在有违约的本地L碜evy模型下的百慕大期权定价

根据鞅条件，我们有u（x）=r- a（x）-ZRν（dz）（ez）- 1） ，因此（2.10）readsLu（t，x）=tu（t，x）+r许（t，x）+a（t，x）(xx- x） u（t，x）-ZRν（dz）（ez）- 1） +ZRν（dz）（u（t，x+z）- u（t，x））。在这种情况下，我们有以下特征函数^Γ（t，x；t，ξ）的显式近似公式：^Γ（t，x；t，ξ）≈^Γ（n）（t，x；t，ξ）：=eiξx+（t-t） ψ（ξ）nXk=0^Fk（t，x；t，ξ），n≥ 0，（2.11）带ψ（ξ）=irξ- a（ξ+iξ）-ZRν（dz）（ez）- 1） iξ+ZRν（dz）eizξ- 1.,和^Fk（t，x；t，ξ）=kXh=0g（k）h（t- t、 ξ）（x）- \'-x）h；这里，对于k=0，1，2，我们有g（0）（s，ξ）=1，g（1）（s，ξ）=as（ξ+iξ）iψ′（ξ），g（1）（s，ξ）=- as（ξ+iξ），g（2）（s，ξ）=saξ（i+ξ）ψ′（ξ）-sξ（i+ξ）（a（i+2ξ）ψ′（ξ）- 2aψ′（ξ）+aξ（i+ξ）ψ′（ξ））-saξ（i+ξ）ψ′（ξ），g（2）（s，ξ）=sξ（i+ξ）（a（1）- 2iξ）+2iaψ′（ξ））-siaξ（i+ξ）ψ′（ξ），g（2）（s，ξ）=- asξ（i+ξ）+saξ（i+ξ）。使用上面的符号，我们可以用同样的方法写出一般情况下的近似公式。这里我们给出了k=0，1的结果，因为高阶公式太长，无法包含。关于完整的公式，我们参考附录B。我们有：g（0）（s，ξ）=1，g（1）（s，ξ）=ias（ξ+iξ）ψ′（ξ）+γs（i+ξ）ψ′（ξ）-ZRν（dz）（ez）- 1.- z） sξψ′（ξ）（2.13）-ZRν（dz）（ieiξz）- i+ξz）sψ′（ξ），g（1）（s，ξ）=- as（ξ+iξ）+γsi（i+ξ）-ZRν（dz）（ez）- 1.- z） sξi+ZRν（dz）（eiξz）- 1.- ξiz）s.备注2.4。从（2.11）-（2.12）和（2.14）中，我们清楚地看到，n阶近似是形式为^Γ（n）（t，x；t，ξ）：=eiξxnXk=0（x）的函数- \'x）kgn，k（t，t，ξ），（2.14），其中系数gn，k，0≤ K≤ n、 只依赖于t，t和ξ，而不依赖于x。

因此，近似公式总是可以分解为函数的乘积之和，仅取决于ξ和（x）的线性组合- \'x）meiξx，m∈ N.3百慕大期权估值百慕大期权是一种金融合同，持有人可以在到期前的预定行使时间行使，期权持有人在行使时获得报酬。Considera Bermudan选项，具有一组M个运动时刻{t，…，tM}，0≤ t<t<··<tM=t。当期权在TMT行使时，持有人收到付款Φ（tm，Stm）。回顾（2.2），百慕大期权在t isv（t，Xt）=1{ζ>t}supτ时的无套利价值∈提特-Rτt（R+γ（s，Xs））dsа（τ，Xτ）|Xti，其中а（t，X）=Φ（t，ex）和tti是所有G停止时间的集合，取{t，…，tM}∩ [t，t]。对于具有执行价Ek的aBermudan看跌期权，我们只需要（t，x）=（K- ex）+。通过动态编程方法，期权价值c可以用后向递归asv（tM，x）=1{ζ>tM}~n（tM，x）和c（t，x）=EheRtmt（r+γ（s，Xs））dsv（tm，Xtm）| Xt=xi，t∈ [tm]-1，tm[v（tm-1，x）=1{ζ>tm-1} 最大{~n（tm）-1，x），c（tm-1，x）}，m∈ {2，…，M}。（3.15）在上述注释中，v（t，x）是期权价值，c（t，x）是所谓的连续价值。对于t，选择值为v（t，x）=c（t，x）∈]商标-1，tm[，如果t>0，也适用于t∈ [0，t[.备注3.5.由于看涨期权的收益随着对数股价呈指数增长，这可能会给大域名带来重大的安装误差。因此，我们仅使用我们的方法对看跌期权定价，并采用众所周知的看跌期权平价通过看跌期权对看涨期权定价。

