，路径Riemann–Stieltjes积分就会与相应的It^o积分重合。回想一下，Riemann–Stieltjes积分是保证存在的，例如，当积分器是连续的，被积函数是有限变量时。虽然它通常排除了动态套期保值和效用最大化中出现的马尔可夫交易策略，例如，有限变化假设在经济上是合理的，因为它相当于保持策略的交易量不变（这是交易成本下的一项基本要求）；例如，参见Longsta off[7]。然而，事实表明，仅基于路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分的自我融资条件并不一定会禁止病态交易策略（即使是有限的变化）。我们在本文中指出，非常令人惊讶的是，基于Riemann–Stieltjes的自我融资条件实际上可能允许套利策略，如果交易者对therisky资产的未来价格有完美的预见性，则不需要借贷或卖空。如果价格过程是一个具有等价局部鞅测度和非退化二次变差的连续半鞅，我们对此类策略（定理2.7，如下）的存在性结果是有效的。虽然完美预见的要求是不寻常的，但一个良好的自我融资条件应该阻止即使是一个完全知情的交易者执行如此惊人的套利策略。更重要的是，从数学的角度来看，这个结果说明了随机积分，即使是按路径定义的，也可能并不总是像金融工具所建议的那样。

此外，我们还表明，如果价格过程变化有限，这些套利策略实际上是不可能的（下文命题2.10）。这表明，本说明中记录的现象非常复杂。在许多情况下，只有在任意短的时间间隔内，才有充分的远见，如备注2.9所述。这与房地产的特性和价格过程的“粗糙度”有关。2模型和主要结果让我们考虑一个具有风险资产和无风险货币市场账户的连续时间市场模型，在该模型中，交易可以在有限的时间范围内进行∈ (0, ∞).风险资产的价格遵循一个连续的正值半鞅S=（St）t∈[0，T]，定义在完全概率空间上(Ohm, F、 P）。为简单起见，货币市场账户的利率为零。此外，我们用（FSt）t表示∈[0，T]价格过程S的自然过滤，增加了使其完整且正确连续的常用方法，并通过hSi使S的二次变化过程。在本文中，我们使用了 = ∞.考虑一个交易者，其交易策略由两个c`agl`ad（从左开始连续，从右开始限制）过程ψ=（ψt）t描述∈[0，T]和φ=（φT）T∈[0，T]分别记录她的货币市场账户余额和持有的风险资产。她的投资组合在t时的市值∈ [0，T]可以表示为vt=ψT+φtSt。（2.1）根据上面的讨论，我们感兴趣的是一种情况，即交易者试图遵循套利策略，因此她开始时没有初始财富，这转化为约束V=0。交易者还需满足自我融资条件。让我们暂时假设ψ和φ适用于过滤（FSt）t∈[0，T]。

然后，按照通常的方式[2，第6.1节和第6.2节]制定自筹条件，要求任何t的VT=V+ZtφudSu=ZtφudSu∈ [0，T]，（2.2），其中关于S的积分被理解为It^o积分。在自融资条件（2.2）下，过程ψ变得多余，因为通过将（2.2）插入（2.1），我们可以求解ψt，即ψt=ZtφudSu- φtSt，t∈ [0，T]。（2.3）现在的关键问题是：是否存在非平凡过程φ，对于allt，φt>0∈ [0，T]，使得所有T的ψT>0∈ [0，T]？利用（2.3），我们可以将其转化为满足随机不等式ztφudSu>φtst的非负过程φ的存在性的估计∈ [0，T]。（2.4）在适当的情况下，如果我们假设S是无套利的，我们可以直接回答这个问题。事实上，如果存在一个概率测度Q(Ohm, F）使Q~ P（其中“~” 表示测度的相互绝对连续性，asusual），S是局部Q鞅，那么资产定价基本原理的合适版本（例如，[4，推论1.2]）意味着对于某些t，不存在满足（2.4）和P（Vt>0）>0的非负（自适应）过程φ∈ （0，T）。然而，如上所述，我们不会坚持适应性，因此我们考虑不一定适应过滤（FSt）T的过程∈[0，T]。那么（2.2），（2.3）和（2.4）中出现的关于S的tochastic积分可能不作为It^o积分存在。但如果我们假设φ是有限变化的，那么积分确实以黎曼-斯蒂尔杰斯积分的形式存在，参见[13，定理1.2.3和1.2.13]，对任何t∈ [0，T]byZtφudSu:=limn→∞knXi=1φτni（St∧τni- 圣∧τni-1） P-a.s.（2.5），其中x∧ y:=min{x，y}对于所有x，y∈ R和（τni）kni=0，n>1是一组随机时间，使得对于任何n>1和limn，0=τn6τn6··6τnkn=T→∞sup16i6kn（τni-τni-1) = 0.