3.1百慕大看跌期权的定价算法[5]提出的COS方法基于这样一种见解，即Γ（t，x；t，dy）（因此也包括期权价格）的傅里叶余弦级数系数与基础过程的特征函数密切相关，即以下关系成立：Zbaeikπb-aΓ（t，x；t，dy）≈^Γt、 x；T、 kπb- A..COS方法提供了一种计算公式v（t，x）=ZR~n（t，y）Γ（t，x；t，dy）的计算值（积分）的方法，它由三个近似步骤组成：1。在第一步中，我们将有限积分范围e截断为[a，b]，以获得近似值v:v（t，x）：=Zba（t，y）Γ（t，x；t，dy）。我们假设这是由于单位内分布的快速衰减所致。2.在第二步中，我们用余弦展开替换分布，得到v（t，x）：=b- A.∞X′k=0Ak（t，X；t）Vk（t），其中X′表示求和中的第一项由二分之一加权，且k（t，X；t）=b- 阿兹巴科斯kπy- ab- A.Γ（t，x；t，dy），Vk（t）=b- 阿兹巴科斯kπy- ab- A.ψ（T，y）dy分别是T时分布和支付函数的余弦级数系数。由于傅里叶-余弦级数系数的快速衰减，我们截断级数和，得到近似值v:v（t，x）：=b- 一-1X′k=0Ak（t，x；t）Vk（t）。在第三步中，我们使用了一个事实，即系数Ak可以使用截断的特征函数重写：Ak（t，x；t）=b- 阿蕾-ikπab-aZbaeikπb-（t，x；t，dy）！。有限积分范围可近似为asZbaeikπb-ayΓ（t，x；t，dy）≈ZReikπb-ayΓ（t，x；t，dy）=^Γt、 x；T、 kπb- A..因此，在最后一个步骤中，我们用它的近似值替换Ak:b- 是E-ikπab-a^Γt、 x；T、 kπb- A.,并得到近似值v:v（t，x）：=N-1X′k=0ReE-ikπab-a^Γt、 x；T、 kπb- A.Vk（T）。

（3.16）接下来我们回到百慕大看跌期权定价问题。记住（3.15）中的期望值c（t，x）可以用积分形式重写，如（2.5）所示，我们有c（t，x）=e-r（tm）-t） ZRv（tm，y）Γ（t，x；tm，dy），t∈ [tm]-然后我们使用fourier余弦展开式（3.16），得到近似值：^c（t，x）=e-r（tm）-t） N-1X′k=0ReE-ikπab-a^Γt、 x；tm，kπb- A.Vk（tm），t∈ [tm]-1，tm[（3.17）Vk（tm）=b- 阿兹巴科斯kπy- ab- A.最大{~n（tm，y），c（tm，y）}dy，其中（t，x）=（K）- ex）+。接下来我们恢复系数（Vk（tm））k=0,1，。。。，N-1从（Vk（tm+1））k=0,1，。。。，N-1.为此，我们使用早期练习点x将Vk（tm）定义中的积分分为两部分*m、 这是连续值等于payoff的点，即c（tm，x*m） =~n（tm，x）*m） )；所以我们有vk（tm）=Fk（tm，x）*m） +Ck（tm，x）*m） ，m=m- 1米- 2.1，其中fk（tm，x*m） ：=b- aZx*马k（tm，y）coskπy- ab- A.dy，Ck（tm，x*m） ：=b- aZbx*mc（tm，y）coskπy- ab- A.dy，（3.18）和Vk（tM）=Fk（tM，logk）。备注3.6。由于我们有一个^c（tm，x）的半解析公式，我们可以很容易地找到关于x的导数，并使用牛顿方法找到点x*那么c（tm，x*m） =~n（tm，x）*m） 。

牛顿法的起点是logk，因为x*M≤ log K.系数Fk（tm，x*m） 可以用x进行解析计算*M≤ 记录K，所以我们有fk（tm，x）*m） =b- aZx*马（K）- 嘿）因为kπy- ab- A.dy=b- aKψk（a，x）*m）-B- aχk（a，x）*m） ，其中χk（a，x）*m） =Zx*梅耶科斯kπy- ab- A.dy=1+kπb-A.前任*mcoskπx*M- ab- A.- ea+kπex*兆字节- 阿辛kπx*M- ab- A.,ψk（a，x）*m） =Zx*马科斯kπy- ab- A.dy=B-akπsinkπx*M-ab-A., k6=0，x*M- a、 k=0。另一方面，通过将延拓值的近似值（3.17）插入公式forCk（tm，x*m） 对于m=m，具有以下系数- 1米- 2.1：^Ck（tm，x）*m） =2e-r（tm+1）-tm）b- 一-1X′j=0Vj（tm+1）Zbx*mReE-ijπab-a^Γtm，x；tm+1，jπb- A.余弦kπx- ab- A.dx。（3.19）因此，百慕大期权的定价算法可以总结如下：3.2连续值的有效算法在本节中，我们推导出了计算^Ck（tm，x）的有效算法*m） 在（3.19）中。当考虑[5]中的常数系数的指数L’evy过程时，可以使用快速傅里叶变换（FFT）计算连续值。这是因为特征函数^Γ（t，x；t，ξ）不能被分解为仅依赖于ξ的函数和形式为eiξx的函数的乘积。注意，我们通常有ξ=jπb-a、 x上的积分得到了Hankel和Toeplitz矩阵的和（带指数（j+k）和（j- k） 分别）。利用这些特殊矩阵，矩阵向量积可以转化为循环卷积，循环卷积可以用FFT计算。图1：算法3.1：百慕大期权估值1。对于k=0，1。。。，N- 1:o在时间tM时，系数是精确的：Vk（tM）=Fk（tM，logk），如（3.18）所示。

对于m=m- 1到1：o确定早期锻炼点x*思考牛顿的方法使用公式计算^Vk（tm）：=Fk（tm，x*m） +^Ck（tm，x）*m） （3.18）和（3.19）。对连续值使用FFT（见第3.2节）。最后一步：使用^Vk（t）使用（3.17）确定期权价格^v（0，x）=^c（0，x）。从（2.14）中我们知道，特征函数的n阶近似形式为：^Γ（n）（tm，x；tm+1，ξ）=eiξxnXk=0（x- \'-x）kgn，k（tm，tm+1，ξ），其中系数gn，k（t，t，ξ）为0≤ K≤ n、 仅依赖于t，t和ξ，而不依赖于x。使用（2.14）我们将连续值写成：^Ck（tm，x*m） =nXh=0e-r（tm+1）-tm）N-1X′j=0ReVj（tm）gn，htm，tm+1，jπb- A.Mhk，j（x）*m、 b）,其中，我们交换了总和和积分，并定义为：Mhk，j（x*m、 b）=b- aZbx*meijπx-ab-a（x）- \'-x）HCOkπx- ab- A.dx（3.20）这可以用矢量形式写成：^Ck（tm，x）*m） =nXh=1e-r（tm+1）-tm）ReV（tm+1）Mh（x）*m、 b）λh,其中V（tm+1）是向量[V（tm+1），…，VN-1（tm+1）]和Mh（x*m、 b）∧his是矩阵乘积，mh是元素为{Mhk，j}N的矩阵-1k，j=0和∧his是元素为n，h的对角矩阵tm，tm+1，jπb- A., j=0，N- 1.我们有以下定理来计算（3.20）中的积分的广义形式，它用于计算连续值。定理3.7。元素为{Mk，j}N的矩阵M-1k，j=0，使得：Mk，j=Zejxcos（kx）xmdx，由Hankel和Toeplitz矩阵之和组成。证据