定义（2.5）与（τni）kni=0，n>1的选择无关。此外，当φ是简单的，即分段常数时，它确保基于此类积分的自融资条件简化为通常的自融资条件。备注2.6。虽然数学金融文献中的交易策略通常被认为是适应价格过程的自然过滤，但非适应策略确实出现在关于内幕交易的文献中；参见，例如[1,9]。最近，也有人提出，高频交易者和做市商可能可以获得（不精确的）短期内未来价格变化的事先信息[5]。我们的主要结果表明，在这个替代框架中，实际上存在满足不等式（2.4）的非平凡、非负过程φ。这个结果的证明在下面的第3节中进行。定理2.7。假设正连续半鞅S=（St）t∈[0，T]满意度P（hSiT>0）>0。进一步假设存在一个概率测度Q~ Psuch认为S是局部Q-鞅。然后存在一个非负过程φ=（φt）t∈[0，T]，c`agl`ad样本路径具有有限的变化，例如φ=0，所有T的ztφudSu>φtst∈ [0，T]P-a.s.（2.8a）PZtφudSu>φtst对于所有t∈ （ρ，T]> 0，（2.8b），其中ρ：=inf{t∈ （0，T）：hSit>0}∧ TtSt0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.60.81.01.21.4tVt0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.51.01.5tψt0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0tφt0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.10.20.30.40.50.6图1：定理2.7的数值说明。在这个例子中，T=1，S是从1开始的布朗运动，所以ρ=0。

（理论上，S为正的要求可以得到满足，例如，通过在0到1之间的某个水平上反射或吸收过程。）过程φ的实现是根据下面定理2.7的证明中给出的构造（3.14）生成的。回想一下ψt=RtφudSu- φtStand Vt=ψt+φtSt=RtφudSu。备注2.9。（i） 虽然上面没有明确说明，但定理2.7中的过程φ并不（也不能）适用于（FSt）t∈[0，T]。φt的规定∈ （0，T]要求在时间T之前完全了解S的路径。然而，过程φ适用于过滤FSt:=FSt，T∈ [0，T]，对应于对S的完美预见，这也确保φ不依赖于S以外的任何（外部）随机性。（ii）还值得强调的是，时间范围T∈ (0, ∞) 可以自由选择，只要满足P（hSiT>0）>0。特别是，如果S具有严格递增的二次变化，那么我们可以选择任意小的T——也就是说，只需要在很短的时间间隔内预先了解S的变化。（iii）在数学金融文献中，通常会限制交易策略的可接受性；参见，例如[4，定义2.7]。虽然事实上对可采性有几个稍有不同的定义，但它们有一个共同点，即可采策略的价值过程是从下方（在某种意义上）界定的。受理条件的目的是排除一些完全病态的交易策略，例如加倍策略[4，第467页]。

值得强调的是，定理2.7的过程φ不会违反典型的可容许条件，因为相应的值过程Vt=RtφudSu，t∈ [0，T]是非负的，因为该属性（2.8a）。奇怪的是，定理2.7中关于正二次变化的假设——也就是说，S表现出“足够”的波动——相当关键：利用Riemann–Stieltjes积分正性的结果[8，定理3.1]，我们可以证明，如果价格过程也是有限变化的，那么在这种情况下，没有借贷或卖空的套利实际上是消除的：命题2.10。假设正连续半鞅S=（St）t∈[0，T]满意度，P-a.s.，hSiT=0。如果φ=（φt）t∈[0，T]是一个非负过程，其c`agl`ad样本路径具有有限的变化，例如p（φT>0，对于某些T∈ [0，T]）>0，（2.11）然后ZtφudSu<φtst对于某些t∈ [0，T]> 0 . （2.12）证据。Riemann–Stieltjes积分的分部积分公式[13，Theorem1.2.3]yieldsZtφudSu=φtSt- φS-ZtSudφu，t∈ [0，T]。注意，由于S是一个连续半鞅，假设hSiT=0意味着S的样本路径是有限变化的。现在如果φt对于某些t>0∈ [0，T]，然后从[8，定理3.1]得出，对于某些T，ztsudφu>0∈ [0，T]。因此，概率（2.12）大于或等于概率（2.11），评估如下。备注2.13。在某种程度上，定理2.7和命题2.10违背了通常的数学金融直觉，即“平滑”的价格过程比“粗糙”的价格过程更容易套利。在这里，S的“粗糙度”正是使我们能够构造定理2.7中的过程φ的性质。在定理2.7中，我们假设价格过程S是无套利的，而策略φ可能不适用。当然，这只是偏离标准的无套利环境的可能之一。

或者，我们也可以考虑这样一种场景，即过程S是一个非常普遍的连续过程，可能允许套利，φ是一种有限变化的适应策略，并询问如何排除没有卖空和借贷的更强形式的套利。这看起来不那么直截了当，可能需要一些新的技术和Riemann–Stieltjes积分的估计，所以让问题悬而未决：悬而未决的问题2.14。当S是一个一般的正的连续过程（不一定是半鞅）时，在什么情况下S的条件是套利而不借款或短期销售，在有限变异策略的背景下除外？我们注意到，为此，过程S应该满足某种非简并条件，对于表现出足够变化的确定性连续路径，可以构造类似于定理2.7中φ的积分；参见[8，定理2.1]。3定理2.7的证明在严格证明定理2.7之前，我们直观地描述了过程φ是如何构造的。其想法是从风险资产中一系列不重叠的静态头寸中构造φ，以便它们在ρ处有一个“累积点”，如图1，右下面板所示。这些静态仓位的大小被选择为逐渐增加（从零开始），并使用S的二次变化和完美的预见性对仓位进行计时，以便已知资产的价格在每个持有期内增加。虽然φ的构造原则上很简单，但选择静态位置的大小并不容易，因此[8，定理3.1]中的“非消失”一词可能具有误导性。适当的解释是，被积函数g不应等于零。还值得一提的是，其中的假设g（a）=0可以被轻微地削弱为g（a）>0；见[8，p。