使用标准三角恒等式，我们可以将积分改写为：Mk，j=Zcos（jx）cos（kx）xmdx+iZsin（jx）cos（kx）xmdx=MHk，j+iMTk，j，其中我们定义了：MHk，j=Zcos（（j+k）x）xmdx+Zsin（（j+k）x）xmdx，MTk，j=Zcos（（j+k）- k） x）xmdx+Zsin（（j）- k） x）xmdx。以下结论成立：Zcos（nx）xmdx=nxmsin（nx）+m/2Xi=1(-1） i+1Q2i-2j=0（m- j） n2icos（nx）xm-（2i）-1)-m/2Xi=1(-1） i+1Q2i-1j=0（m）- j） n2i+1sin（nx）xm-2i，Zsin（nx）xmdx=-nxmcos（nx）+m/2Xi=1(-1） i+1Q2i-2j=0（m- j） n2isin（nx）xm-（2i）-1)-m/2Xi=1(-1） i+1Q2i-1j=0（m）- j） n2i+1cos（nx）xm-2i。因此{MHk，j}N-1k，j=0是系数（j+k）和{MTk，j}N的汉克尔矩阵-1k，j=0是一个系数为（j）的Toeplitz矩阵- k） ：MH=嗯。锰-1毫米。嗯。。。。。。锰-200万-1.M2N-3MN-1.M2N-3M2N-2.,MT=嗯。锰-200万-1米-1毫米。锰-2.M2-NM-1毫米1-NM2-纳米-1米,其中我们定义了mj=Zcos（jx）xmdx+Zsin（jx）xmdx。从定理3.7我们可以看到Mh（x*m、 b）对于元素Mhk，j是Hankel和toeplitz矩阵之和。例3.8。我们明确推导了m=0和m=1的Hankel和Toeplitz矩阵。我们计算不定积分Mk，j=b- aZeijπx-ab-acoskπx- ab- A.（十）- \'x）mdx。假设m=0，在这种情况下，我们有Mk，j=MHk，j+MTk，j，其中：MHk，j=-我经验i（j+k）π（x）-a） b-A.π（j+k），MTk，j=-我经验i（j）-k） π（x）-a） b-A.π（j）- k） ，其中{MHk，j}N-1k，j=0是汉克尔矩阵和{MTk，j}N-1k，j=0是带有MJ的Toeplitz材料ix=xb-a、 j=0，i exp（ijπ（x-a） b-a） πj，j6=0。假设m=1，在这种情况下我们有：MHk，j=-A.- b（j）- k） πexpi（j）- k） π（x）- a） b- A.-十、- \'x（j）- k） πi expi（j）-k） π（x）- a） b- A.,MTk，j=-A.- b（j+k）πexpi（j+k）π（x）- a） b- A.-十、- \'x（j+k）πi expi（j+k）π（x）- a） b- A.,其中{MHk，j}N-1k，j=0是汉克尔矩阵和{MTk，j}N-1k，j=0是一个Toeplitz matr ix，带有Mj=x（x）-\'x）b-a、 j=0，-A.-bjπexpijπ（x）-a） b-A.-十、-\'xjπi expijπ（x）-a） b-A., J6=0。备注3.9。

如果我们采用实践中最常见的“x=x”，则公式会显著简化，只有m=0的情况才相关。在这种情况下，特征函数只是eiξx乘以仅依赖于tm、tm+1和ξ=jπb的项和-a：^Γ（n）（tm，x；tm+1，ξ）=eiξxgn，0（tm，tm+1，ξ）。利用Hankel矩阵和Toeplitz矩阵的分裂和，我们可以用矩阵形式写出连续值：^c（tm，x）*m） =nXh=0e-r（tm+1）-tm）Re（MhH+MhT）ul,式中MH={MH，hk，j（x*m、 b）}N-1k，j=0是汉克尔矩阵，MlT={MT，hk，j（x*m、 b）}N-1k，j=0是一个Toeplitz矩阵，uh={uhj}N-1j=0，uhj=gn，htm，tm+1，jπb-A.Vj（tm+1）和uh=gn，h（tm，tm+1，0）V（tm+1）。我们重述了循环卷积，用, 两个向量之差等于逆离散傅里叶变换（D-1） 在正向DFT的乘积中，D，即：x y=D-1{D（x）·D（y）}。对于Hankel和Toe-plitz矩阵，我们得到以下结果：定理3.10。对于Toeplitz矩阵MT，乘积MTu等于MT的前N个元素 uT，其中mt和uTare 2N向量由mt=[M，M]定义-1米-2.M1-N、 0，MN-1，MN-2.M] T，uT=[u，u，…，uN-1, 0, ..., 0]T.对于汉克尔矩阵MH，乘积MHu等于MH的前N个元素 uh的顺序相反，其中mh和uh是由mh=[M2N]定义的2N个向量-1，M2N-2.M、 M]TuH=[0，…，0，u，u，…，uN-1] T.总之，我们可以计算连续值^C（tm，x*m） 使用图3.2中的a算法。图2：算法3.2：^C（tm，x）的计算*m） 一,。对于h=0。。。，n:o计算Mhj（x，x）o构造mhHand mhTo计算uh（tm）={uhj}n-1j=0o用N个零填充uh（tm）构造uhtboMTuh=D的前N个元素-1{D（mhT）·D（uhT）}oMHuh=逆{D的前N个元素-1{D（mhH）·sgn·D（uhT）}2。

使用^C（tm，x）计算延拓值*m） =nPh=0e-r（tm+1）-tm）Re（MTuh+MHuh）。连续值要求每个h=0，…，有五个DFT。。。，n、 使用FFT计算DFT。实际上，“x=x”是最常见的，在这种情况下，我们只需要五个FFT。Fk（tm，x）的计算*m） N是线性的。该方法的总体复杂性主要取决于^C（tm，x）的计算*m） ，其复杂度为O（N logN）的FFT。计算时间0时的期权价值的复杂性为O（N）。如果我们有一个百慕大选项，有M个锻炼日期，那么总体复杂度将是O（（M）- 1） N logN）。备注3.11（美式选项）。美国n期权的价格可以通过对几个百慕大期权的价格进行aRichardson额外定价（例如，参见[9]）来获得，这些期权的行使日期很少。让vm表示一个百慕大期权的价值，到期日为T，提前行使日期为T年。那么，对于任何d∈ N、 以下4点理查森外推方案（64vd+3- 56vd+2+14vd+1- vd）给出了相应美式期权价格的近似值。备注3.12（希腊人）。近似法也可用于计算无需额外成本的成本。在‘x=x的情况下，我们对δ和γ有以下近似公式：^ = E-r（t）-t） N-1X′k=0Reeikπx-ab-A.ikπb- agn，0t、 t，kπb- A.+ gn，1t、 t，kπb- A.^Vk（t），^Γ=e-r（t）-t） N-1X′k=0Reeikπx-ab-A.-ikπb- agn，0t、 t，kπb- A.- gn，1t、 t，kπb- A.+ 2ikπb- agn，1岁t、 t，kπb- A.+ikπb- A.gn，0t、 t，kπb- A.+ 2gn，2t、 t，kπb- A.^Vk（t）.4误差估计我们近似中的误差包括COS方法的误差和特征函数伴随展开的误差。

COS方法的误差或取决于积分范围[a，b]的截断和傅里叶余弦展开的有限和被N截断。密度随y迅速衰减为零→ ±∞. 总误差的n可以有以下界：（x；n，[a，b]）≤ QZR\\[a，b]Γ（t，x；t，dy）+P（N）- 1)β-1.,其中P和Q是不依赖于N或[a，b]和β的常数≥ N≥ 1，n是余弦级数系数协收敛的代数指数。对于足够大的积分区间[a，b]，总体误差由级数截断误差控制，其c在指数方向上趋于e。系数Vk（tm）的反向传播误差定义为（k，tm）：=Vk（tm）-^Vk（tm）。具有[a，b]足够大的面积和C中的概率密度函数∞（[a，b]），误差（k，tm）在N中指数收敛。有关COS方法误差的详细推导，请参见[4]和[5]。现在我们给出了特征函数在0阶和1阶的伴随展开的误差估计。为了简单起见，我们考虑了一个与时间无关的系数xt=x+Ztu（Xs）ds+Ztσ（Xs）dWs+ZtZRη（Xs）的模型-)zdN（s，dz），（4.21），我们通常定义dN（t，dz）=dN（t，dz）- ν（dz）dt。该模型与我们最初在（2.1）中考虑的模型相似；直到现在，我们才处理稍微简化的版本，并假设无法考虑度量中对Xt的依赖性，这通常就足够了。设Xt为（4.21）中模型的第0个或第r个近似值，其中yenx=x，即Xt=x+Ztu（x）ds+Ztσ（x）dWs+ZtZRη（x）zdN（s，dz）。（4.22）~Xt的特征指数- x是ψ（ξ）=iξu（x）-σ（x）ξ- η（x）ZRν（dz）（ez）- 1.- z） iξ+η（x）ZRν（dz）（eizξ）- 1.- izξ）。（4.23）定理4.13。设n=0，1，并假设系数u，σ，η在n阶导数的情况下是连续可微的。